10th Maths Quarterly Exam Question Paper 2024 - Solutions
பகுதி - I / PART - I (14x1=14)
குறிப்பு: 1) அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். 2) சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.
Note: 1) Answer all the questions. 2) Choose the correct Answer.
1. {(a,8),(6,b)} ஆனது ஒரு சமனிச் சார்பு எனில், a மற்றும் b மதிப்புகளாவன முறையே
If {(a,8), (6,b)} represents an identity function, then the value of a and b are respectively
விளக்கம்: ஒரு சமனிச் சார்பு (identity function) f(x) = x என வரையறுக்கப்படுகிறது. எனவே, f(a) = a மற்றும் f(6) = 6.
கொடுக்கப்பட்ட சார்பு {(a,8), (6,b)}. இங்கு, f(a) = 8 மற்றும் f(6) = b.
சமனிச் சார்பின்படி, f(a) = a, எனவே a = 8.
f(6) = 6, எனவே b = 6.
ஆகவே, a = 8, b = 6. மதிப்புகள் (8, 6).
2. R={(x, x²)| x ஆனது 13ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்} என்ற உறவின் வீச்சகமானது
The range of the relation R={(x, x²)|x is a prime number less than 13} is
விளக்கம்: 13ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள் (prime numbers) = {2, 3, 5, 7, 11}.
உறவு R = {(x, x²)}. இங்கு x என்பது பகா எண்.
R = {(2, 2²), (3, 3²), (5, 5²), (7, 7²), (11, 11²)}
R = {(2, 4), (3, 9), (5, 25), (7, 49), (11, 121)}.
உறவின் வீச்சகம் (range) என்பது வரிசைச் சோடிகளில் உள்ள இரண்டாவது உறுப்புகளின் கணம். வீச்சகம் = {4, 9, 25, 49, 121}.
3. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி எந்த மிகை முழுவின் கணத்தையும் 9ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள்
Using Euclid's division lemma, if the cube of any positive integer is divided by 9 then the possible remainders are
விளக்கம்: எந்தவொரு மிகை முழு எண்ணையும் (positive integer) n, 3q, 3q+1, or 3q+2 என்ற வடிவில் எழுதலாம்.
- $(3q)^3 = 27q^3 = 9(3q^3)$. மீதி 0.
- $(3q+1)^3 = (3q)^3 + 3(3q)^2(1) + 3(3q)(1)^2 + 1^3 = 27q^3 + 27q^2 + 9q + 1 = 9(3q^3 + 3q^2 + q) + 1$. மீதி 1.
- $(3q+2)^3 = (3q)^3 + 3(3q)^2(2) + 3(3q)(2)^2 + 2^3 = 27q^3 + 54q^2 + 36q + 8 = 9(3q^3 + 6q^2 + 4q) + 8$. மீதி 8.
4. 3/16, 1/8, 1/12, 1/18,... என்ற தொடர் வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு
The next term of the sequence 3/16, 1/8, 1/12, 1/18,... is
விளக்கம்: இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (G.P).
பொது விகிதம் (common ratio) $r = t_2 / t_1 = (1/8) / (3/16) = (1/8) \times (16/3) = 2/3$.
$t_3 / t_2 = (1/12) / (1/8) = (1/12) \times (8/1) = 8/12 = 2/3$.
அடுத்த உறுப்பு $t_5 = t_4 \times r = (1/18) \times (2/3) = 2/54 = 1/27$.
5. A=2⁶⁵ மற்றும் B=2⁶⁴ +2⁶³ +2⁶² +...... +2⁰ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது பின்வருவனவற்றில் எது உண்மை?
If A=2⁶⁵ and B=2⁶⁴ +2⁶³ +2⁶² +......+2⁰ which of the following is true?
விளக்கம்: B என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடரின் கூடுதல். $a=2^0=1, r=2$, n=65 (0 to 64) உறுப்புகள்.
G.P கூடுதல் சூத்திரம்: $S_n = a(r^n-1)/(r-1)$.
$B = 1(2^{65}-1)/(2-1) = 2^{65}-1$.
$A = 2^{65}$.
எனவே, $A = B+1$. அதாவது, A ஆனது Bஐ விட 1 அதிகம்.
6. x+y-3z=-6, −7y+7z=7, 3z=9 என்ற தொகுப்பின் தீர்வு
The solution of the system x+y-3z=-6, −7y+7z=7, 3z=9 is
விளக்கம்:
3z = 9 $\Rightarrow$ z = 3.
