HSC Commerce Mathematics & Statistics 2025 Board Exam Question Paper Solution Hindi Medium

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गणित और सांख्यिकी (वाणिज्य) - 2025 बोर्ड पेपर समाधान

पेपर कोड: J-318 | अधिकतम अंक: 80 | समय: 3 घंटे

विभाग - १ (SECTION - I)

प्र. १. (अ) निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) यदि \(p\): वह बुद्धिमान है, \(q\): वह बलवान है। तब "यह गलत है कि वह बुद्धिमान या बलवान है" कथन का प्रतीकात्मक रूप _____ है।

• (अ) \(\sim p \lor \sim q\)
• (ब) \(\sim (p \land q)\)
• (क) \(\sim (p \lor q)\)
• (ड) \(p \lor \sim q\)

उत्तर: (क) \(\sim (p \lor q)\)
स्पष्टीकरण: "बुद्धिमान या बलवान" \(p \lor q\) है। "यह गलत है कि" का अर्थ निषेध (Negation) है। अतः \(\sim (p \lor q)\)।

(ii) \(\int (x + \frac{1}{x})^3 dx =\)

• (अ) \(\frac{1}{4}(x + \frac{1}{x})^4 + c\)
• (ब) \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x - \frac{1}{2x^2} + c\)
• (क) \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log x + \frac{1}{x^2} + c\)
• (ड) \((x - x^{-1})^3 + c\)

उत्तर: (ब)
हल: \((x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + x^{-3}\) का विस्तार करें।
प्रत्येक पद का समाकलन करें: \(\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 3\log|x| + \frac{x^{-2}}{-2} + c\)।

(iii) \(\int_{2}^{7} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + \sqrt{9-x}} dx =\)

• (अ) \(\frac{7}{2}\)
• (ब) \(\frac{5}{2}\)
• (क) 7
• (ड) 2

उत्तर: (ब) \(\frac{5}{2}\)
हल: गुणधर्म \(\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx\) का उपयोग करने पर। समाकलन \(I = \frac{b-a}{2} = \frac{7-2}{2} = \frac{5}{2}\)।

(iv) वक्र \(y = x^2\) और रेखा \(y = 4\) से बद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल _____ है।

• (अ) \(\frac{32}{3}\) वर्ग इकाइयाँ
• (ब) \(\frac{64}{3}\) वर्ग इकाइयाँ
• (क) \(\frac{16}{3}\) वर्ग इकाइयाँ
• (ड) 64 वर्ग इकाइयाँ

उत्तर: (अ) \(\frac{32}{3}\) वर्ग इकाइयाँ
हल: क्षेत्रफल \(= 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 2 [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 2(8 - \frac{8}{3}) = \frac{32}{3}\)।

(v) अवकल समीकरण \((\frac{d^2y}{dx^2})^2 + (\frac{dy}{dx})^2 = a^x\) का क्रम (order) और घात (degree) क्रमशः _____ है।

• (अ) 1, 1
• (ब) 1, 2
• (क) 2, 2
• (ड) 2, 1

उत्तर: (क) 2, 2

(vi) अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^3 - 3\) का समाकलन कारक (integrating factor) _____ है।

• (अ) \(\log x\)
• (ब) \(e^x\)
• (क) \(\frac{1}{x}\)
• (ड) \(x\)

उत्तर: (ड) \(x\)
हल: I.F. \(= e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\log x} = x\)।

प्र. १. (ब) निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) यदि \(A\) एक आव्यूह और \(K\) एक स्थिरांक है, तब \((KA)^T = K A^T\)।

उत्तर: सत्य (True)

(ii) \(\int \log x dx = x \log x + x + c\)।

उत्तर: असत्य (False) (सही सूत्र \(x \log x - x + c\) है)।

(iii) \(bx + ay = ab\) से अनियंत्रित (मनमाना) स्थिरांक को हटाकर प्राप्त अवकल समीकरण \(\frac{d^2y}{dx^2} = 0\) है।

उत्तर: सत्य (True)

प्र. १. (क) निम्नलिखित रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) औसत राजस्व \(R_A = 50\) है और माँग की लोच \(\eta = 5\) है तो सीमांत राजस्व \(R_M\) _____ है।

उत्तर: 40
(\(R_M = R_A(1 - \frac{1}{\eta}) = 50(1 - \frac{1}{5}) = 40\))

(ii) \(\int e^x (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) dx = \) _____ \(+ c\)

उत्तर: \(\frac{e^x}{x}\)

(iii) यदि \(f'(x) = x^2 + 5\) और \(f(0) = -1\) तब \(f(x) = \) _____.

