10th Maths Quarterly Exam 2024 Question Paper with Solutions - Krishnagiri District

10th Maths Quarterly Exam 2024 - Solutions (Krishnagiri District)

Original Question Paper (Tamil Medium)

பகுதி - I (Part - I) - சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதவும்

1. A = {1,2,3,4,5} -லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில் B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

1. அ) 3
2. ஆ) 2
3. இ) 4
4. ஈ) 8

A மற்றும் B என்ற இரு கணங்களில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை முறையே p மற்றும் q எனில், A-லிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2^pq ஆகும்.

இங்கு, n(A) = p = 5.

மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை = 1024.

எனவே, 2^pq = 1024.

1024 = 2¹⁰ என்பதை நாம் அறிவோம்.

ஆக, pq = 10.

5 × q = 10

q = 10 / 5 = 2.

எனவே, B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, n(B) = q = 2.

சரியான விடை: ஆ) 2

2. (a, -1) மற்றும் (5, b) வரிசைச் சோடிகள் {(x, y) / y = 2x + 3} என்ற கணத்தைச் சாரும் எனில் a மற்றும் b-ன் மதிப்புகள்

1. அ) (-13, 2)
2. ஆ) (2, 13)
3. இ) (2, -13)
4. ஈ) (-2, 13)

கொடுக்கப்பட்ட உறவு: y = 2x + 3.

வரிசைச் சோடி (a, -1) உறவில் உள்ளது. எனவே, x = a, y = -1.

-1 = 2(a) + 3

2a = -1 - 3 = -4

a = -4 / 2 = -2.

வரிசைச் சோடி (5, b) உறவில் உள்ளது. எனவே, x = 5, y = b.

b = 2(5) + 3

b = 10 + 3 = 13.

ஆக, a = -2 மற்றும் b = 13.

சரியான விடை: ஈ) (-2, 13)

3. 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்

1. அ) 2025
2. ஆ) 5220
3. இ) 5025
4. ஈ) 2520

1 முதல் 10 வரையுள்ள அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண் என்பது அந்த எண்களின் மீ.சி.ம (LCM) ஆகும்.

நாம் காண வேண்டியது: LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).

முதன்மை காரணிப்படுத்தல்:

• 1 = 1
• 2 = 2
• 3 = 3
• 4 = 2²
• 5 = 5
• 6 = 2 × 3
• 7 = 7
• 8 = 2³
• 9 = 3²
• 10 = 2 × 5

மீ.சி.ம காண, ஒவ்வொரு முதன்மை எண்ணின் உயர்ந்த அடுக்கையும் பெருக்க வேண்டும்.

LCM = 2³ × 3² × 5¹ × 7¹ = 8 × 9 × 5 × 7 = 72 × 35 = 2520.

சரியான விடை: ஈ) 2520

4. ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் n வது உறுப்பு t_n எனில் t_2n - t_n என்பதின் மதிப்பு

1. அ) nd
2. ஆ) 2nd
3. இ) 2d
4. ஈ) 3nd

ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் n-வது உறுப்புக்கான சூத்திரம்: t_n = a + (n-1)d, இங்கு a முதல் உறுப்பு மற்றும் d பொது வித்தியாசம்.

t_2n = a + (2n-1)d = a + 2nd - d

t_n = a + (n-1)d = a + nd - d

இப்போது, t_2n - t_n ஐக் கணக்கிடுவோம்:

t_2n - t_n = (a + 2nd - d) - (a + nd - d)

= a + 2nd - d - a - nd + d

= (a - a) + (2nd - nd) + (-d + d) = nd.

சரியான விடை: அ) nd

5. √11, √55, 5√11, 5√55, 25√11, ............ என்ற தொடர் வரிசை குறிப்பது

1. அ) கூட்டுத்தொடர் வரிசை மட்டும்
2. ஆ) பெருக்குத்தொடர் வரிசை மட்டும்
3. இ) கூட்டுத்தொடர் வரிசையுமல்ல பெருக்குத் தொடர் வரிசையுமல்ல
4. ஈ) கூட்டுத்தொடர் வரிசை மற்றும் பெருக்குத் தொடர் வரிசை

கொடுக்கப்பட்ட தொடர்: √11, √55, 5√11, ...