-7y + 7z = 7 $\Rightarrow$ -7y + 7(3) = 7 $\Rightarrow$ -7y + 21 = 7 $\Rightarrow$ -7y = -14 $\Rightarrow$ y = 2.
x + y - 3z = -6 $\Rightarrow$ x + 2 - 3(3) = -6 $\Rightarrow$ x + 2 - 9 = -6 $\Rightarrow$ x - 7 = -6 $\Rightarrow$ x = 1.
7. (2x-1)²=9 -ன் தீர்வு
The solution of (2x−1)²=9 is equal to
விளக்கம்:
(2x-1)² = 9
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் எடுக்க, 2x - 1 = $\pm\sqrt{9}$ = $\pm$3.
நிலை 1: 2x - 1 = 3 $\Rightarrow$ 2x = 4 $\Rightarrow$ x = 2.
நிலை 2: 2x - 1 = -3 $\Rightarrow$ 2x = -2 $\Rightarrow$ x = -1.
த தீர்வுகள்: -1, 2.
8. கொடுக்கப்பட்ட படத்தில் ST||QR, PS=2செ.மீ மற்றும் SQ=3செ.மீ, எனில் $\triangle$PQRயின் பரப்பளவுக்கும் $\triangle$PSTயின் பரப்பளவுக்கும் உள்ள விகிதம்
If a given figure ST||QR. PS=2cm and SQ=3cm. Then the ratio of the area of PQR to the area of APST is
விளக்கம்: ST||QR என்பதால், $\triangle$PST மற்றும் $\triangle$PQR வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ($\triangle$PST ~ $\triangle$PQR).
PS = 2, SQ = 3, எனவே PQ = PS + SQ = 2 + 3 = 5.
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதம், அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.
Area($\triangle$PQR) / Area($\triangle$PST) = (PQ/PS)² = (5/2)² = 25/4.
விகிதம் 25:4.
9. x=11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது
The straight line given by the equation x=11 is
விளக்கம்: x = k என்ற வடிவில் உள்ள சமன்பாடு, y-அச்சுக்கு இணையான ஒரு செங்குத்து கோட்டைக் குறிக்கிறது. இங்கு x=11 என்பது y-அச்சுக்கு இணையான கோடு.
10. x=a tanθ மற்றும் y=b secθ எனில்
If x=atanθ and y=bsecθ then
விளக்கம்:
x = a tanθ $\Rightarrow$ tanθ = x/a.
y = b secθ $\Rightarrow$ secθ = y/b.
முக்கோணவியல் முற்றொருமை: $sec^2θ - tan^2θ = 1$.
பிரதியிட, $(y/b)^2 - (x/a)^2 = 1 \Rightarrow y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1$.
11. 3x-y=4 மற்றும் x+y=8 -ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி
The point of intersection of 3x-y=4 and x+y=8 is
விளக்கம்:
3x - y = 4 ---(1)
x + y = 8 ---(2)
(1) மற்றும் (2) ஐ கூட்ட, (3x - y) + (x + y) = 4 + 8 $\Rightarrow$ 4x = 12 $\Rightarrow$ x = 3.
x=3 ஐ (2) இல் பிரதியிட, 3 + y = 8 $\Rightarrow$ y = 5.
சந்திக்கும் புள்ளி (3, 5).
12. n(A)=m மற்றும் n(B)=n என்க Aலிருந்து Bக்கு வரையறுக்கப்பட்ட வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
Let n(A)=m and n(B)=n then the total number of non-empty relations that can be defined from A to B is
விளக்கம்: A லிருந்து B க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை $2^{n(A \times B)} = 2^{n(A) \times n(B)} = 2^{mn}$.
இதில் வெற்று உறவும் (empty relation) அடங்கும். வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை = மொத்த உறவுகள் - 1 = $2^{mn} - 1$.
13. $x/(x+2)$ என்ற விகிதமுறு கோவையின் விலக்கப்பட்ட மதிப்பு
The excluded value of the expression $x/(x+2)$ is
விளக்கம்: ஒரு விகிதமுறு கோவையின் பகுதி (denominator) பூச்சியமாக இருக்கக்கூடாது. எனவே, x + 2 $\neq$ 0.
x $\neq$ -2. விலக்கப்பட்ட மதிப்பு -2.
14. முதல் பகு எண் மற்றும் முதல் பகா எண்ணின் மீ.பொ.வ
G.C.D of first composite and first prime number is
விளக்கம்: முதல் பகா எண் (first prime number) = 2.
முதல் பகு எண் (first composite number) = 4.
2 மற்றும் 4 இன் மீ.பொ.வ (G.C.D) = 2.
பகுதி - II / PART - II (10x2=20)
குறிப்பு: ஏதேனும் பத்து வினாவிற்கு விடையளி. (கட்டாய வினா 28).