उत्तर: \(\frac{x^3}{3} + 5x - 1\)

प्र. २. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) कथन "यदि कोई त्रिभुज समबाहु है तो वह समकोणीय है" विधान का विलोम (converse), प्रतिलोम (inverse) तथा वैधम्य (contrapositive) लिखिए।

माना \(p\): त्रिभुज समबाहु है, \(q\): त्रिभुज समकोणीय है।
कथन: \(p \rightarrow q\)
विलोम (Converse) (\(q \rightarrow p\)): यदि कोई त्रिभुज समकोणीय है तो वह समबाहु है।
प्रतिलोम (Inverse) (\(\sim p \rightarrow \sim q\)): यदि कोई त्रिभुज समबाहु नहीं है तो वह समकोणीय नहीं है।
वैधम्य (Contrapositive) (\(\sim q \rightarrow \sim p\)): यदि कोई त्रिभुज समकोणीय नहीं है तो वह समबाहु नहीं है।

(ii) यदि \(\left\{ 5 \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \right\} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x-1 \\ y+1 \\ 2z \end{bmatrix}\) तो \(x, y, z\) ज्ञात कीजिए।

\(5A = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}, \quad 3B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 9 & -6 \\ 3 & 9 \end{bmatrix}\)
\(5A - 3B = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -4 & 6 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\) से गुणा करने पर:
\(\begin{bmatrix} -6(2) + 2(1) \\ -4(2) + 6(1) \\ 2(2) + (-4)(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}\)
RHS से तुलना करने पर:
\(x - 1 = -10 \Rightarrow x = -9\)
\(y + 1 = -2 \Rightarrow y = -3\)
\(2z = 0 \Rightarrow z = 0\)

(iii) मूल्यांकन कीजिए: \(\int \frac{1}{x(x^6+1)} dx\)

अंश और हर को \(x^5\) से गुणा करने पर: \(\int \frac{x^5}{x^6(x^6+1)} dx\)
माना \(x^6 = t \Rightarrow 6x^5 dx = dt\)
\(I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t(t+1)} = \frac{1}{6} \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) dt\)
\(I = \frac{1}{6} (\log|t| - \log|t+1|) + c = \frac{1}{6} \log|\frac{x^6}{x^6+1}| + c\)

प्र. २. (ब) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) निम्नलिखित समीकरणों को प्रतिलोम विधि (method of inversion) से हल कीजिए:
\(2x - y + z = 1\)
\(x + 2y + 3z = 8\)
\(3x + y - 4z = 1\)

हल:
दिए गए समीकरणों को आव्यूह रूप \(AX = B\) में लिखा जा सकता है, जहाँ
\(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -4 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)

चरण 1: A का सारणिक (\(|A|\)) ज्ञात करें
\(|A| = 2(-8 - 3) - (-1)(-4 - 9) + 1(1 - 6)\)
\(|A| = 2(-11) + 1(-13) + 1(-5)\)
\(|A| = -22 - 13 - 5 = -40 \neq 0\)
चूंकि \(|A| \neq 0\), इसलिए \(A^{-1}\) का अस्तित्व है।

चरण 2: सहखंडों (Cofactors) का आव्यूह ज्ञात करें
\(A_{11} = -11, \quad A_{12} = 13, \quad A_{13} = -5\)
\(A_{21} = -3, \quad A_{22} = -11, \quad A_{23} = -5\)
\(A_{31} = -5, \quad A_{32} = -5, \quad A_{33} = 5\)

