🔬 Science 1st Mid Term Test 2024 - Original Question Paper | Tamil & English Medium With Answer Key | Tenkasi (New)

Standard 10 MATHS / வகுப்பு 10 கணிதம்

Tenkasi District - Common First Mid Term Test - 2024 / தென்காசி மாவட்டம் - முதல் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024

Time: 1.30 Hrs | Marks: 50 / நேரம்: 1.30 மணி | மதிப்பெண்கள்: 50

Question Paper & Solutions / வினாத்தாள் மற்றும் தீர்வுகள்

Part - A / பகுதி - அ 7 x 1 = 7

Choose the best answer: / சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக:

1) If there are 1024 relations from a set A = {1, 2, 3, 4, 5} to a set B, then the number of elements in B is

1. 3
2. 2
3. 4
4. 8

1) A = {1, 2, 3, 4, 5} -லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில் B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

Answer: (b) 2 Explanation:

• Let the number of elements in set A be $n(A)$ and in set B be $n(B)$.
• Given, A = {1, 2, 3, 4, 5}, so $n(A) = 5$.
• The total number of relations from A to B is given by the formula $2^{n(A) \times n(B)}$.
• Given number of relations is 1024. So, $2^{5 \times n(B)} = 1024$.
• We know that $1024 = 2^{10}$.
• Therefore, $2^{5 \times n(B)} = 2^{10}$. Equating exponents: $5 \times n(B) = 10 \implies n(B) = 2$.

---

விடை: (b) 2 விளக்கம்:

• கணம் A-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை $n(A)$ மற்றும் கணம் B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை $n(B)$ என்க.
• கொடுக்கப்பட்டது, A = {1, 2, 3, 4, 5}, எனவே $n(A) = 5$.
• A-லிருந்து B-க்கான மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை சூத்திரம்: $2^{n(A) \times n(B)}$.
• உறவுகளின் எண்ணிக்கை 1024. எனவே, $2^{5 \times n(B)} = 1024$.
• நமக்கு தெரியும் $1024 = 2^{10}$.
• ஆகவே, $2^{5 \times n(B)} = 2^{10}$. அடுக்குகளை ஒப்பிட: $5 \times n(B) = 10 \implies n(B) = 2$.

2) If {(a, 8), (6, b)} represents an identity function, then the value of a and b are respectively.

1. (8, 6)
2. (8, 8)
3. (6, 8)
4. (6, 6)

2) {(a, 8), (6, b)} ஆனது ஒரு சமனிச்சார்பு எனில், a மற்றும் b மதிப்புகளாவன முறையே

Answer: (a) (8, 6) Explanation:

• An identity function maps every element to itself, i.e., $f(x) = x$.
• For (a, 8), input 'a' must equal output '8'. Thus, $a = 8$.
• For (6, b), input '6' must equal output 'b'. Thus, $b = 6$.
• The values are a=8 and b=6.

---

விடை: (a) (8, 6) விளக்கம்:

• ஒரு சமனிச்சார்பு ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதனுடனேயே தொடர்புபடுத்தும், அதாவது, $f(x) = x$.
• (a, 8) என்பதில், உள்ளீடு 'a' வெளியீடு '8'-க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். எனவே, $a = 8$.
• (6, b) என்பதில், உள்ளீடு '6' வெளியீடு 'b'-க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். எனவே, $b = 6$.
• மதிப்புகள் a=8 மற்றும் b=6 ஆகும்.

3) If $f(x) = 2x^2$ and $g(x) = \frac{1}{3x}$, then fog is

1. $\frac{3}{2x^2}$
2. $\frac{2}{3x^2}$
3. $\frac{2}{9x^2}$
4. $\frac{1}{6x^2}$

3) $f(x) = 2x^2$ மற்றும் $g(x) = \frac{1}{3x}$ எனில் fog ஆனது

Answer: (c) $\frac{2}{9x^2}$ Explanation:

• $(fog)(x) = f(g(x))$.
• $f(g(x)) = f(\frac{1}{3x}) = 2 \left(\frac{1}{3x}\right)^2 = 2 \left(\frac{1}{9x^2}\right) = \frac{2}{9x^2}$.

---

விடை: (c) $\frac{2}{9x^2}$ விளக்கம்:

• $(fog)(x) = f(g(x))$.
• $f(g(x)) = f(\frac{1}{3x}) = 2 \left(\frac{1}{3x}\right)^2 = 2 \left(\frac{1}{9x^2}\right) = \frac{2}{9x^2}$.