கூட்டுத் தொடர் சோதனை:

t₂ - t₁ = √55 - √11 = √11(√5 - 1)

t₃ - t₂ = 5√11 - √55 = 5√11 - √5√11 = √11(5 - √5)

t₂ - t₁ ≠ t₃ - t₂. எனவே, இது கூட்டுத்தொடர் வரிசை அல்ல.

பெருக்குத் தொடர் சோதனை:

t₂ / t₁ = √55 / √11 = √(55/11) = √5

t₃ / t₂ = 5√11 / √55 = 5√11 / (√5 × √11) = 5/√5 = √5

பொது விகிதம் (r) சமமாக இருப்பதால் (r = √5), இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை ஆகும்.

சரியான விடை: ஆ) பெருக்குத்தொடர் வரிசை மட்டும்

6. x² - 2x - 24 மற்றும் x² - kx - 6 -யின் மீ.பெ.வ. (x - 6) எனில் k-யின் மதிப்பு

1. அ) 3
2. ஆ) 5
3. இ) 6
4. ஈ) 8

(x - 6) என்பது x² - kx - 6 -யின் மீ.பெ.வ. என்றால், (x-6) என்பது அதன் ஒரு காரணியாகும்.

P(x) = x² - kx - 6 என்க.

காரணித் தேற்றத்தின்படி, P(6) = 0 ஆக இருக்க வேண்டும்.

P(6) = (6)² - k(6) - 6 = 0

36 - 6k - 6 = 0

30 - 6k = 0

30 = 6k

k = 30 / 6 = 5.

சரியான விடை: ஆ) 5

7. x⁴ + 64 முழுவர்க்கமாக மாற்ற அதனுடன் பின்வருவனவற்றுள் எதைக் கூட்ட வேண்டும்?

1. அ) 4x²
2. ஆ) 16x²
3. இ) 8x²
4. ஈ) -8x²

முழு வர்க்கத்திற்கான சூத்திரம்: (a + b)² = a² + 2ab + b².

இங்கு, x⁴ + 64 என்பதை a² + b² வடிவில் எழுதலாம்.

a² = x⁴ => a = x²

b² = 64 => b = 8

முழு வர்க்கமாக மாற்ற, நாம் 2ab என்ற உறுப்பைக் கூட்ட வேண்டும்.

2ab = 2 × (x²) × (8) = 16x².

எனவே, x⁴ + 16x² + 64 = (x² + 8)², இது ஒரு முழு வர்க்கமாகும்.

ஆக, 16x² ஐக் கூட்ட வேண்டும்.

சரியான விடை: ஆ) 16x²

8. ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் 5 மற்றும் மூலங்களின் கூடுதல் 0 எனில் அதன் சமன்பாடு

1. அ) x² - 5x = 0
2. ஆ) x² - 5x + 5 = 0
3. இ) x² - 25 = 0
4. ஈ) x² - 5 = 0

மூலங்கள் α மற்றும் β என்க.

ஒரு மூலம், α = 5.

மூலங்களின் கூடுதல், α + β = 0.

5 + β = 0 => β = -5.

மற்றொரு மூலம் -5 ஆகும்.

இருபடிச் சமன்பாடு: x² - (மூலங்களின் கூடுதல்)x + (மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்) = 0.

மூலங்களின் கூடுதல் = 5 + (-5) = 0.

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 5 × (-5) = -25.

சமன்பாடு: x² - (0)x + (-25) = 0

x² - 25 = 0.

