அலகு -7: அளவியல்
-
15 செ.மீ உயரமும் 16 செ.மீ விட்டமும் கொண்ட ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் வளைபரப்பு
-
r அலகுகள் ஆரம் உடைய இரு சம அரைக் கோளங்களின் அடிப்பகுதிகள் இணைக்கப்படும் போது உருவாகும் திண்மத்தின் புறப்பரப்பு
-
ஆரம் 5 செ.மீ மற்றும் சாயுயரம் 13 செ.மீ உடைய நேர்வட்டக் கூம்பின் உயரம்
-
ஒரு உருளையின் உயரத்தை மாற்றாமல் அதன் ஆரத்தைப் பாதியாகக் கொண்டு புதிய உருளை உருவாக்கப்படுகிறது. புதிய மற்றும் முந்தைய உருளைகளின் கன அளவுகளின் விகிதம்
-
ஓர் உருளையின் ஆரம் அதன் உயரத்தில் மூன்றில் ஒரு பங்கு எனில், அதன் மொத்தப் புறப்பரப்பு
-
ஓர் உள்ளீடற்ற உருளையின் வெளிப்புற மற்றும் உட்புற ஆரங்களின் கூடுதல் 14 செ.மீ மற்றும் அதன் தடிமன் 4 செ.மீ ஆகும். உருளையின் உயரம் 20 செ.மீ எனில், அதனை உருவாக்கப் பயன்பட்ட பொருளின் கன அளவு
-
ஒரு கூம்பின் அடிப்புற ஆரம் மும்மடங்காகவும் உயரம் இரு மடங்காகவும் மாறினால் கன அளவு எத்தனை மடங்காக மாறும்?
-
ஓர் அரைக்கோளத்தின் மொத்தப் பரப்பு அதன் ஆரத்தினுடைய வர்க்கத்தின் எத்தனை மடங்காகும்.
-
x -செ.மீ ஆரமுள்ள ஒரு திண்மக் கோளம் அதே ஆரமுள்ள ஒரு கூம்பாக மாற்றப்படுகிறது எனில், கூம்பின் உயரம்
-
16 செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பின் இடைக்கண்ட ஆரங்கள் 8 செ.மீ மற்றும் 20 செ.மீ எனில், அதன் கன அளவு
-
கீழ்க்காணும் எந்த இரு உருவங்களை இணைத்தால் ஒரு இறகுபந்தின் வடிவம் கிடைக்கும்
-
\(r_1\) அலகுகள் ஆரமுள்ள ஒரு கோளப்பந்து உருக்கப்பட்டு \(r_2\) அலகுகள் ஆரமுடைய 8 சமகோள பந்துகளாக ஆக்கப்படுகிறது எனில் \(r_1 : r_2\)
-
1 செ.மீ ஆரமும் 5 செ.மீ உயரமும் கொண்ட ஒரு மர உருளையிலிருந்து அதிகபட்சக் கனஅளவு கொண்ட கோளம் வெட்டி எடுக்கப்படுகிறது எனில், அதன் கன அளவு (க.செ.மீ -ல்)
-
இடைக்கண்டத்தை ஒரு பகுதியாகக் கொண்ட ஒரு கூம்பின் உயரம் மற்றும் ஆரம் முறையே \(h_1\) அலகுகள் மற்றும் \(r_1\) அலகுகள் ஆகும். இடைக்கண்டத்தின் உயரம் மற்றும் சிறிய பக்க ஆரம் முறையே \(h_2\) அலகுகள் மற்றும் \(r_2\) அலகுகள் மற்றும் \(h_2 : h_1 = 1:2\) எனில், \(r_2 : r_1\)-ன் மதிப்பு
-
சமமான விட்டம் மற்றும் உயரம் உடைய ஓர் உருளை, ஒரு கூம்பு மற்றும் ஒரு கோளத்தின் கன அளவுகளின் விகிதம்
Answer Key
அலகு-7: அளவியல்
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (4) | (1) | (1) | (2) | (3) | (2) | (2) | (3) | (3) | (1) | (4) | (1) | (1) | (2) | (4) |
விரிவான தீர்வுகள் (Detailed Solutions)
அலகு-7: அளவியல்
கேள்வி 1
கூம்பின் வளைபரப்பு சூத்திரம்: \(CSA = \pi r l\). நமக்கு சாயுயரம் \(l\) தேவை.
\(l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\) செ.மீ.
வளைபரப்பு \(CSA = \pi \times 8 \times 17 = 136\pi\) ச.செ.மீ.
சரியான விடை: (4) \(136\pi\) ச.செ.மீ
கேள்வி 2
ஒரு கோளத்தின் புறப்பரப்பு (Total Surface Area) சூத்திரம்: \(TSA = 4\pi r^2\).
சரியான விடை: (1) \(4\pi r^2\) ச.அ.
கேள்வி 3
கூம்பின் உயரம், ஆரம், சாயுயரம் தொடர்பு: \(l^2 = h^2 + r^2\).
\(13^2 = h^2 + 5^2\)
\(169 = h^2 + 25\)
\(h^2 = 169 - 25 = 144\)
\(h = \sqrt{144} = 12\) செ.மீ.
சரியான விடை: (1) 12 செ.மீ
கேள்வி 4
புதிய உருளையின் ஆரம் \(r_2 = r/2\), உயரம் \(h_2 = h\). கன அளவு \(V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (r/2)^2 h = \frac{\pi r^2 h}{4}\).
விகிதம் (புதிய : முந்தைய): \(V_2 : V_1 = \frac{\pi r^2 h}{4} : \pi r^2 h\).
\(\pi r^2 h\) ஆல் வகுக்க: \(\frac{1}{4} : 1\). 4 ஆல் பெருக்க: \(1:4\).
