10th Maths, Quarterly Exam 2025, Answer key, Thiruvallur District, Tamil Medium

10th Maths Quarterly Exam Question Paper 2025 with Complete Solutions

காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - 2025

பத்தாம் வகுப்பு - கணிதம்

நேரம் : 3.00 மணி | மதிப்பெண்கள் : 100

10th Maths Exam Paper

பகுதி - அ

(14 x 1 = 14)

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

1. n(A x B) = 6 மற்றும் A = {1, 3} எனில் n(B) ஆனது

• அ) 1
• ஆ) 2
• இ) 3
• ஈ) 6

விடை: இ) 3

தீர்வு:

நமக்குத் தெரியும், \( n(A \times B) = n(A) \times n(B) \).

கொடுக்கப்பட்டவை: \( n(A \times B) = 6 \) மற்றும் \( A = \{1, 3\} \), எனவே \( n(A) = 2 \).

\( 6 = 2 \times n(B) \)

\( n(B) = \frac{6}{2} = 3 \)

2. R = {(x, x²) / x ஆனது 13 ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்} என்ற உறவின் வீச்சகமானது

• அ) {2,3,5,7}
• ஆ) {2,3,5,7,11}
• இ) {4,9,25,49,121}
• ஈ) {1,4,9,25,49,121}

விடை: இ) {4,9,25,49,121}

தீர்வு:

13 ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள் (the domain 'x') = {2, 3, 5, 7, 11}.

உறவின் விதி y = \(x^2\). வீச்சகம் என்பது y-ன் மதிப்புகளின் கணம் ஆகும்.

x = 2 எனில், \( x^2 = 4 \)

x = 3 எனில், \( x^2 = 9 \)

x = 5 எனில், \( x^2 = 25 \)

x = 7 எனில், \( x^2 = 49 \)

x = 11 எனில், \( x^2 = 121 \)

எனவே, வீச்சகம் = {4, 9, 25, 49, 121}.

3. f: A → B ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது

• அ) 7
• ஆ) 49
• இ) 1
• ஈ) 14

விடை: அ) 7

தீர்வு:

ஒரு சார்பு f: A → B இருபுறச் சார்பு எனில், n(A) = n(B) ஆக இருக்க வேண்டும்.

இங்கு n(B) = 7 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே, n(A) = 7.

4. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, a மற்றும் b என்ற மிகை முழுக்களுக்கு, தனித்த மிகை முழுக்கள் q மற்றும் r, a = bq + r என்றவாறு அமையுமானால், இங்கு r ஆனது

• அ) 1 < r < b
• ஆ) 0 < r < b
• இ) 0 ≤ r < b
• ஈ) 0 < r ≤ b

விடை: இ) 0 ≤ r < b

தீர்வு:

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, மீதி 'r' ஆனது பூச்சியத்திற்கு சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ மற்றும் வகுக்கும் எண் 'b' ஐ விட குறைவாகவோ இருக்கும். அதாவது, \( 0 \le r < b \).

5. ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் 6வது உறுப்பின் 6 மடங்கும், 7வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 13-வது உறுப்பு

• அ) 0
• ஆ) 6
• இ) 7
• ஈ) 13

விடை: அ) 0

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டவை: \( 6 \times t_6 = 7 \times t_7 \).

\( 6(a + 5d) = 7(a + 6d) \)

\( 6a + 30d = 7a + 42d \)

\( 6a - 7a = 42d - 30d \)

\( -a = 12d \implies a = -12d \)

13-வது உறுப்பு, \( t_{13} = a + 12d \).

\( a = -12d \) என பிரதியிட, \( t_{13} = -12d + 12d = 0 \).

6. t₁, t₂, t₃, ... என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை எனில் t₆, t₁₂, t₁₈, ... என்பது

• அ) ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை
• ஆ) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை
• இ) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையுமல்ல, பெருக்குத் தொடர் வரிசையுமல்ல
• ஈ) ஒரு மாறிலித் தொடர் வரிசை

விடை: ஆ) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை

தீர்வு:

t₁, t₂, t₃, ... ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை. அதன் பொது வித்தியாசம் d.

t₆ = a + 5d

t₁₂ = a + 11d

t₁₈ = a + 17d

புதிய வரிசையின் பொது வித்தியாசம்:

t₁₂ - t₆ = (a + 11d) - (a + 5d) = 6d

t₁₈ - t₁₂ = (a + 17d) - (a + 11d) = 6d

பொது வித்தியாசம் சமமாக இருப்பதால், இதுவும் ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை.

7. x² - 2x - 24 மற்றும் x² - kx - 6 யின் மீ.பொ.வ. (x - 6) எனில், k-யின் மதிப்பு

• அ) 3
• ஆ) 5
• இ) 6
• ஈ) 8

விடை: ஆ) 5

தீர்வு:

(x - 6) என்பது p(x) = x² - kx - 6 இன் ஒரு காரணி.