Note: Answer any 10 questions. Question No.28 is compulsory.
15. B X A={(−2, 3), (–2, 4), (0, 3), (0, 4), (3,3) (3, 4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.
B = {-2, 0, 3}
B x A இன் இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம் A ஆகும்.
A = {3, 4}
16. fog=gof எனில் k-யின் மதிப்பைக் காண்க. f(x)=3x+2, g(x)=6x-k
g(f(x)) = g(3x+2) = 6(3x+2) - k = 18x + 12 - k.
fog = gof என்பதால்,
18x - 3k + 2 = 18x + 12 - k
-3k + 2 = 12 - k
2 - 12 = -k + 3k
-10 = 2k
k = -5
17. $a^b \times b^a = 800$ என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐ காண்க.
$a^b \times b^a = 2^5 \times 5^2$.
இதை ஒப்பிடும்போது, a = 2 மற்றும் b = 5 (அல்லது a=5, b=2).
எனவே, அந்த இரு மிகை முழுக்கள் 2 மற்றும் 5.
18. 8, 24, 72,.... என்ற தொடர்வரிசையின் அடுத்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.
Find the next three terms of the sequence 8, 24, 72,....
கொடுக்கப்பட்ட தொடர்வரிசை: 8, 24, 72,...
இது ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (Geometric Progression - G.P.) ஆகும்.
முதல் உறுப்பு (a) = 8.
பொது விகிதம் (r) = $t_2 / t_1 = 24 / 8 = 3$.
$t_3 / t_2 = 72 / 24 = 3$.
எனவே, அடுத்த மூன்று உறுப்புகள்:
$t_4 = t_3 \times r = 72 \times 3 = 216$.
$t_5 = t_4 \times r = 216 \times 3 = 648$.
$t_6 = t_5 \times r = 648 \times 3 = 1944$.
ஆகவே, அடுத்த மூன்று உறுப்புகள் 216, 648, 1944.
19. சுருக்குக: $\frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4}$
Simplify: $\frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4}$
$\frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4} = \frac{4 \times 6 \times x^2 \times x \times y \times z^3}{2 \times 20 \times z^2 \times y^4}$
$= \frac{24 \times x^{2+1} \times y \times z^3}{40 \times z^2 \times y^4}$
$= \frac{24 x^3 y z^3}{40 y^4 z^2}$
(24 மற்றும் 40 ஐ 8 ஆல் வகுக்க) $= \frac{3}{5} x^3 y^{1-4} z^{3-2}$
$= \frac{3}{5} x^3 y^{-3} z^1$
$= \frac{3x^3z}{5y^3}$
20. $x^2+8x-65=0$ எனும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கற்பலன் காண்க.
Find the sum and product of the roots for the quadratic equation $x^2+8x-65=0$.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: $x^2+8x-65=0$.
இதை $ax^2+bx+c=0$ உடன் ஒப்பிட, a=1, b=8, c=-65.
மூலங்களின் கூடுதல் (Sum of roots) = $-\frac{b}{a} = -\frac{8}{1} = -8$.
மூலங்களின் பெருக்கற்பலன் (Product of roots) = $\frac{c}{a} = \frac{-65}{1} = -65$.
21. $x^2-x-20=0$ எனும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.
Determine the nature of roots for the quadratic equation $x^2-x-20=0$.
$x^2-x-20=0$. இங்கு a=1, b=-1, c=-20.
தன்மை காட்டி (Discriminant), $\Delta = b^2 - 4ac$.
$\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-20) = 1 + 80 = 81$.
$\Delta = 81 > 0$.
தன்மை காட்டி மிகை எண்ணாக இருப்பதால், மூலங்கள் மெய் மற்றும் சமமற்றவை (Real and unequal).
22. வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ABC மற்றும் PQRன் சுற்றளவுகள் முறையே 36செ.மீ மற்றும் 24செ.மீ ஆகும். PQ=10செ.மீ எனில், ABஐக் காண்க.
The perimeters of two similar triangles ABC and PQR are respectively 36cm and 24cm. If PQ=10cm, find AB.
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.
$\frac{\text{Perimeter}(\triangle ABC)}{\text{Perimeter}(\triangle PQR)} = \frac{AB}{PQ}$
$\frac{36}{24} = \frac{AB}{10}$
$\frac{3}{2} = \frac{AB}{10}$
$AB = \frac{3 \times 10}{2} = 15$.
$AB = 15$ செ.மீ.
23. (-6, 1) மற்றும் (–3, 2) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
Find the slope of a line joining the points (-6, 1) and (-3, 2).
$(x_1, y_1) = (-6, 1)$, $(x_2, y_2) = (-3, 2)$.