சரியான விடை: இ) x² - 25 = 0

9. இரு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ΔABC மற்றும் ΔPQR யின் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ. மற்றும் 24 செ.மீ. ஆகும். PQ = 10செ.மீ. எனில், AB - யின் நீளம்

1. அ) 6 2/3 செ.மீ.
2. ஆ) (10√6)/3 செ.மீ.
3. இ) 66 2/3 செ.மீ.
4. ஈ) 15 செ.மீ.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.

(ΔABC யின் சுற்றளவு) / (ΔPQR யின் சுற்றளவு) = AB / PQ

36 / 24 = AB / 10

3 / 2 = AB / 10

AB = (3 × 10) / 2 = 30 / 2 = 15 செ.மீ.

சரியான விடை: ஈ) 15 செ.மீ.

10. ΔABC யில் AD ஆனது ∠BAC யின் இருசமவெட்டி. AB = 8 செ.மீ., BD = 6 செ.மீ. மற்றும் DC = 3 செ.மீ. எனில் பக்கம் AC யின் நீளம்

1. அ) 6 செ.மீ.
2. ஆ) 4 செ.மீ.
3. இ) 3 செ.மீ.
4. ஈ) 8 செ.மீ.

கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டி, அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை மற்ற இரு பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

AB / AC = BD / DC

8 / AC = 6 / 3

8 / AC = 2

AC = 8 / 2 = 4 செ.மீ.

சரியான விடை: ஆ) 4 செ.மீ.

11. x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது

1. அ) y - அச்சுக்கு இணை
2. ஆ) x - அச்சுக்கு இணை
3. இ) ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும்
4. ஈ) (0, 11) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்

x = 11 என்ற சமன்பாடு, x-ன் மதிப்பு எப்போதும் 11 ஆக இருக்கும் ஒரு செங்குத்து நேர்க்கோட்டைக் குறிக்கிறது. y-ன் மதிப்பு எதுவாக வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம்.

y-அச்சு என்பது x = 0 என்ற கோடு ஆகும். எனவே, x = 11 என்ற கோடு y-அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்.

சரியான விடை: அ) y - அச்சுக்கு இணை

12. (5, 7), (3, p) மற்றும் (6, 6) என்பன ஒரு கோடமைந்தவை எனில் p-யின் மதிப்பு

1. அ) 3
2. ஆ) 6
3. இ) 9
4. ஈ) 12

மூன்று புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில், அவற்றின் வழியே செல்லும் கோட்டின் சாய்வு சமமாக இருக்கும்.

(5, 7) மற்றும் (3, p) புள்ளிகளுக்கு இடையேயான சாய்வு = (p - 7) / (3 - 5) = (p - 7) / -2.

(3, p) மற்றும் (6, 6) புள்ளிகளுக்கு இடையேயான சாய்வு = (6 - p) / (6 - 3) = (6 - p) / 3.

சாய்வுகள் சமம்:

(p - 7) / -2 = (6 - p) / 3

3(p - 7) = -2(6 - p)

3p - 21 = -12 + 2p

3p - 2p = 21 - 12

p = 9.

சரியான விடை: இ) 9

13. (2, 1) ஐ வெட்டுப் புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்க்கோடுகள்

1. அ) x - y - 3 = 0; 3x - y - 7 = 0
2. ஆ) x + y = 3; 3x + y = 7
3. இ) 3x + y = 3; x + y = 7
4. ஈ) x + 3y - 3 = 0; x - y - 7 = 0

வெட்டுப் புள்ளி (2, 1) என்பது இரு சமன்பாடுகளையும் நிறைவு செய்ய வேண்டும். x=2, y=1 என ஒவ்வொரு விருப்பத்திலும் பிரதியிட்டுப் பார்ப்போம்.

ஆ) x + y = 3; 3x + y = 7

முதல் சமன்பாடு: 2 + 1 = 3 (நிறைவு செய்கிறது).

இரண்டாம் சமன்பாடு: 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7 (நிறைவு செய்கிறது).

எனவே, இதுவே சரியான விடை.