सहखंड आव्यूह \(C = \begin{bmatrix} -11 & 13 & -5 \\ -3 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)
\(\text{adj } A = C^T = \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix}\)

चरण 3: \(X = A^{-1}B\) का उपयोग करके X ज्ञात करें
\(X = \frac{1}{|A|} (\text{adj } A) B\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 & -3 & -5 \\ 13 & -11 & -5 \\ -5 & -5 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 8 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11(1) -3(8) -5(1) \\ 13(1) -11(8) -5(1) \\ -5(1) -5(8) + 5(1) \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -11 - 24 - 5 \\ 13 - 88 - 5 \\ -5 - 40 + 5 \end{bmatrix}\)
\(X = \frac{1}{-40} \begin{bmatrix} -40 \\ -80 \\ -40 \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}\)

\(\therefore x = 1, y = 2, z = 1\)

(ii) एक व्यक्ति के व्यय (expenditure) \(E_c\) के साथ आय (income) \(I\) इस प्रकार दी गई है: \(E_c = (0.0003)I^2 + (0.075)I\); जब \(I = 1000\) तब MPC, MPS, APC और APS ज्ञात कीजिए।

दिया गया है \(I = 1000\).
APC \(= \frac{E_c}{I} = 0.0003I + 0.075\)
\(I=1000\) पर: APC \(= 0.0003(1000) + 0.075 = 0.3 + 0.075 = 0.375\)
APS \(= 1 - APC = 1 - 0.375 = 0.625\)
MPC \(= \frac{dE_c}{dI} = 0.0006I + 0.075\)
\(I=1000\) पर: MPC \(= 0.0006(1000) + 0.075 = 0.6 + 0.075 = 0.675\)
MPS \(= 1 - MPC = 1 - 0.675 = 0.325\)

(iii) मूल्यांकन कीजिए: \(\int_1^2 \frac{dx}{x^2+6x+5}\)

\(x^2+6x+5 = (x+5)(x+1)\).
आंशिक भिन्न (Partial Fractions): \(\frac{1}{(x+1)(x+5)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+5})\)
\(I = \frac{1}{4} [\log|x+1| - \log|x+5|]_1^2 = \frac{1}{4} [\log(\frac{x+1}{x+5})]_1^2\)
ऊपरी सीमा: \(\log(\frac{3}{7})\), निचली सीमा: \(\log(\frac{2}{6}) = \log(\frac{1}{3})\)
\(I = \frac{1}{4} (\log \frac{3}{7} - \log \frac{1}{3}) = \frac{1}{4} \log(\frac{3}{7} \times 3) = \frac{1}{4} \log(\frac{9}{7})\).

प्र. ३. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) यदि \(y = (x)^x + (a)^x\) तब \(\frac{dy}{dx}\) ज्ञात कीजिए।

माना \(u = x^x\) और \(v = a^x\).
\(u = x^x \Rightarrow \log u = x \log x \Rightarrow \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = 1 + \log x \Rightarrow \frac{du}{dx} = x^x(1+\log x)\)
\(v = a^x \Rightarrow \frac{dv}{dx} = a^x \log a\)
\(\frac{dy}{dx} = x^x(1+\log x) + a^x \log a\)

(ii) परवलय (parabola) \(y^2 = 25x\) एवं रेखा \(x = 5\) से बद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

परवलय X-अक्ष के सापेक्ष सममित है।
क्षेत्रफल \(= 2 \int_0^5 y dx = 2 \int_0^5 5\sqrt{x} dx = 10 \int_0^5 x^{1/2} dx\)
\(= 10 [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^5 = \frac{20}{3} [5^{3/2}] = \frac{20}{3} (5\sqrt{5}) = \frac{100\sqrt{5}}{3}\) वर्ग इकाइयाँ।

(iii) \(y = Ae^{3x} + Be^{-3x}\) से अनियंत्रित (मनमाना) स्थिरांक को हटाकर अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

\(x\) के सापेक्ष अवकलन: \(y' = 3Ae^{3x} - 3Be^{-3x}\)
पुनः अवकलन: \(y'' = 9Ae^{3x} + 9Be^{-3x} = 9(Ae^{3x} + Be^{-3x})\)
\(y'' = 9y \Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2} - 9y = 0\)