4) Using Euclid's division lemma, if the cube of any positive integer is divided by 9, then the possible remainders are

1. 0, 1, 8
2. 1, 4, 8
3. 0, 1, 3
4. 1, 3, 5

4) யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தையும் 9-ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள்

Answer: (a) 0, 1, 8 Explanation:

• Any positive integer can be written as $3q$, $3q+1$, or $3q+2$.
• Case 1: $(3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3)$. Remainder is 0.
• Case 2: $(3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1$. Remainder is 1.
• Case 3: $(3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8$. Remainder is 8.
• Possible remainders are 0, 1, and 8.

---

விடை: (a) 0, 1, 8 விளக்கம்:

• எந்த ஒரு மிகை முழு எண்ணையும் $3q$, $3q+1$, அல்லது $3q+2$ என எழுதலாம்.
• நிலை 1: $(3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3)$. மீதி 0.
• நிலை 2: $(3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1$. மீதி 1.
• நிலை 3: $(3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8$. மீதி 8.
• கிடைக்கக்கூடிய மீதிகள் 0, 1, மற்றும் 8.

5) If 6 times the 6th term of an A.P is equal to 7 times the 7th term, then the 13th term of the A.P is

1. 0
2. 6
3. 7
4. 13

5) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 6-வது உறுப்பின் 6 மடங்கும், 7வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 13-வது உறுப்பு

Answer: (a) 0 Explanation:

• Given: $6 \times T_6 = 7 \times T_7$.
• $6(a + 5d) = 7(a + 6d) \implies 6a + 30d = 7a + 42d$.
• $7a - 6a = 30d - 42d \implies a = -12d$.
• We need $T_{13} = a + 12d$. Substitute $a = -12d$.
• $T_{13} = (-12d) + 12d = 0$.

---

விடை: (a) 0 விளக்கம்:

• கொடுக்கப்பட்டது: $6 \times T_6 = 7 \times T_7$.
• $6(a + 5d) = 7(a + 6d) \implies 6a + 30d = 7a + 42d$.
• $7a - 6a = 30d - 42d \implies a = -12d$.
• தேவை $T_{13} = a + 12d$. இதில் $a = -12d$ என பிரதியிட,
• $T_{13} = (-12d) + 12d = 0$.

6) The value of $(1^3+2^3+3^3+ \dots +15^3) - (1+2+3+ \dots +15)$ is

1. 14400
2. 14200
3. 14280
4. 14520

6) $(1^3+2^3+3^3+ \dots +15^3) - (1+2+3+ \dots +15)$-ன் மதிப்பு

Answer: (c) 14280 Explanation:

• Sum of cubes: $\sum_{k=1}^{15} k^3 = \left(\frac{15(15+1)}{2}\right)^2 = (\frac{15 \times 16}{2})^2 = 120^2 = 14400$.
• Sum of natural numbers: $\sum_{k=1}^{15} k = \frac{15(15+1)}{2} = 120$.
• Value = $14400 - 120 = 14280$.

---

விடை: (c) 14280 விளக்கம்:

• முதல் 15 இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல்: $\sum_{k=1}^{15} k^3 = \left(\frac{15(15+1)}{2}\right)^2 = (\frac{15 \times 16}{2})^2 = 120^2 = 14400$.
• முதல் 15 இயல் எண்களின் கூடுதல்: $\sum_{k=1}^{15} k = \frac{15(15+1)}{2} = 120$.
• மதிப்பு = $14400 - 120 = 14280$.

7) If $xy - 7 = 3$ is a

1. linear equation
2. equation of circle
3. cubic equation
4. not a linear equation

7) $xy - 7 = 3$ என்பது ஒரு

Answer: (d) not a linear equation Explanation:

• The equation is $xy = 10$. The term $xy$ has a degree of 2 (since it is $x^1y^1$, degree is 1+1=2).
• A linear equation has a maximum degree of 1. Therefore, it is not a linear equation.

---

விடை: (d) நேரியச் சமன்பாடு அல்ல

விளக்கம்:

• சமன்பாடு $xy = 10$. இதில் $xy$ என்ற உறுப்பின் படி 2 (ஏனெனில் $x^1y^1$, படி 1+1=2).
• ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் அதிகபட்ச படி 1 ஆக இருக்க வேண்டும். எனவே, இது ஒரு நேரிய சமன்பாடு அல்ல.