சரியான விடை: ஆ) x + y = 3; 3x + y = 7

14. 5x = sec θ மற்றும் 5/y = tan θ எனில் x² - (1/y²) -ன் மதிப்பு

1. அ) 25
2. ஆ) 1/25
3. இ) 5
4. ஈ) 1

கொடுக்கப்பட்டவை: 5x = sec θ => x = sec θ / 5

5/y = tan θ => 1/y = tan θ / 5

நாம் காண வேண்டியது: x² - (1/y²)

x² = (sec θ / 5)² = sec²θ / 25

(1/y)² = (tan θ / 5)² = tan²θ / 25

x² - 1/y² = (sec²θ / 25) - (tan²θ / 25)

= (sec²θ - tan²θ) / 25

முக்கோணவியல் முற்றொருமைப்படி, sec²θ - tan²θ = 1.

= 1 / 25.

சரியான விடை: ஆ) 1/25

பகுதி - II (Part - II) - எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும்

15. R என்ற ஒரு உறவு {(x,y) / y = x + 3, x ∈ {0,1,2,3,4,5}} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் காண்க.

மதிப்பகம் (Domain): x-ன் மதிப்புகளின் கணம். x ∈ {0,1,2,3,4,5}.

∴ மதிப்பகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

வீச்சகம் (Range): y-ன் மதிப்புகளின் கணம். y = x + 3 என்ற சமன்பாட்டில் x-ன் மதிப்புகளை பிரதியிட வேண்டும்.

• x = 0 எனில், y = 0 + 3 = 3
• x = 1 எனில், y = 1 + 3 = 4
• x = 2 எனில், y = 2 + 3 = 5
• x = 3 எனில், y = 3 + 3 = 6
• x = 4 எனில், y = 4 + 3 = 7
• x = 5 எனில், y = 5 + 3 = 8

∴ வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

16. f ஆனது R -லிருந்து R-க்கு ஆன சார்பு மேலும் அது f(x)=3x- 5 என வரையறுக்கப்படுகிறது. (a, 4) மற்றும் (1, b) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் a மற்றும் b யின் மதிப்புகளைக் காண்க.

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு f(x) = 3x - 5.

a-ன் மதிப்பைக் காண:

(a, 4) என்பது f(a) = 4 ஐக் குறிக்கிறது.

3a - 5 = 4

3a = 4 + 5 = 9

a = 9 / 3 = 3

b-ன் மதிப்பைக் காண:

(1, b) என்பது f(1) = b ஐக் குறிக்கிறது.

b = 3(1) - 5

b = 3 - 5 = -2

∴ a = 3, b = -2

17. f(x) = x² - 1, g(x) = x - 2 எனில் gof(a) = 1 எனில் a-ஐக் காண்க.

முதலில் gof(x) ஐக் காண்போம்.

gof(x) = g(f(x))

= g(x² - 1)

= (x² - 1) - 2

= x² - 3

இப்போது, gof(a) = a² - 3.

gof(a) = 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

a² - 3 = 1

a² = 1 + 3 = 4

a = ±√4

∴ a = 2 அல்லது a = -2

18. தீர்க்க: 5x ≡ 4 (மட்டு 6)

5x ≡ 4 (மட்டு 6) என்பதை 5x - 4 = 6k என எழுதலாம், இங்கு k ஒரு முழு எண்.

5x = 6k + 4

x = (6k + 4) / 5

k-க்கு முழு எண் மதிப்புகளைப் பிரதியிட்டு x-க்கு முழு எண் தீர்வு கிடைக்குமா என சோதிப்போம்.

• k = 1 எனில், x = (6(1) + 4)/5 = 10/5 = 2.
• k = 6 எனில், x = (6(6) + 4)/5 = 40/5 = 8.

இத்தீர்வுகளை 5x ≡ 4 (மட்டு 6) இல் சரிபார்ப்போம்:

x=2 எனில், 5(2) = 10. 10 ஐ 6 ஆல் வகுத்தால் மீதி 4. இது சரி.

