🔬 Science 1st Mid Term Test 2024 - Original Question Paper | Thiruvarur

முதல் இடைப்பருவத் தேர்வு - 2024

பத்தாம் வகுப்பு கணிதம் - விடைகளுடன்

நேரம் : 1.30 மணி | மதிப்பெண்கள் : 50

வினாத்தாள் மற்றும் தீர்வுகள்

பகுதி - அ 7 x 1 = 7

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

1. A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில் n[(A∪C) x B] ஆனது

அ) 8 ஆ) 20 இ) 12 ஈ) 16

விடை: இ) 12

விளக்கம்:

• கொடுக்கப்பட்ட கணங்கள்:
  A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s}
• முதலில், A∪C ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:
  A∪C = {a,b,p} ∪ {p,q,r,s} = {a,b,p,q,r,s}
• A∪C இல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை:
  \( n(A \cup C) = 6 \)
• B இல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை:
  \( n(B) = 2 \)
• இப்போது, n[(A∪C) x B] ஐக் கணக்கிடுவோம்:
  \( n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B) \)
  \( = 6 \times 2 = 12 \)

2. f: A→B ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது

அ) 7 ஆ) 49 இ) 1 ஈ) 14

விடை: அ) 7

விளக்கம்:

• ஒரு சார்பு f: A→B இருபுறச் சார்பு (bijection) எனில், அது ஒன்றுக்கு ஒன்றான சார்பாகவும் மற்றும் மேல் சார்பாகவும் இருக்கும்.
• இருபுறச் சார்பின் வரையறைப்படி, மதிப்பகத்தில் (A) உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையும், துணை மதிப்பகத்தில் (B) உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
• எனவே, \( n(A) = n(B) \).
• இங்கு \( n(B) = 7 \) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
• ஆகவே, \( n(A) = 7 \).

3. f(x) = (x + 1)³ − (x − 1)³ குறிப்பிடும் சார்பு

அ) நேரிய சார்பு ஆ) கனச்சார்பு இ) தலைக்கீழ் சார்பு ஈ) இருபடிச் சார்பு

விடை: ஈ) இருபடிச் சார்பு

விளக்கம்:

• கொடுக்கப்பட்ட சார்பு: \( f(x) = (x + 1)^3 - (x - 1)^3 \)
• சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம்:
  \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
  \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \)
• இங்கு a = x மற்றும் b = 1.
  \( (x+1)^3 = x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)
  \( (x-1)^3 = x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \)
• இப்போது கழிக்கவும்:
  \( f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \)
  \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \)
  \( f(x) = (x^3 - x^3) + (3x^2 + 3x^2) + (3x - 3x) + (1 + 1) \)
  \( f(x) = 6x^2 + 2 \)
• இந்த சார்பின் படி 2 ஆகும், எனவே இது ஒரு இருபடிச் சார்பு (Quadratic function).

4. 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்

அ) 2025 ஆ) 5220 இ) 5025 ஈ) 2520

விடை: ஈ) 2520

விளக்கம்:

• 1 முதல் 10 வரையுள்ள எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
• எண்கள்: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
• அவற்றின் பகா காரணிப்படுத்துதல்:
  1 = 1
  2 = 2
  3 = 3
  4 = \(2^2\)
  5 = 5
  6 = 2 × 3
  7 = 7
  8 = \(2^3\)
  9 = \(3^2\)
  10 = 2 × 5
• மீ.பொ.ம (LCM) காண, ஒவ்வொரு பகா எண்ணின் அதிகபட்ச அடுக்கை எடுத்துப் பெருக்க வேண்டும்.
  பகா எண்கள்: 2, 3, 5, 7.
  அதிகபட்ச அடுக்குகள்: \(2^3\), \(3^2\), \(5^1\), \(7^1\).
• மீ.பொ.ம = \(2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35 = 2520\).

