10th Maths Quarterly Exam 2024 Question Paper with Solutions | Mayiladuthurai District | Samacheer Kalvi

10th Maths Quarterly Exam 2024 Question Paper with Solutions | Mayiladuthurai District

பகுதி - அ (Part - A)

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக. (14 x 1 = 14)

1. A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில் n[(A ∪ C) x B] ஆனது

• அ) 8
• ஆ) 20
• இ) 12
• ஈ) 16

விடை: இ) 12

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட கணங்கள்:

\( A = \{a, b, p\} \)

\( B = \{2, 3\} \)

\( C = \{p, q, r, s\} \)

முதலில், A ∪ C ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

\( A \cup C = \{a, b, p\} \cup \{p, q, r, s\} = \{a, b, p, q, r, s\} \)

இப்போது, கணங்களின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவோம்:

\( n(A \cup C) = 6 \)

\( n(B) = 2 \)

n[(A ∪ C) x B] ஐக் கணக்கிட, கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் பண்பைப் பயன்படுத்துவோம்:

\( n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B) \)

\( = 6 \times 2 = 12 \)

2. f(x) = (x + 1)³ - (x - 1)³ குறிப்பிடும் சார்பானது

• அ) நேரிய சார்பு
• ஆ) ஒரு கனச்சார்பு
• இ) தலைகீழ்ச் சார்பு
• ஈ) இருபடிச் சார்பு

விடை: ஈ) இருபடிச் சார்பு

தீர்வு:

f(x) = (x + 1)³ - (x - 1)³

நாம் \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) மற்றும் \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்.

\( (x+1)^3 = x^3 + 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)

\( (x-1)^3 = x^3 - 3(x^2)(1) + 3(x)(1^2) - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \)

இப்போது, f(x) ஐக் கணக்கிடுவோம்:

\( f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \)

\( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \)

\( f(x) = (x^3 - x^3) + (3x^2 + 3x^2) + (3x - 3x) + (1 + 1) \)

\( f(x) = 6x^2 + 2 \)

இது \(ax^2+bx+c\) என்ற வடிவில் உள்ளதால், இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.

3. n(A) = p, n(B) = q எனில் A யிலிருந்து B க்கு கிடைக்கும் மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கையானது

• அ) \(p^q\)
• ஆ) \(q^p\)
• இ) \(2^{pq}-1\)
• ஈ) \(2^{pq}\)

விடை: ஈ) \(2^{pq}\)

தீர்வு:

ஒரு கணத்திலிருந்து மற்றொரு கணத்திற்கு உள்ள உறவு என்பது அவற்றின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் उपகணமாகும்.

n(A) = p மற்றும் n(B) = q எனில்,

A x B என்ற கணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை:

\( n(A \times B) = n(A) \times n(B) = pq \)

A x B இன் மொத்த उपகணங்களின் எண்ணிக்கை, A இலிருந்து B க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம்.

ஒரு கணத்தில் 'n' உறுப்புகள் இருந்தால், அதன் மொத்த उपகணங்களின் எண்ணிக்கை \(2^n\).

இங்கு \( n(A \times B) = pq \) என்பதால், மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{pq}\).

4. 1729 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்

• அ) 1
• ஆ) 2
• இ) 3
• ஈ) 4

விடை: இ) 3

தீர்வு:

1729 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்துவோம்.

1729 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும்:

\( 1729 \div 7 = 247 \)

247 ஆனது 13 ஆல் வகுபடும்:

\( 247 \div 13 = 19 \)

19 ஒரு பகா எண்.

எனவே, 1729 இன் பகாக் காரணிகள் \( 7 \times 13 \times 19 \).

இதை அடுக்குகள் வடிவில் எழுதினால்:

\( 1729 = 7^1 \times 13^1 \times 19^1 \)

அடுக்குகளின் கூடுதல் = 1 + 1 + 1 = 3.

5. ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16-வது உறுப்பு m எனில், அந்தக் கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல்

• அ) 16 m
• ஆ) 62 m
• இ) 31 m
• ஈ) \( \frac{31}{2}m \)

விடை: இ) 31 m

தீர்வு:

ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \(n = 31\).

16-வது உறுப்பு, \(t_{16} = m\).

\( t_{16} = a + (16-1)d = a + 15d = m \).

கூட்டுத் தொடரின் கூடுதல் சூத்திரம்: \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \).

இங்கு \( n = 31 \):

\( S_{31} = \frac{31}{2}[2a + (31-1)d] \)

\( S_{31} = \frac{31}{2}[2a + 30d] \)

\( S_{31} = \frac{31}{2} \times 2(a + 15d) \)

\( S_{31} = 31(a + 15d) \)

நமக்கு \( a + 15d = m \) என்று தெரியும். அதை பிரதியிட:

\( S_{31} = 31m \).

மாற்று முறை: ஒரு கூட்டுத் தொடரில் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் உறுப்புகள் இருந்தால், அதன் கூடுதல் = (உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை) x (நடு உறுப்பு).

இங்கு 31 உறுப்புகள் உள்ளன, நடு உறுப்பு \( \frac{31+1}{2} = 16 \)-வது உறுப்பு ஆகும். நடு உறுப்பு m.

கூடுதல் = \( 31 \times m = 31m \).

6. \((1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 15^3) - (1 + 2 + 3 + ... + 15)\) யின் மதிப்பு

• அ) 14400
• ஆ) 14200
• இ) 14280
• ஈ) 14520

விடை: இ) 14280

தீர்வு:

முதல் n இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல்: \( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \)

முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல்: \( \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \)

இங்கு n = 15.

\( 1^3 + 2^3 + ... + 15^3 = \left( \frac{15(15+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{15 \times 16}{2} \right)^2 = (15 \times 8)^2 = 120^2 = 14400 \)

\( 1 + 2 + ... + 15 = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120 \)

தேவையான மதிப்பு = 14400 - 120 = 14280.

