விருதுநகர் மாவட்டம்
காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - செப்டம்பர் 2025
வகுப்பு 10 கணிதம் - முழுமையான தீர்வுகள்
பகுதி - I (மதிப்பெண்கள்: 14)
சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக: (14×1=14)
1) \(n(A \times B) = 6\) மற்றும் \(A = \{1, 3\}\) எனில், \(n(B)\) ஆனது
விடை:
கொடுக்கப்பட்டவை: \(n(A \times B) = 6\) மற்றும் \(A = \{1, 3\}\).
\(A\) கணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, \(n(A) = 2\).
நமக்குத் தெரியும், \(n(A \times B) = n(A) \times n(B)\).
\(6 = 2 \times n(B)\)
\(n(B) = \frac{6}{2} = 3\).
c) 3
விளக்கம்:கொடுக்கப்பட்டவை: \(n(A \times B) = 6\) மற்றும் \(A = \{1, 3\}\).
\(A\) கணத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, \(n(A) = 2\).
நமக்குத் தெரியும், \(n(A \times B) = n(A) \times n(B)\).
\(6 = 2 \times n(B)\)
\(n(B) = \frac{6}{2} = 3\).
2) \(f(x) = x^m\) மற்றும் \(g(x) = x^n\) எனில், \(fog = ?\)
விடை:
\(fog(x) = f(g(x))\)
\(f(g(x)) = f(x^n)\) (ஏனெனில் \(g(x) = x^n\))
\( = (x^n)^m\) (ஏனெனில் \(f(x) = x^m\))
\( = x^{n \times m} = x^{mn}\).
c) \(x^{mn}\)
விளக்கம்:\(fog(x) = f(g(x))\)
\(f(g(x)) = f(x^n)\) (ஏனெனில் \(g(x) = x^n\))
\( = (x^n)^m\) (ஏனெனில் \(f(x) = x^m\))
\( = x^{n \times m} = x^{mn}\).
3) யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தையும் 9 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள்
விடை:
எந்தவொரு மிகை முழு எண்ணையும் \(3q, 3q+1\) அல்லது \(3q+2\) என்ற வடிவில் எழுதலாம்.
நிலை 1: \((3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3)\). 9 ஆல் வகுபடும், மீதி 0.
நிலை 2: \((3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3+3q^2+q) + 1\). 9 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 1.
நிலை 3: \((3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3+6q^2+4q) + 8\). 9 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 8.
எனவே, கிடைக்கும் மீதிகள் 0, 1, 8.
a) 0, 1, 8
விளக்கம்:எந்தவொரு மிகை முழு எண்ணையும் \(3q, 3q+1\) அல்லது \(3q+2\) என்ற வடிவில் எழுதலாம்.
நிலை 1: \((3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3)\). 9 ஆல் வகுபடும், மீதி 0.
நிலை 2: \((3q+1)^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3+3q^2+q) + 1\). 9 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 1.
நிலை 3: \((3q+2)^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3+6q^2+4q) + 8\). 9 ஆல் வகுக்கும் போது மீதி 8.
எனவே, கிடைக்கும் மீதிகள் 0, 1, 8.
4) 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்
விடை:
நாம் 1 முதல் 10 வரையிலான எண்களின் மீ.சி.ம (LCM) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = \(2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520\).
d) 2520
விளக்கம்:நாம் 1 முதல் 10 வரையிலான எண்களின் மீ.சி.ம (LCM) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = \(2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520\).
5) \((1^3+2^3+3^3+...+15^3) - (1+2+3+...+15)\)-யின் மதிப்பு
விடை:
\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \) மற்றும் \( \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \).
இங்கு \(n=15\).
\(1^3+...+15^3 = \left( \frac{15(15+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{15 \times 16}{2} \right)^2 = (120)^2 = 14400\).
\(1+...+15 = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120\).
மதிப்பு = \(14400 - 120 = 14280\).
c) 14280
விளக்கம்:\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \) மற்றும் \( \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \).
இங்கு \(n=15\).
\(1^3+...+15^3 = \left( \frac{15(15+1)}{2} \right)^2 = \left( \frac{15 \times 16}{2} \right)^2 = (120)^2 = 14400\).
\(1+...+15 = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120\).
மதிப்பு = \(14400 - 120 = 14280\).
6) \(x^4+64\) முழுவர்க்கமாக மாற்ற அதனுடன் பின்வருவனவற்றுள் எதைக் கூட்ட வேண்டும்?
(குறிப்பு: வினாவில் \(x^2+64\) என்று அச்சிடப்பட்டுள்ளது, அது \(x^4+64\) என இருக்க வேண்டும்)
(குறிப்பு: வினாவில் \(x^2+64\) என்று அச்சிடப்பட்டுள்ளது, அது \(x^4+64\) என இருக்க வேண்டும்)
விடை:
\(x^4+64 = (x^2)^2 + 8^2\). இது \(a^2+b^2\) வடிவில் உள்ளது.
முழுவர்க்கமாக மாற்ற \(2ab\) உறுப்பை கூட்ட வேண்டும்.
\(a=x^2, b=8\). \(2ab = 2(x^2)(8) = 16x^2\).
எனவே, \(x^4+64\) உடன் \(16x^2\) ஐ கூட்டினால், \(x^4+16x^2+64 = (x^2+8)^2\) என்ற முழுவர்க்கம் கிடைக்கும்.
b) \(16x^2\)
விளக்கம்:\(x^4+64 = (x^2)^2 + 8^2\). இது \(a^2+b^2\) வடிவில் உள்ளது.
முழுவர்க்கமாக மாற்ற \(2ab\) உறுப்பை கூட்ட வேண்டும்.
\(a=x^2, b=8\). \(2ab = 2(x^2)(8) = 16x^2\).
எனவே, \(x^4+64\) உடன் \(16x^2\) ஐ கூட்டினால், \(x^4+16x^2+64 = (x^2+8)^2\) என்ற முழுவர்க்கம் கிடைக்கும்.
7) ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு ______ ஆகும்.
விடை:
\(ax+by+c=0\) என்ற வடிவில் உள்ள ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் எப்போதும் ஒரு நேர்க்கோடாகவே இருக்கும்.
a) நேர்க்கோடு
விளக்கம்:\(ax+by+c=0\) என்ற வடிவில் உள்ள ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் எப்போதும் ஒரு நேர்க்கோடாகவே இருக்கும்.
8) \(3\sqrt{x} = 9\) எனில் x-யின் மதிப்பு என்ன?
விடை:
\(3\sqrt{x} = 9 \implies \sqrt{x} = \frac{9}{3} = 3\).
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த, \((\sqrt{x})^2 = 3^2 \implies x = 9\).
b) 9
விளக்கம்:\(3\sqrt{x} = 9 \implies \sqrt{x} = \frac{9}{3} = 3\).
இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த, \((\sqrt{x})^2 = 3^2 \implies x = 9\).
9) இருசமபக்க முக்கோணம் \(\triangle ABC\)-யில் \(\angle C = 90^\circ\) மற்றும் \(AC = 5\) செ.மீ, எனில் AB ஆனது
விடை:
\(\triangle ABC\) ஒரு இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம். \(\angle C = 90^\circ\).
எனவே, \(AC = BC = 5\) செ.மீ.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி, \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\)
\(AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) செ.மீ.
d) \(5\sqrt{2}\) செ.மீ
விளக்கம்:\(\triangle ABC\) ஒரு இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம். \(\angle C = 90^\circ\).
எனவே, \(AC = BC = 5\) செ.மீ.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி, \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
\(AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\)
\(AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) செ.மீ.
