🔬 Tamil Medium | Virudhunagar Science 1st Mid Term Test 2024 - Original Question Paper

விருதுநகர் மாவட்டம் - முதல் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024

வகுப்பு 10 - கணிதம்

காலம்: 1.30 மணி | மதிப்பெண்கள்: 50

வினாத்தாள்

I. சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக: 7x1=7

1) n(A×B) = 6 மற்றும் A = {1, 3} எனில் n(B) ஆனது

1. a) 1
2. b) 2
3. c) 3
4. d) 6

2) f(x) = (x+1)³ – (x−1)³ குறிப்பிடும் சார்பானது

1. a) நேரிய சார்பு
2. b) ஒரு கனச்சார்பு
3. c) தலைகீழ் சார்பு
4. d) இருபடிச்சார்பு

3) 1729 -ஐ பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்

1. a) 1
2. b) 2
3. c) 3
4. d) 4

4) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 6வது உறுப்பின் 6 மடங்கும் 7வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 13வது உறுப்பு

1. a) 0
2. b) 6
3. c) 7
4. d) 13

5) f : A→B ஆனது இருபுறச்சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது

1. a) 7
2. b) 49
3. c) 1
4. d) 14

6) 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்

1. a) 2025
2. b) 5220
3. c) 5025
4. d) 2520

7) \( \frac{3}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, ...... \) என்ற தொடர் வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு

1. a) \( \frac{1}{24} \)
2. b) \( \frac{1}{27} \)
3. c) \( \frac{2}{3} \)
4. d) \( \frac{1}{81} \)

II. எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி: (வினா எண் 14க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்) 5×2=10

8) B×A = {(-2, 3), (-2, 4), (0, 3), (0, 4), (3, 3), (3, 4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

9) A = {-2, -1, 0, 1, 2} மற்றும் f : A→B என்ற சார்பானது f(x) = x²+x+1 மேல்சார்பு எனில், Bஐ காண்க.

10) \( 10^4 \equiv x \) (மட்டு 19) என்றவாறு அமையும் x மதிப்பைக் கணக்கிடுக.

11) x, 10, y, 24, z என்பவை ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ளன எனில் x, y, z ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க.

12) 1+2+3+...+k = 325 எனில், \(1^3+2^3+3^3+.......+k^3\)-ன் மதிப்பு காண்க.

13) R என்ற ஒரு உறவு {(x, y) / y = x+3, x∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும் வீச்சகத்தையும் கண்டறிக.

14) \( 3+1+\frac{1}{3}+...... \) என்ற தொடரின் கூடுதல் காண்க.

III. எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி: (வினா எண் 21க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்) 5×5=25

15) A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும், C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில், கீழ்க்கண்டவற்றைச் சரிபார்க்க:
(A∩B)×C = (A×C) ∩ (B×C)

16) A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {2, 5, 8, 11, 14} என்பன இரு கணங்கள் என்க. f : A→B எனும் சார்பு f(x) = 3x-1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பினைக் கொண்டு (i) அம்புக்குறிபடம் (ii) அட்டவணை (iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (iv) வரைபடம் ஆகியவற்றைக் குறிக்க.

17) 600-க்கும் 800-க்கும் இடையே 11 ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதல் காண்க.

18) 5+55+555+... என்ற தொடர் வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

19) ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ......, 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

20) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

21) f(x) = x-4, g(x) = x² மற்றும் h(x) = 3x-5 எனில் (fog)oh = fo(goh) என நிறுவுக.

IV. பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்க: 1×8=8

22) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQRக்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{7}{4} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{7}{4} > 1 \))

(அல்லது)

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் LMNன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{4}{5} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{4}{5} < 1 \))

விடைகள்

I. சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக:

1) n(A×B) = 6 மற்றும் A = {1, 3} எனில் n(B) ஆனது

விடை: c) 3 தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டவை: \( n(A \times B) = 6 \) மற்றும் \( A = \{1, 3\} \).
• கணம் A-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \( n(A) = 2 \).
• நமக்குத் தெரிந்த सूत्रம்: \( n(A \times B) = n(A) \times n(B) \).
• மதிப்புகளைப் பிரதியிட: \( 6 = 2 \times n(B) \).
• \( n(B) = \frac{6}{2} = 3 \).
• எனவே, n(B) ஆனது 3 ஆகும்.

