10th Maths - Quarterly Exam 2024 - Tamil Medium Original Question Paper With Answer Key | Thoothukudi District

10th Maths Quarterly Exam 2024 - Answer Key

பள்ளி: OMTEX CLASSES

பாடம்: கணிதம் (வகுப்பு 10)

தேர்வு: காலாண்டு பொதுத்தேர்வு 2024 விடைகள்

பகுதி I - சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடு

• 1)
  (ஆ) (2, -1)
• 2)
  (ஈ) இருபடிச் சார்பு
• 3)
  (இ) 3
• 4)
  (ஆ) ஒன்றையொன்று வெட்டாது
• 5)
  (அ) 13 மீ
• 6)
  (அ) 25:4
• 7)
  (இ) சமமற்ற மெய்யெண் தீர்வுகள்
• 8)
  (அ) இரு பக்கங்களின் சாய்வுகள் சமம்
• 9)
  (ஆ) \( \frac{3}{2} \)
• 10)
  (அ) 300
• 11)
  (இ) 2
• 12)
  (ஈ) \( \frac{x^2 - 7x + 40}{(x^2 - 25)(x + 1)} \)
• 13)
  (இ) 8
• 14)
  (ஆ) பூச்சியம்

பகுதி II - தீர்வுகள்

15) மதிப்பு R = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

16) மூலங்களின் கூடுதல் = \( -\frac{3}{2} \)

மூலங்களின் பெருக்கல் = \( -1 \)

சமன்பாடு: \( x^2 - (\text{SUM OF ROOTS})x + (\text{PRODUCT OF ROOTS}) = 0 \)

\( x^2 - (-\frac{3}{2})x + (-1) = 0 \)

\( x^2 + \frac{3}{2}x - 1 = 0 \)

\( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \)

17) \( f(x) = 3+x, g(x) = x-4 \)

\( fog(x) = f[g(x)] = f(x-4) = 3 + (x-4) = x-1 \)

\( gof(x) = g[f(x)] = g(3+x) = (3+x)-4 = x-1 \)

எனவே, \( fog = gof \)

18) \( 10^2 = 100 \equiv 5 \pmod{19} \)

\( 10^4 = (10^2)^2 \equiv 5^2 \pmod{19} \)

\( 10^4 \equiv 25 \pmod{19} \)

\( 10^4 \equiv 6 \pmod{19} \)

\( \therefore x = 6 \)

19) கோட்டின் சாய்வு \( = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} \)

\( = \frac{-\cos\theta - \cos\theta}{\sin\theta - (-\sin\theta)} = \frac{-2\cos\theta}{2\sin\theta} = -\cot\theta \)

20) \(\triangle BPA\) வில், DC || AP
அ.வி.தே படி
\( \frac{BC}{CP} = \frac{BD}{DA} \) ...(1)
\(\triangle BCA\) வில், DE || AC
அ.வி.தே படி
\( \frac{BE}{EC} = \frac{BD}{DA} \) ...(2)
(1), (2) \(\Rightarrow \frac{BE}{EC} = \frac{BC}{DP}\)

21) \( 408 = 2^3 \times 3^1 \times 17^1 \)

\( 170 = 2^1 \times 5^1 \times 17^1 \)

மீ.பொ.வ = \( 2^1 \times 17^1 = 34 \)

மீ.பொ.ம = \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \times 17^1 = 2040 \)

22) \( a_n = \frac{n^2-1}{n+3} \)

n = 8 எனில், \( a_8 = \frac{8^2-1}{8+3} = \frac{64-1}{11} = \frac{63}{11} \)

\( a_n = \frac{n^2}{2n+1} \)

n = 15 எனில், \( a_{15} = \frac{15^2}{2(15)+1} = \frac{225}{30+1} = \frac{225}{31} \)

23) Given \( x = \frac{a^2+3a-4}{3a^2-3} \) and \( y = \frac{a^2+2a-8}{2a^2-2a-4} \). Find the value of \( x^2y^{-2} \).