7. \( \frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2} \) என்பது

• அ) \( \frac{9y}{7} \)
• ஆ) \( \frac{9y^3}{(21y-21)} \)
• இ) \( \frac{21y^2-42y+21}{3y^3} \)
• ஈ) \( \frac{7(y^2-2y+1)}{y^2} \)

விடை: அ) \( \frac{9y}{7} \)

தீர்வு:

\( \frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2} \)

வகுத்தலை பெருக்கலாக மாற்ற, இரண்டாவது பின்னத்தின் தலைகீழியைப் பயன்படுத்தவும்:

\( = \frac{3y-3}{y} \times \frac{3y^2}{7y-7} \)

பொதுவான காரணிகளை வெளியே எடுக்கவும்:

\( = \frac{3(y-1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y-1)} \)

பொதுவான காரணிகளான (y-1) மற்றும் y ஐ நீக்கவும்:

\( = \frac{3 \times 3y}{7} = \frac{9y}{7} \)

8. \( \frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6} \) யின் வர்க்கமூலம்

• அ) \( \frac{16}{5} \frac{x^2z^4}{y^2} \)
• ஆ) \( \frac{16}{5} \left| \frac{y^2}{x^2z^4} \right| \)
• இ) \( \frac{16}{5} \left| \frac{y}{xz^2} \right| \)
• ஈ) \( \frac{16}{5} \frac{xz^2}{|y|} \)

விடை: ஈ) \( \frac{16}{5} \frac{xz^2}{|y|} \) (கேள்வித்தாளில் \( \frac{16}{5} \frac{xz^2}{y} \) என உள்ளது)

தீர்வு:

முதலில் கோவையைச் சுருக்குவோம்:

\( \frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6} = \frac{256}{25} x^{8-6} y^{4-6} z^{10-6} \)

\( = \frac{256}{25} x^2 y^{-2} z^4 = \frac{256x^2z^4}{25y^2} \)

இப்போது வர்க்கமூலம் எடுக்கவும்:

\( \sqrt{\frac{256x^2z^4}{25y^2}} = \frac{\sqrt{256} \sqrt{x^2} \sqrt{z^4}}{\sqrt{25} \sqrt{y^2}} \)

\( = \frac{16 |x| z^2}{5 |y|} \)

வழக்கமாக நேர்மறை மதிப்புகளைக் கருதுவதால், பதில் \( \frac{16xz^2}{5y} \) என எழுதப்படுகிறது. சரியான குறியீடு \( \frac{16}{5} \frac{xz^2}{|y|} \) ஆகும்.

9. \( (2x-1)^2 = 9 \) யின் தீர்வு

• அ) -1
• ஆ) 2
• இ) -1, 2
• ஈ) இதில் எதுவும் இல்லை

விடை: இ) -1, 2

தீர்வு:

\( (2x-1)^2 = 9 \)

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் எடுக்க:

\( 2x-1 = \pm\sqrt{9} \)

\( 2x-1 = \pm 3 \)

இரண்டு நேர்வுகள் உள்ளன:

நேர்வு 1: \( 2x-1 = 3 \)

\( 2x = 3+1 = 4 \)

\( x = \frac{4}{2} = 2 \)

நேர்வு 2: \( 2x-1 = -3 \)

\( 2x = -3+1 = -2 \)

\( x = \frac{-2}{2} = -1 \)

ஆகவே, தீர்வுகள் x = 2 மற்றும் x = -1.

10. ΔABC யில் DE||BC, AB = 3.6 செ.மீ, AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில் AE யின் நீளம்

• அ) 1.4 செ.மீ
• ஆ) 1.8 செ.மீ
• இ) 1.2 செ.மீ
• ஈ) 1.05 செ.மீ

விடை: அ) 1.4 செ.மீ

தீர்வு:

ΔABC யில், DE || BC.

அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின்படி (தேல்ஸ் தேற்றம்),

\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

\( \frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4} \)

\( AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} \)

\( AE = \frac{5.04}{3.6} = \frac{50.4}{36} = 1.4 \)

எனவே, AE = 1.4 செ.மீ.

11. 3x - y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி

• அ) (5,3)
• ஆ) (2,4)
• இ) (3,5)
• ஈ) (4,4)

விடை: இ) (3,5)

தீர்வு:

சமன்பாடு 1: \( 3x - y = 4 \)

சமன்பாடு 2: \( x + y = 8 \)

இரண்டு சமன்பாடுகளையும் கூட்டவும்:

\( (3x - y) + (x + y) = 4 + 8 \)

\( 4x = 12 \)

\( x = 3 \)

x = 3 ஐ சமன்பாடு 2 இல் பிரதியிட:

\( 3 + y = 8 \)

\( y = 8 - 3 = 5 \)

சந்திக்கும் புள்ளி (3, 5).

12. சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை

• அ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள்
• ஆ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள் மற்றும் நீளங்கள்
• இ) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்
• ஈ) அனைத்துப் பக்கங்களின் நீளங்கள்

விடை: இ) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்

தீர்வு:

ஒரு நாற்கரம் இணைகரமாக இருக்க, அதன் இரு சோடி எதிர் பக்கங்களும் இணையாக இருக்க வேண்டும்.

இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருந்தால், அவற்றின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்கும்.

எனவே, நாற்கரத்தின் இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள் சமம் என நிரூபித்தால், அது ஒரு இணைகரம் ஆகும்.

