10th Maths - Quarterly Exam 2025 - Answer Key | Sivagangai District | Tamil Medium

10 ஆம் வகுப்பு கணிதம் காலாண்டு தேர்வு 2025: முழுமையான கேள்வித்தாள் மற்றும் தீர்வுகள்

தீர்கள்

பகுதி - I

1. R = {(x, x²)|x ஆனது 13 ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்} என்ற உறவின் வீச்சகமானது

• அ) {2, 3, 5, 7}
• ஆ) {2, 3, 5, 7, 11}
• இ) {4, 9, 25, 49, 121}
• ஈ) {1, 4, 9, 25, 49, 121}

தீர்வு:

13 ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள் 2, 3, 5, 7, 11. இவை x-இன் மதிப்புகள் (மதிப்பகம்).

உறவு R = {(x, x²)} என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. வீச்சகம் என்பது இரண்டாவது உறுப்புகளின் கணம், அதாவது x².

x = 2 எனில், x² = 4
x = 3 எனில், x² = 9
x = 5 எனில், x² = 25
x = 7 எனில், x² = 49
x = 11 எனில், x² = 121

வீச்சகம் {4, 9, 25, 49, 121} ஆகும்.

சரியான விடை: இ) {4, 9, 25, 49, 121}

2. f(x) = $2x^2$ மற்றும் g(x) = $\frac{1}{3x}$ எனில், fog ஆனது

• அ) $\frac{3}{2x^2}$
• ஆ) $\frac{2}{3x^2}$
• இ) $\frac{2}{9x^2}$
• ஈ) $\frac{1}{6x^2}$

தீர்வு:

fog(x) என்பது f(g(x)) ஆகும்.

முதலில், g(x)-ஐ f(x)-இல் பிரதியிடவும்:

$f(g(x)) = f(\frac{1}{3x})$

இப்போது, f(x) = 2x² என்ற சார்பை $\frac{1}{3x}$ உள்ளீட்டிற்குப் பயன்படுத்தவும்:

$f(\frac{1}{3x}) = 2 \left(\frac{1}{3x}\right)^2 = 2 \left(\frac{1}{9x^2}\right) = \frac{2}{9x^2}$

சரியான விடை: இ) $\frac{2}{9x^2}$

3. பின்வருவனவற்றுள் எது ஒரு மாறிலிச்சார்பை குறிக்கிறது?

• அ) f(x) = x
• ஆ) f(x) = c
• இ) f(x) = mx + c
• ஈ) $f(x) = \frac{1}{x}$

தீர்வு:

மாறிலிச்சார்பு என்பது ஒவ்வொரு உள்ளீட்டு மதிப்பிற்கும் ஒரே வெளியீட்டு மதிப்பைக் கொண்ட ஒரு சார்பு ஆகும். இது f(x) = c என குறிக்கப்படுகிறது, இங்கு c ஒரு மாறிலி.

சரியான விடை: ஆ) f(x) = c

4. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தை 9ஆல் வகுக்கும்போது கிடைக்கும் மீதிகள்

• அ) 0, 1, 8
• ஆ) 1, 4, 8
• இ) 0, 1, 3
• ஈ) 1, 3, 5

தீர்வு:

'n' என்பது ஏதேனும் ஒரு மிகை முழு எண் என்க. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, n-ஐ 3q, 3q+1, அல்லது 3q+2 என்ற வடிவில் எழுதலாம்.

நிலை 1: n = 3q
$n^3 = (3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3)$. மீதி 0.

நிலை 2: n = 3q+1
$n^3 = (3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1$. மீதி 1.

நிலை 3: n = 3q+2
$n^3 = (3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8$. மீதி 8.

கிடைக்கக்கூடிய மீதிகள் 0, 1, மற்றும் 8.

சரியான விடை: அ) 0, 1, 8

5. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 6வது உறுப்பின் 6 மடங்கும், 7வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 13வது உறுப்பு

• அ) 0
• ஆ) 6
• இ) 7
• ஈ) 13

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டது: $6 \times t_6 = 7 \times t_7$

ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n-வது உறுப்பு $t_n = a + (n-1)d$ என நமக்குத் தெரியும்.

$6(a + (6-1)d) = 7(a + (7-1)d)$
$6(a + 5d) = 7(a + 6d)$
$6a + 30d = 7a + 42d$
$30d - 42d = 7a - 6a$
$-12d = a$

13வது உறுப்பைக் காண வேண்டும், $t_{13}$:

$t_{13} = a + (13-1)d = a + 12d$

$a = -12d$ எனப் பிரதியிட:

$t_{13} = (-12d) + 12d = 0$

சரியான விடை: அ) 0

6. 3 + 33 + 333 + ... ( n உறுப்புகள்) என்னும் தொடரானது

• அ) ஒரு பெருக்குத்தொடர்
• ஆ) ஒரு கூட்டுத்தொடர்
• இ) கூட்டுத்தொடர் மற்றும் பெருக்குத்தொடர்
• ஈ) கூட்டுத்தொடரும் இல்லை, பெருக்குத்தொடரும் இல்லை

தீர்வு:

கூட்டுத்தொடர் என சோதிக்க: பொது வித்தியாசம் மாறிலியாக இருக்க வேண்டும். $d_1 = 33 - 3 = 30$. $d_2 = 333 - 33 = 300$. $d_1 \neq d_2$ என்பதால், இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் இல்லை.

பெருக்குத்தொடர் என சோதிக்க: பொது விகிதம் மாறிலியாக இருக்க வேண்டும். $r_1 = 33 / 3 = 11$. $r_2 = 333 / 33 \approx 10.09$. $r_1 \neq r_2$ என்பதால், இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் இல்லை.