சாய்வு (Slope) $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 1}{-3 - (-6)} = \frac{1}{-3 + 6} = \frac{1}{3}$.
24. $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} = \sec\theta + \tan\theta$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.
Prove that $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} = \sec\theta + \tan\theta$.
LHS = $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}$
பகுதி மற்றும் தொகுதியை $(1+\sin\theta)$ ஆல் பெருக்க:
$= \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}} = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}$
($\because \cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$)
$= \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$
$= \frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
$= \sec\theta + \tan\theta$ = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.
25. (2, 3) மற்றும் (−7, −1) என்ற இரு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
Find the equation of a line through the given pair of points (2, 3) and (-7, -1).
இரு புள்ளி வழி சமன்பாடு: $\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}$
$(x_1, y_1) = (2, 3)$, $(x_2, y_2) = (-7, -1)$.
$\frac{y-3}{-1-3} = \frac{x-2}{-7-2}$
$\frac{y-3}{-4} = \frac{x-2}{-9}$
$-9(y-3) = -4(x-2)$
$-9y + 27 = -4x + 8$
$4x - 9y + 27 - 8 = 0$
$4x - 9y + 19 = 0$.
26. AB=5செ.மீ, AC=10செ.மீ, BD=1.5செ.மீ. மற்றும் CD=3.5செ.மீ எனில் $\triangle$ABC யில் AD ஆனது $\angle A$யின் இருசமவெட்டி ஆகுமா எனச் சோதிக்கவும்.
Check whether AD is bisector of $\angle A$ of $\triangle ABC$ if AB=5cm, AC=10cm, BD=1.5cm and CD=3.5cm.
கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி (Angle Bisector Theorem), AD ஆனது $\angle A$யின் இருசமவெட்டி எனில், $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$ ஆக இருக்க வேண்டும்.
$\frac{AB}{AC} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
$\frac{BD}{CD} = \frac{1.5}{3.5} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$.
இங்கு, $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{7}$.
எனவே, AD ஆனது $\angle A$யின் இருசமவெட்டி இல்லை.
27. A={0, 1}, B={0, 1}, C={0, 1} எனில் (A x B) x C காண்க.
If A={0, 1}, B={0, 1}, C={0, 1} then find (A x B) x C.
A = {0, 1}, B = {0, 1}, C = {0, 1}.
முதலில் A x B:
A x B = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.
இப்போது (A x B) x C:
(A x B) x C = { ((0,0),0), ((0,0),1), ((0,1),0), ((0,1),1), ((1,0),0), ((1,0),1), ((1,1),0), ((1,1),1) }.
இதை (x, y, z) ஆகவும் எழுதலாம்:
(A x B) x C = { (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1) }.
28. 0.6+0.06+0.006+0.0006+...... என்ற பெருக்குத்தொடர்வரிசையின் முடிவுறா உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண்க.
Find the sum to infinity of the G.P. 0.6+0.06+0.006+0.0006+......
இது ஒரு முடிவுறா பெருக்குத் தொடர்.
முதல் உறுப்பு (a) = 0.6.
பொது விகிதம் (r) = $\frac{0.06}{0.6} = 0.1$.
$|r| = |0.1| < 1$, எனவே கூடுதல் காண முடியும்.
முடிவுறா உறுப்புகளின் கூடுதல் $S_\infty = \frac{a}{1-r}$.
$S_\infty = \frac{0.6}{1-0.1} = \frac{0.6}{0.9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
பகுதி - III / PART - III (10x5=50)
29. A={x∈ W|x<2}, B={x∈ N|1
A = {0, 1} (W - முழு எண்கள்)
B = {2, 3, 4} (N - இயல் எண்கள்)
C = {3, 5}
LHS: A x (B ∩ C)
B ∩ C = {3}.
A x (B ∩ C) = {0, 1} x {3} = {(0,3), (1,3)}. --- (1)
RHS: (A x B) ∩ (A x C)
A x B = {0, 1} x {2, 3, 4} = {(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)}.
A x C = {0, 1} x {3, 5} = {(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)}.
(A x B) ∩ (A x C) = {(0,3), (1,3)}. --- (2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.
30. சார்பு f : R→R ஆனது $f(x) = \begin{cases} 2x+7; & x < -2 \\ x^2-2; & -2 \le x < 3 \\ 3x-2; & x \ge 3 \end{cases}$ என வரையறுக்கப்பட்டால், 1) $f(4)+2f(1)$ 2) $\frac{f(1)-3f(4)}{f(-3)}$ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
$f(4)$ ஐக் கண்டுபிடிக்க, $x=4 \ge 3$, எனவே $f(x)=3x-2$.