13. (-2,0), (0,-2), (2,0) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு

• அ) 0 ச.அலகுகள்
• ஆ) 4 ச.அலகுகள்
• இ) 2 ச.அலகுகள்
• ஈ) எதுவுமில்லை

விடை: ஆ) 4 ச.அலகுகள் (தீர்வில் 8 ச.அலகுகள் வருகிறது, கேள்வி அல்லது விருப்பங்களில் பிழை இருக்கலாம்)

தீர்வு:

முக்கோணத்தின் பரப்புக்கான சூத்திரம்:

\( \text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \)

புள்ளிகள்: \( (x_1, y_1) = (-2, 0) \), \( (x_2, y_2) = (0, -2) \), \( (x_3, y_3) = (2, 0) \)

\( \text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-2-0) + 0(0-0) + 2(0-(-2))| \)

\( \text{Area} = \frac{1}{2} |-2(-2) + 0 + 2(2)| \)

\( \text{Area} = \frac{1}{2} |4 + 4| = \frac{1}{2} |8| = 4 \)

பரப்பு = 4 சதுர அலகுகள்.

குறிப்பு: கேள்வித்தாளில் கொடுக்கப்பட்ட விடை சரி. கணக்கீட்டில் தவறு இல்லை.

14. \( (\sin\alpha + \csc\alpha)^2 + (\cos\alpha + \sec\alpha)^2 = k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \) எனில் k-ன் மதிப்பு

• அ) 9
• ஆ) 7
• இ) 5
• ஈ) 3

விடை: ஆ) 7

தீர்வு:

LHS = \( (\sin\alpha + \csc\alpha)^2 + (\cos\alpha + \sec\alpha)^2 \)

விரிவுபடுத்தவும்:

\( = (\sin^2\alpha + \csc^2\alpha + 2\sin\alpha\csc\alpha) + (\cos^2\alpha + \sec^2\alpha + 2\cos\alpha\sec\alpha) \)

நமக்கு \( \sin\alpha\csc\alpha = 1 \) மற்றும் \( \cos\alpha\sec\alpha = 1 \) எனத் தெரியும்.

\( = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \csc^2\alpha + \sec^2\alpha + 2(1) + 2(1) \)

\( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \) ஐ பிரதியிட:

\( = 1 + \csc^2\alpha + \sec^2\alpha + 4 \)

முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தவும்: \( \csc^2\alpha = 1 + \cot^2\alpha \) மற்றும் \( \sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha \).

\( = 5 + (1 + \cot^2\alpha) + (1 + \tan^2\alpha) \)

\( = 7 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \)

RHS உடன் ஒப்பிட: \( k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha \)

எனவே, k = 7.

பகுதி - ஆ (Part - B)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 28 கட்டாய வினா) (10 x 2 = 20)

15. A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)} எனில் A மற்றும் B ஐக் காண்க.

தீர்வு:

A x B என்பது A மற்றும் B கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ஆகும்.

கணம் A என்பது வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள முதல் உறுப்புகளின் கணம்.

A = {3, 5}

கணம் B என்பது வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்.

B = {2, 4}

16. X = {1,2,3,4}, Y = {2,4,6,8,10} மற்றும் R = {(1,2),(2,4), (3,6), (4,8)} எனில் R ஆனது ஒரு சார்பு எனக்காட்டுக. மேலும் அதன் மதிப்பகம், துணை மதிப்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் காண்க.

தீர்வு:

சார்பு எனக்காட்டுதல்:

R என்ற உறவில், X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் Y இல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது.

• 1-ன் நிழல் உரு 2
• 2-ன் நிழல் உரு 4
• 3-ன் நிழல் உரு 6
• 4-ன் நிழல் உரு 8

X இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் தனித்த நிழல் உரு Y இல் இருப்பதால், R ஒரு சார்பு ஆகும்.

மதிப்பகம் (Domain): X இல் உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கணம்.

மதிப்பகம் = {1, 2, 3, 4}

துணை மதிப்பகம் (Co-domain): Y கணம் முழுவதும்.

துணை மதிப்பகம் = {2, 4, 6, 8, 10}

வீச்சகம் (Range): நிழல் உருக்களின் கணம்.

வீச்சகம் = {2, 4, 6, 8}

17. 9, 3, 1, ...... என்ற பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 8-வது உறுப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட பெருக்குத் தொடர் வரிசை (GP): 9, 3, 1, ...

முதல் உறுப்பு, a = 9

பொது விகிதம், \( r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)

ஒரு GP-யின் n-வது உறுப்பு: \( t_n = ar^{n-1} \)

8-வது உறுப்பைக் காண, n = 8:

\( t_8 = 9 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{8-1} = 9 \times \left(\frac{1}{3}\right)^7 \)

\( t_8 = 3^2 \times \frac{1}{3^7} = \frac{1}{3^{7-2}} = \frac{1}{3^5} \)

\( t_8 = \frac{1}{243} \)

18. மீ.சி.ம. காண்க: \(5x – 10, 5x^2 – 20\)

தீர்வு:

முதல் கோவையை காரணிப்படுத்துக:

\(5x - 10 = 5(x - 2)\)

இரண்டாவது கோவையை காரணிப்படுத்துக:

\(5x^2 - 20 = 5(x^2 - 4)\)

இங்கு \( (a^2 - b^2) = (a+b)(a-b) \) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த,

\( = 5(x-2)(x+2) \)

மீ.சி.ம (LCM) என்பது அனைத்து காரணிகளின் உயர்ந்தபட்ச அடுக்கின் பெருக்கற்பலன் ஆகும்.

காரணிகள்: 5, (x-2), (x+2)

மீ.சி.ம = \(5(x-2)(x+2) = 5(x^2 - 4)\)

19. சுருக்குக: \( \frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4} \)

தீர்வு:

\( \frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4} \)

எண்களைத் தனியாகவும், மாறிகளைத் தனியாகவும் பெருக்குவோம்:

\( = \left(\frac{4 \times 6}{2 \times 20}\right) \times \left(\frac{x^2 \times x}{1}\right) \times \left(\frac{y}{y^4}\right) \times \left(\frac{z^3}{z^2}\right) \)

\( = \left(\frac{24}{40}\right) \times (x^{2+1}) \times (y^{1-4}) \times (z^{3-2}) \)

\( = \frac{3}{5} \times x^3 \times y^{-3} \times z^1 \)

\( = \frac{3x^3z}{5y^3} \)

20. படம் ΔABC ல் ∠A ன் இருசமவெட்டி AD ஆகும். BD = 4 செ.மீ, DC = 3 செ.மீ மற்றும் AB = 6 செ.மீ எனில் AC யைக் காண்க.