Part - B / பகுதி - ஆ 5 x 2 = 10

Answer any 5 questions. Q.No. 14 is compulsory. / எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண் 14-க்கு கண்டிப்பாக விடையளிக்கவும்.

8) A Relation R is given by the set $\{(x, y) | y = x+3, x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}$. Determine its domain and range.

8) R என்ற உறவு $\{(x, y) | y = x+3, x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}$ என கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் காண்க.

Solution:

• Given $y = x+3$ and $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
• $x=0 \implies y=3$
• $x=1 \implies y=4$
• $x=2 \implies y=5$
• $x=3 \implies y=6$
• $x=4 \implies y=7$
• $x=5 \implies y=8$
• Domain (set of x values): {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
• Range (set of y values): {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

---

தீர்வு:

• கொடுக்கப்பட்டது $y = x+3$ மற்றும் $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
• $x=0 \implies y=3$
• $x=1 \implies y=4$
• $x=2 \implies y=5$
• $x=3 \implies y=6$
• $x=4 \implies y=7$
• $x=5 \implies y=8$
• மதிப்பகம் (x-ன் மதிப்புகள்): {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
• வீச்சகம் (y-ன் மதிப்புகள்): {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

9) Find fog, if $f(x) = x-6$ and $g(x) = x^2$.

9) $f(x) = x-6$ மற்றும் $g(x) = x²$ எனில் fog-ஐக் காண்க.

Solution:

• $(fog)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = (x^2) - 6$.
• $(fog)(x) = x^2 - 6$.

---

தீர்வு:

• $(fog)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = (x^2) - 6$.
• $(fog)(x) = x^2 - 6$.

10) If $f(x) = 2x-x^2$, find (i) $f(1)$ (ii) $f(2)$.

10) $f(x) = 2x-x^2$ எனில் (i) $f(1)$ (ii) $f(2)$ ஐக் காண்க.

Solution:

• (i) $f(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.
• (ii) $f(2) = 2(2) - (2)^2 = 4 - 4 = 0$.
• (i) f(1) = 1, (ii) f(2) = 0

---

தீர்வு:

• (i) $f(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.
• (ii) $f(2) = 2(2) - (2)^2 = 4 - 4 = 0$.
• (i) f(1) = 1, (ii) f(2) = 0

11) If d is the highest common factor of 32 and 60. Find x and y satisfying $d = 32x+60y$.

11) 32 மற்றும் 60 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி d என்க. $d = 32x+60y$ எனில் x மற்றும் y என்ற முழுக்களைக் காண்க.

Solution:

• Using Euclid's Algorithm to find HCF(32, 60):
• $60 = 1 \times 32 + 28$
• $32 = 1 \times 28 + 4$
• $28 = 7 \times 4 + 0$. So, $d = 4$.
• Working backwards:
• $4 = 32 - 1 \times 28$
• $4 = 32 - 1 \times (60 - 1 \times 32)$
• $4 = 32 - 60 + 32 = 2 \times 32 - 1 \times 60$.
• Comparing with $d = 32x + 60y$, we get x = 2, y = -1.

---

தீர்வு:

• யூக்ளிடின் படிமுறையைப் பயன்படுத்தி மீ.பொ.வ(32, 60) காண:
• $60 = 1 \times 32 + 28$
• $32 = 1 \times 28 + 4$
• $28 = 7 \times 4 + 0$. எனவே, $d = 4$.
• பின்னோக்கிச் செல்ல:
• $4 = 32 - 1 \times 28$
• $4 = 32 - 1 \times (60 - 1 \times 32)$
• $4 = 32 - 60 + 32 = 2 \times 32 + (-1) \times 60$.
• இதை $d = 32x + 60y$ உடன் ஒப்பிட, x = 2, y = -1.

12) Which term of an A.P 16, 11, 6, 1, ... is -54?

12) 16, 11, 6, 1, ... என்ற கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் -54 என்பது எத்தனையாவது உறுப்பு எனக் காண்க.

Solution:

• Here, $a = 16$, $d = 11 - 16 = -5$. Let $T_n = -54$.
• $T_n = a + (n-1)d \implies -54 = 16 + (n-1)(-5)$.
• $-54 - 16 = -5(n-1) \implies -70 = -5(n-1)$.
• $n-1 = \frac{-70}{-5} = 14 \implies n = 15$.
• -54 is the 15th term.