$f(4) = 3(4)-2 = 12-2 = 10$.
$f(1)$ ஐக் கண்டுபிடிக்க, $-2 \le 1 < 3$, எனவே $f(x)=x^2-2$.
$f(1) = 1^2-2 = 1-2 = -1$.
$f(-3)$ ஐக் கண்டுபிடிக்க, $x=-3 < -2$, எனவே $f(x)=2x+7$.
$f(-3) = 2(-3)+7 = -6+7 = 1$.
1) $f(4)+2f(1)$
$= 10 + 2(-1) = 10 - 2 = 8$.
2) $\frac{f(1)-3f(4)}{f(-3)}$
$= \frac{-1 - 3(10)}{1} = \frac{-1 - 30}{1} = -31$.
31. 396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ காண்க.
Find the HCF of 396, 504, 636.
படி 1: 504 மற்றும் 396 இன் மீ.பொ.வ
$504 = 396 \times 1 + 108$
$396 = 108 \times 3 + 72$
$108 = 72 \times 1 + 36$
$72 = 36 \times 2 + 0$
மீ.பொ.வ(504, 396) = 36.
படி 2: 636 மற்றும் 36 இன் மீ.பொ.வ
$636 = 36 \times 17 + 24$
$36 = 24 \times 1 + 12$
$24 = 12 \times 2 + 0$
மீ.பொ.வ(636, 36) = 12.
எனவே, 396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ 12 ஆகும்.
32. ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில் அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.
மூன்று உறுப்புகள் $a-d, a, a+d$ என்க.
கூடுதல்: $(a-d) + a + (a+d) = 27 \Rightarrow 3a = 27 \Rightarrow a = 9$.
பெருக்கற்பலன்: $(a-d)(a)(a+d) = 288$.
$a(a^2-d^2) = 288$.
$9(9^2-d^2) = 288$.
$81-d^2 = \frac{288}{9} = 32$.
$d^2 = 81 - 32 = 49$.
$d = \pm 7$.
d=7 எனில், உறுப்புகள்: $9-7, 9, 9+7 \Rightarrow 2, 9, 16$.
d=-7 எனில், உறுப்புகள்: $9-(-7), 9, 9-7 \Rightarrow 16, 9, 2$.
தேவையான மூன்று உறுப்புகள் 2, 9, 16.
33. ரேகாவிடம் 10செ.மீ, 11செ.மீ, 12செ.மீ, ......,24செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?
Rekha has 15 square colour papers of sizes 10cm, 11cm, 12cm,.....,24cm. How much area can be decorated with these colour papers?
சதுரங்களின் பக்க அளவுகள்: 10, 11, 12, ..., 24 செ.மீ.
மொத்த பரப்பு என்பது இந்த சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலாகும்.
மொத்த பரப்பு = $10^2 + 11^2 + 12^2 + ... + 24^2$.
இதை நாம் முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
மொத்த பரப்பு = $(\sum_{k=1}^{24} k^2) - (\sum_{k=1}^{9} k^2)$
$\sum_{k=1}^{24} k^2 = \frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 100 \times 49 = 4900$.
$\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285$.
மொத்த பரப்பு = $4900 - 285 = 4615$ ச.செ.மீ.
எனவே, 4615 ச.செ.மீ பரப்பை அலங்கரிக்க முடியும்.
34. சுருக்குக: $\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-3x+2} - \frac{1}{x^2-8x+15}$
Simplify: $\frac{1}{x^2-5x+6} + \frac{1}{x^2-3x+2} - \frac{1}{x^2-8x+15}$
முதலில் ஒவ்வொரு கோவையையும் காரணிப்படுத்துவோம்:
$x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$
$x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$
$x^2-8x+15 = (x-3)(x-5)$
எனவே, கோவை: $\frac{1}{(x-2)(x-3)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} - \frac{1}{(x-3)(x-5)}$
முதல் இரண்டு உறுப்புகளைச் சேர்ப்போம்:
$\frac{1(x-1) + 1(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{x-1+x-3}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{2x-4}{(x-1)(x-2)(x-3)}$
$= \frac{2(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{2}{(x-1)(x-3)}$
இப்போது மூன்றாவது உறுப்பைக் கழிப்போம்:
$\frac{2}{(x-1)(x-3)} - \frac{1}{(x-3)(x-5)}$
பொதுப் பகுதி: $(x-1)(x-3)(x-5)$.
$= \frac{2(x-5) - 1(x-1)}{(x-1)(x-3)(x-5)} = \frac{2x-10-x+1}{(x-1)(x-3)(x-5)}$
$= \frac{x-9}{(x-1)(x-3)(x-5)}$
35. $64x^4-16x^3+17x^2-2x+1$ ன் வர்க்கமூலம் காண்க.