10) \(\triangle ABC\)-யில் \(DE \parallel BC\). \(AB = 3.6\) செ.மீ, \(AC = 2.4\) செ.மீ மற்றும் \(AD = 2.1\) செ.மீ எனில், AE-யின் நீளம்
விடை:
தேல்ஸ் தேற்றத்தின் (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்) படி, \(DE \parallel BC\) எனில்,
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\)
\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = \frac{2.1 \times 24}{36} = \frac{2.1 \times 2}{3} = 0.7 \times 2 = 1.4\) செ.மீ.
a) 1.4 செ.மீ
விளக்கம்:தேல்ஸ் தேற்றத்தின் (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்) படி, \(DE \parallel BC\) எனில்,
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\)
\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = \frac{2.1 \times 24}{36} = \frac{2.1 \times 2}{3} = 0.7 \times 2 = 1.4\) செ.மீ.
11) \((0, 0)\) மற்றும் \((-8, 8)\) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டிற்குச் செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு
விடை:
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு \(m_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-0}{-8-0} = \frac{8}{-8} = -1\).
செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு \(m_2 = -\frac{1}{m_1}\).
\(m_2 = -\frac{1}{-1} = 1\).
b) 1
விளக்கம்:கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வு \(m_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{8-0}{-8-0} = \frac{8}{-8} = -1\).
செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு \(m_2 = -\frac{1}{m_1}\).
\(m_2 = -\frac{1}{-1} = 1\).
12) \(x-y = 4\) மற்றும் \(x+y = 8\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி
விடை:
\(x-y=4 \quad ---(1)\)
\(x+y=8 \quad ---(2)\)
(1) + (2) \(\implies 2x = 12 \implies x = 6\).
\(x=6\) ஐ (2)-ல் பிரதியிட, \(6+y=8 \implies y=2\).
சந்திக்கும் புள்ளி (6, 2).
c) (6, 2)
விளக்கம்:\(x-y=4 \quad ---(1)\)
\(x+y=8 \quad ---(2)\)
(1) + (2) \(\implies 2x = 12 \implies x = 6\).
\(x=6\) ஐ (2)-ல் பிரதியிட, \(6+y=8 \implies y=2\).
சந்திக்கும் புள்ளி (6, 2).
13) \(\tan\theta \text{cosec}^2\theta - \tan\theta\)-ன் மதிப்பு
விடை:
\(\tan\theta \text{cosec}^2\theta - \tan\theta = \tan\theta(\text{cosec}^2\theta - 1)\).
முற்றொருமைப்படி, \(1 + \cot^2\theta = \text{cosec}^2\theta \implies \cot^2\theta = \text{cosec}^2\theta - 1\).
எனவே, \(\tan\theta(\cot^2\theta) = \tan\theta \times \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta\).
d) \(\cot\theta\)
விளக்கம்:\(\tan\theta \text{cosec}^2\theta - \tan\theta = \tan\theta(\text{cosec}^2\theta - 1)\).
முற்றொருமைப்படி, \(1 + \cot^2\theta = \text{cosec}^2\theta \implies \cot^2\theta = \text{cosec}^2\theta - 1\).
எனவே, \(\tan\theta(\cot^2\theta) = \tan\theta \times \frac{1}{\tan^2\theta} = \frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta\).
14) \(\sin\theta\) மற்றும் \(\cos\theta\)-வின் மதிப்புகள் எப்போது சமமாக இருக்கும்?
விடை:
\(\theta = 45^\circ\) எனும்போது, \(\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\) மற்றும் \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\). எனவே மதிப்புகள் சமம்.
d) \(\theta = 45^\circ\)
விளக்கம்:\(\theta = 45^\circ\) எனும்போது, \(\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\) மற்றும் \(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\). எனவே மதிப்புகள் சமம்.
பகுதி - II (மதிப்பெண்கள்: 20)
எவையேனும் பத்து வினாக்களுக்கு விடையளி: (10×2=20) (வினா எண்: 28க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்)
15) \(B \times A = \{(-2, 3), (-2, 4), (0, 3), (0, 4), (3, 3), (3, 4)\}\) எனில், A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.
தீர்வு:
\(B \times A\)-ல், முதல் உறுப்புகள் B கணத்தையும், இரண்டாம் உறுப்புகள் A கணத்தையும் சேர்ந்தவை.
முதல் உறுப்புகளின் கணம் B = \(\{-2, 0, 3\}\).
இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம் A = \(\{3, 4\}\).
முதல் உறுப்புகளின் கணம் B = \(\{-2, 0, 3\}\).
இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம் A = \(\{3, 4\}\).
16) \(f : X \to Y\) என்ற உறவானது \(f(x) = x^2-2\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு \(X = \{-2, -1, 0, 3\}\) மற்றும் \(Y = R\) எனக் கொண்டால் i) f-யின் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக. ii) f ஒரு சார்பாகுமா?
தீர்வு:
\(f(x) = x^2-2\).
\(f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2\)
\(f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1\)
\(f(0) = (0)^2 - 2 = 0 - 2 = -2\)
\(f(3) = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7\)
i) f-யின் உறுப்புகள் (வரிசைச் சோடிகளின் கணம்): \(\{(-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (3, 7)\}\).
ii) ஆம், f ஒரு சார்பாகும். ஏனெனில், மதிப்பகம் X-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் துணை மதிப்பகம் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது.
\(f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2\)
\(f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1\)
\(f(0) = (0)^2 - 2 = 0 - 2 = -2\)
\(f(3) = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7\)
i) f-யின் உறுப்புகள் (வரிசைச் சோடிகளின் கணம்): \(\{(-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (3, 7)\}\).
ii) ஆம், f ஒரு சார்பாகும். ஏனெனில், மதிப்பகம் X-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் துணை மதிப்பகம் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு உள்ளது.
17) f ஆனது R-லிருந்து R-க்கு ஆன சார்பு. மேலும் அது \(f(x) = 3x-5\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. (a, 4) மற்றும் (1, b) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் a மற்றும் b-யின் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
\(f(x) = 3x-5\).
(a, 4) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே \(f(a) = 4\).
\(3a - 5 = 4 \implies 3a = 9 \implies a = 3\).
(1, b) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே \(f(1) = b\).
\(b = 3(1) - 5 \implies b = 3 - 5 \implies b = -2\).
எனவே, \(a=3, b=-2\).
(a, 4) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே \(f(a) = 4\).
\(3a - 5 = 4 \implies 3a = 9 \implies a = 3\).
(1, b) கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே \(f(1) = b\).
\(b = 3(1) - 5 \implies b = 3 - 5 \implies b = -2\).
எனவே, \(a=3, b=-2\).
18) \(p^2 \times q^1 \times r^4 \times s^3 = 3,15,000\) எனில் p, q, r, s ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
தீர்வு:
\(3,15,000\)-ஐ பகா காரணிப்படுத்துவோம்.
\(3,15,000 = 315 \times 1000 = (5 \times 63) \times 10^3 = (5 \times 3^2 \times 7) \times (2 \times 5)^3\)
\(= 3^2 \times 5^1 \times 7^1 \times 2^3 \times 5^3 = 2^3 \times 3^2 \times 5^4 \times 7^1\)
இப்பொழுது, \(p^2 \times q^1 \times r^4 \times s^3 = 2^3 \times 3^2 \times 5^4 \times 7^1\)
அடுக்குகளை ஒப்பிட:
\(3,15,000 = 315 \times 1000 = (5 \times 63) \times 10^3 = (5 \times 3^2 \times 7) \times (2 \times 5)^3\)
\(= 3^2 \times 5^1 \times 7^1 \times 2^3 \times 5^3 = 2^3 \times 3^2 \times 5^4 \times 7^1\)
இப்பொழுது, \(p^2 \times q^1 \times r^4 \times s^3 = 2^3 \times 3^2 \times 5^4 \times 7^1\)
அடுக்குகளை ஒப்பிட:
- \(p^2 = 3^2 \implies p=3\)
- \(q^1 = 7^1 \implies q=7\)
- \(r^4 = 5^4 \implies r=5\)
- \(s^3 = 2^3 \implies s=2\)
19) 9, 3, 1, ... என்ற பெருக்குத் தொடர்வரிசையின் 8-வது உறுப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (GP).
