10th Maths Quarterly Exam Original Question Paper 2024 with Solutions
This article provides the original question paper and detailed step-by-step solutions for the 10th Standard Mathematics Quarterly Examination held in 2024 in the Erode District, Tamil Nadu. This is invaluable for students to review their performance and prepare for future exams.
Original Question Paper (Erode District)
Solutions
பகுதி I / PART I (மதிப்பெண்கள்: 14)
1. A={1,2}, B={1,2,3,4}, C={5,6} மற்றும் D={5,6,7,8} எனில், கீழே கொடுக்கப்பட்டவைகளில் எது சரியான கூற்று?
விடை
கொடுக்கப்பட்டவை: A={1,2}, B={1,2,3,4}, C={5,6}, D={5,6,7,8}.
இங்கு, A ⊂ B (A-ன் எல்லா உறுப்புகளும் B-ல் உள்ளன) மற்றும் C ⊂ D (C-ன் எல்லா உறுப்புகளும் D-ல் உள்ளன).
கணங்களின் கார்டீசியன் பெருக்கலின் பண்புப்படி, A ⊂ B மற்றும் C ⊂ D ஆக இருந்தால், (A × C) ⊂ (B × D) என்பது உண்மையாகும்.
எனவே, சரியான கூற்று (A×C) ⊂ (B×D) ஆகும்.
2. f(x) = 2x² மற்றும் g(x) = 1/(3x) எனில் fog ஆனது:
விடை
f(x) = 2x², g(x) = 1/(3x)
fog(x) = f(g(x))
= f(1/(3x))
= 2 * (1/(3x))²
= 2 * (1/(9x²))
= 2/(9x²)
எனவே, சரியான விடை 2/(9x²).
3. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தை 9 ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதிகள்:
விடை
யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, எந்தவொரு மிகை முழுவையும் 3q, 3q+1, அல்லது 3q+2 என்ற வடிவில் எழுதலாம்.
- (3q)³ = 27q³ = 9(3q³). மீதி 0.
- (3q+1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1 = 9(3q³+3q²+q) + 1. மீதி 1.
- (3q+2)³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8 = 9(3q³+6q²+4q) + 8. மீதி 8.
எனவே, கிடைக்கும் மீதிகள் 0, 1, 8.
4. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16வது உறுப்பு M எனில், அந்த கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல்
விடை
ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படையில் (n=31) இருந்தால், அதன் கூடுதல் (உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை) × (நடு உறுப்பு) ஆகும்.
இங்கு, n = 31. நடு உறுப்பு (31+1)/2 = 16வது உறுப்பு ஆகும்.
16வது உறுப்பு = M.
எனவே, கூடுதல் = 31 × M = 31M.
5. கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது y³ + 1/y க்குச் சமமில்லை
விடை
கொடுக்கப்பட்ட கோவை: y³ + 1/y.
இதனை (y⁴+1)/y என எழுதலாம். எனவே, விருப்பம் (a) சமம்.
கேள்வி "சமமில்லை" எது என்பதாகும்.
- விருப்பம் (b): (y+1/y)² = y² + 2 + 1/y². ಇದು சமமில்லை.
- விருப்பம் (c): (y-1/y)²+2 = y² - 2 + 1/y² + 2 = y² + 1/y². ಇದು சமமில்லை.
- விருப்பம் (d): (y+1/y)²-2 = y² + 2 + 1/y² - 2 = y² + 1/y². ಇದು சமமில்லை.
(கேள்வியில் பிழை இருக்கலாம், ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில் (b), (c), (d) ஆகியவை சமமில்லை. விடைத்தாளில் (b) குறிக்கப்பட்டுள்ளது.)
6. 4x⁴ - 24x³ + 76x² + ax + b ஒரு முழுவர்க்கம் எனில், a மற்றும் b ன் மதிப்பு
விடை
வர்க்கமூலம் காணும் முறையில் தீர்க்க:
வர்க்கமூலத்தின் முதல் உறுப்பு 2x².
(2x²)² = 4x⁴.
ஈவு: 2x² - 6x + 10.