First, simplify the expression for x:

\( x = \frac{a^2+3a-4}{3a^2-3} = \frac{(a+4)(a-1)}{3(a^2-1)} = \frac{(a+4)(a-1)}{3(a-1)(a+1)} = \frac{a+4}{3(a+1)} \)

Next, simplify the expression for y:

\( y = \frac{a^2+2a-8}{2a^2-2a-4} = \frac{(a+4)(a-2)}{2(a^2-a-2)} = \frac{(a+4)(a-2)}{2(a-2)(a+1)} = \frac{a+4}{2(a+1)} \)

The expression to be found is \( x^2y^{-2} \), which can be written as \( \frac{x^2}{y^2} \) or \( \left(\frac{x}{y}\right)^2 \).

Now, let's calculate \( \frac{x}{y} \):

\( \frac{x}{y} = \frac{\frac{a+4}{3(a+1)}}{\frac{a+4}{2(a+1)}} = \frac{a+4}{3(a+1)} \times \frac{2(a+1)}{a+4} = \frac{2}{3} \)

Finally, square the result to find \( \left(\frac{x}{y}\right)^2 \):

\( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} \)

Therefore, the value of \( x^2y^{-2} \) is \( \frac{4}{9} \).

24) \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{1} = -7 \)

\( \alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{10}{1} = 10 \)

\( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-7)^2 - 2(10) = 49 - 20 = 29 \)

25) \( 2+4+6+...+80 = 2(1+2+3+...+40) \)

\( = 2 \times \frac{40(40+1)}{2} = 40 \times 41 = 1640 \)

26) \( LHS = \sqrt{\frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta}} = \sqrt{\frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta + \tan\theta} \times \frac{\sec\theta - \tan\theta}{\sec\theta - \tan\theta}} \)

\( = \sqrt{\frac{(\sec\theta - \tan\theta)^2}{\sec^2\theta - \tan^2\theta}} = \frac{\sec\theta - \tan\theta}{1} = \frac{1}{\cos\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1-\sin\theta}{\cos\theta} = RHS \)

27) 3x - 5y + 7 = 0, 15x + 9y + 4 = 0

\( a_1 = 3, b_1 = -5, a_2 = 15, b_2 = 9 \)

செங்குத்து நிபந்தனை: \( a_1a_2 + b_1b_2 = 0 \)

\( (3 \times 15) + (-5 \times 9) = 45 - 45 = 0 \)

எனவே, நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை.

28) A(6, 10), B(14, 12)

சமன்பாடு: \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)

\( \frac{y - 10}{12 - 10} = \frac{x - 6}{14 - 6} \Rightarrow \frac{y - 10}{2} = \frac{x - 6}{8} \)

\( 4(y - 10) = x - 6 \Rightarrow 4y - 40 = x - 6 \Rightarrow x - 4y + 34 = 0 \)

29) \( A = \{x \in \mathbb{N} | 1 < x < 4\} = \{2, 3\} \)

\( B = \{x \in \mathbb{W} | 0 \le x < 2\} = \{0, 1\} \)

\( C = \{x \in \mathbb{N} | x < 3\} = \{1, 2\} \)

\( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \)

\( B \cap C = \{0, 1\} \cap \{1, 2\} = \{1\} \)

\( A \times (B \cap C) = \{2, 3\} \times \{1\} = \{(2, 1), (3, 1)\} \) .....(1)

\( A \times B = \{2, 3\} \times \{0, 1\} = \{(2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)\} \)

\( A \times C = \{2, 3\} \times \{1, 2\} = \{(2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)\} \)

\( (A \times B) \cap (A \times C) = \{(2, 1), (3, 1)\} \) .....(2)

(1), (2) லிருந்து \( A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C) \) சரிபார்க்கப்பட்டது.