சரியான விடை: (2) 1:4
கேள்வி 5
உருளையின் மொத்தப் புறப்பரப்பு (TSA) = \(2\pi r(h+r)\).
\(r = h/3\) எனப் பிரதியிட:
\(TSA = 2\pi \left(\frac{h}{3}\right) \left(h + \frac{h}{3}\right)\)
\(= 2\pi \left(\frac{h}{3}\right) \left(\frac{3h+h}{3}\right) = 2\pi \left(\frac{h}{3}\right) \left(\frac{4h}{3}\right) = \frac{8\pi h^2}{9}\) ச.அ.
சரியான விடை: (3) \(\frac{8\pi h^2}{9}\) ச.அ.
கேள்வி 6
ஆரங்களின் கூடுதல்: \(R+r=14\).
தடிமன்: \(R-r=4\).
உள்ளீடற்ற உருளையின் கன அளவு: \(V = \pi(R^2-r^2)h = \pi(R-r)(R+r)h\).
மதிப்புகளைப் பிரதியிட: \(V = \pi (4)(14)(20) = 1120\pi\) க.செ.மீ.
(குறிப்பு: விருப்பம் (2) 11200π என பிழையாக உள்ளது. சரியான கணக்கீடு 1120π ஆகும்.)
சரியான விடை: (2) \(1120\pi\) க.செ.மீ (திருத்தப்பட்ட மதிப்பு)
கேள்வி 7
புதிய ஆரம் \(r' = 3r\), புதிய உயரம் \(h' = 2h\).
புதிய கன அளவு \(V_2 = \frac{1}{3}\pi (r')^2 h' = \frac{1}{3}\pi (3r)^2 (2h)\)
\(= \frac{1}{3}\pi (9r^2)(2h) = 18 \left(\frac{1}{3}\pi r^2 h\right) = 18 V_1\).
கன அளவு 18 மடங்காக மாறும்.
சரியான விடை: (2) 18 மடங்கு
கேள்வி 8
இது ஆரத்தின் வர்க்கமான \(r^2\)-ஐப் போல \(3\pi\) மடங்காகும்.
சரியான விடை: (3) \(3\pi\)
கேள்வி 9
உருவம் மாற்றப்படுவதால், கன அளவுகள் சமம்.
கோளத்தின் கன அளவு = கூம்பின் கன அளவு
\(\frac{4}{3}\pi (\text{ஆரம்})^3 = \frac{1}{3}\pi (\text{ஆரம்})^2 h\)
\(\frac{4}{3}\pi x^3 = \frac{1}{3}\pi x^2 h\)
இருபுறமும் \(\frac{1}{3}\pi x^2\) ஆல் வகுக்க:
\(4x = h\).
எனவே, கூம்பின் உயரம் \(4x\) செ.மீ.
சரியான விடை: (3) \(4x\) செ.மீ
கேள்வி 10
கொடுக்கப்பட்டவை: \(h=16\), பெரிய ஆரம் \(R=20\), சிறிய ஆரம் \(r=8\).
\(V = \frac{1}{3}\pi (16) (20^2 + 8^2 + 20 \times 8)\)
\(= \frac{16\pi}{3} (400 + 64 + 160) = \frac{16\pi}{3} (624)\).
\(624 / 3 = 208\).
\(V = 16\pi \times 208 = 3328\pi\) க.செ.மீ.
சரியான விடை: (1) \(3328 \pi\) க.செ.மீ
கேள்வி 11
சரியான விடை: (4) கூம்பின் இடைக்கண்டம் மற்றும் அரைக்கோளம்
கேள்வி 12
பெரிய கோளத்தின் ஆரம் \(r_1\), சிறிய கோளத்தின் ஆரம் \(r_2\).
\(\frac{4}{3}\pi r_1^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r_2^3\)
இருபுறமும் \(\frac{4}{3}\pi\) ஆல் வகுக்க: \(r_1^3 = 8 r_2^3\).
\(r_1^3 = (2r_2)^3\)
வர்க்கமூலம் எடுக்க: \(r_1 = 2r_2\).
\(\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}\), எனவே விகிதம் \(r_1:r_2 = 2:1\).
சரியான விடை: (1) 2:1
கேள்வி 13
(உருளையின் உயரம் \(h=5\) என்பது கோளத்தின் விட்டம் \(2r=2\) ஐ விட பெரியதாக இருப்பதால் இது சாத்தியம்).
கோளத்தின் கன அளவு = \(\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi\) க.செ.மீ.
சரியான விடை: (1) \(\frac{4}{3}\pi\)
கேள்வி 14
கொடுக்கப்பட்டவை: \(h_2 : h_1 = 1:2 \implies h_1 = 2h_2\).
எனவே, \(h_s = 2h_2 - h_2 = h_2\).
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புப்படி (கூம்புகளின் வெட்டுமுகம்):
\(\frac{r_2}{r_1} = \frac{h_s}{h_1}\).
\(\frac{r_2}{r_1} = \frac{h_2}{2h_2} = \frac{1}{2}\).
எனவே, \(r_2 : r_1 = 1:2\).
சரியான விடை: (2) 1:2
கேள்வி 15
உருளை கன அளவு \(V_C = \pi r^2 h = \pi r^2 (2r) = 2\pi r^3\).
கூம்பு கன அளவு \(V_O = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r^2 (2r) = \frac{2}{3}\pi r^3\).
கோளம் கன அளவு \(V_S = \frac{4}{3}\pi r^3\).
விகிதம்: \(V_C : V_O : V_S = 2\pi r^3 : \frac{2}{3}\pi r^3 : \frac{4}{3}\pi r^3\).
\(\frac{2}{3}\pi r^3\) ஆல் வகுக்க: \(3 : 1 : 2\).
சரியான விடை: (4) 3:1:2