முதல் உறுப்பு \(a = 9\).
பொது விகிதம் \(r = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
n-வது உறுப்பு \(t_n = ar^{n-1}\).
8-வது உறுப்பு \(t_8 = 9 \times (\frac{1}{3})^{8-1} = 9 \times (\frac{1}{3})^7 = 3^2 \times \frac{1}{3^7} = \frac{1}{3^{7-2}} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}\).
முதல் உறுப்பு \(a = 9\).
பொது விகிதம் \(r = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
n-வது உறுப்பு \(t_n = ar^{n-1}\).
8-வது உறுப்பு \(t_8 = 9 \times (\frac{1}{3})^{8-1} = 9 \times (\frac{1}{3})^7 = 3^2 \times \frac{1}{3^7} = \frac{1}{3^{7-2}} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}\).
20) தீர்க்க: \(2x-3y = 6, x+y = 1\)
தீர்வு:
\(2x-3y=6 \quad ---(1)\)
\(x+y=1 \quad ---(2)\)
சமன்பாடு (2)-ஐ 3 ஆல் பெருக்க: \(3x+3y=3 \quad ---(3)\)
(1) + (3) \(\implies (2x-3y) + (3x+3y) = 6+3\)
\(5x = 9 \implies x = \frac{9}{5}\).
\(x = \frac{9}{5}\) ஐ (2)-ல் பிரதியிட:
\(\frac{9}{5} + y = 1 \implies y = 1 - \frac{9}{5} = \frac{5-9}{5} = -\frac{4}{5}\).
தீர்வு: \(x=\frac{9}{5}, y=-\frac{4}{5}\).
\(x+y=1 \quad ---(2)\)
சமன்பாடு (2)-ஐ 3 ஆல் பெருக்க: \(3x+3y=3 \quad ---(3)\)
(1) + (3) \(\implies (2x-3y) + (3x+3y) = 6+3\)
\(5x = 9 \implies x = \frac{9}{5}\).
\(x = \frac{9}{5}\) ஐ (2)-ல் பிரதியிட:
\(\frac{9}{5} + y = 1 \implies y = 1 - \frac{9}{5} = \frac{5-9}{5} = -\frac{4}{5}\).
தீர்வு: \(x=\frac{9}{5}, y=-\frac{4}{5}\).
21) சுருக்குக: \(\frac{x^2-1}{x^2+x}\)
தீர்வு:
\(\frac{x^2-1}{x^2+x} = \frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)}\).
\((x+1)\) பொது காரணியை நீக்க, \(= \frac{x-1}{x}\).
\((x+1)\) பொது காரணியை நீக்க, \(= \frac{x-1}{x}\).
22) \(2x^2-x-10 = 0\) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.
தீர்வு:
மூலங்களின் தன்மையை அறிய, தன்மைக்காட்டி \(\Delta = b^2-4ac\) ஐக் கணக்கிட வேண்டும்.
இங்கு, \(a=2, b=-1, c=-10\).
\(\Delta = (-1)^2 - 4(2)(-10) = 1 + 80 = 81\).
\(\Delta = 81 > 0\) மற்றும் இது ஒரு முழு வர்க்கம் (9²).
எனவே, மூலங்கள் மெய், சமமற்ற மற்றும் விகிதமுறு எண்கள் ஆகும்.
இங்கு, \(a=2, b=-1, c=-10\).
\(\Delta = (-1)^2 - 4(2)(-10) = 1 + 80 = 81\).
\(\Delta = 81 > 0\) மற்றும் இது ஒரு முழு வர்க்கம் (9²).
எனவே, மூலங்கள் மெய், சமமற்ற மற்றும் விகிதமுறு எண்கள் ஆகும்.
23) \(\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} = \sec\theta + \tan\theta\) என்ற முற்றொருமையை நிரூபிக்கவும்.
தீர்வு:
இடது கை பக்கம் (LHS) = \(\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}\).
தொகுதி மற்றும் பகுதியை \((1+\sin\theta)\) ஆல் பெருக்க:
\( = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}} = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}\)
\(1-\sin^2\theta = \cos^2\theta\) என்பதால்,
\( = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\)
\( = \frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta + \tan\theta \) = வலது கை பக்கம் (RHS).
நிரூபிக்கப்பட்டது.
தொகுதி மற்றும் பகுதியை \((1+\sin\theta)\) ஆல் பெருக்க:
\( = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}} = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}\)
\(1-\sin^2\theta = \cos^2\theta\) என்பதால்,
\( = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\)
\( = \frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta + \tan\theta \) = வலது கை பக்கம் (RHS).
நிரூபிக்கப்பட்டது.
24) படத்தில் ∠A = ∠CED எனில், ΔCAB ~ ΔCED என நிரூபிக்கவும். மேலும் x-ன் மதிப்பு காண்க.
தீர்வு:
I. நிரூபணம்:
ΔCAB மற்றும் ΔCED-ல்,
(நிரூபிக்கப்பட்டது)
II. x-ன் மதிப்பு காணுதல்:
முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை என்பதால், அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும்.
$$ \frac{CA}{CE} = \frac{AB}{ED} = \frac{CB}{CD} $$ படத்தில் இருந்து பக்கங்களின் நீளங்கள்:
ΔCAB மற்றும் ΔCED-ல்,
- ∠CAB = ∠CED (கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)
- ∠BCA = ∠DCE (பொதுவான கோணம்)
(நிரூபிக்கப்பட்டது)
II. x-ன் மதிப்பு காணுதல்:
முக்கோணங்கள் வடிவொத்தவை என்பதால், அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும்.
$$ \frac{CA}{CE} = \frac{AB}{ED} = \frac{CB}{CD} $$ படத்தில் இருந்து பக்கங்களின் நீளங்கள்:
- CA = CD + DA = 8 + 7 = 15 செ.மீ
- AB = 9 செ.மீ
- CD = 8 செ.மீ
- CB = CE + EB = 10 + 2 = 12 செ.மீ
- ED = x
25) படத்தில் AD ஆனது ∠A-யின் கோண இருசமவெட்டி, BD = 4 செ.மீ, DC = 3 செ.மீ மற்றும் AB = 6 செ.மீ எனில் AC-ஐக் காண்க.
தீர்வு:
ΔABC-ல், AD என்பது ∠A-யின் கோண இருசமவெட்டி ஆகும்.
கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி, ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது எதிர்ப் பக்கத்தை மற்ற இரு பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
$$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} $$ கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை பிரதியிட:
$$ \frac{6}{AC} = \frac{4}{3} $$ $$ 4 \times AC = 6 \times 3 $$ $$ 4 \times AC = 18 $$ $$ AC = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ செ.மீ} $$ விடை: AC = 4.5 செ.மீ.
கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி, ஒரு கோணத்தின் இருசமவெட்டியானது எதிர்ப் பக்கத்தை மற்ற இரு பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
$$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} $$ கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை பிரதியிட:
$$ \frac{6}{AC} = \frac{4}{3} $$ $$ 4 \times AC = 6 \times 3 $$ $$ 4 \times AC = 18 $$ $$ AC = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ செ.மீ} $$ விடை: AC = 4.5 செ.மீ.