சரியான விடை: ஈ) கூட்டுத்தொடரும் இல்லை, பெருக்குத்தொடரும் இல்லை

7. கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது $y^2 + \frac{1}{y^2}$ க்குச் சமம் இல்லை

• அ) $\frac{y^4 + 1}{y^2}$
• ஆ) $(y + \frac{1}{y})^2$
• இ) $(y - \frac{1}{y})^2 + 2$
• ஈ) $(y + \frac{1}{y})^2 - 2$

தீர்வு:

ஒவ்வொரு தேர்வையும் சரிபார்ப்போம்:

அ) $\frac{y^4 + 1}{y^2} = \frac{y^4}{y^2} + \frac{1}{y^2} = y^2 + \frac{1}{y^2}$. இது சமம்.

ஆ) $(y + \frac{1}{y})^2 = y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + (\frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$. இது சமம் இல்லை.

இ) $(y - \frac{1}{y})^2 + 2 = (y^2 - 2(y)(\frac{1}{y}) + (\frac{1}{y})^2) + 2 = (y^2 - 2 + \frac{1}{y^2}) + 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}$. இது சமம்.

ஈ) $(y + \frac{1}{y})^2 - 2 = (y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + (\frac{1}{y})^2) - 2 = (y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}) - 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}$. இது சமம்.

$y^2 + \frac{1}{y^2}$ க்கு சமம் இல்லாத கோவை ஆ) ஆகும்.

சரியான விடை: ஆ) $(y + \frac{1}{y})^2$

8. $(2x - 1)^2 = 9$ ன் தீர்வு

• அ) -1
• ஆ) 2
• இ) -1, 2
• ஈ) இதில் எதுவும் இல்லை

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டது: $(2x - 1)^2 = 9$

இருபுறமும் வர்க்கமூலம் எடுக்க:

$2x - 1 = \pm\sqrt{9}$
$2x - 1 = \pm 3$

நிலை 1: $2x - 1 = 3$
$2x = 4$
$x = 2$

நிலை 2: $2x - 1 = -3$
$2x = -2$
$x = -1$

தீர்வுகள் -1 மற்றும் 2.

சரியான விடை: இ) -1, 2

9. இரு சமபக்க முக்கோணம் ∆ABCல், ∠C = 90° மற்றும் AC = 5செ.மீ எனில் AB ஆனது

• அ) 2.5 செ.மீ
• ஆ) 5 செ.மீ
• இ) 10 செ.மீ
• ஈ) $5\sqrt{2}$ செ.மீ

தீர்வு:

∠C = 90° கொண்ட இரு சமபக்க முக்கோணம் ∆ABC கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

இது ஒரு இரு சமபக்க செங்கோண முக்கோணம் என்பதால், செங்கோணத்திற்கு அடுத்துள்ள பக்கங்கள் சமம். எனவே, AC = BC = 5 செ.மீ.

AB என்பது கர்ணம். பிதாகரஸ் தேற்றத்தின்படி:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$
$AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ செ.மீ.

சரியான விடை: ஈ) $5\sqrt{2}$ செ.மீ

10. ∆ABCல், DE || BC, AB = 3.6 செ.மீ, AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில் AEன் நீளம்

• அ) 1.4 செ.மீ
• ஆ) 1.8 செ.மீ
• இ) 1.2 செ.மீ
• ஈ) 1.05 செ.மீ

தீர்வு:

DE || BC என்பதால், அடிப்படை விகிதசம தேற்றப்படி (தேல்ஸ் தேற்றம்):

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

$\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}$

$AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = \frac{5.04}{3.6} = 1.4$ செ.மீ.

சரியான விடை: அ) 1.4 செ.மீ

11. (12, 3), (4, a) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு 1/8 எனில், ‘a’ ன் மதிப்பு

• அ) 1
• ஆ) 4
• இ) -5
• ஈ) 2

தீர்வு:

சாய்வு (m) க்கான சூத்திரம் $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் $(x_1, y_1) = (12, 3)$ மற்றும் $(x_2, y_2) = (4, a)$, மற்றும் சாய்வு $m = 1/8$.

$\frac{1}{8} = \frac{a - 3}{4 - 12}$
$\frac{1}{8} = \frac{a - 3}{-8}$

குறுக்கு பெருக்கல் செய்ய:

$1 \times (-8) = 8 \times (a - 3)$
$-8 = 8a - 24$
$8a = 24 - 8$
$8a = 16$
$a = 2$

சரியான விடை: ஈ) 2

12. i) $l_1: 3y = 4x + 5$ ii) $l_2: 4y = 3x - 1$ iii) $l_3: 4y + 3x = 7$ iv) $l_4: 4x + 3y = 2$ கொடுக்கப்பட்ட நான்கு நேர்கோடுகளுக்குக் கீழ்க்கண்ட கூற்றுகளில் எது உண்மை?

• அ) $l_1$ மற்றும் $l_2$ செங்குத்தானவை
• ஆ) $l_1$ மற்றும் $l_4$ இணையானவை
• இ) $l_2$ மற்றும் $l_4$ செங்குத்தானவை
• ஈ) $l_2$ மற்றும் $l_3$ இணையானவை

தீர்வு:

ஒவ்வொரு கோட்டின் சாய்வையும் $y = mx + c$ வடிவத்திற்கு மாற்றி காண்போம்.

i) $l_1: 3y = 4x + 5 \implies y = \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}$. எனவே, $m_1 = \frac{4}{3}$.

ii) $l_2: 4y = 3x - 1 \implies y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$. எனவே, $m_2 = \frac{3}{4}$.

iii) $l_3: 4y + 3x = 7 \implies 4y = -3x + 7 \implies y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{4}$. எனவே, $m_3 = -\frac{3}{4}$.

iv) $l_4: 4x + 3y = 2 \implies 3y = -4x + 2 \implies y = -\frac{4}{3}x + \frac{2}{3}$. எனவே, $m_4 = -\frac{4}{3}$.