5. \(F_1 = 1, F_2 = 3\) மற்றும் \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\) எனக் கொடுக்கப்படின் \(F_5\) ஆனது

அ) 3 ஆ) 5 இ) 8 ஈ) 11

விடை: ஈ) 11

விளக்கம்:

• கொடுக்கப்பட்டவை: \( F_1 = 1, F_2 = 3 \)
• தொடர்முறை விதி: \( F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \)
• \( F_3 = F_{3-1} + F_{3-2} = F_2 + F_1 = 3 + 1 = 4 \)
• \( F_4 = F_{4-1} + F_{4-2} = F_3 + F_2 = 4 + 3 = 7 \)
• \( F_5 = F_{5-1} + F_{5-2} = F_4 + F_3 = 7 + 4 = 11 \)

6. x + y − 3z = −6, −7y + 7z = 7, 3z = 9 என்ற தொகுப்பின் தீர்வு

அ) x = 1, y = 2, z = 3 ஆ) x = -1, y = 2, z = 3 இ) x = -1, y = -2, z = 3 ஈ) x = -1, y = -2, z = -3

விடை: அ) x = 1, y = 2, z = 3

விளக்கம்:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:

1. \( x + y - 3z = -6 \)
2. \( -7y + 7z = 7 \)
3. \( 3z = 9 \)

• சமன்பாடு (3) லிருந்து:
  \( 3z = 9 \implies z = 9/3 \implies z = 3 \)
• z = 3 ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட:
  \( -7y + 7(3) = 7 \)
  \( -7y + 21 = 7 \)
  \( -7y = 7 - 21 \)
  \( -7y = -14 \implies y = -14/-7 \implies y = 2 \)
• y = 2 மற்றும் z = 3 ஐ சமன்பாடு (1) இல் பிரதியிட:
  \( x + (2) - 3(3) = -6 \)
  \( x + 2 - 9 = -6 \)
  \( x - 7 = -6 \)
  \( x = -6 + 7 \implies x = 1 \)
• எனவே, தீர்வு: \( x=1, y=2, z=3 \).

7. ΔLMN ல் ∠L = 60°, ∠M = 50° மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில் ∠R ன் மதிப்பு

அ) 40° ஆ) 70° இ) 30° ஈ) 110°

விடை: ஆ) 70°

விளக்கம்:

• ΔLMN இல், ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180° ஆகும்.
  \( \angle L + \angle M + \angle N = 180^\circ \)
• கொடுக்கப்பட்டவை: \( \angle L = 60^\circ, \angle M = 50^\circ \)
  \( 60^\circ + 50^\circ + \angle N = 180^\circ \)
  \( 110^\circ + \angle N = 180^\circ \)
  \( \angle N = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)
• ΔLMN ~ ΔPQR (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
• வடிவொத்த முக்கோணங்களில், ஒத்த கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்.
  \( \angle L = \angle P, \angle M = \angle Q, \angle N = \angle R \)
• எனவே, \( \angle R = \angle N = 70^\circ \).

பகுதி - ஆ 5 x 2 = 10

எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 14 கட்டாய வினா).

8. B × A = {(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டது: B × A = {(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)}.
• கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் B × A இல், முதல் உறுப்புகள் அனைத்தும் கணம் B ஐச் சேர்ந்தவை, மற்றும் இரண்டாவது உறுப்புகள் அனைத்தும் கணம் A ஐச் சேர்ந்தவை.
• கணம் B: வரிசைச் சோடிகளின் முதல் உறுப்புகளின் கணம்.
  B = {-2, 0, 3}
• கணம் A: வரிசைச் சோடிகளின் இரண்டாவது உறுப்புகளின் கணம்.
  A = {3, 4}

9. f என்ற உறவானது f(x) = x² − 2 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு x ∈ {-2, -1, 0, 3} எனக் கொண்டால்

1. f ன் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக.
2. f ஒரு சார்பாகுமா?

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு: \( f(x) = x^2 - 2 \)
மதிப்பகம்: x ∈ {-2, -1, 0, 3}

• x = -2 எனில், \( f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \)
• x = -1 எனில், \( f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \)
• x = 0 எனில், \( f(0) = (0)^2 - 2 = 0 - 2 = -2 \)
• x = 3 எனில், \( f(3) = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7 \)

1. f ன் உறுப்புகள்:
   f = {(-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (3, 7)}
2. f ஒரு சார்பாகுமா?
   ஆம், f ஒரு சார்பாகும். ஏனெனில், மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் (x), வீச்சகத்தில் ஒரே ஒரு நிழல் உரு (f(x)) உள்ளது.