பகுதி III - தீர்வுகள்

30) \( f : A \rightarrow B, f(x) = \frac{x}{2} - 1 \)

\( A = \{2, 4, 6, 10, 12\}, B = \{0, 1, 2, 4, 5, 9\} \)

\( f(2) = \frac{2}{2} - 1 = 0 \)

\( f(4) = \frac{4}{2} - 1 = 1 \)

\( f(6) = \frac{6}{2} - 1 = 2 \)

\( f(10) = \frac{10}{2} - 1 = 4 \)

\( f(12) = \frac{12}{2} - 1 = 5 \)

(i) வரிசை சோடிகளின் கணம்: \( f = \{(2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), (12, 5)\} \)

(ii) அட்டவணை:

(iii) அம்புக்குறிப் படம்:

(iv) வரைபடம்:

31) a, b, c ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ளன. எனவே, \( 2b = a + c \).
\( a + b + c = 207 \Rightarrow (a+c) + b = 207 \Rightarrow 2b + b = 207 \Rightarrow 3b = 207 \Rightarrow b = 69 \)
மேலும், \( ab = 4623 \Rightarrow a \times 69 = 4623 \Rightarrow a = \frac{4623}{69} = 67 \)
இப்பொழுது, \( c = 2b - a = 2(69) - 67 = 138 - 67 = 71 \)
எனவே, \( a=67, b=69, c=71 \)

32) வாணி வயது = x, தந்தை வயது = y, தாத்தா வயது = z என்க.

முதல் நிபந்தனை: மூவரின் சராசரி வயது 53.

\( \frac{x+y+z}{3} = 53 \)

\( x+y+z = 159 \) .....(1)

இரண்டாம் நிபந்தனை: தாத்தாவின் வயதில் பாதி, தந்தையின் வயதில் மூன்றில் ஒரு பங்கு, வாணியின் வயதில் நான்கில் ஒரு பங்கு ஆகியவற்றின் கூடுதல் 65.

\( \frac{z}{2} + \frac{y}{3} + \frac{x}{4} = 65 \)

இருபுறமும் 12 ஆல் பெருக்க:

\( 6z + 4y + 3x = 780 \) .....(2)

மூன்றாம் நிபந்தனை: நான்கு ஆண்டுகளுக்கு முன் தாத்தாவின் வயது வாணியின் வயதை போல் நான்கு மடங்கு.

\( z - 4 = 4(x-4) \)

\( z - 4 = 4x - 16 \)

\( 4x - z = 12 \) .....(3)

சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்:

சமன்பாடு (1) மற்றும் (3) ஐ கூட்டுக:

\( (x+y+z) + (4x-z) = 159 + 12 \)

\( 5x + y = 171 \) .....(4)

சமன்பாடு (3) ஐ 6 ஆல் பெருக்கி சமன்பாடு (2) உடன் கூட்டுக:

\( 24x - 6z = 72 \) .....(3) x 6

\( (3x+4y+6z) + (24x-6z) = 780 + 72 \)

\( 27x + 4y = 852 \) .....(5)

இப்போது சமன்பாடு (4) மற்றும் (5) ஐ தீர்க்கலாம். சமன்பாடு (4) ஐ 4 ஆல் பெருக்க:

\( 20x + 4y = 684 \) .....(6)

சமன்பாடு (5) லிருந்து (6) ஐ கழிக்க:

\( (27x+4y) - (20x+4y) = 852 - 684 \)

\( 7x = 168 \Rightarrow x = 24 \)

x = 24 என சமன்பாடு (4) இல் பிரதியிட:

\( 5(24) + y = 171 \Rightarrow 120 + y = 171 \Rightarrow y = 51 \)

x = 24 என சமன்பாடு (3) இல் பிரதியிட:

\( 4(24) - z = 12 \Rightarrow 96 - z = 12 \Rightarrow z = 84 \)

தற்போதைய வயதுகள்:

• வாணியின் வயது (x) =
  24
• தந்தையின் வயது (y) =
  51
• தாத்தாவின் வயது (z) =
  84

33) கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழு வர்க்கம் எனில், அதன் மீதி பூச்சியமாகும்.