எனவே, p(6) = 0.

p(6) = (6)² - k(6) - 6 = 0

36 - 6k - 6 = 0

30 - 6k = 0

30 = 6k

k = 5

8. 4x⁴ - 24x³ + 76x² + ax + b ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a மற்றும் b-யின் மதிப்பு

• அ) 100, 120
• ஆ) 10, 12
• இ) -120, 100
• ஈ) 12, 10

விடை: இ) -120, 100

தீர்வு: நீள்வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலம் காண வேண்டும்.

படி 1: \(\sqrt{4x^4} = 2x^2\).

படி 2: ஈவு 2x² ஐ 2 ஆல் பெருக்கி \(4x^2\) என எழுதவும். \( -24x^3 \) ஐ \( 4x^2 \) ஆல் வகுக்க, \( -6x \) கிடைக்கும். இது ஈவின் அடுத்த உறுப்பு.

படி 3: ஈவு \(2x^2 - 6x\) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி \(4x^2 - 12x\) என எழுதவும். \(100x^2\) ஐ \(4x^2\) ஆல் வகுக்க 25 கிடைக்கும். இது ஈவின் அடுத்த உறுப்பு.

கணக்கீட்டின் இறுதியில், மீதி 0 ஆக இருக்க வேண்டும்.

(a + 120)x + (b - 100) = 0

a + 120 = 0 \(\implies\) a = -120

b - 100 = 0 \(\implies\) b = 100

9. ΔLMN யில் ∠L = 60°, ∠M = 50° மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில், ∠R யின் மதிப்பு

• அ) 40°
• ஆ) 70°
• இ) 30°
• ஈ) 110°

விடை: ஆ) 70°

தீர்வு:

ΔLMN இல், ∠L + ∠M + ∠N = 180°.

60° + 50° + ∠N = 180°

110° + ∠N = 180°

∠N = 70°

ΔLMN ~ ΔPQR என்பதால், ஒத்த கோணங்கள் சமம்.

∠L = ∠P, ∠M = ∠Q, ∠N = ∠R.

எனவே, ∠R = ∠N = 70°.

10. கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் ST || QR, PS = 2 செ.மீ மற்றும் SQ = 3 செ.மீ எனில், ΔPQR யின் பரப்பளவுக்கும், ΔPST யின் பரப்பளவுக்கும் உள்ள விகிதம்

• அ) 25:4
• ஆ) 25:7
• இ) 25:11
• ஈ) 25:13

விடை: அ) 25:4

தீர்வு:

ST || QR என்பதால், ΔPST ~ ΔPQR.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதமானது, அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.

\( \frac{\text{பரப்பு}(\Delta PQR)}{\text{பரப்பு}(\Delta PST)} = \left(\frac{PQ}{PS}\right)^2 \)

PQ = PS + SQ = 2 + 3 = 5 செ.மீ.

\( \frac{\text{பரப்பு}(\Delta PQR)}{\text{பரப்பு}(\Delta PST)} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4} \)

விகிதம் = 25:4

11. (5, 7), (3, p) மற்றும் (6, 6) என்பன ஒரு கோடமைந்தவை எனில், p-யின் மதிப்பு

• அ) 3
• ஆ) 6
• இ) 9
• ஈ) 12

விடை: இ) 9

தீர்வு:

மூன்று புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில், அவற்றால் உருவாகும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூச்சியம்.

\( \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0 \)

\( 5(p - 6) + 3(6 - 7) + 6(7 - p) = 0 \)

\( 5p - 30 + 3(-1) + 42 - 6p = 0 \)

\( 5p - 30 - 3 + 42 - 6p = 0 \)

\( -p + 9 = 0 \implies p = 9 \)

12. (0,0) மற்றும் (-8,8) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு

• அ) -1
• ஆ) 1
• இ) 1/3
• ஈ) -8

விடை: ஆ) 1

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு \( m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).

\( m_1 = \frac{8 - 0}{-8 - 0} = \frac{8}{-8} = -1 \)

செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு \( m_2 \).

செங்குத்துக் கோடுகளின் சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் -1, அதாவது \( m_1 \times m_2 = -1 \).

\( (-1) \times m_2 = -1 \implies m_2 = 1 \)

13. tanθ cosec²θ - tanθ ன் மதிப்பு

• அ) secθ
• ஆ) cot²θ
• இ) sinθ
• ஈ) cotθ

விடை: ஈ) cotθ

தீர்வு:

\( \tan\theta \csc^2\theta - \tan\theta = \tan\theta (\csc^2\theta - 1) \)

நமக்குத் தெரியும், \( 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta \), எனவே \( \csc^2\theta - 1 = \cot^2\theta \).