प्र. ३. (ब) निम्नलिखित में से किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) सत्य तालिका का उपयोग करके सत्यापन करें :
\(p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\)

हल:
हम दी गई तार्किक अभिव्यक्ति के लिए सत्य तालिका बनाते हैं।

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(q \land r\)	\(p \lor (q \land r)\) (LHS)	\(p \lor q\)	\(p \lor r\)	\((p \lor q) \land (p \lor r)\) (RHS)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	F	T	T	T	T
T	F	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T	T
F	T	T	T	T	T	T	T
F	T	F	F	F	T	F	F
F	F	T	F	F	F	T	F
F	F	F	F	F	F	F	F

तालिका से, कॉलम 5 (LHS) और कॉलम 8 (RHS) की प्रविष्टियाँ समान हैं।
\(\therefore p \lor (q \land r) = (p \lor q) \land (p \lor r)\) सत्यापित हुआ।

(ii) यदि \(x = \frac{4t}{1+t^2}, y = 3(\frac{1-t^2}{1+t^2})\), तब दर्शाइए कि \(\frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).

माना \(t = \tan \theta\). तब \(x = 2(2\sin \theta \cos \theta) = 2 \sin 2\theta\) और \(y = 3 \cos 2\theta\).
अतः \(\frac{x}{2} = \sin 2\theta\) और \(\frac{y}{3} = \cos 2\theta\).
वर्ग करके जोड़ने पर: \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\).
\(x\) के सापेक्ष अवकलन: \(\frac{2x}{4} + \frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} = 0\).
\(\frac{x}{2} = -\frac{2y}{9}\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-9x}{4y}\).

प्र. ३. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) संख्या 84 को दो भागों में इस प्रकार विभाजित कीजिए कि पहले भाग और दूसरे भाग के वर्ग का गुणनफल अधिकतम हो।

माना कि एक भाग \(x\) है तो दूसरा भाग \(84 - x\) है।
\(f(x) = x^2(84-x) = 84x^2 - x^3\)
\(f'(x) = 168x - 3x^2\)
उच्चतम मूल्य के लिए \(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x(56-x) = 0\)
\(x = 0\) या \(x = 56\)
\(f''(x) = 168 - 6x\)
यदि \(x=56, f''(56) = 168 - 336 = -168 < 0\)
फलन \(x = 56\) पर अधिकतम प्राप्त करता है।
84 के दो भाग 56 और 28 हैं।

(ii) निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए
\((x^2 - yx^2)dy + (y^2 + xy^2)dx = 0\)

हल:
चरों को अलग करते हुए (Separating variables):
\(x^2(1-y)dy + y^2(1+x)dx = 0\)
\(x^2y^2\) से भाग देने पर,

\(\left[ \frac{1-y}{y^2} \right] dy + \left[ \frac{1+x}{x^2} \right] dx = 0\)

\(\therefore (y^{-2} - \frac{1}{y})dy + (x^{-2} + \frac{1}{x})dx = 0\)

\(\left[ y^{-2} \right] dy - \frac{1}{y}dy + x^{-2}dx + \left[ \frac{1}{x} \right] dx = 0\)

समाकलन करने पर,
\(\int y^{-2}dy - \int \frac{1}{y}dy + \int x^{-2}dx + \int \frac{1}{x}dx = 0\)

\(\therefore \frac{y^{-1}}{-1} - \left[ \log y \right] + \frac{x^{-1}}{-1} + \left[ \log x \right] = c\)

\(-\frac{1}{y} - \frac{1}{x} + \log x - \log y = c\)

\(\log x - \log y = \left[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right] + c\)

यह इच्छित (required) हल है।

विभाग - २ (SECTION - II)

प्र. ४. (अ) निम्नलिखित बहुविकल्पीय प्रश्नों के विकल्पों में से सही विकल्प चुनकर लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) एक दलाल जो अपने मालिक को विश्वास (guarantee) दिलाता है कि पक्ष (party) माल के बिक्री मूल्य का भुगतान करेगा उसे _____ कहा जाता है।