26) (5, √5) மற்றும் ஆதிப்புள்ளி என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஆதிப்புள்ளி (0, 0) மற்றும் (5, √5) ஆகும்.
இங்கு, `(x₁, y₁) = (0, 0)` மற்றும் `(x₂, y₂) = (5, √5)`.
இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு (m) காண சூத்திரம்: $$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$ மதிப்புகளை பிரதியிட: $$ m = \frac{\sqrt{5} - 0}{5 - 0} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$ விடை: நேர்க்கோட்டின் சாய்வு m = 1/√5.
இங்கு, `(x₁, y₁) = (0, 0)` மற்றும் `(x₂, y₂) = (5, √5)`.
இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வு (m) காண சூத்திரம்: $$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$ மதிப்புகளை பிரதியிட: $$ m = \frac{\sqrt{5} - 0}{5 - 0} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$ விடை: நேர்க்கோட்டின் சாய்வு m = 1/√5.
27) (3, −4) என்ற புள்ளியின் வழிசெல்வதும், -5/7-ஐ சாய்வாக உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டவை:
- புள்ளி (x₁, y₁) = (3, -4)
- சாய்வு m = -5/7
சூத்திரம்: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
மதிப்புகளை பிரதியிட: $$ y - (-4) = -\frac{5}{7}(x - 3) $$ $$ y + 4 = -\frac{5}{7}(x - 3) $$ சமன்பாட்டின் இருபுறமும் 7-ஆல் பெருக்க: $$ 7(y + 4) = -5(x - 3) $$ $$ 7y + 28 = -5x + 15 $$ அனைத்து உறுப்புகளையும் ஒரு பக்கத்திற்குக் கொண்டு வர: $$ 5x + 7y + 28 - 15 = 0 $$ $$ 5x + 7y + 13 = 0 $$ விடை: தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு `5x + 7y + 13 = 0` ஆகும்.
28) \(2x+3y-8 = 0, 4x+6y+18 = 0\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் இணை எனக்காட்டுக.
தீர்வு:
கோடு 1: \(2x+3y-8=0\). இதன் சாய்வு \(m_1 = -\frac{x \text{ இன் கெழு}}{y \text{ இன் கெழு}} = -\frac{2}{3}\).
கோடு 2: \(4x+6y+18=0\). இதன் சாய்வு \(m_2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\).
இங்கு, \(m_1 = m_2\).
சாய்வுகள் சமமாக இருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடுகள் இணை ஆகும்.
கோடு 2: \(4x+6y+18=0\). இதன் சாய்வு \(m_2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\).
இங்கு, \(m_1 = m_2\).
சாய்வுகள் சமமாக இருப்பதால், கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடுகள் இணை ஆகும்.
பகுதி - III (மதிப்பெண்கள்: 50)
எவையேனும் பத்து வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும்: (10×5=50) (வினா எண்: 42க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்)
29) ஒரு சார்பு f ஆனது \(f(x) = 2x-3\) என வரையறுக்கப்பட்டால்,
i) \(\frac{f(0)+f(1)}{2}\) ஐக் காண்க.
ii) \(f(x) = 0\) எனில், x ஐக் காண்க.
iii) \(f(x) = x\) எனில் x ஐக் காண்க.
iv) \(f(x) = f(1-x)\) எனில் x-ஐக் காண்க.
i) \(\frac{f(0)+f(1)}{2}\) ஐக் காண்க.
ii) \(f(x) = 0\) எனில், x ஐக் காண்க.
iii) \(f(x) = x\) எனில் x ஐக் காண்க.
iv) \(f(x) = f(1-x)\) எனில் x-ஐக் காண்க.
தீர்வு:
\(f(x) = 2x-3\)
i) \(f(0) = 2(0)-3 = -3\). \(f(1) = 2(1)-3 = -1\).
\(\frac{f(0)+f(1)}{2} = \frac{-3+(-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\).
ii) \(f(x)=0 \implies 2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x=\frac{3}{2}\).
iii) \(f(x)=x \implies 2x-3=x \implies 2x-x=3 \implies x=3\).
iv) \(f(x)=f(1-x) \implies 2x-3 = 2(1-x)-3 \implies 2x-3 = 2-2x-3 \implies 2x-3 = -2x-1 \implies 4x=2 \implies x=\frac{1}{2}\).
i) \(f(0) = 2(0)-3 = -3\). \(f(1) = 2(1)-3 = -1\).
\(\frac{f(0)+f(1)}{2} = \frac{-3+(-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\).
ii) \(f(x)=0 \implies 2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x=\frac{3}{2}\).
iii) \(f(x)=x \implies 2x-3=x \implies 2x-x=3 \implies x=3\).
iv) \(f(x)=f(1-x) \implies 2x-3 = 2(1-x)-3 \implies 2x-3 = 2-2x-3 \implies 2x-3 = -2x-1 \implies 4x=2 \implies x=\frac{1}{2}\).
30) f : A→B என்ற சார்பானது \(f(x) = \frac{x}{2} - 1\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2, 4, 6, 10, 12}, B = {0, 1, 2, 4, 5, 9} ஆக இருக்கும் போது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க.
(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (ii) அட்டவணை (iii) அம்புக்குறி படம் (iv) வரைபடம்.
(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (ii) அட்டவணை (iii) அம்புக்குறி படம் (iv) வரைபடம்.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட சார்பு: \(f(x) = \frac{x}{2} - 1\). மதிப்பகம் A = {2, 4, 6, 10, 12}.
A-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் நிழல் உரு காண்போம்:
f(2) = (2/2) - 1 = 1 - 1 = 0
f(4) = (4/2) - 1 = 2 - 1 = 1
f(6) = (6/2) - 1 = 3 - 1 = 2
f(10) = (10/2) - 1 = 5 - 1 = 4
f(12) = (12/2) - 1 = 6 - 1 = 5
(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:
(iii) அம்புக்குறி படம்:
A-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் நிழல் உரு காண்போம்:
f(2) = (2/2) - 1 = 1 - 1 = 0
f(4) = (4/2) - 1 = 2 - 1 = 1
f(6) = (6/2) - 1 = 3 - 1 = 2
f(10) = (10/2) - 1 = 5 - 1 = 4
f(12) = (12/2) - 1 = 6 - 1 = 5
(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:
f = {(2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), (12, 5)}
(ii) அட்டவணை:
| x | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 |
A → B
2 → 0
4 → 1
6 → 2
10 → 4
12 → 5
(B-ல் உள்ள உறுப்பு 9-க்கு A-ல் முன் உரு இல்லை.)
வரைபடத்தாளில், (2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), (12, 5) ஆகிய புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும்.
31) f(x) = 3x−2, g(x) = 2x+k மற்றும் fog = gof எனில் k-யின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டவை: f(x) = 3x−2, g(x) = 2x+k.
நிபந்தனை: fog = gof.
fog-ஐக் கணக்கிடுவோம்:
gof-ஐக் கணக்கிடுவோம்:
நிபந்தனையின்படி, fog(x) = gof(x):
நிபந்தனை: fog = gof.
fog-ஐக் கணக்கிடுவோம்:
fog(x) = f(g(x)) = f(2x+k)
= 3(2x+k) - 2
= 6x + 3k - 2
gof-ஐக் கணக்கிடுவோம்:
gof(x) = g(f(x)) = g(3x-2)
= 2(3x-2) + k
= 6x - 4 + k
நிபந்தனையின்படி, fog(x) = gof(x):
6x + 3k - 2 = 6x - 4 + k
3k - 2 = -4 + k
3k - k = -4 + 2
2k = -2
k = -1
விடை: k = -1.