10. aᵇ × bᵃ = 800 என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் ‘a' மற்றும் 'b' ஐக் காண்க.

தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: \( a^b \times b^a = 800 \).
• 800 ஐ பகா காரணிப்படுத்துவோம்:
  \( 800 = 8 \times 100 = 2^3 \times 10^2 = 2^3 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 5^2 \)
• இப்போது சமன்பாட்டை ஒப்பிடுவோம்:
  \( a^b \times b^a = 2^5 \times 5^2 \)
• வடிவத்தை ஒப்பிடுவதன் மூலம், நாம் காணலாம்:
  a = 2 மற்றும் b = 5.
• சரிபார்த்தல்:
  \( 2^5 \times 5^2 = 32 \times 25 = 800 \). இது சரி.
• எனவே, மிகை முழுக்கள் a = 2 மற்றும் b = 5 ஆகும்.

11. 9 + 3 + 1 + ....... என்ற முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்ட தொடர் ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP).
• முதல் உறுப்பு, a = 9.
• பொது விகிதம், \( r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).
• \(|r| = |\frac{1}{3}| < 1\) என்பதால், முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதல் காண இயலும்.
• முடிவுறா உறுப்புகளின் கூடுதல் சூத்திரம்: \( S_\infty = \frac{a}{1-r} \)
• \( S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{3-1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \times \frac{3}{2} = \frac{27}{2} \)
• எனவே, கூடுதல் 27/2 அல்லது 13.5.

12. \( a_n = \frac{5n}{n+2} \) என்பது தொடர்வரிசையின் n-வது உறுப்பு எனில் a₆ மற்றும் a₁₃ உறுப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட n-வது உறுப்பு: \( a_n = \frac{5n}{n+2} \)

• a₆ ஐக் காண: n = 6 எனப் பிரதியிடவும்.
  \( a_6 = \frac{5(6)}{6+2} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} \)
• a₁₃ ஐக் காண: n = 13 எனப் பிரதியிடவும்.
  \( a_{13} = \frac{5(13)}{13+2} = \frac{65}{15} = \frac{13}{3} \)

எனவே, \( a_6 = \frac{15}{4} \) மற்றும் \( a_{13} = \frac{13}{3} \).

13. ΔABC ஆனது ΔDEF க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் ΔABC ன் பரப்பு 54 செ.மீ² எனில், ΔDEF யின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

• இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்புகளின் விகிதமானது, அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.
• \( \frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2 \)
• கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
  \( \frac{54}{\text{Area}(\triangle DEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \)
• \( \text{Area}(\triangle DEF) = 54 \times \frac{16}{9} \)
• \( \text{Area}(\triangle DEF) = 6 \times 16 = 96 \)
• எனவே, ΔDEF யின் பரப்பு 96 செ.மீ².

14. கூடுதல் காண்க: 1 + 8 + 27 + .......... + 1000 (கட்டாய வினா)

தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்ட தொடர்: 1 + 8 + 27 + ... + 1000.
• இதை கனங்களின் கூடுதலாக எழுதலாம்: \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 10^3 \) (ஏனெனில் \( 1000 = 10^3 \)).
• இது முதல் 'n' இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல் ஆகும். இங்கு n = 10.
• சூத்திரம்: \( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)
• n = 10 எனப் பிரதியிட:
  கூடுதல் = \( \left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^2 \)
• கூடுதல் = \( (5 \times 11)^2 = (55)^2 = 3025 \)
• எனவே, கூடுதல் 3025.

பகுதி - இ 5 x 5 = 25

எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 21 கட்டாய வினா).

15. A = {1,2,3}, B = {2,3,5}, C = {3,4}, D = {1,3,5} எனில் (A ∩ C) x (B ∩ D) = (A x B) ∩ (C x D) என்பது உண்மையா என சோதிக்கவும்.