Find the square root of $64x^4-16x^3+17x^2-2x+1$.
படி 1: $\sqrt{64x^4} = 8x^2$. ஈவு மற்றும் வகுத்தியில் $8x^2$ ஐ எழுதவும்.
படி 2: $(8x^2)^2 = 64x^4$. கழித்து அடுத்த இரண்டு உறுப்புகளை இறக்கவும்.
படி 3: புதிய வகுத்தி: $2(8x^2) = 16x^2$. முதல் உறுப்பை வகுக்க: $-16x^3 / 16x^2 = -x$.
படி 4: ஈவு மற்றும் வகுத்தியில் $-x$ ஐ சேர்க்க. $(16x^2-x)(-x) = -16x^3+x^2$. கழிக்கவும்.
படி 5: மீதி $16x^2$. அடுத்த இரண்டு உறுப்புகளை இறக்கவும். புதிய வகுபடு எண் $16x^2-2x+1$.
படி 6: புதிய வகுத்தி: $2(8x^2-x) = 16x^2-2x$. முதல் உறுப்பை வகுக்க: $16x^2/16x^2 = 1$.
படி 7: ஈவு மற்றும் வகுத்தியில் +1 ஐ சேர்க்க. $(16x^2-2x+1)(1) = 16x^2-2x+1$. கழிக்கவும். மீதி 0.
வர்க்கமூலம்: $|8x^2-x+1|$.
36. அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.
State and Prove Basic Proportionality Theorem.
கொடுக்கப்பட்டது: $\triangle ABC$-யில், BC-க்கு இணையாக வரையப்பட்ட கோடு DE, AB-ஐ D-யிலும், AC-ஐ E-யிலும் சந்திக்கிறது.
நிரூபிக்க வேண்டியது: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
அமைப்பு: BE மற்றும் CD-ஐ இணைக்கவும். மேலும், $DM \perp AC$ மற்றும் $EN \perp AB$ வரைக.
நிரூபணம்:
பரப்பு($\triangle ADE$) = $\frac{1}{2} \times AD \times EN$.
பரப்பு($\triangle BDE$) = $\frac{1}{2} \times DB \times EN$.
$\frac{\text{பரப்பு}(\triangle ADE)}{\text{பரப்பு}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EN}{\frac{1}{2} \times DB \times EN} = \frac{AD}{DB}$ --- (1)
பரப்பு($\triangle ADE$) = $\frac{1}{2} \times AE \times DM$.
பரப்பு($\triangle CDE$) = $\frac{1}{2} \times EC \times DM$.
$\frac{\text{பரப்பு}(\triangle ADE)}{\text{பரப்பு}(\triangle CDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DM}{\frac{1}{2} \times EC \times DM} = \frac{AE}{EC}$ --- (2)
$\triangle BDE$ மற்றும் $\triangle CDE$ ஒரே அடிப்பக்கம் DE-யிலும், ஒரே இணைக்கோடுகளான BC மற்றும் DE-க்கு இடையேயும் அமைந்துள்ளன.
எனவே, பரப்பு($\triangle BDE$) = பரப்பு($\triangle CDE$).
(1) மற்றும் (2)-லிருந்து, $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.
37. (9, -2), (-8, -4), (2, 2) மற்றும் (1, −3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.
புள்ளிகள் A(9, -2), B(-8, -4), C(2, 2), D(1, -3).
நாற்கரத்தின் பரப்பு = $\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{vmatrix}$
$= \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 9 & -8 & 2 & 1 & 9 \\ -2 & -4 & 2 & -3 & -2 \end{vmatrix}$
$= \frac{1}{2} |((9)(-4) + (-8)(2) + (2)(-3) + (1)(-2)) - ((-2)(-8) + (-4)(2) + (2)(1) + (-3)(9))|$
$= \frac{1}{2} |(-36 - 16 - 6 - 2) - (16 - 8 + 2 - 27)|$
$= \frac{1}{2} |(-60) - (-17)|$
$= \frac{1}{2} |-60 + 17| = \frac{1}{2} |-43| = \frac{43}{2} = 21.5$ சதுர அலகுகள்.
38. A(-4, 2) மற்றும் B(6, -4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
படி 1: AB-யின் நடுப்புள்ளி (M) காண்க.
M = $(\frac{-4+6}{2}, \frac{2-4}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}) = (1, -1)$.
படி 2: AB-யின் சாய்வு ($m_{AB}$) காண்க.
$m_{AB} = \frac{-4-2}{6-(-4)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.