32) 1+5+9+..... என்ற தொடரில் எத்தனை உறுப்புகளைக் கூட்டினால் கூடுதல் 190 கிடைக்கும்?
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்ட தொடர் 1, 5, 9, ... ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை (AP).
முதல் உறுப்பு, a = 1
பொது வித்தியாசம், d = 5 - 1 = 4
கூடுதல், Sn = 190
கூட்டுத் தொடரின் கூடுதல் சூத்திரம்: $$ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$ $$ 190 = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)4] $$ $$ 380 = n[2 + 4n - 4] $$ $$ 380 = n[4n - 2] $$ $$ 380 = 4n^2 - 2n $$ சமன்பாட்டை மறுசீரமைக்க: $$ 4n^2 - 2n - 380 = 0 $$ 2-ஆல் வகுக்க: $$ 2n^2 - n - 190 = 0 $$ காரணிப்படுத்த: $$ 2n^2 - 20n + 19n - 190 = 0 $$ $$ 2n(n - 10) + 19(n - 10) = 0 $$ $$ (2n + 19)(n - 10) = 0 $$ எனவே, n = 10 அல்லது n = -19/2.
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒரு குறை எண்ணாகவோ அல்லது பின்னமாகவோ இருக்க முடியாது. எனவே, n = 10.
விடை: 10 உறுப்புகளைக் கூட்டினால் கூடுதல் 190 கிடைக்கும்.
முதல் உறுப்பு, a = 1
பொது வித்தியாசம், d = 5 - 1 = 4
கூடுதல், Sn = 190
கூட்டுத் தொடரின் கூடுதல் சூத்திரம்: $$ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] $$ $$ 190 = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)4] $$ $$ 380 = n[2 + 4n - 4] $$ $$ 380 = n[4n - 2] $$ $$ 380 = 4n^2 - 2n $$ சமன்பாட்டை மறுசீரமைக்க: $$ 4n^2 - 2n - 380 = 0 $$ 2-ஆல் வகுக்க: $$ 2n^2 - n - 190 = 0 $$ காரணிப்படுத்த: $$ 2n^2 - 20n + 19n - 190 = 0 $$ $$ 2n(n - 10) + 19(n - 10) = 0 $$ $$ (2n + 19)(n - 10) = 0 $$ எனவே, n = 10 அல்லது n = -19/2.
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒரு குறை எண்ணாகவோ அல்லது பின்னமாகவோ இருக்க முடியாது. எனவே, n = 10.
விடை: 10 உறுப்புகளைக் கூட்டினால் கூடுதல் 190 கிடைக்கும்.
33) 3+33+333+....... n உறுப்புகள் வரை என்ற தொடர்வரிசையின் கூடுதல் காண்க.
தீர்வு:
Sn = 3 + 33 + 333 + ... + n உறுப்புகள் வரை.
3-ஐப் பொதுவாக வெளியே எடுக்க:
Sn = 3(1 + 11 + 111 + ... + n உறுப்புகள்)
9-ஆல் பெருக்கி வகுக்க:
$$ S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ உறுப்புகள்}) $$ ஒவ்வொரு உறுப்பையும் (10k - 1) வடிவில் எழுத:
$$ S_n = \frac{1}{3}[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots] $$ தொடரை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்க:
$$ S_n = \frac{1}{3}[(10 + 10^2 + 10^3 + \dots) - (1+1+1+ \dots n \text{ முறை})] $$ முதல் பகுதி ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (a=10, r=10). அதன் கூடுதல் \( \frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10}{9}(10^n-1) \).
இரண்டாம் பகுதியின் கூடுதல் n.
$$ S_n = \frac{1}{3}\left[\frac{10}{9}(10^n-1) - n\right] $$ $$ S_n = \frac{3}{9}\left[\frac{10}{9}(10^n-1) - n\right] = \frac{30}{81}(10^n-1) - \frac{3n}{9} $$ விடை: $$ S_n = \frac{1}{3}\left[\frac{10}{9}(10^n-1) - n\right] $$
3-ஐப் பொதுவாக வெளியே எடுக்க:
Sn = 3(1 + 11 + 111 + ... + n உறுப்புகள்)
9-ஆல் பெருக்கி வகுக்க:
$$ S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + \dots + n \text{ உறுப்புகள்}) $$ ஒவ்வொரு உறுப்பையும் (10k - 1) வடிவில் எழுத:
$$ S_n = \frac{1}{3}[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots] $$ தொடரை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்க:
$$ S_n = \frac{1}{3}[(10 + 10^2 + 10^3 + \dots) - (1+1+1+ \dots n \text{ முறை})] $$ முதல் பகுதி ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (a=10, r=10). அதன் கூடுதல் \( \frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10}{9}(10^n-1) \).
இரண்டாம் பகுதியின் கூடுதல் n.
$$ S_n = \frac{1}{3}\left[\frac{10}{9}(10^n-1) - n\right] $$ $$ S_n = \frac{3}{9}\left[\frac{10}{9}(10^n-1) - n\right] = \frac{30}{81}(10^n-1) - \frac{3n}{9} $$ விடை: $$ S_n = \frac{1}{3}\left[\frac{10}{9}(10^n-1) - n\right] $$
34) ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?
தீர்வு:
தேவையான மொத்தப் பரப்பு என்பது 15 சதுரங்களின் பரப்புகளின் கூடுதலாகும்.
மொத்தப் பரப்பு = 102 + 112 + 122 + ... + 242
முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
நமக்குத் தேவையான கூடுதலைக் காண, (1 முதல் 24 வரையிலான வர்க்கங்களின் கூடுதல்) என்பதிலிருந்து (1 முதல் 9 வரையிலான வர்க்கங்களின் கூடுதல்) என்பதைக் கழிக்க வேண்டும்.
மொத்தப் பரப்பு = (12 + 22 + ... + 242) - (12 + 22 + ... + 92)
$$ = \sum_{k=1}^{24} k^2 - \sum_{k=1}^{9} k^2 $$ $$ = \frac{24(24+1)(2(24)+1)}{6} - \frac{9(9+1)(2(9)+1)}{6} $$ $$ = \frac{24(25)(49)}{6} - \frac{9(10)(19)}{6} $$ $$ = 4 \times 25 \times 49 - 3 \times 5 \times 19 $$ $$ = 100 \times 49 - 285 $$ $$ = 4900 - 285 $$ $$ = 4615 $$ விடை: 4615 ச.செ.மீ பரப்பை அலங்கரிக்க முடியும்.
மொத்தப் பரப்பு = 102 + 112 + 122 + ... + 242
முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: \( \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
நமக்குத் தேவையான கூடுதலைக் காண, (1 முதல் 24 வரையிலான வர்க்கங்களின் கூடுதல்) என்பதிலிருந்து (1 முதல் 9 வரையிலான வர்க்கங்களின் கூடுதல்) என்பதைக் கழிக்க வேண்டும்.
மொத்தப் பரப்பு = (12 + 22 + ... + 242) - (12 + 22 + ... + 92)
$$ = \sum_{k=1}^{24} k^2 - \sum_{k=1}^{9} k^2 $$ $$ = \frac{24(24+1)(2(24)+1)}{6} - \frac{9(9+1)(2(9)+1)}{6} $$ $$ = \frac{24(25)(49)}{6} - \frac{9(10)(19)}{6} $$ $$ = 4 \times 25 \times 49 - 3 \times 5 \times 19 $$ $$ = 100 \times 49 - 285 $$ $$ = 4900 - 285 $$ $$ = 4615 $$ விடை: 4615 ச.செ.மீ பரப்பை அலங்கரிக்க முடியும்.