தீர்வு:

கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி (Angle Bisector Theorem), ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை மற்ற இரு பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

அதன்படி, \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

\( \frac{6}{AC} = \frac{4}{3} \)

\( AC = \frac{6 \times 3}{4} = \frac{18}{4} = 4.5 \)

எனவே, AC = 4.5 செ.மீ.

21. 6 மீ உயரமுள்ள செங்குத்தாக நிற்கும் கம்பமானது தரையில் 400 செ.மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. ஒரு கோபுரமானது 28 மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. கம்பம் மற்றும் கோபுரம் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைவதாகக் கருதி வடிவொத்த தன்மையைப் பயன்படுத்தி, கோபுரத்தின் உயரம் காண்க.

தீர்வு:

கம்பம் மற்றும் அதன் நிழல், கோபுரம் மற்றும் அதன் நிழல் ஆகியவை இரு வடிவொத்த செங்கோண முக்கோணங்களை உருவாக்குகின்றன.

கம்பத்தின் உயரம் (h₁) = 6 மீ

கம்பத்தின் நிழல் (s₁) = 400 செ.மீ = 4 மீ

கோபுரத்தின் உயரம் (h₂) = ?

கோபுரத்தின் நிழல் (s₂) = 28 மீ

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி,

\( \frac{\text{உயரம்}}{\text{நிழல்}} \) விகிதம் சமமாக இருக்கும்.

\( \frac{h_1}{s_1} = \frac{h_2}{s_2} \)

\( \frac{6}{4} = \frac{h_2}{28} \)

\( h_2 = \frac{6 \times 28}{4} = 6 \times 7 = 42 \)

எனவே, கோபுரத்தின் உயரம் 42 மீ ஆகும்.

22. P(-1.5,3), Q(6,-2) மற்றும் R(-3,4) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக்காட்டுக.

தீர்வு:

புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையுமானால், PQ-ன் சாய்வும் QR-ன் சாய்வும் சமமாக இருக்கும்.

சாய்வு સૂત્રం: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

PQ-ன் சாய்வு:

\( m_{PQ} = \frac{-2 - 3}{6 - (-1.5)} = \frac{-5}{6 + 1.5} = \frac{-5}{7.5} = \frac{-5}{15/2} = \frac{-10}{15} = -\frac{2}{3} \)

QR-ன் சாய்வு:

\( m_{QR} = \frac{4 - (-2)}{-3 - 6} = \frac{4+2}{-9} = \frac{6}{-9} = -\frac{2}{3} \)

PQ-ன் சாய்வும் QR-ன் சாய்வும் சமமாக இருப்பதால், P, Q, மற்றும் R ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.

23. (-6,1) மற்றும் (14,10) என்ற புள்ளிகளுக்கு சாய்வு காண்க.

தீர்வு:

சாய்வு સૂત્રం: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

இங்கே \( (x_1, y_1) = (-6, 1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) = (14, 10) \)

\( m = \frac{10 - 1}{14 - (-6)} = \frac{9}{14 + 6} = \frac{9}{20} \)

எனவே, சாய்வு \( \frac{9}{20} \) ஆகும்.

24. 2x + 3y - 8 = 0, 4x + 6y + 18 = 0 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் இணை எனக்காட்டுக.

தீர்வு:

இரண்டு கோடுகள் இணையாக இருக்க, அவற்றின் சாய்வுகள் சமமாக இருக்க வேண்டும்.

ஒரு கோட்டின் சமன்பாடு Ax + By + C = 0 எனில், அதன் சாய்வு \( m = -\frac{A}{B} \).

முதல் கோடு (2x + 3y - 8 = 0) இன் சாய்வு:

\( m_1 = -\frac{2}{3} \)

இரண்டாவது கோடு (4x + 6y + 18 = 0) இன் சாய்வு:

\( m_2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \)

இங்கு \( m_1 = m_2 \) என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடுகள் இணை ஆகும்.

25. கொடுக்கப்பட்ட சார்பு f: x → x² - 5x + 6, எனில் i) f(-1) ii) f(2) ன் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

f(x) = x² - 5x + 6

i) f(-1) இன் மதிப்பு:

\( f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 \)

ii) f(2) இன் மதிப்பு:

\( f(2) = (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \)

26. 13824 = 2ᵃ × 3ᵇ எனில் a மற்றும் b யின் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

13824 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்துவோம்:

\( 13824 = 2 \times 6912 \)

\( = 2^2 \times 3456 \)

\( = 2^3 \times 1728 \)

\( = 2^4 \times 864 \)

\( = 2^5 \times 432 \)

\( = 2^6 \times 216 \)

\( = 2^7 \times 108 \)

\( = 2^8 \times 54 \)

\( = 2^9 \times 27 \)

\( = 2^9 \times 3^3 \)

எனவே, \( 13824 = 2^9 \times 3^3 \). இதை \( 2^a \times 3^b \) உடன் ஒப்பிட,

a = 9 மற்றும் b = 3.

27. \( \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} = \csc\theta + \cot\theta \) என்பதை நிரூபிக்கவும். (கேள்வியில் பிழை இருக்கலாம், சரியான வடிவம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது)

தீர்வு:

LHS = \( \sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} \)

தொகுதி மற்றும் பகுதியை \( (1+\cos\theta) \) ஆல் பெருக்கவும்:

\( = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)(1+\cos\theta)}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}} \)

\( = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1 - \cos^2\theta}} \)

நமக்கு \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \), எனவே \( \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta \)

\( = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}} \)

\( = \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} \)

\( = \frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \)

\( = \csc\theta + \cot\theta = \) RHS

எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

28. 1 + 3 + 5 + ... + 51 ன் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

இது ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசை (AP).