(2x² - 6x + 10)² = 4x⁴ + 36x² + 100 - 24x³ + 40x² - 120x
= 4x⁴ - 24x³ + 76x² - 120x + 100.
கொடுக்கப்பட்ட கோவையுடன் ஒப்பிட: 4x⁴ - 24x³ + 76x² + ax + b.
ax = -120x => a = -120.
b = 100.
எனவே, a = -120, b = 100.
7. x²-2x-24 மற்றும் x²-kx-6-ன் மீ.பொ.வ. (x-6) எனில், k-யின் மதிப்பு:
விடை
(x-6) என்பது x²-kx-6 இன் ஒரு காரணி என்பதால், x=6 என பிரதியிடும்போது கோவை 0 ஆக வேண்டும்.
P(x) = x²-kx-6
P(6) = (6)² - k(6) - 6 = 0
36 - 6k - 6 = 0
30 - 6k = 0
30 = 6k
k = 5.
8. x²+8x+12-ன் பூச்சியங்கள்:
விடை
x²+8x+12 = 0
காரணிப்படுத்த: x² + 6x + 2x + 12 = 0
x(x+6) + 2(x+6) = 0
(x+2)(x+6) = 0
பூச்சியங்கள் x = -2 மற்றும் x = -6.
9. ΔLMN-யில் ∠L=60°, ∠M=50°, மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில் ∠R-ன் மதிப்பு
விடை
ΔLMN-ல், ∠L + ∠M + ∠N = 180°
60° + 50° + ∠N = 180°
110° + ∠N = 180° => ∠N = 70°.
ΔLMN ~ ΔPQR என்பதால், ஒத்த கோணங்கள் சமம்.
∠L=∠P, ∠M=∠Q, ∠N=∠R.
எனவே, ∠R = ∠N = 70°.
10. ΔABC-யில் BC||DE, AB=3.6செ.மீ, AC=2.4செ.மீ மற்றும் AD=2.1செ.மீ எனில் AE-யின் நீளம்
விடை
தேல்ஸ் தேற்றத்தின் (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்) படி,
AD/AB = AE/AC
2.1 / 3.6 = AE / 2.4
AE = (2.1 × 2.4) / 3.6
AE = 5.04 / 3.6
AE = 1.4 செ.மீ.
11. x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது
விடை
x = 11 என்பது ஒரு செங்குத்துக் கோடு. இந்த கோட்டில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் x-ஆயத்தொலைவு 11 ஆகும். இது Y-அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்.
12. (12,3), (4,a) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு 1/8 எனில் 'a' -ன் மதிப்பு
விடை
சாய்வு (m) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
1/8 = (a - 3) / (4 - 12)
1/8 = (a - 3) / (-8)
-8 = 8(a - 3)
-1 = a - 3
a = 3 - 1 = 2.
13. sinθ + cosθ = a மற்றும் secθ + cosecθ = b எனில், b(a²-1) -ன் மதிப்பு
விடை
a = sinθ + cosθ
a² = (sinθ + cosθ)² = sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ = 1 + 2sinθcosθ
a² - 1 = 2sinθcosθ ---(1)
b = secθ + cosecθ = 1/cosθ + 1/sinθ = (sinθ+cosθ)/(sinθcosθ) = a/(sinθcosθ) ---(2)
b(a²-1) = [a/(sinθcosθ)] * (2sinθcosθ)
= 2a.
14. 3x-4y+2=0 என்ற நேர்க்கோட்டின் X மற்றும் Y வெட்டுத்துண்டுகள்
விடை
சமன்பாடு: 3x - 4y + 2 = 0
3x - 4y = -2
வெட்டுத்துண்டு வடிவத்திற்கு மாற்ற (x/a + y/b = 1), சமன்பாட்டை -2 ஆல் வகுக்க:
(3x/-2) - (4y/-2) = 1
x/(-2/3) + y/(2/4) = 1
x/(-2/3) + y/(1/2) = 1.
X வெட்டுத்துண்டு (a) = -2/3.
Y வெட்டுத்துண்டு (b) = 1/2.