2) f(x) = (x+1)³ – (x−1)³ குறிப்பிடும் சார்பானது

விடை: d) இருபடிச்சார்பு தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்ட சார்பு: \( f(x) = (x+1)^3 - (x-1)^3 \).
• சூத்திரங்கள்: \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) மற்றும் \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \).
• விரிவுபடுத்த: \( f(x) = (x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3) - (x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3) \).
• \( f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \).
• \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \).
• ஒத்த உறுப்புகளைச் சுருக்க: \( f(x) = (x^3 - x^3) + (3x^2 + 3x^2) + (3x - 3x) + (1 + 1) \).
• \( f(x) = 6x^2 + 2 \).
• இது \( ax^2 + bx + c \) என்ற வடிவில் உள்ளதால், இது ஒரு இருபடிச்சார்பு ஆகும்.

3) 1729 -ஐ பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்

விடை: c) 3 தீர்வு:

• 1729-ஐ பகாக் காரணிப்படுத்துவோம்.
• \( 1729 = 7 \times 247 \)
• \( 247 = 13 \times 19 \)
• எனவே, \( 1729 = 7^1 \times 13^1 \times 19^1 \).
• பகா எண்களின் அடுக்குகள் 1, 1, மற்றும் 1.
• அடுக்குகளின் கூடுதல் = \( 1 + 1 + 1 = 3 \).

4) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 6வது உறுப்பின் 6 மடங்கும் 7வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 13வது உறுப்பு

விடை: a) 0 தீர்வு:

• ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n-வது உறுப்பு \( t_n = a + (n-1)d \).
• கொடுக்கப்பட்டவை: \( 6 \times t_6 = 7 \times t_7 \).
• \( 6(a + (6-1)d) = 7(a + (7-1)d) \).
• \( 6(a + 5d) = 7(a + 6d) \).
• \( 6a + 30d = 7a + 42d \).
• \( 6a - 7a = 42d - 30d \).
• \( -a = 12d \implies a + 12d = 0 \).
• 13வது உறுப்பு \( t_{13} = a + (13-1)d = a + 12d \).
• மேலே கண்டறிந்தபடி, \( a + 12d = 0 \).
• எனவே, \( t_{13} = 0 \).

5) f : A→B ஆனது இருபுறச்சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது

விடை: a) 7 தீர்வு:

• f : A→B ஒரு இருபுறச்சார்பு (bijection) எனில், அது ஒன்றுக்கு-ஒன்றான சார்பு (one-to-one) மற்றும் மேல்சார்பு (onto) ஆகும்.
• ஒரு சார்பு இருபுறச்சார்பாக இருக்க வேண்டுமெனில், மதிப்பகம் (A) மற்றும் துணை மதிப்பகம் (B) ஆகியவற்றில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும்.
• அதாவது, \( n(A) = n(B) \).
• கொடுக்கப்பட்டவை \( n(B) = 7 \).
• எனவே, \( n(A) = 7 \).

6) 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்

விடை: d) 2520 தீர்வு:

• நாம் 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ஆகிய எண்களின் மீ.சி.ம (LCM) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
• ஒவ்வொரு எண்ணையும் அதன் பகா காரணிகளாகப் பிரிப்போம்:
• \(1 = 1\)
• \(2 = 2^1\)
• \(3 = 3^1\)
• \(4 = 2^2\)
• \(5 = 5^1\)
• \(6 = 2 \times 3\)
• \(7 = 7^1\)
• \(8 = 2^3\)
• \(9 = 3^2\)
• \(10 = 2 \times 5\)
• மீ.சி.ம காண, ஒவ்வொரு பகா காரணியின் உயர்ந்த அடுக்கை எடுத்துப் பெருக்க வேண்டும்.
• பகா காரணிகள்: 2, 3, 5, 7.
• 2-ன் உயர்ந்த அடுக்கு: \(2^3\) (8-லிருந்து).
• 3-ன் உயர்ந்த அடுக்கு: \(3^2\) (9-லிருந்து).
• 5-ன் உயர்ந்த அடுக்கு: \(5^1\) (5-லிருந்து).
• 7-ன் உயர்ந்த அடுக்கு: \(7^1\) (7-லிருந்து).
• மீ.சி.ம = \(2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35 = 2520\).