தீர்வு:

இடது கை பக்கம் (LHS): (A ∩ C) x (B ∩ D)

• A ∩ C = {1,2,3} ∩ {3,4} = {3}
• B ∩ D = {2,3,5} ∩ {1,3,5} = {3,5}
• (A ∩ C) x (B ∩ D) = {3} x {3,5} = {(3,3), (3,5)} --- (1)

வலது கை பக்கம் (RHS): (A x B) ∩ (C x D)

• A x B = {1,2,3} x {2,3,5}
  = {(1,2), (1,3), (1,5), (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5)}
• C x D = {3,4} x {1,3,5}
  = {(3,1), (3,3), (3,5), (4,1), (4,3), (4,5)}
• (A x B) ∩ (C x D) என்பது A x B மற்றும் C x D ஆகிய இரண்டிலும் உள்ள பொதுவான உறுப்புகள்.
  = {(3,3), (3,5)} --- (2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS என்பது தெளிவாகிறது.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு உண்மை என சரிபார்க்கப்பட்டது.

16. f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 − 2x, h(x) = 3x எனில் fo(goh) = (fog)oh என நிறுவுக.

தீர்வு:

இடது கை பக்கம் (LHS): fo(goh)

• முதலில், goh(x) ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:
  goh(x) = g(h(x)) = g(3x)
  = 1 - 2(3x) = 1 - 6x
• அடுத்து, fo(goh)(x) ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:
  fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(1-6x)
  = 2(1 - 6x) + 3
  = 2 - 12x + 3
  = 5 - 12x --- (1)

வலது கை பக்கம் (RHS): (fog)oh

• முதலில், fog(x) ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:
  fog(x) = f(g(x)) = f(1 - 2x)
  = 2(1 - 2x) + 3
  = 2 - 4x + 3
  = 5 - 4x
• அடுத்து, (fog)oh(x) ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:
  (fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x)
  = 5 - 4(3x)
  = 5 - 12x --- (2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS.

எனவே, fo(goh) = (fog)oh என்பது நிறுவப்பட்டது.

17. யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி 84, 90 மற்றும் 120 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. காண்க.

தீர்வு:

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றம்: a = bq + r, இங்கு 0 ≤ r < b.

• படி 1: 90 மற்றும் 84 இன் மீ.பொ.வ காண்போம்.
  \( 90 = 84 \times 1 + 6 \) (இங்கு மீதி 6)
  \( 84 = 6 \times 14 + 0 \) (இங்கு மீதி 0)
  எனவே, HCF(90, 84) = 6.
• படி 2: படி 1-ல் கிடைத்த மீ.பொ.வ (6) மற்றும் மூன்றாவது எண் (120) ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ காண்போம்.
  \( 120 = 6 \times 20 + 0 \) (இங்கு மீதி 0)
  எனவே, HCF(120, 6) = 6.

ஆக, 84, 90 மற்றும் 120 இன் மீப்பெரு பொது வகுத்தி (மீ.பொ.வ) 6 ஆகும்.

18. 5 + 55 + 555 + ....... என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட தொடர்: \( S_n = 5 + 55 + 555 + \dots + n \) உறுப்புகள் வரை.

• 5 ஐப் பொதுவாக வெளியே எடுக்க:
  \( S_n = 5(1 + 11 + 111 + \dots + n \text{ உறுப்புகள்}) \)
• 9 ஆல் பெருக்கி வகுக்க:
  \( S_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ உறுப்புகள்}) \)
• ஒவ்வொரு உறுப்பையும் (10ⁿ - 1) வடிவில் எழுத:
  \( S_n = \frac{5}{9}((10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots + n \text{ உறுப்புகள்}) \)
• தொடரைப் பிரிக்க:
  \( S_n = \frac{5}{9}[(10 + 10^2 + 10^3 + \dots) - (1 + 1 + 1 + \dots)] \)
• முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் இருப்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP), அதன் முதல் உறுப்பு a = 10, பொது விகிதம் r = 10.
  இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் இருப்பது n முறை 1 ஐக் கூட்டுவதாகும், அதன் மதிப்பு n.
• பெருக்குத் தொடரின் கூடுதல் சூத்திரம் \( \frac{a(r^n - 1)}{r-1} \) ஐப் பயன்படுத்த:
  \( S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{10-1} - n \right] \)
• \( S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right] \)
• \( S_n = \frac{50}{81}(10^n - 1) - \frac{5n}{9} \)

எனவே, தொடரின் கூடுதல் \( S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right] \) ஆகும்.