• (अ) नीलामकर्ता (Auctioneer)
• (ब) आश्वासक दलाल (Del credere agent)
• (क) कारक (Factor)
• (ड) दलाल (Broker)

उत्तर: (ब) आश्वासक दलाल (Del credere agent)

(ii) एक सामान्य वार्षिकी में भुगतान या रसीदें _____ में होती हैं।

• (अ) प्रत्येक अवधि की शुरूआत
• (ब) प्रत्येक अवधि के अंत
• (क) प्रत्येक अवधि के मध्य
• (ड) तिमाही आधार पर

उत्तर: (ब) प्रत्येक अवधि के अंत

(iii) चलित औसत (moving averages) _____ पहचानने में उपयोगी होते हैं।

• (अ) मौसमी घटक
• (ब) अनियमित घटक
• (क) प्रवृत्ति घटक (Trend component)
• (ड) चक्रीय घटक

उत्तर: (क) प्रवृत्ति घटक

(iv) यदि \(P_{01}(L)=90\) तथा \(P_{01}(P)=40\) तब \(P_{01}(D-B)\) _____ है।

• (अ) 65
• (ब) 50
• (क) 25
• (ड) 130

उत्तर: (अ) 65 (L और P का औसत: \(\frac{90+40}{2}\))

(v) स्वत्वार्पण समस्या (assignment problem) का उद्देश्य _____ सौंपना है।

• (अ) अधिकतम लागत पर कार्यों की संख्या बराबर व्यक्तियों की संख्या
• (ब) न्यूनतम लागत पर कार्यों की संख्या बराबर व्यक्तियों की संख्या
• (क) केवल लागत को अधिकतम करने के लिए
• (ड) केवल लागत को न्यूनतम करने के लिए

उत्तर: (ब) / (ड) (मानक उद्देश्य लागत को कम करना है।)

(vi) दो निष्पक्ष पासों को उछालने पर प्राप्त दो संख्याओं के योग का अपेक्षित मूल्य _____ है।

• (अ) 5
• (ब) 6
• (क) 7
• (ड) 8

उत्तर: (क) 7

प्र. ४. (ब) निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य, लिखिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) यदि \(b_{yx} + b_{xy} = 1.30\) तथा \(r = 0.75\) हो तो दी गई जानकारी असंगत है। उत्तर: सत्य (यदि योग 1.3 है, तो गुणनफल \(0.65^2 = 0.4225\) हो सकता है, लेकिन \(r^2 = 0.75^2 = 0.5625\)। यह संभव नहीं है)।

(ii) चक्रीय भिन्नता एक वर्ष में कई बार हो सकती है। उत्तर: असत्य

(iii) जीवनयापन की लागत सूचकांक का उपयोग रुपए (money) की क्रय शक्ति की गणना में किया जाता है। उत्तर: सत्य

प्र. ४. (क) निम्नलिखित रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए (प्रत्येक १ अंक):

(i) बैंकर की छूट काटने के बाद बिल धारक को भुगतान की गई राशि रोख मूल्य (Cash Value) कहलाती है।

(ii) समय श्रृंखला की प्रवृत्ति को मापने की सरल विधि आलेखीय विधि (Graphical Method) है।

(iii) भारित समुच्चय विधि द्वारा मात्रा (quantity) सूचकांक संख्या _____ से दी जाती है। \(\frac{\sum q_1 w}{\sum q_0 w} \times 100\)

प्र. ५. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) निम्नलिखित जानकारी के लिए उपयुक्त प्रतिगमन समीकरण की गणना कीजिए :
X: 1, 2, 3, 4, 5 और Y: 5, 7, 9, 11, 13.

माध्य: \(\bar{X}=3, \bar{Y}=9\).
\(b_{yx} = \frac{\sum(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}{\sum(X-\bar{X})^2} = \frac{20}{10} = 2\).
Y की X पर प्रतिगमन रेखा: \(Y - 9 = 2(X - 3) \Rightarrow Y = 2X + 3\).