முதல் உறுப்பு, a = 1

பொது வித்தியாசம், d = 3 - 1 = 2

கடைசி உறுப்பு, l = 51

முதலில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை (n) காண்போம்:

\( l = a + (n-1)d \)

\( 51 = 1 + (n-1)2 \)

\( 50 = (n-1)2 \)

\( 25 = n-1 \implies n = 26 \)

கூடுதல் \( S_n = \frac{n}{2}(a+l) \)

\( S_{26} = \frac{26}{2}(1+51) = 13 \times 52 = 676 \)

மாற்று முறை: முதல் n ஒற்றை எண்களின் கூடுதல் \( n^2 \). இங்கு 26 ஒற்றை எண்கள் உள்ளன. எனவே, கூடுதல் = \( 26^2 = 676 \).

பகுதி - இ (Part - C)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 42 கட்டாய வினா) (10 x 5 = 50)

29. f: A → B என்ற சார்பானது f(x) = x/2 - 1 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2,4,6,10,12}, B = {0,1,2,4,5,9} ஆக இருக்கும் போது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க. (i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (ii) அட்டவணை (iii) அம்புக்குறி படம் (iv) வரைபடம்

தீர்வு:

f(x) = x/2 - 1

f(2) = 2/2 - 1 = 1 - 1 = 0

f(4) = 4/2 - 1 = 2 - 1 = 1

f(6) = 6/2 - 1 = 3 - 1 = 2

f(10) = 10/2 - 1 = 5 - 1 = 4

f(12) = 12/2 - 1 = 6 - 1 = 5

(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:

f = {(2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5)}

(ii) அட்டவணை:

x	2	4	6	10	12
f(x)	0	1	2	4	5

(iii) அம்புக்குறி படம்:

(மாணவர்கள் A மற்றும் B கணங்களுக்கான வட்டங்களை வரைந்து, A-இலிருந்து B-க்கு அம்புக்குறிகளை வரைய வேண்டும்.)

A = {2, 4, 6, 10, 12} → B = {0, 1, 2, 4, 5, 9}

2 → 0, 4 → 1, 6 → 2, 10 → 4, 12 → 5

(iv) வரைபடம்:

(மாணவர்கள் ஒரு வரைபடத்தில் (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5) ஆகிய புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும்.)

30. f(x) = 3x + 1, g(x) = x + 3 ஆகியவை இரு சார்புகள். மேலும் gff(x) = fgg(x) எனில் X-ஐக் காண்க.

தீர்வு:

LHS = gff(x)

ff(x) = f(f(x)) = f(3x+1) = 3(3x+1) + 1 = 9x + 3 + 1 = 9x + 4

gff(x) = g(ff(x)) = g(9x+4) = (9x+4) + 3 = 9x + 7

RHS = fgg(x)

gg(x) = g(g(x)) = g(x+3) = (x+3) + 3 = x + 6

fgg(x) = f(gg(x)) = f(x+6) = 3(x+6) + 1 = 3x + 18 + 1 = 3x + 19

gff(x) = fgg(x)

9x + 7 = 3x + 19

9x - 3x = 19 - 7

6x = 12

x = 2

31. \( p_1^{x_1} \times p_2^{x_2} \times p_3^{x_3} \times p_4^{x_4} = 113400 \) இங்கு p₁, p₂, p₃, p₄ என்பன ஏறு வரிசையில் அமைந்த பகா எண்கள் மற்றும் x₁, x₂, x₃, x₄ என்பன முழுக்கள் எனில் p₁, p₂, p₃, p₄ மற்றும் x₁, x₂, x₃, x₄ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

113400 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்துவோம்:

\( 113400 = 1134 \times 100 \)

\( = 1134 \times 10^2 = 1134 \times (2 \times 5)^2 = 1134 \times 2^2 \times 5^2 \)

இப்போது 1134 ஐக் காரணிப்படுத்துவோம்:

\( 1134 = 2 \times 567 \)

\( 567 = 3 \times 189 = 3 \times 3 \times 63 = 3 \times 3 \times 3 \times 21 = 3^4 \times 7 \)

எனவே, \( 1134 = 2 \times 3^4 \times 7 \)

இதை பிரதியிட:

\( 113400 = (2 \times 3^4 \times 7) \times 2^2 \times 5^2 = 2^3 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1 \)

பகா எண்களை ஏறு வரிசையில் எழுத:

p₁=2, p₂=3, p₃=5, p₄=7

அவற்றின் அடுக்குகளை எழுத:

x₁=3, x₂=4, x₃=2, x₄=1

32. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. அந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

தீர்வு:

மொத்த பரப்பு = \( 10^2 + 11^2 + 12^2 + ... + 24^2 \)

முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் સૂત્રం: \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

தேவையான கூடுதல் = \( (1^2 + 2^2 + ... + 24^2) - (1^2 + 2^2 + ... + 9^2) \)

n = 24 எனில்,

\( S_{24} = \frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 4900 \)

n = 9 எனில்,

\( S_9 = \frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285 \)

மொத்த பரப்பு = \( S_{24} - S_9 = 4900 - 285 = 4615 \) சதுர செ.மீ.

33. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அடுத்தடுத்த நான்கு உறுப்புகளின் கூடுதல் 28 மற்றும் அவற்றின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் 276. அந்த நான்கு எண்களைக் காண்க.

தீர்வு:

நான்கு உறுப்புகளை \( a-3d, a-d, a+d, a+3d \) எனக்கொள்க.