எனவே, மிகச்சிறிய நேர்மறை முழு எண் தீர்வு 2 ஆகும்.

பொதுத் தீர்வு x = 2 + 6n, n ∈ Z.

∴ தீர்வு x = 2.

19. 729, 243, 81, ......... என்ற பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 7-வது உறுப்பைக் காண்க.

கொடுக்கப்பட்ட தொடர் ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP).

முதல் உறுப்பு (a) = 729.

பொது விகிதம் (r) = t₂/t₁ = 243/729 = 1/3.

n-வது உறுப்புக்கான சூத்திரம்: tₙ = arⁿ⁻¹.

நாம் 7-வது உறுப்பைக் (t₇) காண வேண்டும்.

t₇ = 729 × (1/3)⁷⁻¹ = 729 × (1/3)⁶

729 = 3⁶ என்பதை நாம் அறிவோம்.

t₇ = 3⁶ × (1/3⁶) = 3⁶ / 3⁶ = 1.

∴ 7-வது உறுப்பு = 1.

20. 1 + 2 + 3 + ... + k = 325 எனில் 1³ + 2³ + 3³ + ... + k³-ன் மதிப்பு காண்க.

முதல் k இயல் எண்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: Σk = k(k+1)/2.

முதல் k இயல் எண்களின் கணங்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: Σk³ = [k(k+1)/2]² = (Σk)².

கொடுக்கப்பட்டது: 1 + 2 + ... + k = Σk = 325.

நாம் காண வேண்டியது: 1³ + 2³ + ... + k³ = Σk³.

Σk³ = (Σk)² = (325)²

325² = 325 × 325 = 105625.

∴ 1³ + 2³ + ... + k³ = 105625.

21. 1 / (t² - 5t + 6) என்ற கோவைக்கு விலக்கப்பட்ட மதிப்பு காண்க.

ஒரு விகிதமுறு கோவையின் பகுதியானது பூச்சியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்போது, அக்கோவைக்கு மதிப்பு வரையறுக்கப்படாது. அந்த மதிப்புகளே விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் ஆகும்.

பகுதி = t² - 5t + 6.

t² - 5t + 6 = 0 என அமைக்கவும்.

இதை காரணிப்படுத்த:

(t - 2)(t - 3) = 0

எனவே, t - 2 = 0 அல்லது t - 3 = 0.

t = 2 அல்லது t = 3.

∴ விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் 2 மற்றும் 3 ஆகும்.

22. கூட்டுக: x/(x-y) + y/(y-x)

இரண்டாவது பின்னத்தின் பகுதியை மாற்றி எழுதுவோம்.

y - x = -(x - y)

எனவே, y/(y-x) = y/-(x-y) = -y/(x-y).

கோவை இப்போது:

x/(x-y) - y/(x-y)

பகுதிகள் சமமாக இருப்பதால், தொகுதிகளைக் கழிக்கலாம்.

= (x - y) / (x - y)

= 1

∴ விடை = 1.

23. 15x² + 11x + 2 = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: 15x² + 11x + 2 = 0.

இதை ax² + bx + c = 0 உடன் ஒப்பிட, a=15, b=11, c=2.

மூலங்களின் தன்மையை அறிய, தன்மைக்காட்டி (Discriminant) Δ = b² - 4ac ஐக் கணக்கிட வேண்டும்.

Δ = (11)² - 4(15)(2)

= 121 - 120

= 1

தன்மைக்காட்டியின் மதிப்பு:

Δ = 1 > 0 மற்றும் ஒரு முழு வர்க்கம் (1 = 1²).

∴ மூலங்கள் மெய், சமமற்றவை மற்றும் விகிதமுறு எண்கள்.

24. ΔABC ஆனது ΔDEF க்கு வடிவொத்தவை மேலும் BC = 3 செ.மீ., EF = 4 செ.மீ. மற்றும் முக்கோணம் ABC-யின் பரப்பு = 54 செ.மீ² எனில் ΔDEF-யின் பரப்பைக் காண்க.