இங்கு, \( b+42=0 \Rightarrow b=-42 \)

மற்றும் \( a-49=0 \Rightarrow a=49 \)

34) பயணிகள் வண்டி சராசரி வேகம் x கி.மீ/மணி என்க.
விரைவு வண்டி சராசரி வேகம் (x + 20) கி.மீ/மணி.
பயணிகள் தொடர்வண்டி நேரம் \( = \frac{240}{x} \)
விரைவு தொடர்வண்டி நேரம் \( = \frac{240}{x+20} \)
கொடுக்கப்பட்டவை: \( \frac{240}{x} - \frac{240}{x+20} = 1 \)
\( 240 \left[ \frac{1}{x} - \frac{1}{x+20} \right] = 1 \Rightarrow 240 \left[ \frac{x+20-x}{x(x+20)} \right] = 1 \)
\( 240(20) = x(x+20) \Rightarrow 4800 = x^2 + 20x \)
\( x^2 + 20x - 4800 = 0 \)
\( (x+80)(x-60) = 0 \)
வேகம் குறை எண்ணாக இருக்க முடியாது, எனவே \( x=60 \).
பயணிகள் தொடர்வண்டியின் சராசரி வேகம் 60 கி.மீ/மணி.
விரைவு தொடர்வண்டியின் சராசரி வேகம் 80 கி.மீ/மணி.

35) \( (a-b)x^2 + (b-c)x + (c-a) = 0 \) இன் மூலங்கள் சமம் எனில், \( B^2 - 4AC = 0 \).
இங்கு, \( A=a-b, B=b-c, C=c-a \)
\( (b-c)^2 - 4(a-b)(c-a) = 0 \)
\( b^2-2bc+c^2 - 4(ac-a^2-bc+ab) = 0 \)
\( b^2-2bc+c^2 - 4ac+4a^2+4bc-4ab = 0 \)
\( 4a^2+b^2+c^2-4ab+2bc-4ac = 0 \)
இது \( (2a-b-c)^2 = 0 \) வடிவத்தில் உள்ளது.
\( 2a-b-c=0 \Rightarrow 2a=b+c \)
எனவே, a, b, c ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ளன.

36) \( 11^2 + 12^2 + ... + 25^2 = (1^2 + 2^2 + ... + 25^2) - (1^2 + 2^2 + ... + 10^2) \)
சூத்திரம்: \( \sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)
\( = \frac{25(26)(51)}{6} - \frac{10(11)(21)}{6} \)
\( = (25 \times 13 \times 17) - (5 \times 11 \times 7) \)
\( = 5525 - 385 = 5140 \)

37) A(6, 2), B(-5, -1), C(1, 9)
BC-ன் நடுப்புள்ளி \( D = (\frac{-5+1}{2}, \frac{-1+9}{2}) = (-2, 4) \)
நடுக்கோடு AD-ன் சமன்பாடு:
\( \frac{y - 2}{4 - 2} = \frac{x - 6}{-2 - 6} \Rightarrow \frac{y-2}{2} = \frac{x-6}{-8} \)
\( -4(y-2) = x-6 \Rightarrow -4y+8 = x-6 \Rightarrow x+4y-14=0 \)
BC-ன் சாய்வு \( = \frac{9-(-1)}{1-(-5)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)
குத்துக்கோட்டின் சாய்வு \( = -\frac{3}{5} \)
குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடு: \( y-2 = -\frac{3}{5}(x-6) \)
\( 5(y-2) = -3(x-6) \Rightarrow 5y-10=-3x+18 \Rightarrow 3x+5y-28=0 \)

38) உள்முற்றத்தின் பரப்பு = நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பு - நாற்கரம் EFGH-ன் பரப்பு.

படி 1: நாற்கரம் ABCD-ன் பரப்பளவைக் காணுதல்

முனைகள் A(-4, -8), B(8, -4), C(6, 10), D(-10, 6).

நாற்கரத்தின் பரப்பு = \( \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)| \)

\( = \frac{1}{2} |((-4)(-4) + (8)(10) + (6)(6) + (-10)(-8)) - ((-8)(8) + (-4)(6) + (10)(-10) + (6)(-4))| \)

\( = \frac{1}{2} |(16 + 80 + 36 + 80) - (-64 - 24 - 100 - 24)| \)

\( = \frac{1}{2} |(212) - (-212)| \)

\( = \frac{1}{2} |424| = 212 \) சதுர அலகுகள்.

படி 2: நாற்கரம் EFGH-ன் பரப்பளவைக் காணுதல்

முனைகள் E(-3, -5), F(6, -2), G(3, 7), H(-6, 4).