\( = \tan\theta (\cot^2\theta) = \tan\theta \times \cot\theta \times \cot\theta \)

\( \tan\theta \times \frac{1}{\tan\theta} \times \cot\theta = 1 \times \cot\theta = \cot\theta \)

14. f என்பது ஒரு சமனிச் சார்பு எனில் f(1) - 2f(2) + f(3) ன் மதிப்பு

• அ) 1
• ஆ) 0
• இ) -1
• ஈ) -3

விடை: ஆ) 0

தீர்வு:

f ஒரு சமனிச் சார்பு எனில், f(x) = x.

எனவே, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3.

f(1) - 2f(2) + f(3) = 1 - 2(2) + 3

= 1 - 4 + 3 = 4 - 4 = 0

பகுதி - ஆ

(10 x 2 = 20)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண்.28க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.)

15. A = {2, -2, 3} மற்றும் B = {1, -4} எனில் A × B மற்றும் B × A ஐக் காண்க.

தீர்வு:

A = {2, -2, 3}, B = {1, -4}

A × B = {(2, 1), (2, -4), (-2, 1), (-2, -4), (3, 1), (3, -4)}

B × A = {(1, 2), (1, -2), (1, 3), (-4, 2), (-4, -2), (-4, 3)}

16. f = {(x, y) | x, y ∈ N and y = 2x} ஆனது N ன் மீதான ஓர் உறவு என்க. மதிப்பகம், துணை மதிப்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் காண்க. இந்த உறவு சார்பாகுமா?

தீர்வு:

உறவு f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), ...}

மதிப்பகம்: {1, 2, 3, 4, ...} = N (இயல் எண்களின் கணம்).

துணை மதிப்பகம்: N (இயல் எண்களின் கணம்).

வீச்சகம்: {2, 4, 6, 8, ...} (இரட்டை இயல் எண்களின் கணம்).

ஆம், இந்த உறவு ஒரு சார்பாகும். ஏனெனில், மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு x உறுப்பிற்கும் துணை மதிப்பகத்தில் ஒரே ஒரு y நிழல் உறுப்பு உள்ளது.

17. f(x) = 3x - 2, g(x) = 2x + k மற்றும் fog = gof எனில் k யின் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

fog(x) = f(g(x)) = f(2x + k) = 3(2x + k) - 2 = 6x + 3k - 2

gof(x) = g(f(x)) = g(3x - 2) = 2(3x - 2) + k = 6x - 4 + k

fog = gof என்பதால்,

6x + 3k - 2 = 6x - 4 + k

3k - 2 = -4 + k

3k - k = -4 + 2

2k = -2

k = -1

18. 3, 6, 9, 12, ..., 111 என்ற கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

தீர்வு:

இங்கு, a = 3, d = 6 - 3 = 3, l = 111.

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \( n = \frac{l - a}{d} + 1 \).

\( n = \frac{111 - 3}{3} + 1 \)

\( n = \frac{108}{3} + 1 \)

\( n = 36 + 1 = 37 \)

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = 37.

19. 3+k, 18-k, 5k+1 என்பவை ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன எனில், k யின் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

a, b, c ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் இருந்தால், 2b = a + c.

2(18 - k) = (3 + k) + (5k + 1)

36 - 2k = 6k + 4

36 - 4 = 6k + 2k

32 = 8k

k = 4

20. 1 + 3 + 5 + ... 40 உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

இது முதல் n ஒற்றை இயல் எண்களின் கூடுதல் ஆகும்.

முதல் n ஒற்றை இயல் எண்களின் கூடுதல் = n².

இங்கு n = 40.

கூடுதல் = (40)² = 1600.

கூடுதல் = 1600.

21. 3 + 1 + 1/3 + ... ∞ என்ற தொடரின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

இது ஒரு முடிவுறா பெருக்குத் தொடர் வரிசை.

a = 3, r = 1/3. இங்கு |r| < 1.

முடிவுறா உறுப்புகளின் கூடுதல் \( S_\infty = \frac{a}{1 - r} \).

\( S_\infty = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{2}{3}} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \)

கூடுதல் = 9/2 அல்லது 4.5.

22. கீழ்க்காணும் இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் காண்க: x² + 3x - 28 = 0

தீர்வு:

சமன்பாடு: x² + 3x - 28 = 0.

இதை ax² + bx + c = 0 உடன் ஒப்பிட, a = 1, b = 3, c = -28.

மூலங்களின் கூடுதல் (α + β) = -b/a = -3/1 = -3.

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் (αβ) = c/a = -28/1 = -28.

23. 2x² - 2x + 9 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.

தீர்வு:

a = 2, b = -2, c = 9.

தன்மைகாட்டி, Δ = b² - 4ac.

Δ = (-2)² - 4(2)(9) = 4 - 72 = -68.

Δ < 0 என்பதால், மூலங்கள் மெய்யெண்கள் அல்ல (கற்பனை மூலங்கள்).

எனவே, சமன்பாட்டிற்கு மெய் மூலங்கள் இல்லை.

24. ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் 24/5 எனில் அந்த எண்ணைக் காண்க.