படி 3: மையக் குத்துக்கோட்டின் சாய்வு ($m_{\perp}$) காண்க.
$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3}$.
படி 4: சமன்பாட்டைக் காண்க.
சாய்வு $\frac{5}{3}$ மற்றும் புள்ளி M(1,-1) வழி செல்லும் கோட்டின் சமன்பாடு:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-1) = \frac{5}{3}(x-1)$
$3(y+1) = 5(x-1)$
$3y+3 = 5x-5$
$5x-3y-8=0$.
39. $\frac{\sin A}{1+\cos A} + \frac{1+\cos A}{\sin A} = 2 \csc A$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.
LHS = $\frac{\sin A}{1+\cos A} + \frac{1+\cos A}{\sin A}$
குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய:
$= \frac{\sin A(\sin A) + (1+\cos A)(1+\cos A)}{\sin A(1+\cos A)}$
$= \frac{\sin^2 A + (1+\cos A)^2}{\sin A(1+\cos A)}$
$= \frac{\sin^2 A + 1^2 + 2\cos A + \cos^2 A}{\sin A(1+\cos A)}$
($\because \sin^2 A + \cos^2 A = 1$)
$= \frac{( \sin^2 A + \cos^2 A ) + 1 + 2\cos A}{\sin A(1+\cos A)}$
$= \frac{1 + 1 + 2\cos A}{\sin A(1+\cos A)} = \frac{2 + 2\cos A}{\sin A(1+\cos A)}$
$= \frac{2(1+\cos A)}{\sin A(1+\cos A)} = \frac{2}{\sin A}$
($\because \frac{1}{\sin A} = \csc A$)
$= 2 \csc A$ = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.
40. 90செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு சிறுவன் விளக்கு கம்பத்தின் அடியிலிருந்து 1.2மீ/வினாடி வேகத்தில் நடந்து செல்கிறான். தரையிலிருந்து விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் 3.6மீ எனில், 4 வினாடிகள் கழித்துச் சிறுவனுடைய நிழலின் நீளத்தைக் காண்க.
விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் AB = 3.6 மீ.
சிறுவனின் உயரம் DE = 90 செ.மீ = 0.9 மீ.
சிறுவனின் வேகம் = 1.2 மீ/வி.
நேரம் = 4 வி.
சிறுவன் கடந்த தூரம் BD = வேகம் x நேரம் = 1.2 x 4 = 4.8 மீ.
சிறுவனின் நிழலின் நீளம் DC = $x$ என்க.
$\triangle ABC$ மற்றும் $\triangle EDC$ வடிவொத்தவை. எனவே,
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{DC}$
$\frac{3.6}{0.9} = \frac{BD+DC}{DC} = \frac{4.8+x}{x}$
$4 = \frac{4.8+x}{x}$
$4x = 4.8 + x$
$3x = 4.8$
$x = \frac{4.8}{3} = 1.6$ மீ.
நிழலின் நீளம் 1.6 மீ.
41. $3x^3+3x^2+3x+3$ மற்றும் $6x^3+12x^2+6x+12$ ஆகிய பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ காண்க.
$P(x) = 3x^3+3x^2+3x+3 = 3(x^3+x^2+x+1)$
$= 3[x^2(x+1)+1(x+1)] = 3(x+1)(x^2+1)$.
$Q(x) = 6x^3+12x^2+6x+12 = 6(x^3+2x^2+x+2)$
$= 6[x^2(x+2)+1(x+2)] = 6(x+2)(x^2+1)$.
கெழுக்களின் மீ.பொ.வ(3, 6) = 3.
பொதுவான காரணி: $(x^2+1)$.
எனவே, மீ.பொ.வ = $3(x^2+1)$.
42. A={0, 1, 2, 3} மற்றும் B={1, 3, 5, 7, 9} என்பன இருகணங்கள் என்க. f:A→B எனும் சார்பு f(x)=2x+1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பினைக் கொண்டு, 1) அம்புக்குறி படம் 2) அட்டவணை 3) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் 4) வரைபடம் ஆகியவற்றைக் குறிக்க.
A={0,1,2,3}, B={1,3,5,7,9}, f(x)=2x+1.
f(0)=1, f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7.
1) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்: f = {(0,1), (1,3), (2,5), (3,7)}.
2) அட்டவணை:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 1 | 3 | 5 | 7 |
4) வரைபடம்: (0,1), (1,3), (2,5), (3,7) ஆகிய புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறிக்கவும்.