---

தீர்வு:

• இங்கு, $a = 16$, $d = 11 - 16 = -5$. $T_n = -54$ என்க.
• $T_n = a + (n-1)d \implies -54 = 16 + (n-1)(-5)$.
• $-54 - 16 = -5(n-1) \implies -70 = -5(n-1)$.
• $n-1 = \frac{-70}{-5} = 14 \implies n = 15$.
• -54 என்பது 15-வது உறுப்பு.

13) Find the sum to infinity of 9+3+1+...

13) 9+3+1+... என்ற முடிவுறா தொடர்களின் கூடுதல் காண்க.

Solution:

• This is a G.P with $a=9$ and $r = 3/9 = 1/3$.
• Since $|r| < 1$, the sum to infinity exists.
• $S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{9}{1 - 1/3} = \frac{9}{2/3} = \frac{27}{2}$.
• Sum = 13.5.

---

தீர்வு:

• இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை. இங்கு $a=9$ மற்றும் $r = 3/9 = 1/3$.
• $|r| < 1$ என்பதால், முடிவுறா உறுப்புகளின் கூடுதல் காண முடியும்.
• $S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{9}{1 - 1/3} = \frac{9}{2/3} = \frac{27}{2}$.
• கூடுதல் = 13.5.

14) [Compulsory] Solve: $x+y = 5$; $x-y = 1$.

14) [கட்டாய வினா] தீர்க்க: $x+y = 5$; $x-y = 1$.

Solution:

• (1) $x + y = 5$
• (2) $x - y = 1$
• Adding (1) and (2): $2x = 6 \implies x = 3$.
• Substitute $x=3$ in (1): $3 + y = 5 \implies y = 2$.
• x = 3, y = 2.

---

தீர்வு:

• (1) $x + y = 5$
• (2) $x - y = 1$
• (1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட: $2x = 6 \implies x = 3$.
• $x=3$ என (1)-ல் பிரதியிட: $3 + y = 5 \implies y = 2$.
• x = 3, y = 2.

Part - C / பகுதி - இ 5 x 5 = 25

Answer any 5 questions. Q.No. 21 is compulsory. / எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண் 21-க்கு கண்டிப்பாக விடையளிக்கவும்.

15) Let $A = \{x \in W \mid x < 2\}$, $B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\}$ and $C = \{3, 5\}$. Verify that $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.

15) $A = \{x \in W \mid x < 2\}$, $B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\}$ மற்றும் $C = \{3, 5\}$ எனில், $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

Solution:

• First, list the elements of each set.
• $A = \{x \in W \mid x < 2\}$ (W = Whole numbers) $\implies A = \{0, 1\}$.
• $B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\}$ (N = Natural numbers) $\implies B = \{2, 3, 4\}$.
• $C = \{3, 5\}$.
• LHS: $A \times (B \cup C)$
• $B \cup C = \{2, 3, 4\} \cup \{3, 5\} = \{2, 3, 4, 5\}$.
• $A \times (B \cup C) = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4, 5\} = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$ --- (1)
• RHS: $(A \times B) \cup (A \times C)$
• $A \times B = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4\} = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}$.
• $A \times C = \{0, 1\} \times \{3, 5\} = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}$.
• $(A \times B) \cup (A \times C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\} \cup \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\} = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$ --- (2)
• From (1) and (2), LHS = RHS. Hence, verified.

---

தீர்வு:

• முதலில், ஒவ்வொரு கணத்தின் உறுப்புகளையும் பட்டியலிடவும்.
• $A = \{x \in W \mid x < 2\}$ (W = முழு எண்கள்) $\implies A = \{0, 1\}$.
• $B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\}$ (N = இயல் எண்கள்) $\implies B = \{2, 3, 4\}$.
• $C = \{3, 5\}$.
• LHS (இடதுபக்கம்): $A \times (B \cup C)$
• $B \cup C = \{2, 3, 4\} \cup \{3, 5\} = \{2, 3, 4, 5\}$.
• $A \times (B \cup C) = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4, 5\} = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$ --- (1)
• RHS (வலதுபக்கம்): $(A \times B) \cup (A \times C)$
• $A \times B = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4\} = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}$.
• $A \times C = \{0, 1\} \times \{3, 5\} = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}$.
• $(A \times B) \cup (A \times C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$ --- (2)
• (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS. எனவே சரிபார்க்கப்பட்டது.