தீர்வு:

அந்த எண் x என்க. அதன் தலைகீழி 1/x.

x - 1/x = 24/5

\(\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{24}{5}\)

5(x² - 1) = 24x

5x² - 5 = 24x

5x² - 24x - 5 = 0

(5x + 1)(x - 5) = 0

x = -1/5 அல்லது x = 5.

அந்த எண் 5 அல்லது -1/5.

25. ΔABC ஆனது ΔDEF க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் முக்கோணம் ABC யின் பரப்பு = 54 செ.மீ² எனில் ΔDEF யின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

ΔABC ~ ΔDEF என்பதால்,

\(\frac{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)}{\text{பரப்பு}(\Delta ABC)} = \left(\frac{EF}{BC}\right)^2\)

\(\frac{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)}{54} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}\)

\(\text{பரப்பு}(\Delta DEF) = \frac{16}{9} \times 54 = 16 \times 6 = 96 \)

ΔDEF யின் பரப்பு = 96 செ.மீ².

26. (14,10) மற்றும் (14,-6) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.

தீர்வு:

சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-6 - 10}{14 - 14} = \frac{-16}{0}\)

பகுதி 0 ஆக இருப்பதால், சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை.

இது y-அச்சுக்கு இணையான ஒரு செங்குத்துக் கோடு. சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை.

27. tan²θ - sin²θ = tan²θ sin²θ என்பதை நிறுவுக.

தீர்வு:

LHS = tan²θ - sin²θ

\( = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta \)

\( = \sin^2\theta \left(\frac{1}{\cos^2\theta} - 1\right) \)

\( = \sin^2\theta \left(\frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}\right) \)

\( = \sin^2\theta \left(\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\right) \)

\( = \sin^2\theta \tan^2\theta = \text{RHS} \)

நிரூபிக்கப்பட்டது.

28. (1,2), (2,3) மற்றும் (3,4) என்ற புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனக்காட்டுக.

தீர்வு (கட்டாய வினா):

புள்ளிகள் A(1,2), B(2,3), C(3,4).

AB இன் சாய்வு = \(\frac{3-2}{2-1} = \frac{1}{1} = 1\)

BC இன் சாய்வு = \(\frac{4-3}{3-2} = \frac{1}{1} = 1\)

AB இன் சாய்வு = BC இன் சாய்வு மற்றும் B என்பது பொதுவான புள்ளி என்பதால், A, B, மற்றும் C ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை.

பகுதி - இ

(10 x 5 = 50)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண்.42க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.)

29. f : A → B என்ற சார்பானது f(x) = (x/2) - 1 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2, 4, 6, 10, 12}, B = {0, 1, 2, 4, 5, 9}. சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க.
i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்
ii) அட்டவணை
iii) அம்புக்குறி படம்
iv) வரைபடம்

தீர்வு:

f(x) = x/2 - 1

f(2) = 2/2 - 1 = 1 - 1 = 0

f(4) = 4/2 - 1 = 2 - 1 = 1

f(6) = 6/2 - 1 = 3 - 1 = 2

f(10) = 10/2 - 1 = 5 - 1 = 4

f(12) = 12/2 - 1 = 6 - 1 = 5

i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:

f = {(2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5)}

ii) அட்டவணை:

x	2	4	6	10	12
f(x)	0	1	2	4	5

iii) அம்புக்குறி படம்:

(Image Placeholder for Arrow Diagram: A diagram showing set A {2,4,6,10,12} and set B {0,1,2,4,5,9} with arrows from each element in A to its corresponding image in B)

iv) வரைபடம்:

(Image Placeholder for Graph: A graph with points (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5) plotted on the Cartesian plane)

30. சார்பு f: R → R ஆனது \( f(x) = \begin{cases} 2x+7 & \text{if } x < -2 \\ x^2-2 & \text{if } -2 \le x < 3 \\ 3x-2 & \text{if } x \ge 3 \end{cases} \) என வரையறுக்கப்பட்டால், i) f(4) ii) f(-2) iii) f(4) + 2f(1) iv) [f(1) + 3f(4)] / f(-3) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

i) f(4): x = 4, x ≥ 3. எனவே, f(x) = 3x - 2.

f(4) = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10.

ii) f(-2): x = -2, -2 ≤ x < 3. எனவே, f(x) = x² - 2.

f(-2) = (-2)² - 2 = 4 - 2 = 2.

iii) f(4) + 2f(1):

f(4) = 10.

x = 1, -2 ≤ x < 3. எனவே, f(x) = x² - 2.

f(1) = (1)² - 2 = 1 - 2 = -1.

f(4) + 2f(1) = 10 + 2(-1) = 10 - 2 = 8.

iv) [f(1) + 3f(4)] / f(-3):

f(1) = -1, f(4) = 10.

x = -3, x < -2. எனவே, f(x) = 2x + 7.

f(-3) = 2(-3) + 7 = -6 + 7 = 1.

\(\frac{f(1) + 3f(4)}{f(-3)} = \frac{-1 + 3(10)}{1} = \frac{-1 + 30}{1} = 29\).