ஒவ்வொரு தேர்வையும் சரிபார்ப்போம்:

அ) $l_1$ மற்றும் $l_2$ செங்குத்தானவை:
$m_1 \times m_2 = (\frac{4}{3}) \times (\frac{3}{4}) = 1$. இது -1 க்கு சமம் இல்லை, எனவே தவறு.

ஆ) $l_1$ மற்றும் $l_4$ இணையானவை:
$m_1 = \frac{4}{3}$ மற்றும் $m_4 = -\frac{4}{3}$. சாய்வுகள் சமம் இல்லை, எனவே தவறு.

இ) $l_2$ மற்றும் $l_4$ செங்குத்தானவை:
$m_2 \times m_4 = (\frac{3}{4}) \times (-\frac{4}{3}) = -1$. இந்த கூற்று உண்மை.

ஈ) $l_2$ மற்றும் $l_3$ இணையானவை:
$m_2 = \frac{3}{4}$ மற்றும் $m_3 = -\frac{3}{4}$. சாய்வுகள் சமம் இல்லை, எனவே தவறு.

சரியான விடை: இ) $l_2$ மற்றும் $l_4$ செங்குத்தானவை

13. (0, 0) மற்றும் (-8, 8) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்கு இணையான கோட்டின் சாய்வு

• அ) -1
• ஆ) 1
• இ) 1/3
• ஈ) -8

தீர்வு:

முதலில், (0, 0) மற்றும் (-8, 8) ஐ இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வைக் காண்போம்.

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 0}{-8 - 0} = \frac{8}{-8} = -1$.

இணையான கோடுகள் ஒரே சாய்வைக் கொண்டிருக்கும். எனவே, தேவையான கோட்டின் சாய்வும் -1 ஆகும்.

சரியான விடை: அ) -1

14. $tan\theta cosec^2\theta - tan\theta$ = ?

• அ) secθ
• ஆ) cot²θ
• இ) sinθ
• ஈ) cotθ

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட கோவையிலிருந்து தொடங்குவோம்: $tan\theta cosec^2\theta - tan\theta$

$tan\theta$-ஐ பொதுவான காரணியாக வெளியே எடுக்க:

$tan\theta (cosec^2\theta - 1)$

$1 + cot^2\theta = cosec^2\theta$ என்ற முக்கோணவியல் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி, $cot^2\theta = cosec^2\theta - 1$ எனப் பெறுகிறோம்.

இதை கோவையில் பிரதியிட:

$tan\theta (cot^2\theta)$

$cot\theta = \frac{1}{tan\theta}$ என நமக்குத் தெரியும். எனவே, $cot^2\theta = \frac{1}{tan^2\theta}$.

$tan\theta \times \frac{1}{tan^2\theta} = \frac{1}{tan\theta} = cot\theta$

சரியான விடை: ஈ) cotθ

பகுதி - II

15. A x B = {(3, 2), (3,4), (5,2), (5,4)] எனில், A மற்றும் B ஐக் காண்க.

தீர்வு:

கார்டீசியன் பெருக்கல் A x B என்பது a ∈ A மற்றும் b ∈ B ஆக உள்ள அனைத்து வரிசைச் சோடிகளின் (a, b) கணம் ஆகும்.

கணம் A என்பது வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள அனைத்து முதல் உறுப்புகளின் கணம்:

A = {3, 5}

கணம் B என்பது வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள அனைத்து இரண்டாவது உறுப்புகளின் கணம்:

B = {2, 4}

16. R என்ற உறவு {(x, y) | y = x + 3, x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் கண்டறிக.

தீர்வு:

மதிப்பகம் என்பது சாத்தியமான அனைத்து உள்ளீட்டு மதிப்புகளின் (x) கணம் ஆகும்.

மதிப்பகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

வீச்சகம் என்பது சாத்தியமான அனைத்து வெளியீட்டு மதிப்புகளின் (y) கணம் ஆகும், இதை y = x + 3 என்ற விதியைப் பயன்படுத்தி மதிப்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் காணலாம்.

• x = 0 எனில், y = 0 + 3 = 3
• x = 1 எனில், y = 1 + 3 = 4
• x = 2 எனில், y = 2 + 3 = 5
• x = 3 எனில், y = 3 + 3 = 6
• x = 4 எனில், y = 4 + 3 = 7
• x = 5 எனில், y = 5 + 3 = 8

வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

17. கொடுக்கப்பட்ட காரணிப் பிரித்தலில், m மற்றும் n என்ற எண்களைக் காண்க.

தீர்வு:

காரணி மரத்தின் கீழிருந்து மேல்நோக்கிச் செல்வதன் மூலம் m மற்றும் n-இன் மதிப்புகளைக் காணலாம்.