கூடுதல்:

\( (a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 28 \)

\( 4a = 28 \implies a = 7 \)

வர்க்கங்களின் கூடுதல்:

\( (a-3d)^2 + (a-d)^2 + (a+d)^2 + (a+3d)^2 = 276 \)

\( (a^2-6ad+9d^2) + (a^2-2ad+d^2) + (a^2+2ad+d^2) + (a^2+6ad+9d^2) = 276 \)

\( 4a^2 + 20d^2 = 276 \)

a = 7 எனப் பிரதியிட,

\( 4(7^2) + 20d^2 = 276 \)

\( 4(49) + 20d^2 = 276 \)

\( 196 + 20d^2 = 276 \)

\( 20d^2 = 276 - 196 = 80 \)

\( d^2 = 4 \implies d = \pm 2 \)

d = 2 எனில், எண்கள்: 7-6, 7-2, 7+2, 7+6 ⇒ 1, 5, 9, 13

d = -2 எனில், எண்கள்: 7+6, 7+2, 7-2, 7-6 ⇒ 13, 9, 5, 1

தேவையான நான்கு எண்கள் 1, 5, 9, 13 ஆகும்.

34. \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழு வர்க்கம் என்பதால், அதன் வர்க்கமூலம் காணும்போது மீதி பூச்சியமாகும். வர்க்கமூலம் காணும் நீள்வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

\(3x^2 + 2x + 4\)	\(3x^2 + 2x + 4\)
	\(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\)
	\(9x^4\)
	(-)
\(6x^2+2x\)	\(12x^3 + 28x^2\)
	\(12x^3 + 4x^2\)
	(-)        (-)
\(6x^2+4x+4\)	\(24x^2 + ax + b\)
	\(24x^2 + 16x + 16\)
	(-)        (-)      (-)
	\( (a-16)x + (b-16) \)

பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழு வர்க்கம் என்பதால், மீதி பூச்சியமாகும்.

எனவே, \( (a-16)x + (b-16) = 0 \)

ஒத்த கெழுக்களை ஒப்பிட:

\( a - 16 = 0 \implies a = 16 \)

\( b - 16 = 0 \implies b = 16 \)

ஆகவே, a=16, b=16.

35. ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் மொத்த மதிப்பு ₹105 மற்றும் மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 12. முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளின் எண்ணிக்கையை இடமாற்றம் செய்தால் முந்தைய மதிப்பை விட ₹20 அதிகரிக்கிறது எனில், எத்தனை ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகள் உள்ளன?

தீர்வு:

₹5, ₹10, ₹20 நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை முறையே x, y, z என்க.

கொடுக்கப்பட்டவை:

மொத்த மதிப்பு: \(5x + 10y + 20z = 105\)

இதை 5 ஆல் வகுக்க: \(x + 2y + 4z = 21\) --- (1)

மொத்த எண்ணிக்கை: \(x + y + z = 12\) --- (2)

முதல் இருவகை நோட்டுகளை இடமாற்றம் செய்தால், புதிய மதிப்பு = பழைய மதிப்பு + 20.

புதிய மதிப்பு (\(10x + 5y + 20z\)) = பழைய மதிப்பு (\(5x + 10y + 20z\)) + 20

\(10x + 5y = 5x + 10y + 20\)

\(5x - 5y = 20 \implies x - y = 4\) --- (3)

சமன்பாடு (2) இலிருந்து (1) ஐக் கழிக்க:

\((x + 2y + 4z) - (x + y + z) = 21 - 12\)

\(y + 3z = 9 \implies y = 9 - 3z\) --- (4)

சமன்பாடு (3) இலிருந்து: \(x = y + 4\). இதில் y-ன் மதிப்பை பிரதியிட,

\(x = (9 - 3z) + 4 = 13 - 3z\)

x, y மதிப்புகளை சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட:

\((13 - 3z) + (9 - 3z) + z = 12\)

\(22 - 5z = 12\)

\(5z = 10 \implies z = 2\)

z=2 எனில், \(y = 9 - 3(2) = 9 - 6 = 3\)

z=2 எனில், \(x = 13 - 3(2) = 13 - 6 = 7\)

விடை: ₹5 நோட்டுகள் = 7, ₹10 நோட்டுகள் = 3, ₹20 நோட்டுகள் = 2.

36. அடிப்படை விகித சமத் தேற்றத்தை எழுதி நிரூபிக்க.

தீர்வு:

37. (8,6), (5,11), (-5,12) மற்றும் (-4,3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து கடிகார எதிர் திசையில் வரிசைப்படுத்துவோம்: A(-4,3), B(5,11), C(8,6), D(-5,12). (குறிப்பு: கேள்வியில் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையைப் பயன்படுத்தினால் எதிர்மறை மதிப்பு வரலாம், பரப்பளவு மிகை என்பதால் மட்டு மதிப்பு எடுக்க வேண்டும். வரிசை மாற்றி எடுப்பது குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும்.)

நாம் கொடுக்கப்பட்ட வரிசையிலேயே கணக்கிடுவோம்: A(8,6), B(5,11), C(-5,12), D(-4,3).

நாற்கரத்தின் பரப்பு = \( \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{matrix} \right| \)

= \( \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 5 & -5 & -4 & 8 \\ 6 & 11 & 12 & 3 & 6 \end{matrix} \right| \)

= \( \frac{1}{2} |((8)(11)+(5)(12)+(-5)(3)+(-4)(6)) - ((6)(5)+(11)(-5)+(12)(-4)+(3)(8)))| \)

= \( \frac{1}{2} |(88 + 60 - 15 - 24) - (30 - 55 - 48 + 24)| \)

= \( \frac{1}{2} |(148 - 39) - (54 - 103)| \)

= \( \frac{1}{2} |(109) - (-49)| \)

= \( \frac{1}{2} |109 + 49| = \frac{1}{2} |158| = 79 \)

எனவே, நாற்கரத்தின் பரப்பு 79 சதுர அலகுகள்.

38. ஒரு பூனை xy-தளத்தில் (-6,-4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5,11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால் புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக்குறுகிய தூரம் பயணித்து பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில், பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

மிகக்குறுகிய தூரம் என்பது இரண்டு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோடு ஆகும்.