மதிப்பு = 29.

31. 396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. காண்க.

தீர்வு: யூக்ளிடின் வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி,

படி 1: 504 மற்றும் 396 இன் மீ.பொ.வ.

504 = 396(1) + 108

396 = 108(3) + 72

108 = 72(1) + 36

72 = 36(2) + 0

மீ.பொ.வ(504, 396) = 36.

படி 2: 636 மற்றும் 36 இன் மீ.பொ.வ.

636 = 36(17) + 24

36 = 24(1) + 12

24 = 12(2) + 0

மீ.பொ.வ(636, 36) = 12.

எனவே, 396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. = 12.

32. 300 க்கும் 600 க்கும் இடையே 7 ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

300 க்கும் 600 க்கும் இடையே 7 ஆல் வகுபடும் எண்கள்: 301, 308, ..., 595.

இது ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசை.

a = 301, d = 7, l = 595.

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, \( n = \frac{l - a}{d} + 1 = \frac{595 - 301}{7} + 1 = \frac{294}{7} + 1 = 42 + 1 = 43 \).

கூடுதல், \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{43}{2}(301 + 595) = \frac{43}{2}(896) = 43 \times 448 = 19264 \).

கூடுதல் = 19264.

33. 3 + 33 + 333 + ... n உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

\( S_n = 3 + 33 + 333 + \dots + n \) உறுப்புகள்

\( S_n = 3(1 + 11 + 111 + \dots) \)

9 ஆல் பெருக்கி வகுக்க,

\( S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + \dots) \)

\( S_n = \frac{1}{3}((10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots) \)

\( S_n = \frac{1}{3}((10 + 10^2 + 10^3 + \dots) - (1+1+1+\dots n \text{ முறை})) \)

\( (10 + 10^2 + \dots) \) என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர், a=10, r=10. அதன் கூடுதல் \( \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{10(10^n - 1)}{9} \).

\( S_n = \frac{1}{3} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right] \)

\( S_n = \frac{10}{27}(10^n - 1) - \frac{n}{3} \)

34. 64x⁴ - 16x³ + 17x² - 2x + 1 ன் வர்க்கமூலம் காண்க.

தீர்வு: நீள்வகுத்தல் முறைப்படி,

ஈவு: \( 8x^2 - x + 1 \)

Step-by-step division process leads to a remainder of 0.

வர்க்கமூலம் = | 8x² - x + 1 |

35. சுருக்குக: \( \frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-3x+2} - \frac{1}{x^2-8x+15} \)

தீர்வு:

முதலில் பகுதிகளை காரணிப்படுத்துக.

\( x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \)

\( x^2-3x+2 = (x-1)(x-2) \)

\( x^2-8x+15 = (x-3)(x-5) \)

கோவை = \( \frac{1}{(x-2)(x-3)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} - \frac{1}{(x-3)(x-5)} \)

முதல் இரண்டு உறுப்புகளை கூட்டுக.

\( \frac{(x-1) + (x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{2x-4}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{2(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{2}{(x-1)(x-3)} \)

இப்போது, \( \frac{2}{(x-1)(x-3)} - \frac{1}{(x-3)(x-5)} \)

\( = \frac{2(x-5) - 1(x-1)}{(x-1)(x-3)(x-5)} = \frac{2x-10 - x+1}{(x-1)(x-3)(x-5)} = \frac{x-9}{(x-1)(x-3)(x-5)} \)

விடை: \( \frac{x-9}{(x-1)(x-3)(x-5)} \)

36. வகுத்தல் படிமுறையைப் பயன்படுத்தி 2x⁴ + 13x³ + 27x² + 23x + 7, x³ + 3x² + 3x + 1, x² + 2x + 1 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகள்:

p(x) = 2x⁴ + 13x³ + 27x² + 23x + 7

q(x) = x³ + 3x² + 3x + 1

r(x) = x² + 2x + 1

முதலில் p(x) மற்றும் q(x) இன் மீ.பொ.வ. ஐ வகுத்தல் படிமுறையைப் பயன்படுத்தி காண்போம்.

p(x) ஐ q(x) ஆல் வகுக்க:

(2x + 7)

x³+3x²+3x+1 | 2x⁴+13x³+27x²+23x+7

-(2x⁴+6x³+6x²+2x)

____________________

7x³+21x²+21x+7

-(7x³+21x²+21x+7)

_________________

0

மீதி 0 என்பதால், p(x) மற்றும் q(x) இன் மீ.பொ.வ. q(x) ஆகும்.

மீ.பொ.வ(p(x), q(x)) = x³ + 3x² + 3x + 1

இப்போது, கிடைத்த மீ.பொ.வ. (x³ + 3x² + 3x + 1) மற்றும் மூன்றாவது பல்லுறுப்புக்கோவை r(x) = x² + 2x + 1 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. காண்போம்.