19. தீர்க்க: 3x − 2y + z = 2, 2x + 3y − z = 5, x + y + z = 6

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:

1. \( 3x - 2y + z = 2 \)
2. \( 2x + 3y - z = 5 \)
3. \( x + y + z = 6 \)

• சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்டுக:
  \( (3x - 2y + z) + (2x + 3y - z) = 2 + 5 \)
  \( 5x + y = 7 \) --- (4)
• சமன்பாடு (2) மற்றும் (3) ஐக் கூட்டுக:
  \( (2x + 3y - z) + (x + y + z) = 5 + 6 \)
  \( 3x + 4y = 11 \) --- (5)
• சமன்பாடு (4) ஐ 4 ஆல் பெருக்க:
  \( 4(5x + y) = 4(7) \implies 20x + 4y = 28 \) --- (6)
• சமன்பாடு (6) லிருந்து (5) ஐக் கழிக்க:
  \( (20x + 4y) - (3x + 4y) = 28 - 11 \)
  \( 17x = 17 \implies x = 1 \)
• x = 1 ஐ சமன்பாடு (4) இல் பிரதியிட:
  \( 5(1) + y = 7 \implies y = 7 - 5 \implies y = 2 \)
• x = 1 மற்றும் y = 2 ஐ சமன்பாடு (3) இல் பிரதியிட:
  \( (1) + (2) + z = 6 \implies 3 + z = 6 \implies z = 3 \)

எனவே, தீர்வு: x = 1, y = 2, z = 3.

20. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

• கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் மூன்று உறுப்புகளை a-d, a, a+d என எடுத்துக் கொள்வோம்.
• உறுப்புகளின் கூடுதல்:
  \( (a-d) + a + (a+d) = 27 \)
  \( 3a = 27 \implies a = 9 \)
• உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன்:
  \( (a-d) \times a \times (a+d) = 288 \)
  \( (9-d) \times 9 \times (9+d) = 288 \)
  \( (9-d)(9+d) = \frac{288}{9} = 32 \)
  \( 9^2 - d^2 = 32 \)
  \( 81 - d^2 = 32 \)
  \( d^2 = 81 - 32 = 49 \)
  \( d = \pm \sqrt{49} \implies d = \pm 7 \)
• d = 7 எனில்:
  உறுப்புகள்: (9-7), 9, (9+7) => 2, 9, 16.
• d = -7 எனில்:
  உறுப்புகள்: (9-(-7)), 9, (9-7) => 16, 9, 2.

எனவே, அந்த மூன்று உறுப்புகள் 2, 9, 16 ஆகும்.

21. f : [−5, 9] → R என்ற சார்பானது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
\( f(x) = \begin{cases} 6x+1, & -5 \le x < 2 \\ 5x^2-1, & 2 \le x < 6 \\ 3x-4, & 6 \le x \le 9 \end{cases} \) எனில்,

1. f(7) − f(1)
2. \( \frac{2f(-2)-f(6)}{f(4)+f(-2)} \)

மதிப்பு காண்க. (கட்டாய வினா)

தீர்வு:

முதலில் தேவையான மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்:

• f(7): \( 6 \le 7 \le 9 \) என்பதால், \(f(x) = 3x - 4\) ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
  \( f(7) = 3(7) - 4 = 21 - 4 = 17 \)
• f(1): \( -5 \le 1 < 2 \) என்பதால், \(f(x) = 6x + 1\) ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
  \( f(1) = 6(1) + 1 = 7 \)
• f(-2): \( -5 \le -2 < 2 \) என்பதால், \(f(x) = 6x + 1\) ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
  \( f(-2) = 6(-2) + 1 = -12 + 1 = -11 \)
• f(6): \( 6 \le 6 \le 9 \) என்பதால், \(f(x) = 3x - 4\) ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
  \( f(6) = 3(6) - 4 = 18 - 4 = 14 \)
• f(4): \( 2 \le 4 < 6 \) என்பதால், \(f(x) = 5x^2 - 1\) ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும்.
  \( f(4) = 5(4^2) - 1 = 5(16) - 1 = 80 - 1 = 79 \)

i) f(7) - f(1)