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்புகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.

பரப்பு(ΔABC) / பரப்பு(ΔDEF) = (BC/EF)²

54 / பரப்பு(ΔDEF) = (3/4)²

54 / பரப்பு(ΔDEF) = 9 / 16

பரப்பு(ΔDEF) = (54 × 16) / 9

பரப்பு(ΔDEF) = 6 × 16 = 96

∴ ΔDEF-யின் பரப்பு = 96 செ.மீ².

25. (6, -1) மற்றும் (-3, 2) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.

புள்ளிகள் (x₁, y₁) = (6, -1) மற்றும் (x₂, y₂) = (-3, 2).

சாய்வு (m) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

m = (2 - (-1)) / (-3 - 6)

m = (2 + 1) / -9

m = 3 / -9 = -1/3

∴ சாய்வு = -1/3.

26. x - 2y + 3 = 0, 6x + 3y + 8 = 0 ஆகிய நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை எனக் காட்டுக.

Ax + By + C = 0 என்ற வடிவில் உள்ள கோட்டின் சாய்வு m = -A/B.

முதல் கோடு (L₁): x - 2y + 3 = 0. A=1, B=-2.

சாய்வு m₁ = -1/(-2) = 1/2.

இரண்டாவது கோடு (L₂): 6x + 3y + 8 = 0. A=6, B=3.

சாய்வு m₂ = -6/3 = -2.

இரு கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்க நிபந்தனை: m₁ × m₂ = -1.

m₁ × m₂ = (1/2) × (-2) = -1.

நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுவதால், இரு கோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை.

(நிரூபிக்கப்பட்டது)

27. நிரூபிக்க: √((1+sinθ)/(1-sinθ)) = secθ + tanθ.

இடது கை பக்கம் (LHS) = √((1+sinθ)/(1-sinθ))

தொகுதியையும் பகுதியையும் பகுதியின் இணையான (1+sinθ) ஆல் பெருக்குக.

LHS = √(((1+sinθ)(1+sinθ)) / ((1-sinθ)(1+sinθ)))

LHS = √((1+sinθ)² / (1² - sin²θ))

1 - sin²θ = cos²θ என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த,

LHS = √((1+sinθ)² / cos²θ)

LHS = (1+sinθ) / cosθ

LHS = 1/cosθ + sinθ/cosθ

LHS = secθ + tanθ = வலது கை பக்கம் (RHS).

(நிரூபிக்கப்பட்டது)

28. (1, 2) என்ற புள்ளியின் வழிச் செல்வதும் -4 ஐ சாய்வாக உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க. (கட்டாய வினா)

புள்ளி-சாய்வு வடிவச் சமன்பாடு: y - y₁ = m(x - x₁).

இங்கு, புள்ளி (x₁, y₁) = (1, 2) மற்றும் சாய்வு (m) = -4.

y - 2 = -4(x - 1)

y - 2 = -4x + 4

4x + y - 2 - 4 = 0

4x + y - 6 = 0

∴ தேவையான சமன்பாடு 4x + y - 6 = 0 ஆகும்.

பகுதி - III (Part - III) - எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும்

29. A = {x ∈ W | x < 2}, B = {x ∈ N | 1 < x ≤ 4}, C = {3, 5} எனில் A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) என்பதைச் சரிபார்க்க.