புள்ளிகள் A(-6,-4) மற்றும் B(5,11).

இரு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு:

\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)

\( \frac{y - (-4)}{11 - (-4)} = \frac{x - (-6)}{5 - (-6)} \)

\( \frac{y + 4}{15} = \frac{x + 6}{11} \)

குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய,

\( 11(y + 4) = 15(x + 6) \)

\( 11y + 44 = 15x + 90 \)

\( 15x - 11y + 90 - 44 = 0 \)

\( 15x - 11y + 46 = 0 \)

தேவையான பாதையின் சமன்பாடு \(15x - 11y + 46 = 0\) ஆகும்.

39. A(3,-4), B(9,-4), C(5,-7) மற்றும் D(7,-7) ஆகிய புள்ளிகள் ABCD என்ற சரிவகத்தை அமைக்கும் எனக்காட்டுக. (கேள்வியில் D(7,-7) க்கு பதிலாக D(-7,-7) என இருந்தால் சரியான சரிவகம் அமையும், கொடுக்கப்பட்ட கேள்விக்கு தீர்வு காணப்பட்டுள்ளது.)

தீர்வு:

ஒரு நாற்கரத்தில் ஒரு சோடி எதிர்பக்கங்கள் இணையாக இருந்தால் அது ஒரு சரிவகம் ஆகும். சாய்வுகளைக் காண்போம்.

சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

AB-ன் சாய்வு (A(3,-4), B(9,-4)):

\( m_{AB} = \frac{-4 - (-4)}{9 - 3} = \frac{0}{6} = 0 \)

BC-ன் சாய்வு (B(9,-4), C(5,-7)):

\( m_{BC} = \frac{-7 - (-4)}{5 - 9} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \)

CD-ன் சாய்வு (C(5,-7), D(7,-7)):

\( m_{CD} = \frac{-7 - (-7)}{7 - 5} = \frac{0}{2} = 0 \)

DA-ன் சாய்வு (D(7,-7), A(3,-4)):

\( m_{DA} = \frac{-4 - (-7)}{3 - 7} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4} \)

இங்கு, AB-ன் சாய்வு = CD-ன் சாய்வு = 0. எனவே, AB || CD.

BC-ன் சாய்வு ≠ DA-ன் சாய்வு. எனவே, BC மற்றும் DA இணை அல்ல.

ஒரு சோடி எதிர்பக்கங்கள் (AB மற்றும் CD) இணையாக இருப்பதால், ABCD ஒரு சரிவகம் ஆகும்.

40. சுருக்குக: \( \frac{b^2 + 3b - 28}{b^2 + 4b + 4} \div \frac{b^2 - 49}{b^2 - 5b - 14} \)

தீர்வு:

முதலில் ஒவ்வொரு கோவையையும் காரணிப்படுத்துவோம்:

• \(b^2 + 3b - 28 = (b+7)(b-4)\)
• \(b^2 + 4b + 4 = (b+2)^2 = (b+2)(b+2)\)
• \(b^2 - 49 = (b+7)(b-7)\)
• \(b^2 - 5b - 14 = (b-7)(b+2)\)

இப்போது கோவையில் பிரதியிட:

\( \frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)(b+2)} \div \frac{(b+7)(b-7)}{(b-7)(b+2)} \)

வகுத்தலை பெருக்கலாக மாற்றி, இரண்டாவது பின்னத்தின் தலைகீழியை எடுக்கவும்:

\( = \frac{(b+7)(b-4)}{(b+2)(b+2)} \times \frac{(b-7)(b+2)}{(b+7)(b-7)} \)

பொதுவான காரணிகளை நீக்கவும்:

\( = \frac{\cancel{(b+7)}(b-4)}{(b+2)\cancel{(b+2)}} \times \frac{\cancel{(b-7)}\cancel{(b+2)}}{\cancel{(b+7)}\cancel{(b-7)}} \)

\( = \frac{b-4}{b+2} \)

41. நிரூபி: \( \frac{\sin^3 A + \cos^3 A}{\sin A + \cos A} + \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A - \cos A} = 2 \)

தீர்வு:

நாம் \( a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \) மற்றும் \( a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \) என்ற முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்துவோம்.

LHS = \( \frac{\sin^3 A + \cos^3 A}{\sin A + \cos A} + \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A - \cos A} \)

முதல் உறுப்பு:

\( \frac{(\sin A + \cos A)(\sin^2 A - \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A + \cos A} \)

\( = (\sin^2 A + \cos^2 A) - \sin A \cos A = 1 - \sin A \cos A \)

இரண்டாம் உறுப்பு:

\( \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \sin A \cos A + \cos^2 A)}{\sin A - \cos A} \)

\( = (\sin^2 A + \cos^2 A) + \sin A \cos A = 1 + \sin A \cos A \)

இரு உறுப்புகளையும் கூட்ட:

LHS = \( (1 - \sin A \cos A) + (1 + \sin A \cos A) \)

\( = 1 - \sin A \cos A + 1 + \sin A \cos A = 2 \)

LHS = 2 = RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

42. A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும் C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில் A x (B - C) = (A x B) – (A x C) ஐ சரிபார்.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட கணங்களை வரையறுப்போம்:

A = {8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்கள்} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B = {8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்} = {2, 3, 5, 7}

C = {இரட்டைப்படை பகா எண்கள்} = {2}

LHS = A x (B - C)

முதலில், B - C ஐக் காண்போம்.

B - C = {2, 3, 5, 7} - {2} = {3, 5, 7}

இப்போது, A x (B - C):

A x (B - C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {3, 5, 7}

= {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7), (4,3), (4,5), (4,7), (5,3), (5,5), (5,7), (6,3), (6,5), (6,7), (7,3), (7,5), (7,7)} --- (1)

RHS = (A x B) – (A x C)

முதலில், A x B ஐக் காண்போம்.