16) If $f(x) = 2x + 3$, $g(x) = 1-2x$ and $h(x) = 3x$, prove that $fo(goh) = (fog)oh$.

16) $f(x) = 2x + 3$, $g(x) = 1-2x$ மற்றும் $h(x) = 3x$ எனில், $fo(goh) = (fog)oh$ என சரிபார்க்கவும்.

Solution:

• LHS: $fo(goh)$
• First, $goh(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x$.
• Then, $fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(1 - 6x) = 2(1 - 6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x$. --- (1)
• RHS: $(fog)oh$
• First, $fog(x) = f(g(x)) = f(1-2x) = 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x$.
• Then, $(fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x$. --- (2)
• From (1) and (2), LHS = RHS. Hence, proved.

---

தீர்வு:

• LHS: $fo(goh)$
• முதலில், $goh(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x$.
• பிறகு, $fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(1 - 6x) = 2(1 - 6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x$. --- (1)
• RHS: $(fog)oh$
• முதலில், $fog(x) = f(g(x)) = f(1-2x) = 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x$.
• பிறகு, $(fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x$. --- (2)
• (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS. எனவே நிரூபிக்கப்பட்டது.

17) The sum of three consecutive terms that are in an A.P is 27 and their product is 288. Find the three terms.

17) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அதன் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அம்மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

Solution:

• Let the three consecutive terms in A.P. be $a-d$, $a$, and $a+d$.
• Sum: $(a-d) + a + (a+d) = 27 \implies 3a = 27 \implies a = 9$.
• Product: $(a-d)(a)(a+d) = 288$.
• Substitute $a=9$: $(9-d)(9)(9+d) = 288 \implies 81 - d^2 = \frac{288}{9} = 32$.
• $d^2 = 81 - 32 = 49 \implies d = \pm 7$.
• If $d=7$, terms are $9-7, 9, 9+7 \implies 2, 9, 16$.
• If $d=-7$, terms are $9-(-7), 9, 9-7 \implies 16, 9, 2$.
• The three terms are 2, 9, and 16.

---

தீர்வு:

• கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் மூன்று அடுத்தடுத்த உறுப்புகள் $a-d, a, a+d$ என்க.
• கூடுதல்: $(a-d) + a + (a+d) = 27 \implies 3a = 27 \implies a = 9$.
• பெருக்கற்பலன்: $(a-d)(a)(a+d) = 288$.
• $a=9$ என பிரதியிட: $(9-d)(9)(9+d) = 288 \implies 81 - d^2 = \frac{288}{9} = 32$.
• $d^2 = 81 - 32 = 49 \implies d = \pm 7$.
• $d=7$ எனில், உறுப்புகள் $9-7, 9, 9+7 \implies 2, 9, 16$.
• $d=-7$ எனில், உறுப்புகள் $9-(-7), 9, 9-7 \implies 16, 9, 2$.
• அந்த மூன்று உறுப்புகள் 2, 9, மற்றும் 16 ஆகும்.

18) The perimeters of two similar triangles ABC and PQR are respectively 36 cm and 24 cm. If PQ = 10 cm, find AB.

18) வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ABC மற்றும் PQR-ன் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். PQ = 10 செ.மீ எனில் AB-ஐக் காண்க.

Solution:

• For similar triangles, the ratio of perimeters is equal to the ratio of corresponding sides.
• $\frac{\text{Perimeter}(\triangle ABC)}{\text{Perimeter}(\triangle PQR)} = \frac{AB}{PQ}$
• $\frac{36}{24} = \frac{AB}{10}$
• $\frac{3}{2} = \frac{AB}{10}$
• $AB = \frac{3}{2} \times 10 = 15$.
• The length of side AB is 15 cm.

---

தீர்வு:

• வடிவொத்த முக்கோணங்களில், சுற்றளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.
• $\frac{\text{சுற்றளவு}(\triangle ABC)}{\text{சுற்றளவு}(\triangle PQR)} = \frac{AB}{PQ}$
• $\frac{36}{24} = \frac{AB}{10}$
• $\frac{3}{2} = \frac{AB}{10}$
• $AB = \frac{3}{2} \times 10 = 15$.
• AB-யின் நீளம் 15 செ.மீ ஆகும்.

19) Find the sum to n terms of the series 5+55+555+...