பகுதி II / PART II (மதிப்பெண்கள்: 20)
கீழ்க்கண்ட வினாக்களில் எவையேனும் பத்து வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண். 28க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்.
15. B×A = {(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.
விடை
B×A-ல், முதல் உறுப்புகள் B கணத்தையும், இரண்டாம் உறுப்புகள் A கணத்தையும் சேர்ந்தவை.
B = {B×A-ன் முதல் உறுப்புகளின் கணம்} = {-2, 0, 3}.
A = {B×A-ன் இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்} = {3, 4}.
16. R என்ற உறவு {(x,y) | y=x+3, x ∈ {0,1,2,3,4,5}} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும் வீச்சகத்தையும் காண்க.
விடை
மதிப்பகம் (Domain) என்பது x-ன் மதிப்புகளின் கணம்.
மதிப்பகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
வீச்சகம் (Range) என்பது y-ன் மதிப்புகளின் கணம். y = x+3.
x=0 எனில், y = 0+3 = 3
x=1 எனில், y = 1+3 = 4
x=2 எனில், y = 2+3 = 5
x=3 எனில், y = 3+3 = 6
x=4 எனில், y = 4+3 = 7
x=5 எனில், y = 5+3 = 8
வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
17. A={1,2,3}, B={4,5,6,7} மற்றும் f={(1,4),(2,5),(3,6)} ஆனது A-யிலிருந்து B-க்கான சார்பு ஆகும். f ஆனது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு ஆனால் மேல்சார்பு இல்லை எனக் காட்டுக.
விடை
ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு:
A-ல் உள்ள வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு B-ல் வெவ்வேறு நிழல் உருக்கள் உள்ளன (1→4, 2→5, 3→6). எனவே, f ஒரு ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பு ஆகும்.
மேல்சார்பு:
ஒரு சார்பு மேல்சார்பு எனில், அதன் வீச்சகம் அதன் துணை மதிப்பகத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்.
f-ன் வீச்சகம் = {4, 5, 6}.
துணை மதிப்பகம் B = {4, 5, 6, 7}.
இங்கு, வீச்சகம் ≠ துணை மதிப்பகம் (B-ல் உள்ள உறுப்பு 7-க்கு A-ல் முன் உரு இல்லை).
எனவே, f ஒரு மேல்சார்பு இல்லை.
18. aᵇ × bᵃ = 800 என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐக் காண்க.
விடை
800-ஐ பகா காரணிப்படுத்த:
800 = 8 × 100 = 2³ × 10² = 2³ × (2×5)² = 2³ × 2² × 5² = 2⁵ × 5².
இதனை aᵇ × bᵃ வடிவத்துடன் ஒப்பிட:
a = 2 மற்றும் b = 5 எனக்கொண்டால்:
2⁵ × 5² = 32 × 25 = 800.
எனவே, a = 2, b = 5 (அல்லது a = 5, b = 2).
19. -11, -15, -19, ....... என்ற கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 19-வது உறுப்பைக் காண்க.
விடை
முதல் உறுப்பு, a = -11.
பொது வித்தியாசம், d = -15 - (-11) = -4.
n-வது உறுப்பு, tₙ = a + (n-1)d.
19-வது உறுப்பு, t₁₉ = -11 + (19-1)(-4)
= -11 + (18)(-4)
= -11 - 72
= -83.
20. 3 + 1 + 1/3 + ................ என்ற தொடரின் கூடுதல் காண்க.
விடை
இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை (GP).
முதல் உறுப்பு, a = 3.
பொது விகிதம், r = 1/3.
|r| = |1/3| < 1 என்பதால், இது ஒரு முடிவுறா பெருக்குத்தொடர்.
முடிவுறா தொடரின் கூடுதல், S∞ = a / (1-r).
S∞ = 3 / (1 - 1/3) = 3 / (2/3) = 3 × (3/2) = 9/2.
21. கூட்டுக: x/(x-y) + y/(y-x)
விடை
x/(x-y) + y/(y-x)
= x/(x-y) + y/(-(x-y))
= x/(x-y) - y/(x-y)
= (x-y)/(x-y)
= 1.
22. மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் முறையே -4/3, 5/3 ஆக உடைய இருபடிச் சமன்பாட்டினைக் காண்க.
விடை
மூலங்களின் கூடுதல் (α+β) = -4/3.
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் (αβ) = 5/3.
இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொது வடிவம்: x² - (மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0.
x² - (-4/3)x + 5/3 = 0
x² + 4x/3 + 5/3 = 0
சமன்பாட்டை 3 ஆல் பெருக்க:
3x² + 4x + 5 = 0.
23. 2x² - x + 1/8 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.
விடை
சமன்பாட்டை 8 ஆல் பெருக்க: 16x² - 8x + 1 = 0.
தன்மைகாட்டி (Discriminant), Δ = b² - 4ac.
இங்கு a=16, b=-8, c=1.
Δ = (-8)² - 4(16)(1)
= 64 - 64 = 0.
Δ = 0 என்பதால், மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமம்.
24. 6மீ உயரமுள்ள செங்குத்தாக நிற்கும் கம்பமானது, தரையில் 400செ.மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. ஒரு கோபுரமானது 28மீ நிழலை ஏற்படுத்துகிறது எனில், கோபுரத்தின் உயரம் காண்க.
விடை
கம்பம் மற்றும் கோபுரம் உருவாக்கும் முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை.
கம்பத்தின் உயரம் (h₁) = 6 மீ = 600 செ.மீ.
கம்பத்தின் நிழல் (s₁) = 400 செ.மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் (h₂) = ?
கோபுரத்தின் நிழல் (s₂) = 28 மீ = 2800 செ.மீ.
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புப்படி:
h₁/s₁ = h₂/s₂
600/400 = h₂/2800
6/4 = h₂/2800 => 3/2 = h₂/2800
h₂ = (3 × 2800) / 2 = 3 × 1400 = 4200 செ.மீ.
கோபுரத்தின் உயரம் = 42 மீ.
25. (-3, 5), (5, 6) மற்றும் (5, -2) ஆகியவற்றை முனைகளாகக் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பைக் காண்க.
விடை
முக்கோணத்தின் பரப்பு = 1/2 | x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂) |
= 1/2 | (-3)(6 - (-2)) + 5(-2 - 5) + 5(5 - 6) |
= 1/2 | (-3)(8) + 5(-7) + 5(-1) |
= 1/2 | -24 - 35 - 5 |
= 1/2 | -64 |
= 32 சதுர அலகுகள்.
26. (-1, 2) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், சாய்வு -5/4 உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
விடை
புள்ளி-சாய்வு வடிவம்: y - y₁ = m(x - x₁)
இங்கு (x₁, y₁) = (-1, 2) மற்றும் m = -5/4.
y - 2 = (-5/4)(x - (-1))
y - 2 = (-5/4)(x + 1)
4(y - 2) = -5(x + 1)
4y - 8 = -5x - 5
5x + 4y - 8 + 5 = 0
5x + 4y - 3 = 0.
27. நிறுவுக: tan²θ - sin²θ = tan²θ sin²θ
விடை
இடது பக்கம் (LHS) = tan²θ - sin²θ
= (sin²θ/cos²θ) - sin²θ
= sin²θ (1/cos²θ - 1)
= sin²θ ((1 - cos²θ)/cos²θ)
= sin²θ (sin²θ/cos²θ)
= (sin²θ/cos²θ) * sin²θ
= tan²θ sin²θ = வலது பக்கம் (RHS).
எனவே, நிறுவப்பட்டது.
28. f: X → Y என்ற உறவானது f(x) = x² - 2 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு X = {-2, -1, 0, 3} மற்றும் Y = R எனக் கொண்டால் f-ன் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக.
விடை
f(x) = x² - 2
f(-2) = (-2)² - 2 = 4 - 2 = 2
f(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = -1
f(0) = (0)² - 2 = 0 - 2 = -2
f(3) = (3)² - 2 = 9 - 2 = 7
f-ன் உறுப்புகள் (வரிசைச் சோடிகளின் கணம்):
f = {(-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (3, 7)}.