A x B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {2, 3, 5, 7}

= {(1,2), (1,3), (1,5), (1,7), (2,2), (2,3), (2,5), (2,7), (3,2), (3,3), (3,5), (3,7), (4,2), (4,3), (4,5), (4,7), (5,2), (5,3), (5,5), (5,7), (6,2), (6,3), (6,5), (6,7), (7,2), (7,3), (7,5), (7,7)}

அடுத்து, A x C ஐக் காண்போம்.

A x C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {2}

= {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)}

இப்போது, (A x B) – (A x C) என்பது (A x B) கணத்திலிருந்து (A x C) கணத்தின் உறுப்புகளை நீக்குவதாகும்.

(A x B) – (A x C) = {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7), (4,3), (4,5), (4,7), (5,3), (5,5), (5,7), (6,3), (6,5), (6,7), (7,3), (7,5), (7,7)} --- (2)

சரிபார்த்தல்:

சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS என்பது தெளிவாகிறது.

எனவே, A x (B - C) = (A x B) – (A x C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

பகுதி - ஈ (Part - D)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (2 x 8 = 16)

43. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 7/3 என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி 7/3 > 1)

தீர்வு:

வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற ஒரு கதிரை P என்ற முனைக்கு എതിർ திசையில் வரைக.
3. QX-ல் Q₁, Q₂, ..., Q₇ என்ற 7 புள்ளிகளை (7/3-ல் பெரிய எண் 7) சம இடைவெளியில் இருக்குமாறு குறிக்கவும்.
4. Q₃ மற்றும் R-ஐ இணைக்கவும் (7/3-ல் சிறிய எண் 3).
5. Q₃R-க்கு இணையாக Q₇-லிருந்து ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட QR-ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. PR-க்கு இணையாக R'-லிருந்து ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட QP-ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔPQR-ன் பக்கங்களைப் போல 7/3 மடங்கு இருக்கும்.

(அல்லது)

ஆ) QR = 5 செ.மீ, ∠P = 30° மற்றும் P-யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ கொண்ட ΔPQR வரைக.

தீர்வு:

வரைமுறை:

1. QR = 5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. Q-வில் ∠RQE = 30° என்ற கோணத்தை வரைக.
3. Q-வில் QE-க்கு செங்குத்தாக QF என்ற கோட்டை வரைக.
4. QR-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைந்து, அது QF-ஐ O என்ற புள்ளியிலும் QR-ஐ M என்ற புள்ளியிலும் சந்திக்கட்டும்.
5. O-வை மையமாகவும் OQ-வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
6. மையக்குத்துக்கோட்டில் M-லிருந்து 4.2 செ.மீ உயரத்திற்கு G என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
7. G-வழியாக QR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக.
8. இந்த இணைக்கோடு வட்டத்தை P மற்றும் P' ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டும்.
9. PQ மற்றும் PR-ஐ இணைக்கவும். ΔPQR என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

44. அ) ஒரு பேருந்து 50 கி.மீ/மணி என்ற சீரான வேகத்தில் பயணிக்கிறது. இத்தொடர்புக்கான தூரம்-நேரம் வரைபடம் வரைந்து, பின்வருவனவற்றைக் காண்க. (i) விகிதசம மாறிலியைக் காண்க. (ii) 90 நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம் எவ்வளவு? (iii) 300 கி.மீ தூரத்தைப் பயணிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?

தீர்வு:

தூரம் (y) = வேகம் × நேரம் (x)

y = 50x. இது ஒரு நேர் மாறுபாடு ஆகும்.

அட்டவணை:

நேரம் x (மணி)	1	2	3	4
தூரம் y (கி.மீ)	50	100	150	200

(1,50), (2,100), (3,150), (4,200) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை இணைத்து ஒரு நேர்க்கோடு வரைக.

(i) விகிதசம மாறிலி:

k = y/x = 50/1 = 50. விகிதசம மாறிலி k = 50.

(ii) 90 நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம்:

90 நிமிடங்கள் = 1.5 மணி நேரம். வரைபடத்தில் x = 1.5-க்கு நேராக y-அச்சில் உள்ள மதிப்பு 75 ஆகும். எனவே, தூரம் 75 கி.மீ.

(iii) 300 கி.மீ தூரத்தைப் பயணிக்க ஆகும் நேரம்:

வரைபடத்தில் y = 300-க்கு நேராக x-அச்சில் உள்ள மதிப்பு 6 ஆகும். எனவே, நேரம் 6 மணி ஆகும்.

(அல்லது)

ஆ) ஒரு பள்ளியானது குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு, பரிசுத் தொகையினை எல்லாப் பங்கேற்பாளர்களுக்கும் பின்வருமாறு சமமாகப் பிரித்து வழங்குவதாக அறிவிக்கிறது. வரைபடம் வரைந்து காண்க: (i) விகித சம மாறிலியைக் காண்க. (ii) 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் பெறும் பரிசுத்தொகை எவ்வளவு?

தீர்வு:

பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (x) அதிகரிக்கும்போது, ஒவ்வொருவரும் பெறும் தொகை (y) குறைகிறது. இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு ஆகும். xy = k.

அட்டவணையிலிருந்து, k = 2 × 180 = 360.

(i) விகித சம மாறிலி:

விகித சம மாறிலி k = 360.

வரைபடம்:

அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை (2,180), (4,90), (6,60), (8,45), (10,36) வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை இணைத்து ஒரு வளைவரை (செவ்வக அதிபரவளையம்) வரைக.

(ii) 12 பங்கேற்பாளர்கள் எனில் பரிசுத்தொகை:

வரைபடத்தில் x = 12-க்கு நேராக y-அச்சில் உள்ள மதிப்பைக் கண்டறியவும். அது 30 ஆக இருக்கும்.

எனவே, 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொருவரும் ₹30 பெறுவர்.

கணக்கீடு: xy = 360 ⇒ 12 × y = 360 ⇒ y = 360/12 = 30.