19) 5+55+555+... என்ற தொடர்வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

Solution:

• $S_n = 5 + 55 + 555 + \dots$
• $S_n = 5(1 + 11 + 111 + \dots)$
• $S_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \dots)$
• $S_n = \frac{5}{9}((10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \dots)$
• $S_n = \frac{5}{9} [ (10 + 10^2 + \dots + 10^n) - (1+1+\dots+1) ]$
• The first part is a G.P. with sum $\frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10(10^n-1)}{9}$. The second part is $n$.
• $S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10(10^n-1)}{9} - n \right]$
• $S_n = \frac{50}{81}(10^n-1) - \frac{5n}{9}$

---

தீர்வு:

• $S_n = 5 + 55 + 555 + \dots$
• $S_n = 5(1 + 11 + 111 + \dots)$
• $S_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \dots)$
• $S_n = \frac{5}{9}((10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \dots)$
• $S_n = \frac{5}{9} [ (10 + 10^2 + \dots + 10^n) - (n \text{ முறை } 1) ]$
• முதல் பகுதி ஒரு பெருக்குத் தொடர், அதன் கூடுதல் $\frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10(10^n-1)}{9}$. இரண்டாம் பகுதி $n$ ஆகும்.
• $S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10(10^n-1)}{9} - n \right]$
• $S_n = \frac{50}{81}(10^n-1) - \frac{5n}{9}$

20) Solve the following system of Linear equations: $3x-2y+z = 2$, $2x+3y-z = 5$, $x+y+z = 6$.

20) தீர்க்க: $3x-2y+z = 2$, $2x+3y-z = 5$, $x+y+z = 6$.

Solution:

• (1) $3x - 2y + z = 2$
• (2) $2x + 3y - z = 5$
• (3) $x + y + z = 6$
• Add (1) + (2): $5x + y = 7$ --- (4)
• Add (2) + (3): $3x + 4y = 11$ --- (5)
• Multiply (4) by 4: $20x + 4y = 28$ --- (6)
• Subtract (5) from (6): $(20x + 4y) - (3x + 4y) = 28 - 11 \implies 17x = 17 \implies x = 1$.
• Substitute $x=1$ into (4): $5(1) + y = 7 \implies y = 2$.
• Substitute $x=1, y=2$ into (3): $1 + 2 + z = 6 \implies z = 3$.
• The solution is x = 1, y = 2, z = 3.

---

தீர்வு:

• (1) $3x - 2y + z = 2$
• (2) $2x + 3y - z = 5$
• (3) $x + y + z = 6$
• (1) + (2) ஐக் கூட்ட: $5x + y = 7$ --- (4)
• (2) + (3) ஐக் கூட்ட: $3x + 4y = 11$ --- (5)
• (4) ஐ 4 ஆல் பெருக்க: $20x + 4y = 28$ --- (6)
• (6) லிருந்து (5) ஐக் கழிக்க: $(20x + 4y) - (3x + 4y) = 28 - 11 \implies 17x = 17 \implies x = 1$.
• $x=1$ என (4) ல் பிரதியிட: $5(1) + y = 7 \implies y = 2$.
• $x=1, y=2$ என (3) ல் பிரதியிட: $1 + 2 + z = 6 \implies z = 3$.
• தீர்வு: x = 1, y = 2, z = 3.

21) [Compulsory] Find the sum of the series $6^2+7^2+8^2+ \dots +21^2$.

21) [கட்டாய வினா] $6^2+7^2+8^2+ \dots +21^2$ ன் கூடுதல் காண்க.

Solution:

• Required Sum = $(1^2+2^2+ \dots +21^2) - (1^2+2^2+ \dots +5^2)$.
• Using the formula $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$:
• $\sum_{k=1}^{21} k^2 = \frac{21(22)(43)}{6} = 7 \times 11 \times 43 = 3311$.
• $\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5(6)(11)}{6} = 55$.
• Required Sum = $3311 - 55 = 3256$.
• The sum is 3256.

---

தீர்வு:

• தேவையான கூடுதல் = $(1^2+2^2+ \dots +21^2) - (1^2+2^2+ \dots +5^2)$.
• $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த:
• $\sum_{k=1}^{21} k^2 = \frac{21(21+1)(2 \times 21+1)}{6} = \frac{21(22)(43)}{6} = 3311$.
• $\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5(5+1)(2 \times 5+1)}{6} = \frac{5(6)(11)}{6} = 55$.
• தேவையான கூடுதல் = $3311 - 55 = 3256$.
• கூடுதல் 3256 ஆகும்.