1. கீழேயுள்ள பெட்டியின் மதிப்பைக் காண்க: கீழேயுள்ள பெட்டியின் கிளைகள் 5 மற்றும் 2 ஆகும்.
   கீழேயுள்ள பெட்டியின் மதிப்பு = $5 \times 2 = 10$.
2. n-இன் மதிப்பைக் காண்க: 'n' என்ற கணுவின் கிளைகள் 5 மற்றும் கீழேயுள்ள பெட்டி (மதிப்பு 10) ஆகும்.
   n = $5 \times 10 = 50$.
3. m-க்குக் கீழே உள்ள பெட்டியின் மதிப்பைக் காண்க: இந்த பெட்டியின் கிளைகள் 3 மற்றும் 'n' (மதிப்பு 50) ஆகும்.
   m-க்குக் கீழே உள்ள பெட்டியின் மதிப்பு = $3 \times 50 = 150$.
4. m-இன் மதிப்பைக் காண்க: மேல் கணு 'm'-இன் கிளைகள் 2 மற்றும் அதற்கு கீழே உள்ள பெட்டி (மதிப்பு 150) ஆகும்.
   m = $2 \times 150 = 300$.

எனவே, இறுதி மதிப்புகள் m = 300 மற்றும் n = 50.

18. 3 + k, 18 - k, 5k + 1 என்பவை ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் உள்ளன எனில் k யின் மதிப்புக் காண்க.

தீர்வு:

மூன்று உறுப்புகள் ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் (A.P.) இருந்தால், நடு உறுப்பின் இரு மடங்கு மற்ற இரு உறுப்புகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

$2 \times (18 - k) = (3 + k) + (5k + 1)$

$36 - 2k = 6k + 4$

$36 - 4 = 6k + 2k$

$32 = 8k$

$k = \frac{32}{8} = 4$

எனவே, k = 4.

19. 1+2+3+...+k = 325 எனில், $1^3 + 2^3+3^3 + ... + k^3$ ஐக் காண்க.

தீர்வு:

முதல் k இயல் எண்களின் கூடுதல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

$\sum_{i=1}^{k} i = 1+2+...+k = \frac{k(k+1)}{2} = 325$

முதல் k இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல் காண வேண்டும்:

$\sum_{i=1}^{k} i^3 = 1^3+2^3+...+k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பை பிரதியிட:

$1^3+2^3+...+k^3 = (325)^2 = 105625$

கூடுதல் 105,625 ஆகும்.

20. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பு $\frac{(x-4)(x+3)}{3x-12}$ (ச.அலகுகள்) மற்றும் அதன் நீளம் $\frac{x-3}{3}$ (அலகுகள்) எனில், அதன் அகலத்தைக் காண்க.

தீர்வு:

ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பு சூத்திரம்: பரப்பு = நீளம் × அகலம்.

எனவே, அகலம் = $\frac{\text{பரப்பு}}{\text{நீளம்}}$

முதலில், பரப்பின் கோவையை சுருக்குவோம்:

பரப்பு = $\frac{(x-4)(x+3)}{3(x-4)} = \frac{x+3}{3}$

இப்போது, அகலத்தைக் காணலாம்:

அகலம் = $\frac{(\frac{x+3}{3})}{(\frac{x-3}{3})} = \frac{x+3}{3} \times \frac{3}{x-3} = \frac{x+3}{x-3}$ அலகுகள்.

21. மூலங்களின் கூடுதல் -9 மற்றும் அதன் பெருக்கற்பலன் 20 உள்ள, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொது வடிவம்: $x^2 - (\text{மூலங்களின் கூடுதல்})x + (\text{மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்}) = 0$

மூலங்களின் கூடுதல் = -9, மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் = 20.

$x^2 - (-9)x + 20 = 0 \implies x^2 + 9x + 20 = 0$

22. சூத்திர முறையில் தீர்க்க : $x^2 + 2x - 2 = 0$

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு $ax^2 + bx + c = 0$ உடன் ஒப்பிட, a=1, b=2, c=-2.

இருபடி சூத்திரம்: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

தீர்வுகள் $x = -1 + \sqrt{3}$ மற்றும் $x = -1 - \sqrt{3}$.

23. ∆ABCல், ∠A ன் இருசமவெட்டி AD ஆகும். BD = 4செ.மீ, DC = 3செ.மீ and AB = 6செ.மீ, எனில், AC யைக் காண்க.

தீர்வு:

கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி, $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$

$\frac{6}{AC} = \frac{4}{3} \implies 4 \times AC = 18 \implies AC = \frac{18}{4} = 4.5$ செ.மீ.

24. (-3, -4), (7,2) மற்றும் (12, 5) என்ற புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனக் காட்டுக.

தீர்வு:

புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில், அவற்றால் உருவாகும் முக்கோணத்தின் பரப்பு பூஜ்ஜியம் ஆகும்.

பரப்பு = $\frac{1}{2} |(-3)(2 - 5) + 7(5 - (-4)) + 12(-4 - 2)|$

= $\frac{1}{2} |(-3)(-3) + 7(9) + 12(-6)| = \frac{1}{2} |9 + 63 - 72| = \frac{1}{2} |0| = 0$

பரப்பு 0 என்பதால், புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை.

25. ஒரு பூனை xy தளத்தில் (-6, -4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5, 11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால்புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக் குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில், பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான மிகக் குறுகிய பாதை ஒரு நேர்கோடு. A(-6, -4) மற்றும் B(5, 11) வழியாக செல்லும் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண வேண்டும்.

இரு புள்ளி சூத்திரம்: $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

$\frac{y - (-4)}{11 - (-4)} = \frac{x - (-6)}{5 - (-6)} \implies \frac{y + 4}{15} = \frac{x + 6}{11}$

$11(y+4) = 15(x+6) \implies 11y + 44 = 15x + 90$

தேவையான சமன்பாடு: $15x - 11y + 46 = 0$.