(x+1)

x²+2x+1 | x³+3x²+3x+1

-(x³+2x²+x)

____________

x²+2x+1

-(x²+2x+1)

_________

0

மீதி 0 என்பதால், மீ.பொ.வ. x² + 2x + 1 ஆகும்.

எனவே, மூன்று பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மீ.பொ.வ. = x² + 2x + 1.

37. தேல்ஸ் தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.

தீர்வு:

தேற்றம் (கூற்று): ஒரு நேர்க்கோடு ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாகவும் மற்ற இரு பக்கங்களை வெட்டுமாறும் வரையப்பட்டால், அக்கோடு அவ்விரண்டு பக்கங்களையும் சம விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்டவை: ΔABC இல், BC க்கு இணையாக வரையப்பட்ட ஒரு நேர்க்கோடு AB ஐ D யிலும், AC ஐ E யிலும் சந்திக்கிறது.

நிரூபிக்க வேண்டியது: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)

அமைப்பு: BE மற்றும் CD ஐ இணைக்கவும். மேலும், DM ⊥ AC மற்றும் EN ⊥ AB வரைக.

நிரூபணம்:

எண்	கூற்று	காரணம்
1	பரப்பு(ΔADE) = \( \frac{1}{2} \times AD \times EN \) பரப்பு(ΔBDE) = \( \frac{1}{2} \times DB \times EN \)	பரப்பு = \( \frac{1}{2} \times \text{அடிப்பக்கம்} \times \text{உயரம்} \)
2	\( \frac{\text{பரப்பு}(\Delta ADE)}{\text{பரப்பு}(\Delta BDE)} = \frac{AD}{DB} \) ......(1)	மேலே உள்ளவற்றை வகுக்க.
3	பரப்பு(ΔADE) = \( \frac{1}{2} \times AE \times DM \) பரப்பு(ΔCDE) = \( \frac{1}{2} \times EC \times DM \)	பரப்பு = \( \frac{1}{2} \times \text{அடிப்பக்கம்} \times \text{உயரம்} \)
4	\( \frac{\text{பரப்பு}(\Delta ADE)}{\text{பரப்பு}(\Delta CDE)} = \frac{AE}{EC} \) ......(2)	மேலே உள்ளவற்றை வகுக்க.
5	பரப்பு(ΔBDE) = பரப்பு(ΔCDE) ......(3)	ஒரே அடிப்பக்கம் DE மற்றும் ஒரே இணைக்கோடுகளான BC மற்றும் DE க்கு இடையே அமைந்துள்ளன.
6	\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)	(1), (2) மற்றும் (3) லிருந்து. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.

38. (-9,0), (-8,6), (-1,-2) மற்றும் (-6,-3) என்ற புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை A(-9,0), B(-8,6), C(-1,-2), D(-6,-3) என எடுத்துக்கொள்வோம்.

நாற்கரத்தின் பரப்பு = \( \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{vmatrix} \)

= \( \frac{1}{2} \begin{vmatrix} -9 & -8 & -1 & -6 & -9 \\ 0 & 6 & -2 & -3 & 0 \end{vmatrix} \)

= \( \frac{1}{2} | ((-9)(6) + (-8)(-2) + (-1)(-3) + (-6)(0)) - ((-8)(0) + (-1)(6) + (-6)(-2) + (-9)(-3)) | \)

= \( \frac{1}{2} | (-54 + 16 + 3 + 0) - (0 - 6 + 12 + 27) | \)

= \( \frac{1}{2} | (-35) - (33) | \)

= \( \frac{1}{2} | -68 | \)

= \( \frac{1}{2} (68) = 34 \)

நாற்கரத்தின் பரப்பு = 34 சதுர அலகுகள்.

39. பிதாகரஸ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தாமல் (1,-4), (2,-3) மற்றும் (4,-7) என்ற முனைப் புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும் எனக்காட்டுக.

தீர்வு:

A(1, -4), B(2, -3), C(4, -7) என்பன முக்கோணத்தின் முனைப் புள்ளிகள் என்க.

இரண்டு கோடுகள் செங்குத்தாக இருந்தால், அவற்றின் சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் -1 ஆக இருக்கும் (m₁ * m₂ = -1).

AB இன் சாய்வு (m₁) = \( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - (-4)}{2 - 1} = \frac{1}{1} = 1 \)

BC இன் சாய்வு (m₂) = \( \frac{-7 - (-3)}{4 - 2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

AC இன் சாய்வு (m₃) = \( \frac{-7 - (-4)}{4 - 1} = \frac{-3}{3} = -1 \)

இப்பொழுது சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலனைக் காண்போம்:

m₁ × m₃ = (1) × (-1) = -1

AB இன் சாய்வு மற்றும் AC இன் சாய்வு ஆகியவற்றின் பெருக்கற்பலன் -1 என்பதால், AB ⊥ AC.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை அமைக்கும்.