35) தீர்க்க: 6x+2y-5z = 13, 3x+3y-2z = 13, 7x+5y-3z = 26.
தீர்வு:
(1) 6x + 2y - 5z = 13
(2) 3x + 3y - 2z = 13
(3) 7x + 5y - 3z = 26
(2) × 2 → 6x + 6y - 4z = 26
(1) → 6x + 2y - 5z = 13
கழிக்க: (4y + z = 13) → z = 13 - 4y --- (4)
(2) × 7 → 21x + 21y - 14z = 91
(3) × 3 → 21x + 15y - 9z = 78
கழிக்க: (6y - 5z = 13) --- (5)
(4)-ஐ (5)-ல் பிரதியிட:
6y - 5(13 - 4y) = 13
6y - 65 + 20y = 13
26y = 78 → y = 3
y=3 ஐ (4)-ல் பிரதியிட:
z = 13 - 4(3) = 13 - 12 → z = 1
y=3, z=1 ஐ (2)-ல் பிரதியிட:
3x + 3(3) - 2(1) = 13
3x + 9 - 2 = 13 → 3x + 7 = 13 → 3x = 6 → x = 2
விடை: x=2, y=3, z=1.
(2) 3x + 3y - 2z = 13
(3) 7x + 5y - 3z = 26
(2) × 2 → 6x + 6y - 4z = 26
(1) → 6x + 2y - 5z = 13
கழிக்க: (4y + z = 13) → z = 13 - 4y --- (4)
(2) × 7 → 21x + 21y - 14z = 91
(3) × 3 → 21x + 15y - 9z = 78
கழிக்க: (6y - 5z = 13) --- (5)
(4)-ஐ (5)-ல் பிரதியிட:
6y - 5(13 - 4y) = 13
6y - 65 + 20y = 13
26y = 78 → y = 3
y=3 ஐ (4)-ல் பிரதியிட:
z = 13 - 4(3) = 13 - 12 → z = 1
y=3, z=1 ஐ (2)-ல் பிரதியிட:
3x + 3(3) - 2(1) = 13
3x + 9 - 2 = 13 → 3x + 7 = 13 → 3x = 6 → x = 2
விடை: x=2, y=3, z=1.
36) 64x4-16x3+17x2-2x+1 என்பதன் வர்க்கமூலம் காண்க.
தீர்வு:
நீள்வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி வர்க்கமூலம் காணலாம்.
வர்க்கமூலம் = |8x2 - x + 1|.
விடை: |8x2 - x + 1|.
8x² -x +1
_________________________
8x² | 64x⁴ -16x³ +17x² -2x +1
| 64x⁴
|________________________
16x²-x | -16x³ +17x²
| -16x³ + x²
| __________________
16x²-2x+1| 16x² -2x +1
| 16x² -2x +1
| ___________
| 0
விடை: |8x2 - x + 1|.
37) 2y2-ay+64 = 0 என்ற சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் மற்றவை போல இருமடங்கு எனில் a-யின் மதிப்புக் காண்க.
தீர்வு:
சமன்பாடு: 2y2 - ay + 64 = 0. இது Ay2 + By + C = 0 என்ற வடிவில் உள்ளது.
இங்கு, A=2, B=-a, C=64.
மூலங்கள் α மற்றும் β என்க. நிபந்தனைப்படி, β = 2α.
மூலங்களின் கூடுதல்:
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்:
நிலை 1: α = 4 எனில்
(1) → 3(4) = a/2 → 12 = a/2 → a = 24.
நிலை 2: α = -4 எனில்
(1) → 3(-4) = a/2 → -12 = a/2 → a = -24.
விடை: a-யின் மதிப்புகள் 24 மற்றும் -24.
இங்கு, A=2, B=-a, C=64.
மூலங்கள் α மற்றும் β என்க. நிபந்தனைப்படி, β = 2α.
மூலங்களின் கூடுதல்:
α + β = -B/A
α + 2α = -(-a)/2 → 3α = a/2 --- (1)
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன்:
αβ = C/A
α(2α) = 64/2 → 2α2 = 32
α2 = 16 → α = ±4
நிலை 1: α = 4 எனில்
(1) → 3(4) = a/2 → 12 = a/2 → a = 24.
நிலை 2: α = -4 எனில்
(1) → 3(-4) = a/2 → -12 = a/2 → a = -24.
விடை: a-யின் மதிப்புகள் 24 மற்றும் -24.
38) கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.
39) (−3, −8), (6, -6), (4, 2) மற்றும் (−8, 2) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து அவற்றை கடிகார எதிர் திசையில் வரிசைப்படுத்த வேண்டும்.
A(−3, −8), D(−8, 2), C(4, 2), B(6, -6) என்பது ஒரு சரியான வரிசை.
(x₁, y₁) = (−3, −8), (x₂, y₂) = (−8, 2), (x₃, y₃) = (4, 2), (x₄, y₄) = (6, -6).
நாற்கரத்தின் பரப்புக்கான சூத்திரம்: $$ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_4y_3 + x_1y_4) \right| $$ மதிப்புகளை பிரதியிட: $$ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -3 & -8 & 4 & 6 & -3 \\ -8 & 2 & 2 & -6 & -8 \end{matrix} \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| ((-3)(2) + (-8)(2) + (4)(-6) + (6)(-8)) - ((-8)(-8) + (4)(2) + (6)(2) + (-3)(-6)) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| (-6 - 16 - 24 - 48) - (64 + 8 + 12 + 18) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| (-94) - (102) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| -196 \right| $$ $$ = \frac{1}{2} (196) $$ $$ = 98 $$ விடை: நாற்கரத்தின் பரப்பு 98 சதுர அலகுகள்.
A(−3, −8), D(−8, 2), C(4, 2), B(6, -6) என்பது ஒரு சரியான வரிசை.
(x₁, y₁) = (−3, −8), (x₂, y₂) = (−8, 2), (x₃, y₃) = (4, 2), (x₄, y₄) = (6, -6).
நாற்கரத்தின் பரப்புக்கான சூத்திரம்: $$ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (x_2y_1 + x_3y_2 + x_4y_3 + x_1y_4) \right| $$ மதிப்புகளை பிரதியிட: $$ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} -3 & -8 & 4 & 6 & -3 \\ -8 & 2 & 2 & -6 & -8 \end{matrix} \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| ((-3)(2) + (-8)(2) + (4)(-6) + (6)(-8)) - ((-8)(-8) + (4)(2) + (6)(2) + (-3)(-6)) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| (-6 - 16 - 24 - 48) - (64 + 8 + 12 + 18) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| (-94) - (102) \right| $$ $$ = \frac{1}{2} \left| -196 \right| $$ $$ = \frac{1}{2} (196) $$ $$ = 98 $$ விடை: நாற்கரத்தின் பரப்பு 98 சதுர அலகுகள்.
40) A(2, 2), B(-2, -3), C(1, -3) மற்றும் D(x, y) ஆகிய புள்ளிகள் ஓர் இணைகரத்தை அமைக்கும் எனில், x மற்றும் y-யின் மதிப்பைக் காண்க.
தீர்வு:
இணைகரத்தின் பண்பின்படி, அதன் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இருசமக் கூறிடும். எனவே, மூலைவிட்டம் AC-யின் நடுப்புள்ளியும், மூலைவிட்டம் BD-யின் நடுப்புள்ளியும் ஒன்றாகும்.
நடுப்புள்ளி சூத்திரம்: \( M(x, y) = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \)
மூலைவிட்டம் AC-யின் நடுப்புள்ளி:
$$ \frac{-2+x}{2} = \frac{3}{2} \implies -2+x = 3 \implies x = 5 $$ $$ \frac{-3+y}{2} = \frac{-1}{2} \implies -3+y = -1 \implies y = 2 $$ விடை: x = 5 மற்றும் y = 2.