(ii) रेखीय संयोजन प्रश्न (L.P.P.) तैयार कीजिए। (न्यूनतम लागत)

माना \(x\) सीमेंट (किलोग्राम), \(y\) रेत (किलोग्राम) है।
उद्देश्य फलन (न्यूनतम): \(Z = 20x + 6y\)
शर्तें (Constraints):
\(x + y \ge 5\) (वजन)
\(x \ge 4\) (सीमेंट की न्यूनतम मात्रा)
\(y \le 2\) (रेत की अधिकतम मात्रा)
\(x, y \ge 0\).

(iii) एक निष्पक्ष सिक्के की तीन उछालों में चित्त की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।

\(n=3, p=0.5\). यह द्विपद वितरण का पालन करता है।
माध्य \(E(X) = np = 3 \times 0.5 = 1.5\).

प्र. ५. (ब) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) 4 वार्षिक केंद्रित चलित औसत का उपयोग करके निम्नलिखित जानकारी के लिए प्रवृत्ति मान प्राप्त कीजिए :

वर्ष	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985
सूचकांक	0	2	3	3	2	4	5	6	7	10

हल:
4-वार्षिक केंद्रित चलित औसत की गणना:

वर्ष	सूचकांक (Y)	4-वर्षीय चलित योग	केंद्रित योग (2 का योग)	प्रवृत्ति मान (केंद्रित औसत)
1976	0	-	-	-
1977	2	-	-	-
1978	3	8	18	2.25
1979	3	10	22	2.75
1980	2	12	26	3.25
1981	4	14	31	3.875
1982	5	17	39	4.875
1983	6	22	50	6.25
1984	7	28	-	-
1985	10	-	-	-

(ii) वह क्रम ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित कार्यों को क्रम AB में पूरा करने के लिए व्यतीत किए गए कुल समय को न्यूनतम करता है। बीता हुआ कुल समय और यंत्र B के लिए निष्क्रिय समय ज्ञात कीजिए :

हल:
चरण 1: इष्टतम अनुक्रम (Optimal Sequence)
जॉनसन एल्गोरिदम का उपयोग करके:
- न्यूनतम समय 5 है: कार्य VII यंत्र A पर (प्रथम) और कार्य VI यंत्र B पर (अंतिम)।
- अगला न्यूनतम 7 है: कार्य I यंत्र A पर (द्वितीय)।
इष्टतम अनुक्रम: VII \(\to\) I \(\to\) IV \(\to\) V \(\to\) III \(\to\) II \(\to\) VI

चरण 2: कार्य तालिका

कार्य क्रम	यंत्र A		यंत्र B
	अंदर	बाहर	अंदर	बाहर
VII	0	5	5	12
I	5	12	12	24
IV	12	22	24	34
V	22	36	36	52
III	36	55	55	69
II	55	71	71	85
VI	71	86	86	91

कुल व्यतीत समय (T) = 91 घंटे/इकाइयां

यंत्र B के लिए निष्क्रिय समय:
कुल समय - B पर प्रसंस्करण समय का योग
\(= 91 - (12+14+14+10+16+5+7)\)
\(= 91 - 78\)
\(= 13 \text{ घंटे/इकाइयां}\)

(iii) 52 पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से प्रतिस्थापन के साथ क्रमिक रूप से पाँच पत्ते निकाले जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि :
(अ) सभी पाँच पत्ते हुक्म के हों
(ब) केवल तीन पत्ते हुक्म के हों

हल:
माना \(X\) हुक्म के पत्तों की संख्या को दर्शाता है।
सफलता की प्रायिकता (हुक्म का पत्ता) \(p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\).
असफलता की प्रायिकता \(q = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
\(n = 5\).
द्विपद वितरण: \(P(X=x) = {}^nC_x p^x q^{n-x}\).