7) \( \frac{3}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, ...... \) என்ற தொடர் வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு

விடை: b) \( \frac{1}{27} \) தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்ட தொடர் வரிசை ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசையா (GP) என சோதிப்போம்.
• பொது விகிதம் \( r = \frac{T_2}{T_1} = \frac{1/8}{3/16} = \frac{1}{8} \times \frac{16}{3} = \frac{2}{3} \).
• \( r = \frac{T_3}{T_2} = \frac{1/12}{1/8} = \frac{1}{12} \times \frac{8}{1} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \).
• பொது விகிதம் \( r = \frac{2}{3} \) ஆகும். இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை.
• அடுத்த உறுப்பு \( T_5 = T_4 \times r \).
• \( T_5 = \frac{1}{18} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27} \).

II. எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி

8) B×A = {(-2, 3), (-2, 4), (0, 3), (0, 4), (3, 3), (3, 4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

தீர்வு:

• B×A-ன் வரையறைப்படி, வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள முதல் உறுப்புகள் கணம் B-ஐச் சேர்ந்தவை, மற்றும் இரண்டாம் உறுப்புகள் கணம் A-ஐச் சேர்ந்தவை.
• முதல் உறுப்புகளின் கணம்: `B = {-2, 0, 3}`.
• இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்: `A = {3, 4}`.
• எனவே, `A = {3, 4}` மற்றும் `B = {-2, 0, 3}`.

9) A = {-2, -1, 0, 1, 2} மற்றும் f : A→B என்ற சார்பானது f(x) = x²+x+1 மேல்சார்பு எனில், Bஐ காண்க.

தீர்வு:

• f ஆனது ஒரு மேல்சார்பு என்பதால், அதன் வீச்சகமும் துணை மதிப்பகமும் (B) சமமாக இருக்கும். எனவே, B-ஐக் கண்டுபிடிக்க A-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் f(x)-ன் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும்.
• f(x) = x² + x + 1
• x = -2 எனில், f(-2) = (-2)² + (-2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3
• x = -1 எனில், f(-1) = (-1)² + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1
• x = 0 எனில், f(0) = 0² + 0 + 1 = 1
• x = 1 எனில், f(1) = 1² + 1 + 1 = 3
• x = 2 எனில், f(2) = 2² + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7
• சார்பின் வீச்சகம் = {1, 3, 7}.
• f ஒரு மேல்சார்பு என்பதால், துணை மதிப்பகம் B = வீச்சகம்.
• எனவே, `B = {1, 3, 7}`.

10) \( 10^4 \equiv x \) (மட்டு 19) என்றவாறு அமையும் x மதிப்பைக் கணக்கிடுக.

தீர்வு:

• நாம் \( 10^4 \)-ஐ 19 ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
• \( 10^2 = 100 \).
• 100-ஐ 19 ஆல் வகுக்க: \( 100 = 5 \times 19 + 5 \).
• எனவே, \( 10^2 \equiv 5 \) (மட்டு 19).
• இப்போது, \( 10^4 = (10^2)^2 \).
• \( (10^2)^2 \equiv 5^2 \) (மட்டு 19).
• \( 10^4 \equiv 25 \) (மட்டு 19).
• 25-ஐ 19 ஆல் வகுக்க: \( 25 = 1 \times 19 + 6 \).
• எனவே, \( 25 \equiv 6 \) (மட்டு 19).
• ஆகவே, x-ன் மதிப்பு 6 ஆகும்.

11) x, 10, y, 24, z என்பவை ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ளன எனில் x, y, z ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொடர் வரிசை: x, 10, y, 24, z.
• 10, y, 24 ஆகியவை தொடர்ச்சியான உறுப்புகள். எனவே, y என்பது 10 மற்றும் 24-ன் கூட்டல் சராசரி ஆகும்.
• \( y = \frac{10 + 24}{2} = \frac{34}{2} = 17 \).
• இப்போது வரிசை: x, 10, 17, 24, z.
• பொது வித்தியாசம், \( d = 17 - 10 = 7 \).
• x-ஐக் கண்டுபிடிக்க: \( 10 - x = d \implies 10 - x = 7 \implies x = 3 \).
• z-ஐக் கண்டுபிடிக்க: \( z - 24 = d \implies z - 24 = 7 \implies z = 31 \).
• எனவே, \( x = 3, y = 17, z = 31 \).