26. $\frac{2x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{1}{10} = 0$ மற்றும் $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{1}{7} = 0$ ஆகிய நேர்கோடுகள் இணையானவையா அல்லது செங்குத்தானவையா எனச் சோதிக்கவும்.

தீர்வு:

கோடு 1: $y = -\frac{4x}{3} - \frac{1}{5}$. சாய்வு $m_1 = -\frac{4}{3}$.

கோடு 2: $y = -\frac{4x}{3} - \frac{4}{7}$. சாய்வு $m_2 = -\frac{4}{3}$.

$m_1 = m_2$ என்பதால், கோடுகள் இணையானவை.

27. $tan^2\theta - sin^2\theta = tan^2\theta sin^2\theta$ என நிறுவுக.

தீர்வு:

LHS = $tan^2\theta - sin^2\theta = \frac{sin^2\theta}{cos^2\theta} - sin^2\theta$

= $sin^2\theta \left(\frac{1}{cos^2\theta} - 1\right) = sin^2\theta \left(\frac{1 - cos^2\theta}{cos^2\theta}\right)$

= $sin^2\theta \left(\frac{sin^2\theta}{cos^2\theta}\right) = tan^2\theta sin^2\theta$ = RHS.

28. f(x) = 2x-1 என்னும் சார்பு, A = {5, 6, 8, 10} லிருந்து, B = {19, 15, 9, 11} க்கு வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. பின்வரும் அட்டவணை, அந்தச் சார்பினைக் குறிக்கும் எனில் a மற்றும் b ன் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

'a' மதிப்பைக் காண (x=5): $a = f(5) = 2(5) - 1 = 9$.

'b' மதிப்பைக் காண (x=8): $b = f(8) = 2(8) - 1 = 15$.

எனவே, a = 9 மற்றும் b = 15.

பகுதி - III

29. A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {2, 5, 8, 11, 14} என்பன இரு கணங்கள் என்க. f:A→B எனும் சார்பு f(x) = 3x - 1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பினைக் கொண்டு (i) அம்புக்குறி படம் (ii) அட்டவணை (iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (iv) வரைபடம் ஆகியவற்றைக் குறிக்க.

தீர்வு:

f(1)=2, f(2)=5, f(3)=8, f(4)=11.

(i) அம்புக்குறி படம்: A={1,2,3,4} லிருந்து B={2,5,8,11,14} க்கு அம்புக்குறிகள் வரைக: 1→2, 2→5, 3→8, 4→11.

(ii) அட்டவணை:

x	1	2	3	4
f(x)	2	5	8	11

(iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்: f = {(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11)}.

(iv) வரைபடம்: (1,2), (2,5), (3,8), (4,11) புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவும்.

30. f(x) = 3x + 1, g(x) = x + 3 ஆகியவை இரு சார்புகள். மேலும், gff(x) = fgg(x) எனில் xஐக் காண்க.

தீர்வு:

gff(x) = g(f(f(x))) = g(3(3x+1)+1) = g(9x+4) = (9x+4)+3 = 9x+7.

fgg(x) = f(g(g(x))) = f((x+3)+3) = f(x+6) = 3(x+6)+1 = 3x+19.

$9x+7 = 3x+19 \implies 6x = 12 \implies x=2$.

31. A = {-1, 1} மற்றும் B = {0, 2} என்க. மேலும் f:A→B ஆனது f(x) = ax + b என்று வரையறுக்கப்பட்ட மேல்சார்பு எனில், a மற்றும் b ஐக் காண்க.

தீர்வு:

இது ஒரு மேல்சார்பு என்பதால், இரு நிலைகள் சாத்தியம்.

நிலை 1: f(-1)=0, f(1)=2. சமன்பாடுகள்: -a+b=0, a+b=2. தீர்க்க, a=1, b=1.

நிலை 2: f(-1)=2, f(1)=0. சமன்பாடுகள்: -a+b=2, a+b=0. தீர்க்க, a=-1, b=1.

32. S₁, S₂, மற்றும் S₃ என்பன முறையே ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் முதல் n, 2n மற்றும் 3n உறுப்புகளின் கூடுதல் ஆகும். S₃ = 3(S₂ - S₁) என நிறுவுக.

தீர்வு:

Let the A.P. have first term 'a' and common difference 'd'.

The sum of the first k terms of an A.P. is given by $S_k = \frac{k}{2}[2a + (k-1)d]$.

$S_1 = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$

$S_2 = \frac{2n}{2}[2a + (2n-1)d] = n[2a + (2n-1)d]$

$S_3 = \frac{3n}{2}[2a + (3n-1)d]$

Now, let's evaluate the Right Hand Side (RHS) of the equation we need to prove: $3(S_2 - S_1)$.

$S_2 - S_1 = n[2a + (2n-1)d] - \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$

Factor out $\frac{n}{2}$:

$S_2 - S_1 = \frac{n}{2} \left[ 2(2a + (2n-1)d) - (2a + (n-1)d) \right]$

$S_2 - S_1 = \frac{n}{2} [ (4a + 4nd - 2d) - (2a + nd - d) ]$

$S_2 - S_1 = \frac{n}{2} [ 4a + 4nd - 2d - 2a - nd + d ]$

$S_2 - S_1 = \frac{n}{2} [ (4a-2a) + (4nd-nd) + (-2d+d) ]$

$S_2 - S_1 = \frac{n}{2} [ 2a + 3nd - d ] = \frac{n}{2} [ 2a + (3n-1)d ]$

Now, multiply this result by 3:

$3(S_2 - S_1) = 3 \times \frac{n}{2} [ 2a + (3n-1)d ] = \frac{3n}{2} [ 2a + (3n-1)d ]$

This expression is exactly the formula for $S_3$.