Part - D / பகுதி - ஈ 1 x 8 = 8

Answer the following question: / பின்வரும் வினாவிற்கு விடையளிக்கவும்:

22) a) Construct a triangle similar to a given triangle PQR with its sides equal to 3/5 of the corresponding sides of the triangle PQR. (Scale factor = 3/5 < 1)

(OR) / (அல்லது)

b) Construct a triangle similar to a given triangle ABC with its sides equal to 7/3 of the corresponding sides of the triangle ABC. (Scale factor = 7/3 > 1)

22) a) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 3/5 என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி = 3/5 < 1)
b) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 7/3 என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி = 7/3 > 1)

Solution:

Construction steps are provided as text. For a visual guide, please refer to a geometry textbook or video.

---

a) Construction with Scale Factor 3/5 < 1 Steps of Construction:

1. Draw any triangle PQR.
2. Draw a ray QX making an acute angle with QR on the side opposite to vertex P.
3. Locate 5 (the greater of 3 and 5) points $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5$ on QX so that $QQ_1 = Q_1Q_2 = \dots = Q_4Q_5$.
4. Join $Q_5R$.
5. From $Q_3$ (the 3rd point, as 3 is the numerator), draw a line parallel to $Q_5R$ to intersect QR at R'.
6. Draw a line through R' parallel to the side PR to intersect PQ at P'.
7. Then, $\triangle P'QR'$ is the required similar triangle.

(OR) / (அல்லது)

b) Construction with Scale Factor 7/3 > 1 Steps of Construction:

1. Draw any triangle ABC.
2. Draw a ray BX making an acute angle with BC on the side opposite to vertex A.
3. Locate 7 (the greater of 7 and 3) points $B_1, \dots, B_7$ on BX so that $BB_1 = B_1B_2 = \dots = B_6B_7$.
4. Join $B_3$ (the 3rd point, as 3 is the denominator) to C.
5. Draw a line through $B_7$ parallel to $B_3C$ to intersect the extended line segment BC at C'.
6. Draw a line through C' parallel to CA to intersect the extended line segment BA at A'.
7. Then, $\triangle A'BC'$ is the required similar triangle.

---

தீர்வு:

வரைமுறை படிகள் உரையாக வழங்கப்பட்டுள்ளன. காட்சி வழிகாட்டுதலுக்கு, வடிவியல் பாடநூல் அல்லது காணொளியைப் பார்க்கவும்.

---

a) அளவு காரணி 3/5 < 1 கொண்டு வரைதல் வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஒரு முக்கோணம் PQR வரைக.
2. QR என்ற பக்கத்துடன் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு P-க்கு എതിർப்பக்கத்தில் QX என்ற கதிரை வரைக.
3. QX-ன் மீது 5 (3, 5-ல் பெரியது) சம அளவுள்ள $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5$ என்ற புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.
4. $Q_5R$-ஐ இணைக்கவும்.
5. $Q_3$-லிருந்து (தொகுதி 3 என்பதால் 3-வது புள்ளி), $Q_5R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது QR-ஐ R' என்ற புள்ளியில் வெட்டுமாறு வரைக.
6. R'-லிருந்து PR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது PQ-ஐ P' என்ற புள்ளியில் வெட்டுமாறு வரைக.
7. $\triangle P'QR'$ என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

(OR) / (அல்லது)

b) அளவு காரணி 7/3 > 1 கொண்டு வரைதல் வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஒரு முக்கோணம் ABC வரைக.
2. BC என்ற பக்கத்துடன் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு A-க்கு എതിർப்பக்கத்தில் BX என்ற கதிரை வரைக.
3. BX-ன் மீது 7 (7, 3-ல் பெரியது) சம அளவுள்ள $B_1, \dots, B_7$ என்ற புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்.
4. $B_3$-ஐ (பகுதி 3 என்பதால் 3-வது புள்ளி) C உடன் இணைக்கவும்.
5. $B_7$-லிருந்து $B_3C$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட BC கோட்டுத்துண்டை C' என்ற புள்ளியில் வெட்டுமாறு வரைக.
6. C'-லிருந்து CA-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட BA கோட்டுத்துண்டை A' என்ற புள்ளியில் வெட்டுமாறு வரைக.
7. $\triangle A'BC'$ என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.