12) 1+2+3+...+k = 325 எனில், \(1^3+2^3+3^3+.......+k^3\)-ன் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

• முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: \( \sum_{i=1}^{k} i = 1+2+...+k = \frac{k(k+1)}{2} \).
• முதல் n இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: \( \sum_{i=1}^{k} i^3 = 1^3+2^3+...+k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 \).
• கொடுக்கப்பட்டவை: \( 1+2+3+...+k = 325 \).
• எனவே, \( \frac{k(k+1)}{2} = 325 \).
• கண்டுபிடிக்க வேண்டியது: \( 1^3+2^3+...+k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 \).
• \( 1^3+2^3+...+k^3 = (325)^2 \).
• \( 325^2 = 105625 \).
• எனவே, \(1^3+2^3+3^3+.......+k^3 = 105625\).

13) R என்ற ஒரு உறவு {(x, y) / y = x+3, x∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும் வீச்சகத்தையும் கண்டறிக.

தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்ட உறவு: \( R = \{(x, y) | y = x+3, x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\} \).
• x-ன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் y-ன் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:
• x = 0 எனில், y = 0 + 3 = 3
• x = 1 எனில், y = 1 + 3 = 4
• x = 2 எனில், y = 2 + 3 = 5
• x = 3 எனில், y = 3 + 3 = 6
• x = 4 எனில், y = 4 + 3 = 7
• x = 5 எனில், y = 5 + 3 = 8
• உறவு R-ல் உள்ள வரிசைச் சோடிகள்: `R = {(0, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}`.
• மதிப்பகம் (Domain): வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள அனைத்து முதல் உறுப்புகளின் கணம்.
  மதிப்பகம் = `{0, 1, 2, 3, 4, 5}`.
• வீச்சகம் (Range): வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள அனைத்து இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்.
  வீச்சகம் = `{3, 4, 5, 6, 7, 8}`.

14) \( 3+1+\frac{1}{3}+...... \) என்ற தொடரின் கூடுதல் காண்க. (கட்டாய வினா)

தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்ட தொடர்: \( 3+1+\frac{1}{3}+...... \)
• இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை (GP) ஆகும்.
• முதல் உறுப்பு \( a = 3 \).
• பொது விகிதம் \( r = \frac{1}{3} \).
• \( |r| = |\frac{1}{3}| < 1 \) என்பதால், இந்த முடிவிலித் தொடரின் கூடுதல் உள்ளது.
• முடிவிலித் தொடரின் கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: \( S_\infty = \frac{a}{1-r} \).
• \( S_\infty = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{3-1}{3}} = \frac{3}{\frac{2}{3}} \).
• \( S_\infty = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2} \).
• எனவே, தொடரின் கூடுதல் \( \frac{9}{2} \) ஆகும்.

III. எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி

15) A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும், C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில், கீழ்க்கண்டவற்றைச் சரிபார்க்க:
(A∩B)×C = (A×C) ∩ (B×C)

தீர்வு:

• முதலில் கணங்களை வரையறுப்போம்:
  • A = {8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்கள்} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
  • B = {8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்} = {2, 3, 5, 7}
  • C = {இரட்டைப்படை பகா எண்கள்} = {2}
• இடது பக்கம் (LHS): (A∩B)×C
  • A∩B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ∩ {2, 3, 5, 7} = {2, 3, 5, 7}
  • (A∩B)×C = {2, 3, 5, 7} × {2} = {(2, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)}
• வலது பக்கம் (RHS): (A×C) ∩ (B×C)
  • A×C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {2} = {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (7, 2)}
  • B×C = {2, 3, 5, 7} × {2} = {(2, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)}
  • (A×C) ∩ (B×C) = {(2, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)}
• LHS = RHS. எனவே, (A∩B)×C = (A×C) ∩ (B×C) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.