பகுதி - IV / PART - IV (2x8=16)
43. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் LMNன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 4/5 என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக.(அளவு காரணி 4/5 < 1)
(அல்லது)
ஆ) PQ=8செ.மீ, $\angle R=60^\circ$ உச்சி Rலிருந்து PQக்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் RG=5.8 செ.மீ என இருக்குமாறு $\triangle PQR$ வரைக.
அ) வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (விளக்கம்)
- ஏதேனும் ஓர் അളവിൽ $\triangle LMN$ வரைக.
- LM என்ற பக்கத்துடன் ஒரு குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு LX என்ற கதிரை வரைக.
- LX-ல், $L_1, L_2, L_3, L_4, L_5$ என 5 சம அளவுள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்கவும். (அளவு காரணியின் பெரிய எண் 5).
- $L_5$ மற்றும் M-ஐ இணைக்கவும் ($L_5M$).
- $L_4$-லிருந்து $L_5M$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது LM-ஐ M' என்ற புள்ளியில் சந்திக்குமாறு அமைக்கவும்.
- M'-லிருந்து MN-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது LN-ஐ N' என்ற புள்ளியில் சந்திக்குமாறு அமைக்கவும்.
- $\triangle LM'N'$ என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.
ஆ) $\triangle PQR$ வரைதல் (விளக்கம்)
- PQ = 8 செ.மீ நீளமுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
- P-யில், $\angle QPX = 60^\circ$ என இருக்குமாறு PX வரைக.
- PX-க்கு செங்குத்தாக PY வரைக.
- PQ-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைந்து, அது PY-ஐ O-விலும் PQ-ஐ G-யிலும் சந்திக்குமாறு வரைக.
- O-வை மையமாகவும் OP-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
- G-யை மையமாகக் கொண்டு 5.8 செ.மீ ஆரத்தில் வட்டத்தின் பரிதியை வெட்டுமாறு ஒரு வில் வரைக. வெட்டும் புள்ளி R ஆகும்.
- PR மற்றும் QR-ஐ இணைக்கவும். $\triangle PQR$ என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
44. அ) $y = \frac{1}{2}x$ என்ற நேரிய சமன்பாட்டின் / சார்பின் வரைபடம் வரைக. விகிதசம மாறிலியை அடையாளம் கண்டு அதனை வரைபடத்துடன் சரிபார்க்க. மேலும் 1) x=9 எனில் yஐக் காண்க 2) y=7.5 எனில் xஐக் காண்க.
(அல்லது)
ஆ) நிஷாந்த், 12கி.மீ தூரத்திற்கான மாரத்தான் ஓட்டத்தின் வெற்றியாளர்... (வேகம்-நேரம் வரைபடம் வரைக)
அ) $y=\frac{1}{2}x$ வரைபடம்
இது $y=kx$ என்ற வடிவில் உள்ளதால், இது ஒரு நேர் மாறுபாடு ஆகும். விகிதசம மாறிலி $k = \frac{1}{2}$.
அட்டவணை:| x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
தீர்வு காணல்:
- x=9 எனில் y-ன் மதிப்பு: வரைபடத்தில் x=9 என்ற கோடு நேர்க்கோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து y-அச்சுக்கு ஒரு கோடு வரைக. அது y=4.5-ல் சந்திக்கும். எனவே y=4.5.
கணக்கீடு: $y = \frac{1}{2}(9) = 4.5$. - y=7.5 எனில் x-ன் மதிப்பு: வரைபடத்தில் y=7.5 என்ற கோடு நேர்க்கோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து x-அச்சுக்கு ஒரு கோடு வரைக. அது x=15-ல் சந்திக்கும். எனவே x=15.
கணக்கீடு: $7.5 = \frac{1}{2}x \Rightarrow x = 15$.
ஆ) வேகம்-நேரம் வரைபடம்
கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து, வேகம் $\times$ நேரம் = தூரம் = 12 கி.மீ (நிலையானது).
வேகம் (S) மற்றும் நேரம் (T) ஆகியவை எதிர் மாறுபாட்டில் உள்ளன ($S = \frac{12}{T}$).
| நேரம் T (மணி) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| வேகம் S (கி.மீ/மணி) | 12 | 6 | 4 | 3 | 2 |
தீர்வு காணல்: கௌசிக் வேகம் = 2.4 கி.மீ/மணி. அவர் எடுத்துக் கொண்ட நேரத்தைக் காண, வரைபடத்தில் y=2.4 என்ற கோடு வளைவரையை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து x-அச்சுக்கு ஒரு கோடு வரைக. அது x=5-ல் சந்திக்கும்.
கௌசிக் எடுத்துக் கொண்ட நேரம் = 5 மணி.
கணக்கீடு: நேரம் = தூரம் / வேகம் = $12 / 2.4 = 120 / 24 = 5$ மணி.