\( f(7) - f(1) = 17 - 7 = 10 \)

ii) \( \frac{2f(-2)-f(6)}{f(4)+f(-2)} \)

\( \frac{2(-11) - 14}{79 + (-11)} = \frac{-22 - 14}{79 - 11} = \frac{-36}{68} \)

பின்னத்தை 4 ஆல் சுருக்க: \( \frac{-36 \div 4}{68 \div 4} = \frac{-9}{17} \)

விடைகள்:

1. f(7) - f(1) = 10
2. \( \frac{2f(-2)-f(6)}{f(4)+f(-2)} = \mathbf{-\frac{9}{17}} \)

பகுதி - ஈ 1 x 8 = 8

கீழ்க்கண்ட வினாவிற்கு விடையளிக்கவும்.

22. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{3}{5} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{3}{5} < 1 \))

(அல்லது)

ஆ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{7}{3} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{7}{3} > 1 \))

தீர்வு:

அ) அளவு காரணி \( \frac{3}{5} < 1 \) எனில் வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல்

வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஓர் അളവിൽ முக்கோணம் PQR வரைக.
2. QR என்ற பக்கத்திற்கு கீழ், குறுங்கோணம் உண்டாகுமாறு QX என்ற ஒரு கதிரை வரைக.
3. அளவு காரணியில் பெரிய எண் 5 என்பதால், QX கதிரில் சம அளவுள்ள 5 விற்களை வெட்டுக. ಅವುகளுக்கு Q₁, Q₂, Q₃, Q₄, Q₅ எனப் பெயரிடுக. (அதாவது, QQ₁ = Q₁Q₂ = Q₂Q₃ = Q₃Q₄ = Q₄Q₅)
4. ஐந்தாவது புள்ளியான Q₅ ஐ R உடன் இணைக்க (Q₅R).
5. அளவு காரணியில் சிறிய எண் 3 என்பதால், மூன்றாவது புள்ளி Q₃ வழியே, Q₅R க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QR ஐ R' இல் சந்திக்கட்டும். (∠QQ₅R = ∠QQ₃R' என அமையுமாறு வரைக)
6. R' இலிருந்து, RP க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QP ஐ P' இல் சந்திக்கட்டும்.
7. இப்போது கிடைக்கும் ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔPQR இன் பக்கங்களைப் போல் \( \frac{3}{5} \) மடங்கு இருக்கும்.

(அல்லது)

ஆ) அளவு காரணி \( \frac{7}{3} > 1 \) எனில் வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல்

வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஓர் അളവിൽ முக்கோணம் PQR வரைக.
2. QP மற்றும் QR பக்கங்களை நீட்டி கதிர்களை வரைக.
3. QR என்ற பக்கத்திற்கு கீழ், குறுங்கோணம் உண்டாகுமாறு QX என்ற ஒரு கதிரை வரைக.
4. அளவு காரணியில் பெரிய எண் 7 என்பதால், QX கதிரில் சம அளவுள்ள 7 விற்களை வெட்டுக. ಅವುகளுக்கு Q₁, Q₂, ..., Q₇ எனப் பெயரிடுக.
5. அளவு காரணியில் சிறிய எண் 3 என்பதால், மூன்றாவது புள்ளி Q₃ ஐ R உடன் இணைக்க (Q₃R).
6. ஏழாவது புள்ளி Q₇ வழியே, Q₃R க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட QR கதிரை R' இல் சந்திக்கட்டும்.
7. R' இலிருந்து, RP க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட QP கதிரை P' இல் சந்திக்கட்டும்.
8. இப்போது கிடைக்கும் ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔPQR இன் பக்கங்களைப் போல் \( \frac{7}{3} \) மடங்கு இருக்கும்.

*******