நாற்கரத்தின் பரப்பு = \( \frac{1}{2} |((-3)(-2) + (6)(7) + (3)(4) + (-6)(-5)) - ((-5)(6) + (-2)(3) + (7)(-6) + (4)(-3))| \)

\( = \frac{1}{2} |(6 + 42 + 12 + 30) - (-30 - 6 - 42 - 12)| \)

\( = \frac{1}{2} |(90) - (-90)| \)

\( = \frac{1}{2} |180| = 90 \) சதுர அலகுகள்.

படி 3: உள்முற்றத்தின் பரப்பளவைக் காணுதல்

உள்முற்றத்தின் பரப்பு = (ABCD-ன் பரப்பு) - (EFGH-ன் பரப்பு)

\( = 212 - 90 \)

\( = \) 122 சதுர அலகுகள்.

39) கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம்: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் உட்புற இருசமவெட்டியானது அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை உட்புறமாக அக்கோணத்தினை அடக்கிய பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

40) \( \frac{\cos\theta}{1+\sin\theta} = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta} \)
நிரூபிக்க: \( \frac{a^2-1}{a^2+1} = \sin\theta \)
LHS: \( \frac{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2-1}{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2+1} = \frac{\frac{(1+\sin\theta)^2-\cos^2\theta}{\cos^2\theta}}{\frac{(1+\sin\theta)^2+\cos^2\theta}{\cos^2\theta}} \)
\( = \frac{1+2\sin\theta+\sin^2\theta-\cos^2\theta}{1+2\sin\theta+\sin^2\theta+\cos^2\theta} = \frac{1+2\sin\theta+\sin^2\theta-(1-\sin^2\theta)}{1+2\sin\theta+1} \)
\( = \frac{2\sin\theta+2\sin^2\theta}{2+2\sin\theta} = \frac{2\sin\theta(1+\sin\theta)}{2(1+\sin\theta)} = \sin\theta = \text{RHS} \)

41) ஒரு பெருக்குத் தொடர் வரிசையில், \( t_4 = ar^3 = 54 \) ...(1)
\( t_7 = ar^6 = 1458 \) ...(2)
\((2) \div (1) \Rightarrow \frac{ar^6}{ar^3} = \frac{1458}{54} \Rightarrow r^3 = 27 \Rightarrow r = 3 \)
\( a(3)^3 = 54 \Rightarrow a(27)=54 \Rightarrow a=2 \)
பெருக்குத் தொடர் வரிசை: 2, 6, 18, .......

42) \( f(x)=x-4, g(x)=x^2, h(x)=3x-5 \)
(fog)oh:
\( (fog)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = x^2-4 \)
\( ((fog)oh)(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x-5) = (3x-5)^2-4 \)
\( = 9x^2-30x+25-4 = 9x^2-30x+21 \)
fo(goh):
\( (goh)(x) = g(h(x)) = g(3x-5) = (3x-5)^2 \)
\( (fo(goh))(x) = f((goh)(x)) = f((3x-5)^2) = (3x-5)^2-4 \)
\( = 9x^2-30x+25-4 = 9x^2-30x+21 \)
எனவே, (fog)oh = fo(goh) சரிபார்க்கப்பட்டது.

பகுதி IV - வரைபடங்கள்

43) a) வடிஒத்த முக்கோணம் வரைதல்

43) b) தொடுகோடு வரைதல்

44) a) வரைபடம்

இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு. \( xy = 6000 \).
From the graph, when y = 200, x = 30.

44) b) வரைபடம்

இது ஒரு நேர் மாறுபாடு.
விகிதசம மாறிலி, \( k = \frac{y}{x} = \frac{50}{60} = \frac{100}{120} = \frac{5}{6} \)
x = 1 (1/2) hours = 90 mins, then \( y = kx = \frac{5}{6} \times 90 = 75 \) km.
x = 6 hours = 360 mins, then \( y = \frac{5}{6} \times 360 = 300 \) km.

உருவாக்கம்: OMTEX CLASSES AMIN . M.Com