கணங்களை வரையறுத்தல்:

• A = {x ∈ W | x < 2} = {0, 1} (2-ஐ விடச் சிறிய முழு எண்கள்)
• B = {x ∈ N | 1 < x ≤ 4} = {2, 3, 4} (1-ஐ விட பெரிய, 4-க்கு சமமான அல்லது சிறிய இயல் எண்கள்)
• C = {3, 5}

இடது கை பக்கம் (LHS): A × (B ∪ C)

B ∪ C = {2, 3, 4} ∪ {3, 5} = {2, 3, 4, 5}

A × (B ∪ C) = {0, 1} × {2, 3, 4, 5}

= {(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)} --- (1)

வலது கை பக்கம் (RHS): (A × B) ∪ (A × C)

A × B = {0, 1} × {2, 3, 4} = {(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)}

A × C = {0, 1} × {3, 5} = {(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)}

(A × B) ∪ (A × C) = {(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)} --- (2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

32. ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் 13-வது உறுப்பு 3 மற்றும் முதல் 13 உறுப்புகளின் கூடுதல் 234 எனில், கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் பொது வித்தியாசம் மற்றும் முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

கொடுக்கப்பட்டவை:

13-வது உறுப்பு t₁₃ = a + 12d = 3 --- (1)

முதல் 13 உறுப்புகளின் கூடுதல் S₁₃ = 234.

Sₙ = n/2 [2a + (n-1)d] சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி,

S₁₃ = 13/2 [2a + 12d] = 13(a + 6d) = 234

a + 6d = 234 / 13 = 18 --- (2)

பொது வித்தியாசம் (d) காண:

சமன்பாடு (1)-லிருந்து (2)-ஐக் கழிக்க:

(a + 12d) - (a + 6d) = 3 - 18

6d = -15 => d = -15/6 = -5/2.

முதல் உறுப்பு (a) காண:

d = -5/2 ஐ சமன்பாடு (2)-ல் பிரதியிட:

a + 6(-5/2) = 18 => a - 15 = 18 => a = 33.

முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் (S₂₁) காண:

S₂₁ = 21/2 [2a + 20d] = 21/2 [2(33) + 20(-5/2)]

= 21/2 [66 - 50] = 21/2 [16] = 21 × 8 = 168.

∴ பொது வித்தியாசம் = -5/2, முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் = 168.

36. x² + 6x - 4 = 0 யின் மூலங்கள் α, β எனில் α² மற்றும் β² ஐ மூலங்களாகக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + 6x - 4 = 0.

மூலங்களின் கூடுதல்: α + β = -b/a = -6/1 = -6.

மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்: αβ = c/a = -4/1 = -4.

புதிய மூலங்கள் α² மற்றும் β².

புதிய மூலங்களின் கூடுதல்:

α² + β² = (α + β)² - 2αβ

= (-6)² - 2(-4) = 36 + 8 = 44.

புதிய மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்:

α²β² = (αβ)² = (-4)² = 16.

தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு: x² - (புதிய கூடுதல்)x + (புதிய பெருக்கற்பலன்) = 0.

∴ x² - 44x + 16 = 0.

42. சுவாதி என்பவர் 9செ.மீ., 10 செ.மீ., ..., 23 செ.மீ. என்ற வெவ்வேறு அளவுகளுடைய 15 கனச் சதுர பனிக்கட்டிகளை பழரசம் தயாரிக்க பயன்படுத்தினால், அவர் பயன்படுத்திய 15 கனச்சதுர பனிக்கட்டிகளின் கன அளவைக் காண்க. (கட்டாய வினா)

கனச்சதுரத்தின் கன அளவு = a³.

மொத்த கன அளவு = 9³ + 10³ + 11³ + ... + 23³.

இதை இவ்வாறு எழுதலாம்: (1³ + 2³ + ... + 23³) - (1³ + 2³ + ... + 8³).

Σn³ = [n(n+1)/2]² சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துக.

1³ + ... + 23³ = [23(23+1)/2]² = [23(24)/2]² = (23 × 12)² = (276)²

1³ + ... + 8³ = [8(8+1)/2]² = [8(9)/2]² = (36)²

மொத்த கன அளவு = (276)² - (36)²

a² - b² = (a+b)(a-b) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த:

= (276 + 36)(276 - 36)

= (312)(240)

= 74880

∴ மொத்த கன அளவு = 74880 செ.மீ³.