(अ) सभी पाँच पत्ते हुक्म के हों (\(x=5\)):
\(P(X=5) = {}^5C_5 (\frac{1}{4})^5 (\frac{3}{4})^0 = \frac{1}{1024}\)

(ब) केवल 3 पत्ते हुक्म के हों (\(x=3\)):
\(P(X=3) = {}^5C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{3}{4})^2\)
\(= \frac{10 \times 9}{1024} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{512}\)

प्र. ६. (अ) निम्नलिखित में से किन्हीं दो उपप्रश्नों को हल कीजिए (प्रत्येक ३ अंक):

(i) ₹ 8,00,000 मूल्य के एक मकान का बीमा उसके मूल्य के 75% तक किया गया। यदि बीमा की किस्त की दर 0.80% हो तो मकान मालिक के भरे हुए बीमे की किस्त की राशि ज्ञात कीजिए। यदि दलाल की दर बीमा की किस्त की 9% हो तो दलाल की दलाली की राशि ज्ञात कीजिए।

संपत्ति का मूल्य = 8,00,000.
पॉलिसी मूल्य = 8,00,000 का \(75\%\) = 6,00,000.
प्रीमियम (किस्त) = 6,00,000 का \(0.80\%\) = 4,800.
एजेंट का कमीशन = 4,800 का \(9\%\) = 432.

(ii) निम्नलिखित रेखीय संयोजन प्रश्न (L.P.P.) को आलेखीय विधि से हल कीजिए।
अधिकतम कीजिए: \(z = 4x + 6y\)

रेखाएँ: \(3x + 2y = 12\) (बिंदु (4,0), (0,6)) और \(x + y = 4\) (बिंदु (4,0), (0,4)).
सुसंगत क्षेत्र (Feasible region) त्रिभुज है जिसके शीर्ष A(4,0), B(0,4), C(0,6) हैं।
\(Z\) का मान A(4,0) पर = 16.
\(Z\) का मान B(0,4) पर = 24.
\(Z\) का मान C(0,6) पर = 36.
अधिकतम मान 36 है जो बिंदु (0,6) पर प्राप्त होता है।

(iii) प्लाइवुड पट्टी पर दोष यादृच्छिक रूप से 50 वर्ग फुट के लिए एक दोष के औसत के साथ होते हैं। ऐसी पट्टी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिसमें :
(अ) कोई दोष नहीं हो
(ब) कम-से-कम एक दोष हो।
(उपयोग करें \(e^{-1} = 0.3678\))

हल:
माना \(X\) दोषों की संख्या है। औसत \(m = 1\).
प्वासों वितरण (Poisson Distribution): \(P(X=x) = \frac{e^{-m} m^x}{x!} = \frac{e^{-1}}{x!}\).

(अ) कोई दोष नहीं (\(x=0\)):
\(P(X=0) = \frac{0.3678}{1} = 0.3678\)

(ब) कम-से-कम एक दोष (\(x \ge 1\)):
\(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.3678 = 0.6322\)

प्र. ६. (ब) निम्नलिखित में से किसी एक उपप्रश्न को हल कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) दो प्रतिगमन रेखाओं के समीकरण \(10x - 4y = 80\) तथा \(10y - 9x = -40\) है। ज्ञात कीजिए :
(अ) \(\bar{x}\) तथा \(\bar{y}\)
(ब) \(b_{yx}\) तथा \(b_{xy}\)
(क) \(r\)
(ड) यदि \(var(Y) = 36\) हो तो \(var(X)\) प्राप्त कीजिए।

हल:
(अ) \(\bar{x}\) और \(\bar{y}\):
समीकरणों को हल करने पर: \(x = 10\) और \(y = 5\).

(ब) \(b_{yx}\) और \(b_{xy}\):
\(10x - 4y = 80 \Rightarrow x\) on \(y \Rightarrow b_{xy} = 0.4\)
\(10y - 9x = -40 \Rightarrow y\) on \(x \Rightarrow b_{yx} = 0.9\)

(क) \(r\):
\(r = \sqrt{0.9 \times 0.4} = \sqrt{0.36} = 0.6\)

(ड) \(var(X)\):
\(b_{yx} = r \cdot \frac{\sigma_y}{\sigma_x} \Rightarrow 0.9 = 0.6 \cdot \frac{6}{\sigma_x}\)
\(\sigma_x = 4 \Rightarrow var(X) = 16\).