Therefore, $S_3 = 3(S_2 - S_1)$. Hence proved.

33. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

தீர்வு:

The side lengths of the 15 square papers are 10 cm, 11 cm, ..., 24 cm.

The area of a square is side². To find the total area, we need to calculate the sum of the areas of all squares:

Total Area = $10^2 + 11^2 + 12^2 + ... + 24^2$

We can find this sum using the formula for the sum of the first n squares: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

The required sum can be calculated as: $(\sum_{k=1}^{24} k^2) - (\sum_{k=1}^{9} k^2)$

1. Calculate $\sum_{k=1}^{24} k^2$ (Sum of squares from 1 to 24):

$\frac{24(24+1)(2(24)+1)}{6} = \frac{24(25)(49)}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 100 \times 49 = 4900$

2. Calculate $\sum_{k=1}^{9} k^2$ (Sum of squares from 1 to 9):

$\frac{9(9+1)(2(9)+1)}{6} = \frac{9(10)(19)}{6} = \frac{1710}{6} = 285$

3. Find the total area:

Total Area = $4900 - 285 = 4615$

Rekha can decorate 4615 cm² of area.

34. பின்வரும் மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரிய சமன்பாட்டுத் தொகுப்பினைத் தீர்க்க. 3x-2y+z=2, 2x+3y-z=5, x+y+z=6

தீர்வு:

(1)+(2) $\implies 5x+y=7$. (4)

(2)+(3) $\implies 3x+4y=11$. (5)

சமன்பாடு (4) லிருந்து, y = 7-5x. இதை (5) ல் பிரதியிட,

$3x+4(7-5x)=11 \implies 3x+28-20x=11 \implies -17x=-17 \implies x=1$.

x=1 என (4) ல் பிரதியிட, y=2. x=1, y=2 என (3) ல் பிரதியிட, z=3. தீர்வு: (1, 2, 3).

35. வகுத்தல் முறையில், $x^4 - 12x^3 + 42x^2 - 36x + 9$ என்னும் பல்லுறுப்புக் கோவையின் வர்க்க மூலம் காண்க.

தீர்வு:

நீள் வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி, வர்க்கமூலம் $|x^2 - 6x + 3|$ ஆகும்.

We use the long division method to find the square root.

             x²  - 6x  + 3
           _____________________
    x²    | x⁴ - 12x³ + 42x² - 36x + 9
          | x⁴
          |_____________________
2x²-6x    |    -12x³ + 42x²
          |    -12x³ + 36x²
          |_____________________
2x²-12x+3 |           6x² - 36x + 9
          |           6x² - 36x + 9
          |_____________________
          |                     0
        

Step-by-step Explanation:

1. The square root of the first term, $x^4$, is $x^2$. This is the first term of our answer.
2. Subtract $(x^2)^2 = x^4$ and bring down the next two terms: $-12x^3 + 42x^2$.
3. Double the current answer ($x^2$) to get the new divisor's first part: $2x^2$.
4. Divide the first term of the new dividend ($-12x^3$) by the first term of the new divisor ($2x^2$) to get $-6x$. This is the second term of our answer.
5. The new divisor is $2x^2 - 6x$. Multiply it by $-6x$: $(-6x)(2x^2 - 6x) = -12x^3 + 36x^2$.
6. Subtract this from the current dividend. $( -12x^3 + 42x^2) - (-12x^3 + 36x^2) = 6x^2$. Bring down the next two terms: $-36x + 9$.
7. Double the current answer ($x^2 - 6x$) to get the new divisor's first part: $2x^2 - 12x$.
8. Divide the first term of the new dividend ($6x^2$) by the first term of the new divisor ($2x^2$) to get $3$. This is the third term of our answer.
9. The new divisor is $2x^2 - 12x + 3$. Multiply it by $3$: $3(2x^2 - 12x + 3) = 6x^2 - 36x + 9$.
10. Subtracting this gives a remainder of 0.

The square root is $|x^2 - 6x + 3|$.

36. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கர்ணம் 25 செ.மீ மற்றும் அதன் சுற்றளவு 56 செ.மீ எனில், முக்கோணத்தின் சிறிய பக்கத்தின் அளவைக் காண்க.

தீர்வு:

பக்கங்கள் a, b மற்றும் c=25 என்க. a+b+25=56 $\implies$ a+b=31. $a^2+b^2 = 25^2=625$.

$(a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \implies 31^2 = 625+2ab \implies 961=625+2ab \implies 2ab=336 \implies ab=168$.

கூட்டினால் 31, பெருக்கினால் 168 வரும் எண்கள் 7 மற்றும் 24. சிறிய பக்கம் 7 செ.மீ.

37. தேல்ஸ் தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.

தீர்வு:

தேற்றம்: ஒரு நேர்கோடு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாகவும் மற்ற இரு பக்கங்களை வெட்டுமாறும் வரையப்பட்டால் அக்கோடு அவ்விரண்டு பக்கங்களையும் சம விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.

(நிறுவுதலுக்கான படிகள் ஆங்கிலப் பதிலில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.)

38. (-4, -2), (-3, k), (3, -2) மற்றும் (2, 3) ஆகியவற்றின் முனைகளை வரிசையாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு 28 ச.அலகுகள் எனில், k ன் மதிப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

பரப்பு = $\frac{1}{2} |(-4k+6+9-4) - (6+3k-4-12)| = 28$.

$56 = |(-4k+11) - (3k-10)| = |-7k+21|$.

$-7k+21 = 56 \implies -7k=35 \implies k=-5$.

$-7k+21 = -56 \implies -7k=-77 \implies k=11$.