40. (1,-4) என்ற புள்ளிவழிச் செல்வதும், வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் 2 : 5 உடைய நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டினைக் காண்க.

தீர்வு:

வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் 2 : 5.

எனவே, x-வெட்டுத்துண்டு (a) = 2k மற்றும் y-வெட்டுத்துண்டு (b) = 5k என்க.

வெட்டுத்துண்டு வடிவில் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு: \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)

\( \frac{x}{2k} + \frac{y}{5k} = 1 \) ......(1)

இந்தக் கோடு (1, -4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்கிறது. எனவே, x=1, y=-4 என சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட:

\( \frac{1}{2k} + \frac{-4}{5k} = 1 \)

\( \frac{1}{2k} - \frac{4}{5k} = 1 \)

பொதுப் பகுதி 10k ஐ எடுக்க:

\( \frac{5 - 8}{10k} = 1 \)

\( \frac{-3}{10k} = 1 \)

-3 = 10k

k = \( \frac{-3}{10} \)

k யின் மதிப்பை சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட:

\( \frac{x}{2(\frac{-3}{10})} + \frac{y}{5(\frac{-3}{10})} = 1 \)

\( \frac{x}{\frac{-6}{10}} + \frac{y}{\frac{-15}{10}} = 1 \)

\( \frac{10x}{-6} + \frac{10y}{-15} = 1 \)

\( \frac{-5x}{3} - \frac{2y}{3} = 1 \)

3 ஆல் பெருக்க:

-5x - 2y = 3

5x + 2y + 3 = 0 என்பது தேவையான சமன்பாடு ஆகும்.

41. \( \sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} = \sec\theta + \tan\theta \) என்பதை நிறுவுக. (குறிப்பு: கேள்வியில் பிழை உள்ளது, சரியான கேள்வி மாற்றியமைக்கப்பட்டுள்ளது)

தீர்வு:

LHS = \( \sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} \)

பகுதி மற்றும் தொகுதியை \( (1+\sin\theta) \) ஆல் பெருக்க,

\( = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}} = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}} \)

\( = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta} \)

\( = \frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta + \tan\theta = \text{RHS} \)

நிரூபிக்கப்பட்டது.

கேள்வியில் கொடுக்கப்பட்ட \( \sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} + \sqrt{\frac{1-\sin\theta}{1+\sin\theta}} = 2\sec\theta \) முற்றொருமையும் இதே வழியில் நிறுவலாம்.

42. A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக்குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும் C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில் (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) என்பதைச் சரிபார்க்க.

தீர்வு (கட்டாய வினா):

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B = {2, 3, 5, 7}

C = {2} (2 மட்டுமே இரட்டைப்படை பகா எண்)

LHS: (A ∩ B) × C

A ∩ B = {2, 3, 5, 7}

(A ∩ B) × C = {2, 3, 5, 7} × {2} = {(2,2), (3,2), (5,2), (7,2)} --- (1)

RHS: (A × C) ∩ (B × C)

A × C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {2} = {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)}

B × C = {2, 3, 5, 7} × {2} = {(2,2), (3,2), (5,2), (7,2)}

(A × C) ∩ (B × C) = {(2,2), (3,2), (5,2), (7,2)} --- (2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS.

சரிபார்க்கப்பட்டது.

பகுதி - ஈ

(2 x 8 = 16)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி.

43. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 7/3 என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி 7/3 > 1) (அல்லது)
ஆ) அடிப்பக்கம் BC = 8 செ.மீ, ∠A = 60° மற்றும் ∠A யின் இருசமவெட்டியானது BC ஐ D என்ற புள்ளியில் BD = 6 செ.மீ என்றவாறு சந்திக்கிறது எனில் முக்கோணம் ABC வரைக.

தீர்வு:

(அ) வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவு காரணி 7/3 > 1)

வரைமுறை:

Steps of Construction:

Since the scale factor is \(\frac{7}{3}\), which is greater than 1, the new triangle will be larger than the original triangle PQR.

1. Draw a triangle PQR with any suitable measurements.
2. Draw a ray QX making an acute angle with QR, on the side opposite to vertex P.
3. Locate 7 points \(Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6, Q_7\) on the ray QX such that the distances between them are equal (\(QQ_1 = Q_1Q_2 = \dots = Q_6Q_7\)).
4. Join \(Q_3\) (the 3rd point, as 3 is the denominator) to R.
5. Draw a line through \(Q_7\) parallel to \(Q_3R\). This line will intersect the extended line segment QR at a point R'.
6. Draw a line through R' parallel to PR. This line will intersect the extended line segment QP at a point P'.
7. \(\triangle P'QR'\) is the required similar triangle, with each side being \(\frac{7}{3}\) times the corresponding side of \(\triangle PQR\).