(ii) यदि जीवन निर्वाह सूचकांक (Cost of Living Index) 150 है तो \(x\) ज्ञात कीजिए:

समूह	खाना	कपड़े	ईंधन और बिजली	मकान किराया	मिश्रित
I	180	120	300	100	160
W	4	5	6	\(x\)	3

हल:
\(\sum W = 18 + x\)
\(\sum IW = 720 + 600 + 1800 + 100x + 480 = 3600 + 100x\)
\(CLI = \frac{\sum IW}{\sum W} \Rightarrow 150 = \frac{3600 + 100x}{18 + x}\)
\(150(18+x) = 3600 + 100x\)
\(2700 + 150x = 3600 + 100x\)
\(50x = 900 \Rightarrow x = 18\)

प्र. ६. (क) निम्नलिखित में से किसी एक कृति (activity) को पूर्ण कीजिए (प्रत्येक ४ अंक):

(i) 25 अक्टूबर 2017 को एक बैंक में ₹ 18,000 का बिल ₹ 17,568 में रियायत (discounted) किया गया। यदि ब्याज की दर 12% प्रतिवर्ष थी तो कानूनी देय तिथि क्या है?

हल:

दिया गया है: \(SD = 18,000; CV = 17,568\)

\(r = 12\%\) प्रतिवर्ष

अब, \(BD = SD - CV\)

\(\quad = 18,000 - 17,568\)

\(\quad = \) ₹ 432

तथा \(BD = \frac{SD \times n \times r}{100}\)

\(\therefore \quad 432 = \frac{18,000 \times n \times 12}{100}\)

\(n = \frac{432 \times 100}{18,000 \times 12}\)

\(n = \frac{1}{5}\) वर्ष = 73 दिन

जिस अवधि के लिए छूट काटी गई है वह 73 दिन है जिसे छूट की तारीख अर्थात् 25 अक्टूबर 2017 से गिना जाता है:

अक्टूबर	नवम्बर	दिसम्बर	जनवरी	कुल
6	30	31	6	73

इसलिए कानूनी देय तिथि 6 जनवरी 2018 है।

(ii) न्यूनतमकरण के लिए निम्नलिखित स्वत्वार्पण समस्या (Assignment Problem) को हल कीजिए :

	I	II	III	IV	V
1	18	24	19	20	23
2	19	21	20	18	22
3	22	23	20	21	23
4	20	18	21	19	19
5	18	22	23	22	21

हल:

चरण-I (Row Reduction): उस पंक्ति के प्रत्येक तत्त्व में से प्रत्येक पंक्ति का सबसे छोटा तत्त्व घटाएँ:

0	6	1	2	5
1	3	2	0	4
2	3	0	1	3
2	0	3	1	1
0	4	5	4	3

चरण-II (Column Reduction): प्रत्येक स्तंभ के प्रत्येक तत्त्व में से उस स्तंभ के सबसे छोटे तत्त्व को घटाएँ:

0	6	1	2	4
1	3	2	0	3
2	3	0	1	2
2	0	3	1	0
0	4	5	4	2

चरण-III & IV: सभी शून्यों का आच्छादन करने वाली न्यूनतम रेखाएँ खींचे और मैट्रिक्स में सुधार करें। (यहाँ रेखाओं की न्यूनतम संख्या (4) < आव्यूह का क्रम (5) है, अतः सुधार आवश्यक है)।

चरण-VI (इष्टतम हल): अब रेखाओं की न्यूनतम संख्या = आव्यूह का क्रम। इष्टतम स्वत्वार्पण बनाया जा सकता है।

इष्टतम हल (Optimal Assignment):

• 1 \(\rightarrow\) I
• 2 \(\rightarrow\) IV
• 3 \(\rightarrow\) III
• 4 \(\rightarrow\) II
• 5 \(\rightarrow\) V \(\quad\) है।

न्यूनतम मूल्य (Minimum Value) =

\(18 + 18 + 20 + 18 + 21 =\) 95