நடுப்புள்ளி சூத்திரம்: \( M(x, y) = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \)
மூலைவிட்டம் AC-யின் நடுப்புள்ளி:
A(2, 2), C(1, -3)
$$ M = \left(\frac{2+1}{2}, \frac{2+(-3)}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{-1}{2}\right) $$ மூலைவிட்டம் BD-யின் நடுப்புள்ளி:B(-2, -3), D(x, y)
$$ M = \left(\frac{-2+x}{2}, \frac{-3+y}{2}\right) $$ இரு நடுப்புள்ளிகளும் சமம் என்பதால், அவற்றின் x மற்றும் y ஆயத்தொலைவுகளை சமன்படுத்துவோம்.$$ \frac{-2+x}{2} = \frac{3}{2} \implies -2+x = 3 \implies x = 5 $$ $$ \frac{-3+y}{2} = \frac{-1}{2} \implies -3+y = -1 \implies y = 2 $$ விடை: x = 5 மற்றும் y = 2.
41) Q(3, −2) மற்றும் R(-5, 4) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டிற்கு இணையானதும், P(−5, 2) என்ற புள்ளிவழி செல்வதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
தீர்வு:
முதலில், Q மற்றும் R புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டின் சாய்வைக் காண்போம்.
Q(3, -2), R(-5, 4)
சாய்வு \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-2)}{-5 - 3} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} \)
தேவையான கோடு, QR கோட்டிற்கு இணை என்பதால், அதன் சாய்வும் \( m = -\frac{3}{4} \) ஆகும்.
இப்போது, \( m = -\frac{3}{4} \) என்ற சாய்வையும், P(-5, 2) என்ற புள்ளியையும் பயன்படுத்தி நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காணலாம்.
புள்ளி-சாய்வு வடிவச் சமன்பாடு: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
$$ y - 2 = -\frac{3}{4}(x - (-5)) $$ $$ y - 2 = -\frac{3}{4}(x + 5) $$ 4-ஆல் பெருக்க: $$ 4(y - 2) = -3(x + 5) $$ $$ 4y - 8 = -3x - 15 $$ அனைத்து உறுப்புகளையும் ஒரு பக்கத்திற்குக் கொண்டு வர: $$ 3x + 4y - 8 + 15 = 0 $$ $$ 3x + 4y + 7 = 0 $$ விடை: தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 4y + 7 = 0 ஆகும்.
Q(3, -2), R(-5, 4)
சாய்வு \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-2)}{-5 - 3} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} \)
தேவையான கோடு, QR கோட்டிற்கு இணை என்பதால், அதன் சாய்வும் \( m = -\frac{3}{4} \) ஆகும்.
இப்போது, \( m = -\frac{3}{4} \) என்ற சாய்வையும், P(-5, 2) என்ற புள்ளியையும் பயன்படுத்தி நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காணலாம்.
புள்ளி-சாய்வு வடிவச் சமன்பாடு: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
$$ y - 2 = -\frac{3}{4}(x - (-5)) $$ $$ y - 2 = -\frac{3}{4}(x + 5) $$ 4-ஆல் பெருக்க: $$ 4(y - 2) = -3(x + 5) $$ $$ 4y - 8 = -3x - 15 $$ அனைத்து உறுப்புகளையும் ஒரு பக்கத்திற்குக் கொண்டு வர: $$ 3x + 4y - 8 + 15 = 0 $$ $$ 3x + 4y + 7 = 0 $$ விடை: தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு 3x + 4y + 7 = 0 ஆகும்.
42) \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{3}\) எனில், \(\tan3\theta = \frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\) என நிறுவுக.
(குறிப்பு: வினாவில் \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{3}\) என்ற நிபந்தனை சாத்தியமற்றது. \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\) எனில் கணக்கு சாத்தியமாகும். நாம் \(\theta = 30^\circ\) என எடுத்துக்கொண்டு சரிபார்க்கலாம்)
(குறிப்பு: வினாவில் \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{3}\) என்ற நிபந்தனை சாத்தியமற்றது. \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\) எனில் கணக்கு சாத்தியமாகும். நாம் \(\theta = 30^\circ\) என எடுத்துக்கொண்டு சரிபார்க்கலாம்)
தீர்வு:
முதலில், கொடுக்கப்பட்ட நிபந்தனை \(\sin\theta+\cos\theta = \sqrt{3}\) சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் \((a\sin\theta+b\cos\theta)\)-ன் பெரும மதிப்பு \(\sqrt{a^2+b^2}\). இங்கு \(\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\). \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\) என்பதால் இது சாத்தியமில்லை.
எனவே, நாம் \(\tan3\theta = \frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\) என்ற முற்றொருமையை நேரடியாக நிரூபிப்போம்.
RHS = \(\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\).
இது \(\tan(3\theta)\)-க்கான விரிவுபடுத்தப்பட்ட சூத்திரம் ஆகும்.
\(\tan(3\theta) = \tan(2\theta+\theta) = \frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2\theta \tan\theta}\).
\(\tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\) என பிரதியிட,
\(= \frac{\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}+\tan\theta}{1-(\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta})\tan\theta} = \frac{\frac{2\tan\theta+\tan\theta(1-\tan^2\theta)}{1-\tan^2\theta}}{\frac{1-\tan^2\theta-2\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta}}\)
\(= \frac{2\tan\theta+\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} = \frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\) = LHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.
எனவே, நாம் \(\tan3\theta = \frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\) என்ற முற்றொருமையை நேரடியாக நிரூபிப்போம்.
RHS = \(\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\).
இது \(\tan(3\theta)\)-க்கான விரிவுபடுத்தப்பட்ட சூத்திரம் ஆகும்.
\(\tan(3\theta) = \tan(2\theta+\theta) = \frac{\tan2\theta+\tan\theta}{1-\tan2\theta \tan\theta}\).
\(\tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}\) என பிரதியிட,
\(= \frac{\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}+\tan\theta}{1-(\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta})\tan\theta} = \frac{\frac{2\tan\theta+\tan\theta(1-\tan^2\theta)}{1-\tan^2\theta}}{\frac{1-\tan^2\theta-2\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta}}\)
\(= \frac{2\tan\theta+\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta} = \frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta}\) = LHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.
43) அடிப்பக்கம் BC = 8 செ.மீ, ∠A = 60° மற்றும் ∠A-யின் இருசமவெட்டியானது BC-ஐ D என்ற புள்ளியில் BD = 6 செ.மீ என்றவாறு சந்திக்கிறது எனில், முக்கோணம் ABC வரைக.
தீர்வு:
கொடுக்கப்பட்டவை: அடிப்பக்கம் BC = 8 செ.மீ, ∠A = 60°, ∠A-யின் இருசமவெட்டி BC-ஐ சந்திக்கும் புள்ளி D, மற்றும் BD = 6 செ.மீ.
வரைமுறை (Construction Steps):
வரைமுறை (Construction Steps):
- BC = 8 செ.மீ நீளமுள்ள ஒரு கோட்டுத்துண்டு வரைக.
- B என்ற புள்ளியில், ∠CBX = 60° ஐ வரைக.
- BX-க்கு செங்குத்தாக BY என்ற கோட்டை வரைக.
- BC-யின் மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது BC-ஐ M-லும் BY-ஐ O-விலும் சந்திக்கட்டும்.
- O-வை மையமாகவும் OB-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டத்தின் பெரிய வில் பகுதியில் உள்ள எந்தவொரு புள்ளியும் B மற்றும் C உடன் 60° கோணத்தை உருவாக்கும்.