39. AABC ன் முனைகள் A(−3, 0), B(10, -2) மற்றும் C(11, 2) எனில், உச்சி B வழியாகச் செல்லும் நடுக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

AC-இன் நடுப்புள்ளி D = $(\frac{-3+11}{2}, \frac{0+2}{2}) = (4, 1)$.

B(10, -2) மற்றும் D(4, 1) வழிச் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு:

$\frac{y - (-2)}{1 - (-2)} = \frac{x - 10}{4 - 10} \implies \frac{y+2}{3} = \frac{x-10}{-6}$.

$-2(y+2) = x-10 \implies -2y-4 = x-10 \implies x+2y-6=0$.

40. 3x+y+2=0 மற்றும் x-2y-4=0 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும், 7x-3y=-12 மற்றும் 2y=x+3 ஆகிய நேர்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியையும் இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

முதல் சந்திப்பு புள்ளி P1(0, -2). இரண்டாவது சந்திப்பு புள்ளி P2($-\frac{15}{11}, \frac{9}{11}$).

P1 மற்றும் P2 வழிச் செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு: $31x+15y+30=0$.

Detailed explanation in English

Step 1: Find the first point of intersection (P1).

(1) $3x + y + 2 = 0$

(2) $x - 2y - 4 = 0$

From (1), $y = -3x - 2$. Substitute this into (2):

$x - 2(-3x - 2) - 4 = 0$

$x + 6x + 4 - 4 = 0 \implies 7x = 0 \implies x = 0$.

Substitute $x=0$ back into $y = -3x - 2 \implies y = -3(0) - 2 = -2$.

So, the first point is P1 = (0, -2).

Step 2: Find the second point of intersection (P2).

(3) $7x - 3y = -12$

(4) $2y = x + 3 \implies x = 2y - 3$

Substitute x from (4) into (3):

$7(2y - 3) - 3y = -12$

$14y - 21 - 3y = -12$

$11y = 9 \implies y = \frac{9}{11}$.

Substitute y back into $x = 2y - 3 \implies x = 2(\frac{9}{11}) - 3 = \frac{18}{11} - \frac{33}{11} = -\frac{15}{11}$.

So, the second point is P2 = ($-\frac{15}{11}, \frac{9}{11}$).

Step 3: Find the equation of the line through P1(0, -2) and P2($-\frac{15}{11}, \frac{9}{11}$).

First, find the slope (m):

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\frac{9}{11} - (-2)}{-\frac{15}{11} - 0} = \frac{\frac{9+22}{11}}{-\frac{15}{11}} = \frac{\frac{31}{11}}{-\frac{15}{11}} = -\frac{31}{15}$.

Using the point-slope form $y - y_1 = m(x - x_1)$ with P1(0, -2):

$y - (-2) = -\frac{31}{15}(x - 0)$

$y + 2 = -\frac{31}{15}x$

Multiply by 15: $15(y + 2) = -31x \implies 15y + 30 = -31x$.

The required equation is $31x + 15y + 30 = 0$.

41. பின்வரும் முற்றொருமையை நிறுவுக: $\frac{sin^3A + cos^3A}{sinA + cosA} + \frac{sin^3A - cos^3A}{sinA - cosA} = 2$

தீர்வு:

LHS = $(sin^2A-sinAcosA+cos^2A) + (sin^2A+sinAcosA+cos^2A)$

= $2(sin^2A+cos^2A) = 2(1) = 2$ = RHS.

We will use the sum and difference of cubes formulas:

• $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Let's work with the Left Hand Side (LHS).

First term:

$\frac{sin^3A + cos^3A}{sinA + cosA} = \frac{(sinA + cosA)(sin^2A - sinAcosA + cos^2A)}{sinA + cosA}$

= $sin^2A - sinAcosA + cos^2A$

Second term:

$\frac{sin^3A - cos^3A}{sinA - cosA} = \frac{(sinA - cosA)(sin^2A + sinAcosA + cos^2A)}{sinA - cosA}$

= $sin^2A + sinAcosA + cos^2A$

Now, add the simplified terms:

LHS = $(sin^2A - sinAcosA + cos^2A) + (sin^2A + sinAcosA + cos^2A)$

The terms $-sinAcosA$ and $+sinAcosA$ cancel each other out.

LHS = $sin^2A + cos^2A + sin^2A + cos^2A$

Using the Pythagorean identity $sin^2A + cos^2A = 1$:

LHS = $1 + 1 = 2$

LHS = RHS. Hence, the identity is proved.

42. 300க்கும், 500க்கும் இடையே, 11 ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

தொடர்: 308, 319, ..., 495. இது ஒரு கூட்டுத்தொடர்.

a=308, l=495, d=11. $n = \frac{l-a}{d}+1 = \frac{495-308}{11}+1 = 17+1=18$.

$S_{18} = \frac{18}{2}(308+495) = 9(803) = 7227$.

பகுதி - IV

43. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 6/5 என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி 6/5 > 1).

தீர்வு:

வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஒரு முக்கோணம் ABC வரைக.
2. B-யிலிருந்து BC உடன் ஒரு குறுங்கோணத்தை உருவாக்கும் ஒரு கதிர் BX-ஐ வரைக.
3. 6/5 என்பதால், BX-ன் மீது 6 சம அளவுள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்கவும் ($B_1$ முதல் $B_6$ வரை).
4. $B_5$-ஐ C உடன் இணைக்கவும்.
5. $B_6$ வழியாக $B_5C$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது BC-இன் நீட்சியை C' இல் சந்திக்கட்டும்.
6. C' வழியாக CA-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது BA-இன் நீட்சியை A' இல் சந்திக்கட்டும்.
7. A'BC' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

43. ஆ) (அல்லது) QR = 5 செ.மீ, ∠P = 30° மற்றும் P யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ கொண்ட ∆PQR வரைக.