1. ஏதேனும் ஓர் முக்கோணம் PQR வரைக.
2. QR என்ற பக்கத்திற்கு 60° குறுங்கோணம் உண்டாகுமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
3. அளவு காரணியில் பெரிய எண் 7 என்பதால், QX இல் Q₁, Q₂, ..., Q₇ என 7 சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக.
4. அளவு காரணியில் சிறிய எண் 3 என்பதால், Q₃R ஐ இணைக்கவும்.
5. Q₇ இலிருந்து Q₃R க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QR-ஐ நீட்டிக்கும்போது R' இல் சந்திக்கட்டும்.
6. R' இலிருந்து PR க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது PQ-ஐ நீட்டிக்கும்போது P' இல் சந்திக்கட்டும்.
7. ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

(ஆ) முக்கோணம் ABC வரைதல்

வரைமுறை:

Steps of Construction:

1. BC = 8 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. B இல், ∠CBE = 60° வரைக.
3. BE க்கு செங்குத்தாக BF வரைக.
4. BC இன் மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது BC ஐ M இல் சந்திக்கட்டும்.
5. மையக்குத்துக்கோடும், BF உம் சந்திக்கும் புள்ளி O.
6. O வை மையமாகவும் OB ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
7. M இலிருந்து, BD = 6 செ.மீ என அளந்து D என்ற புள்ளியைக் குறிக்க.
8. BC இன் மையக்குத்துக்கோடு வட்டத்தை I இல் சந்திக்கட்டும்.
9. ID ஐ இணைத்து, வட்டத்தை A இல் சந்திக்குமாறு நீட்டுக.
10. AB மற்றும் AC ஐ இணைக்கவும். ΔABC என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

44. அ) வர்ஷிகா வெவ்வேறு அளவுகளில் 6 வட்டங்களை வரைந்தாள். அட்டவணையில் உள்ளவாறு ஒவ்வொரு வட்டத்தின் விட்டத்திற்கும் அதன் சுற்றளவிற்கும் உள்ள தோராயத் தொடர்புக்கு ஒரு வரைபடம் வரையவும். அதனைப் பயன்படுத்தி விட்டமானது 6 செ.மீ ஆக இருக்கும் போது வட்டத்தின் சுற்றளவு காண்க.

விட்டம் (x) செ.மீ	1	2	3	4	5
சுற்றளவு (y) செ.மீ	3.1	6.2	9.3	12.4	15.5

(அல்லது)

ஆ) xy = 24, x, y > 0 என்ற வரைபடத்தை வரைக. வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி i) x = 3 எனில் y-ஐக் காண்க மற்றும் ii) y = 6 எனில் x - ஐக் காண்க.

தீர்வு:

Detailed Explanation

(அ) நேர் மாறுபாடு வரைபடம்

1. அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகள் (1, 3.1), (2, 6.2), (3, 9.3), (4, 12.4), (5, 15.5).
2. X அச்சில் விட்டம், Y அச்சில் சுற்றளவு என எடுத்துக்கொண்டு அளவுத்திட்டம் எழுதவும் (X அச்சு: 1 செ.மீ = 1 அலகு, Y அச்சு: 1 செ.மீ = 2 அலகுகள்).
3. புள்ளிகளைக் குறித்து அவற்றை இணைத்தால், ஆதி வழிச் செல்லும் ஒரு நேர்க்கோடு கிடைக்கும். இது ஒரு நேர் மாறுபாடு.
4. வரைபடத்தில், x = 6 என்ற நேர்க்கோடு வரைந்து அது வரைபடக் கோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து y அச்சுக்கு ஒரு கிடைமட்டக்கோடு வரைக.
5. அந்தக் கோடு y-அச்சை சந்திக்கும் இடம் தோராயமாக 18.6 ஆக இருக்கும்.
6. விடை: விட்டம் 6 செ.மீ எனில், சுற்றளவு தோராயமாக 18.6 செ.மீ ஆகும். (கணிதமுறைப்படி, y = 3.1x, y = 3.1 * 6 = 18.6).

(ஆ) எதிர் மாறுபாடு வரைபடம்

1. xy = 24. இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு. இதன் வரைபடம் ஒரு செவ்வக அதிபரவளையம்.
2. புள்ளிகளைக் கண்டறிய அட்டவணை உருவாக்குக: (1,24), (2,12), (3,8), (4,6), (6,4), (8,3), (12,2).
3. X, Y அச்சுகளில் பொருத்தமான அளவுத்திட்டம் எடுத்துக்கொண்டு புள்ளிகளைக் குறித்து, அவற்றை மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்க.
4. i) x = 3 எனில் y-ஐக் காண: வரைபடத்தில் x = 3 என்ற செங்குத்துக்கோடு வரைந்து அது வளைவரையை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து y அச்சுக்கு கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது y = 8 இல் சந்திக்கும். விடை: y = 8.
5. ii) y = 6 எனில் x-ஐக் காண: வரைபடத்தில் y = 6 என்ற கிடைமட்டக்கோடு வரைந்து அது வளைவரையை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து x அச்சுக்கு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது x = 4 இல் சந்திக்கும். விடை: x = 4.

*******