- BC கோட்டுத்துண்டில், B-யிலிருந்து 6 செ.மீ தொலைவில் D என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும் (BD = 6 செ.மீ).
- BC-யின் மையக்குத்துக்கோடு வட்டத்தை I என்ற புள்ளியில் (BC-க்கு கீழே) சந்திக்கிறது.
- I மற்றும் D-ஐ இணைத்து, அந்தக் கோட்டை நீட்டவும். அது வட்டத்தை A என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.
- AB மற்றும் AC-ஐ இணைக்கவும்.
- ΔABC என்பது நமக்குத் தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
43) (அல்லது)
கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 7/3 என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி 7/3 > 1)
கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 7/3 என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி 7/3 > 1)
தீர்வு:
அளவு காரணி: 7/3. இது 1-ஐ விட பெரியது, எனவே புதிய முக்கோணம் (ΔP'QR') பழைய முக்கோணத்தை (ΔPQR) விட பெரியதாக இருக்கும்.
(அ) வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவு காரணி 7/3 > 1)
தேவை: கொடுக்கப்பட்ட $\Delta PQR$-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ ஆக உள்ள ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் $\Delta P'QR'$ வரைதல்.
வரைமுறைப் படிகள்:
- ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு $\Delta PQR$ வரைக.
- $QR$ என்ற கோட்டுத்துண்டில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு $QX$ என்ற கதிரை $P$ என்ற முனைக்கு எதிர்திசையில் வரையவும்.
- $QX$ கதிரில், $Q_1, Q_2, \dots, Q_7$ என்ற 7 புள்ளிகளை ($ \frac{7}{3}$-ல் பெரிய எண் 7 என்பதால்) சம அளவில் குறிக்கவும்.
- $Q_3$ (விகிதத்தின் பகுதி 3 என்பதால்) மற்றும் $R$ ஐ இணைக்கவும்.
- $Q_7$ வழியே $Q_3R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட $QR$-ஐ $R'$-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
- $R'$ வழியே $PR$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட $QP$-ஐ $P'$-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
- $\Delta P'QR'$ என்பதே தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.
அளவு காரணி: 7/3. இது 1-ஐ விட பெரியது, எனவே புதிய முக்கோணம் (ΔP'QR') பழைய முக்கோணத்தை (ΔPQR) விட பெரியதாக இருக்கும்.
பகுதி - IV (மதிப்பெண்கள்: 16)
பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளி: (2×8=16)
44) \(xy = 24, x, y > 0\) என்ற வரைபடத்தை வரைக. வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி,
(i) \(x = 3\) எனில் \(y\)-ஐக் காண்க
(ii) \(y = 6\) எனில் \(x\)-ஐக் காண்க.
(i) \(x = 3\) எனில் \(y\)-ஐக் காண்க
(ii) \(y = 6\) எனில் \(x\)-ஐக் காண்க.
தீர்வு:
\(xy=24 \implies y = \frac{24}{x}\). இது ஒரு நேர்மாறு விகிதத் தொடர்பு. இதன் வரைபடம் ஒரு செவ்வக அதிபரவளையம்.
1. அட்டவணை தயாரித்தல்:
2. வரைபடம் வரைதல்:
\(xy=24 \implies y = \frac{24}{x}\). இது ஒரு நேர்மாறு விகிதத் தொடர்பு. இதன் வரைபடம் ஒரு செவ்வக அதிபரவளையம்.1. அட்டவணை தயாரித்தல்:
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 24 | 12 | 8 | 6 | 4 | 3 | 2 |
2. வரைபடம் வரைதல்:
- அளவுத்திட்டம்: X அச்சில் 1 செ.மீ = 2 அலகுகள், Y அச்சில் 1 செ.மீ = 2 அலகுகள்.
- அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை (1,24), (2,12), (3,8), (4,6), (6,4), (8,3), (12,2) குறித்து, அவற்றை ஒரு வளைந்த கோட்டால் இணைக்க வேண்டும்.
- (i) \(x = 3\) எனில் \(y\)-ஐக் காண்க:
X அச்சில் 3-லிருந்து வரைபட வளைவிற்கு ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது வளைவை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து Y அச்சிற்கு ஒரு கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது Y அச்சை 8-ல் சந்திக்கும்.
எனவே, \(x=3\) எனில், \(y=8\). - (ii) \(y = 6\) எனில் \(x\)-ஐக் காண்க:
Y அச்சில் 6-லிருந்து வரைபட வளைவிற்கு ஒரு கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது வளைவை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து X அச்சிற்கு ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது X அச்சை 4-ல் சந்திக்கும்.
எனவே, \(y=6\) எனில், \(x=4\).
44) (அல்லது)
ஒரு பேருந்து 50 கி.மீ/மணி என்ற சீரான வேகத்தில் பயணிக்கிறது. இத்தொடர்புக்கான நேரம்-தூரம் வரைபடம் வரைந்து, பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) விகிதசம மாறிலியைக் காண்க.
ii) 90 நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம் எவ்வளவு?
iii) 300 கி.மீ தூரத்தை பயணிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?
ஒரு பேருந்து 50 கி.மீ/மணி என்ற சீரான வேகத்தில் பயணிக்கிறது. இத்தொடர்புக்கான நேரம்-தூரம் வரைபடம் வரைந்து, பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) விகிதசம மாறிலியைக் காண்க.
ii) 90 நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம் எவ்வளவு?
iii) 300 கி.மீ தூரத்தை பயணிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?
தீர்வு:
வேகம் = 50 கி.மீ/மணி. இது ஒரு நேர்விகிதத் தொடர்பு.
தூரம் = வேகம் × நேரம். \(y = 50x\), இங்கு y என்பது தூரம் (கி.மீ), x என்பது நேரம் (மணி).
1. அட்டவணை தயாரித்தல்:
2. வரைபடம் வரைதல்:
3. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணல்:
வேகம் = 50 கி.மீ/மணி. இது ஒரு நேர்விகிதத் தொடர்பு.தூரம் = வேகம் × நேரம். \(y = 50x\), இங்கு y என்பது தூரம் (கி.மீ), x என்பது நேரம் (மணி).
1. அட்டவணை தயாரித்தல்:
| நேரம் x (மணி) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| தூரம் y (கி.மீ) | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
2. வரைபடம் வரைதல்:
- அளவுத்திட்டம்: X அச்சில் 1 செ.மீ = 1 மணி, Y அச்சில் 1 செ.மீ = 50 கி.மீ.
- அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை குறித்து, அவற்றை இணைத்து ஒரு நேர்க்கோடு வரைக. இந்த கோடு ஆதிப்புள்ளி (0,0) வழியாக செல்லும்.
3. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணல்:
- i) விகிதசம மாறிலி:
\(y=kx\). \(k = \frac{y}{x} = \frac{50}{1} = 50\). விகிதசம மாறிலி என்பது வேகம், k = 50 கி.மீ/மணி. - ii) 90 நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம்:
90 நிமிடங்கள் = 1.5 மணி. X அச்சில் 1.5-லிருந்து நேர்க்கோட்டிற்கு செங்குத்துக்கோடு வரைக. சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து Y அச்சிற்கு கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது Y அச்சை 75-ல் சந்திக்கும்.
தூரம் = 75 கி.மீ. - iii) 300 கி.மீ தூரத்தை பயணிக்க ஆகும் நேரம்:
Y அச்சில் 300-லிருந்து நேர்க்கோட்டிற்கு கிடைமட்டக்கோடு வரைக. சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து X அச்சிற்கு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது X அச்சை 6-ல் சந்திக்கும்.
நேரம் = 6 மணி.