16) A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {2, 5, 8, 11, 14} என்பன இரு கணங்கள் என்க. f : A→B எனும் சார்பு f(x) = 3x-1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பினைக் கொண்டு (i) அம்புக்குறிபடம் (ii) அட்டவணை (iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (iv) வரைபடம் ஆகியவற்றைக் குறிக்க.

தீர்வு:

• f(x) = 3x-1; A = {1, 2, 3, 4}
  • f(1) = 3(1) - 1 = 2
  • f(2) = 3(2) - 1 = 5
  • f(3) = 3(3) - 1 = 8
  • f(4) = 3(4) - 1 = 11
• (i) அம்புக்குறிபடம்:

  (இங்கே வரைபடம் தேவை, உரை விளக்கம் கீழே)

  A என்ற வட்டத்திலிருந்து B என்ற வட்டத்திற்கு அம்புக்குறிகள் வரையவும்: 1→2, 2→5, 3→8, 4→11.

• (ii) அட்டவணை:

  x	f(x)
  1	2
  2	5
  3	8
  4	11

• (iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:

  f = {(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11)}

• (iv) வரைபடம்:

  (இங்கே வரைபடம் தேவை, உரை விளக்கம் கீழே)

  ஒரு வரைபடத்தில் (1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11) ஆகிய புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.

17) 600-க்கும் 800-க்கும் இடையே 11 ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

• 600-க்கு அடுத்த 11-ஆல் வகுபடும் எண்: \(600 \div 11 \approx 54.5\). எனவே, முதல் எண் \(55 \times 11 = 605\).
• 800-க்கு முந்தைய 11-ஆல் வகுபடும் எண்: \(800 \div 11 \approx 72.7\). எனவே, கடைசி எண் \(72 \times 11 = 792\).
• இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை: 605, 616, ..., 792.
• முதல் உறுப்பு a = 605, கடைசி உறுப்பு l = 792, பொது வித்தியாசம் d = 11.
• உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (n): \(n = \frac{l-a}{d} + 1\)
• \(n = \frac{792-605}{11} + 1 = \frac{187}{11} + 1 = 17 + 1 = 18\).
• கூடுதல் (S_n): \(S_n = \frac{n}{2}(a+l)\)
• \(S_{18} = \frac{18}{2}(605+792) = 9 \times 1397 = 12573\).
• கூடுதல் = 12573.

18) 5+55+555+... என்ற தொடர் வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

• \(S_n = 5 + 55 + 555 + \dots + n\) உறுப்புகள்
• \(S_n = 5(1 + 11 + 111 + \dots)\)
• 9 ஆல் பெருக்கி வகுக்க: \(S_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \dots)\)
• \(S_n = \frac{5}{9}((10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots)\)
• \(S_n = \frac{5}{9}((10+10^2+10^3+\dots) - (1+1+1+\dots n \text{ முறை}))\)
• முதல் பகுதி ஒரு GP (a=10, r=10). அதன் கூடுதல்: \( \frac{10(10^n - 1)}{10-1} = \frac{10(10^n - 1)}{9} \)
• இரண்டாம் பகுதி n ஆகும்.
• \(S_n = \frac{5}{9}\left[ \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right]\)
• \(S_n = \frac{50}{81}(10^n - 1) - \frac{5n}{9}\)

19) ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ......, 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

தீர்வு:

• நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது மொத்தப் பரப்பு: \(10^2 + 11^2 + 12^2 + \dots + 24^2\).
• இதை நாம் இவ்வாறு எழுதலாம்: \((1^2 + 2^2 + \dots + 24^2) - (1^2 + 2^2 + \dots + 9^2)\).
• சூத்திரம்: \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \).
• \( \sum_{k=1}^{24} k^2 = \frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 4900 \).
• \( \sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285 \).
• தேவையான கூடுதல் = 4900 - 285 = 4615.
• மொத்தப் பரப்பு 4615 ச.செ.மீ. ஆகும்.

20) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

• மூன்று உறுப்புகளை a-d, a, a+d என எடுத்துக்கொள்வோம்.
• கூடுதல்: (a-d) + a + (a+d) = 27 \(\implies\) 3a = 27 \(\implies\) a = 9.
• பெருக்கற்பலன்: (a-d) * a * (a+d) = 288.
• a = 9 என பிரதியிட: (9-d) * 9 * (9+d) = 288.
• \( (9-d)(9+d) = \frac{288}{9} = 32 \).
• \( 81 - d^2 = 32 \).
• \( d^2 = 81 - 32 = 49 \).
• \( d = \pm 7 \).
• d = 7 எனில், உறுப்புகள்: 9-7, 9, 9+7 \(\implies\) 2, 9, 16.
• d = -7 எனில், உறுப்புகள்: 9-(-7), 9, 9-7 \(\implies\) 16, 9, 2.
• எனவே, அந்த மூன்று உறுப்புகள் 2, 9, 16.

21) f(x) = x-4, g(x) = x² மற்றும் h(x) = 3x-5 எனில் (fog)oh = fo(goh) என நிறுவுக. (கட்டாய வினா)

தீர்வு:

• இடது பக்கம் (LHS): (fog)oh
  • முதலில் fog(x) = f(g(x)) = f(x²) = x² - 4.
  • (fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x-5).
  • (3x-5)-ஐ x² - 4 இல் பிரதியிட: \((3x-5)^2 - 4 = (9x^2 - 30x + 25) - 4 = 9x^2 - 30x + 21\).
• வலது பக்கம் (RHS): fo(goh)
  • முதலில் goh(x) = g(h(x)) = g(3x-5) = (3x-5)² = 9x² - 30x + 25.
  • fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(9x² - 30x + 25).
  • (9x² - 30x + 25)-ஐ x-4 இல் பிரதியிட: \((9x^2 - 30x + 25) - 4 = 9x^2 - 30x + 21\).
• LHS = RHS. எனவே, (fog)oh = fo(goh) என்பது நிறுவப்பட்டது.

IV. பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்க

22) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQRக்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{7}{4} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{7}{4} > 1 \))

தீர்வு (வரைமுறை):

1. ஏதேனும் ஓர் അളവിൽ முக்கோணம் PQR வரைக.
2. QR என்ற பக்கத்திற்கு கீழே குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற ஒரு கதிரை வரைக.
3. QX-ல், \(Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6, Q_7\) என்ற 7 புள்ளிகளை (7/4-ல் பெரிய எண் 7) சம அளவில் குறிக்கவும். அதாவது, \(QQ_1 = Q_1Q_2 = \dots = Q_6Q_7\).
4. \(Q_4R\)-ஐ (7/4-ல் சிறிய எண் 4) இணைக்கவும்.
5. \(Q_4R\)-க்கு இணையாக \(Q_7\)-லிருந்து ஒரு கோடு வரைக. இது நீட்டப்பட்ட QR-ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
6. PR-க்கு இணையாக R'-லிருந்து ஒரு கோடு வரைக. இது நீட்டப்பட்ட QP-ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
7. முக்கோணம் P'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் முக்கோணம் PQR-ன் பக்கங்களைப் போல் \( \frac{7}{4} \) மடங்கு இருக்கும்.

(அல்லது)

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் LMNன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{4}{5} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{4}{5} < 1 \))

தீர்வு (வரைமுறை):

1. ஏதேனும் ஓர் അളവിൽ முக்கோணம் LMN வரைக.
2. MN என்ற பக்கத்திற்கு கீழே குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு MX என்ற ஒரு கதிரை வரைக.
3. MX-ல், \(M_1, M_2, M_3, M_4, M_5\) என்ற 5 புள்ளிகளை (4/5-ல் பெரிய எண் 5) சம அளவில் குறிக்கவும். அதாவது, \(MM_1 = M_1M_2 = \dots = M_4M_5\).
4. \(M_5N\)-ஐ (4/5-ல் பகுதி 5) இணைக்கவும்.
5. \(M_5N\)-க்கு இணையாக \(M_4\)-லிருந்து (4/5-ல் தொகுதி 4) ஒரு கோடு வரைக. இது MN-ஐ N' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
6. LN-க்கு இணையாக N'-லிருந்து ஒரு கோடு வரைக. இது LM-ஐ L' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
7. முக்கோணம் L'MN' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் முக்கோணம் LMN-ன் பக்கங்களைப் போல் \( \frac{4}{5} \) மடங்கு இருக்கும்.