தீர்வு:

வரைமுறை:

1. QR = 5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. Q-ல் ∠RQX = 30° என வரைக.
3. Q-ல் QX-க்கு செங்குத்தாக QY வரைக.
4. QR-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைந்து, அது QR-ஐ M-லும் QY-ஐ O-விலும் சந்திக்கட்டும்.
5. O-வை மையமாக வைத்து OQ ஆரத்தில் ஒரு வட்டம் வரைக.
6. M-லிருந்து QR-க்கு 4.2 செ.மீ நீளத்தில் ஒரு குத்துக்கோடு MN வரைக.
7. N வழியாக QR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது வட்டத்தை P மற்றும் P'-ல் வெட்டட்டும்.
8. PQ மற்றும் PR-ஐ இணைக்கவும். ∆PQR என்பது தேவையான முக்கோணம்.

44. அ) y = 1/2x என்ற நேரிய சார்பின் வரைபடம் வரைக. விகிதசம மாறிலியை அடையாளம் கண்டு, அதனை வரைபடத்துடன் சரிபார்க்க. மேலும், i) x = 9 எனில், y ஐக் காண்க ii) y = 7.5 எனில் x ஐக் காண்க.

தீர்வு:

1. சமன்பாடு மற்றும் விகிதசம மாறிலி

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு $y = \frac{1}{2}x$.

இது $y=kx$ என்ற வடிவில் உள்ளது. இது ஒரு நேர் மாறுபாடு ஆகும். இதன் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் ஒரு நேர்க்கோடு ஆகும்.

இங்கு, விகிதசம மாறிலி (constant of proportionality) $k = \frac{1}{2}$.

2. மதிப்புகளின் அட்டவணை

வரைபடம் வரைய சில புள்ளிகளைக் கணக்கிடுவோம்.

$x$	0	2	4	6	8	10
$y = \frac{1}{2}x$	0	1	2	3	4	5

3. வரைபடம் வரைதல்

மேற்கண்ட புள்ளிகளை $(0,0), (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5)$ வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை ஒரு நேர்க்கோட்டால் இணைக்கவும்.

4. வரைபடத்துடன் சரிபார்த்தல்

வரைபடத்தில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம், உதாரணமாக $(8,4)$.

விகிதசம மாறிலி $k = \frac{y}{x} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

இது நாம் கணக்கிட்ட மாறிலியுடன் பொருந்துவதால், வரைபடம் சரிபார்க்கப்பட்டது.

5. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்

(i) $x=9$ எனில் $y$-ன் மதிப்பு:

வரைபடத்தில், x-அச்சில் $x=9$ என்ற புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக நேர்க்கோட்டை நோக்கிச் செல்லவும். கோட்டை சந்தித்த புள்ளியிலிருந்து கிடைமட்டமாக y-அச்சிற்குச் சென்றால், அது $y=4.5$ என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.

எனவே, $x=9$ எனில், $y=4.5$.

(ii) $y=7.5$ எனில் $x$-ன் மதிப்பு:

வரைபடத்தில், y-அச்சில் $y=7.5$ என்ற புள்ளியிலிருந்து கிடைமட்டமாக நேர்க்கோட்டை நோக்கிச் செல்லவும். கோட்டை சந்தித்த புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக x-அச்சிற்குச் சென்றால், அது $x=15$ என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.

எனவே, $y=7.5$ எனில், $x=15$.

44. ஆ) (அல்லது) ஒரு நிறுவனமானது தொடக்கத்தில் 40 வேலையாள்களுடன் 150 நாள்களில் ஒரு வேலையை முடிக்க தொடங்கியது. பிறகு, வேலையை விரைவாக முடித்திட பின்வருமாறு வேலையாள்களை அதிகரித்தது.
வேலையாள்களின் எண்ணிக்கை (x): 40, 50, 60, 75
நாள்களின் எண்ணிக்கை (y): 150, 120, 100, 80
i) மேலேக் கொடுக்கப்பட்டுள்ள தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து மாறுபாட்டின் வகையை அடையாளம் காண்க.
ii) வரைபடத்திலிருந்து நிறுவனமானது 120 வேலையாள்களை வேலைக்கு அமர்த்த விரும்பினால், வேலை முடிய எத்தனை நாள்கள் ஆகும் எனக் காண்க.
iii) வேலையானது 200 நாள்களில் முடிய வேண்டும் எனில், எத்தனை வேலையாளர்கள் தேவை?

தீர்வு:

i) மாறுபாட்டின் வகை:

$40 \times 150 = 6000$, $50 \times 120 = 6000$. xy = 6000 என்பது ஒரு மாறிலி. எனவே, இது எதிர் மாறுபாடு.

வரைபடம்: புள்ளிகளை (40, 150), (50, 120), (60, 100), (75, 80) வரைபடத்தில் குறித்து, வளைவரை வரைக.

ii) 120 வேலையாளர்களுக்குத் தேவைப்படும் நாட்கள்:

வரைபடத்தில் x=120 எனில், y=50. கணக்கீடு: $120 \times y = 6000 \implies y=50$ நாட்கள்.

iii) 200 நாட்களில் முடிக்கத் தேவைப்படும் வேலையாளர்கள்:

வரைபடத்தில் y=200 எனில், x=30. கணக்கீடு: $x \times 200 = 6000 \implies x=30$ வேலையாளர்கள்.