10th Maths - Quarterly Exam 2024 - Tamil Medium Original Question Paper Tamil Medium | Ariyalur District

10 ஆம் வகுப்பு காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - 2024

கணிதம் - விடைகளுடன்

மதிப்பெண்கள் : 100 நேரம் : 3.00 மணி

பகுதி - அ

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (14 x 1 = 14)

1. n(A)=m மற்றும் n(B)=n என்க. A யிலிருந்து B-க்கு வரையறுக்கப்பட்ட வெற்றுகணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை

1. mⁿ
2. n^m
3. 2^mn-1
4. 2^mn

விடை

c) 2^mn-1

விளக்கம்:

A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை = $2^{n(A) \times n(B)} = 2^{mn}$.

இதில் வெற்றுகண உறவும் ($ \emptyset $) அடங்கும்.

வெற்றுகணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை = மொத்த உறவுகள் - 1 = $2^{mn}-1$.

2. $f(x) = f(1-x)$ எனில், $f(x)=x(1-x)$ எனக் கொண்டு $2f(\frac{1}{2})$ ன் மதிப்பு

(குறிப்பு: கேள்வியில் பிழை உள்ளது, சரியான கேள்வி $f(x) + f(1-x) = 2$ எனில் $f(1/2)$ன் மதிப்பு)

1. 1
2. -1
3. 5
4. -9

விடை

a) 1

விளக்கம்:

கொடுக்கப்பட்டது: $f(x) + f(1-x) = 2$.

$x = \frac{1}{2}$ என பிரதியிட,

$f(\frac{1}{2}) + f(1-\frac{1}{2}) = 2$

$f(\frac{1}{2}) + f(\frac{1}{2}) = 2$

$2f(\frac{1}{2}) = 2$

$f(\frac{1}{2}) = 1$

3. 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்

(குறிப்பு: கேள்வியில் 100 என அச்சிடப்பட்டுள்ளது, ஆனால் கொடுக்கப்பட்டுள்ள விடைகளுக்கு 10 என்பதே பொருந்தும்)

1. 2025
2. 5220
3. 5025
4. 2520

விடை

d) 2520

விளக்கம்:

நாம் 1 முதல் 10 வரையிலான எண்களின் மீ.சி.ம (LCM) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = $2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35 = 2520$.

4. $2+2^2+ \dots + 2^n$ என்ற n உறுப்புகள் வரையுள்ள தொடரின் கூடுதல்

(குறிப்பு: கேள்வியும், கொடுக்கப்பட்டுள்ள விடைகளும் பொருந்தவில்லை. இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் (GP). இதன் கூடுதல் $2(2^n-1)$. கொடுக்கப்பட்டுள்ள விடைகள் தவறானவை.)

1. $2^n$
2. $2n$
3. $n^2$
4. $n+2$

விடை

விளக்கம்:

இது முதல் உறுப்பு $a=2$ மற்றும் பொது விகிதம் $r=2$ கொண்ட ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP).

n உறுப்புகளின் கூடுதல் சூத்திரம்: $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$.

$S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2(2^n-1) = 2^{n+1}-2$.

கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில் சரியான விடை இல்லை.

5. $x^2-2x-24$ மற்றும் $x^2-kx-6$-ன் மீ.பொ.வ $(x-6)$ எனில் k-ன் மதிப்பு காண்க.

1. 3
2. 5
3. 6
4. 8

விடை

b) 5

விளக்கம்:

$(x-6)$ என்பது $p(x) = x^2-kx-6$-ன் ஒரு காரணி என்பதால், $p(6)=0$ ஆகும்.

$p(6) = (6)^2 - k(6) - 6 = 0$

$36 - 6k - 6 = 0$

$30 - 6k = 0$

$30 = 6k$

$k = 5$

6. $(2x-1)^2-9=0$-ன் மதிப்பு காண்க.

1. -1, 2
2. -1
3. 2
4. இதில் எதுவும் இல்லை

விடை

a) -1, 2

விளக்கம்:

$(2x-1)^2 = 9$

வர்க்கமூலம் எடுக்க, $2x-1 = \pm\sqrt{9}$

$2x-1 = \pm 3$

நிலை 1: $2x-1 = 3 \implies 2x = 4 \implies x=2$

நிலை 2: $2x-1 = -3 \implies 2x = -2 \implies x=-1$

எனவே, தீர்வுகள் -1, 2.

7. $7^{4k} \equiv$ _____ (மட்டு 100)

1. 4
2. 3
3. 2
4. 1

விடை

d) 1

விளக்கம்:

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$

$7^3 = 343 \equiv 43$ (மட்டு 100)

$7^4 = 2401 = 2400 + 1 \equiv 1$ (மட்டு 100)

எனவே, $7^{4k} = (7^4)^k \equiv 1^k \equiv 1$ (மட்டு 100).

8. $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$ எனில், $\triangle ABC$ மற்றும் $\triangle EDF$ எப்பொழுது வடிவொத்தவையாக அமையும்.

1. $\angle B = \angle E$
2. $\angle A = \angle D$
3. $\angle B = \angle D$
4. $\angle A = \angle F$

விடை

c) $\angle B = \angle D$

விளக்கம்:

SAS (பக்கம்-கோணம்-பக்கம்) வடிவொத்த விதிப்படி, இரு பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருந்தால், அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்.

$\triangle ABC$-ல் AB மற்றும் BC-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle B$.

$\triangle EDF$-ல் DE மற்றும் FD-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle D$.

எனவே, $\angle B = \angle D$ ஆக இருக்க வேண்டும்.

9. ஒரு நாற்கரமானது சரிவகமாக அமைய தேவையான நிபந்தனை

1. ஓர் இணை எதிர்ப் பக்கங்கள் இணை
2. இரு பக்கங்கள் இணை மற்றும் இரு பக்கங்கள் இணை அற்றவை
3. எதிரெதிர் பக்கங்கள் இணை
4. அனைத்து பக்கங்களும் சமம்

விடை

a) ஓர் இணை எதிர்ப் பக்கங்கள் இணை

விளக்கம்:

ஒரு சரிவகத்தின் வரையறைப்படி, அதன் ஓர் இணை எதிர்ப் பக்கங்கள் இணையாக இருக்கும்.

10. இருசமபக்க முக்கோணம் $\triangle ABC$-ல் $\angle C = 90^\circ$ மற்றும் AC=5 செ.மீ எனில் AB ஆனது

1. $5\sqrt{2}$ செ.மீ
2. 10 செ.மீ
3. 2.5 செ.மீ
4. 5 செ.மீ

விடை

a) $5\sqrt{2}$ செ.மீ

விளக்கம்:

இது ஒரு இருசமபக்க செங்கோண முக்கோணம். எனவே, $AC = BC = 5$ செ.மீ.

பிதாகரஸ் தேற்றப்படி, $AB^2 = AC^2 + BC^2$

$AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$

$AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ செ.மீ.

11. $2y=x+8$ என்ற நேர்கோட்டின் சாய்வானது

1. 1/2
2. 1
3. 8
4. 2

விடை

a) 1/2

விளக்கம்:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை $y=mx+c$ வடிவத்திற்கு மாற்றுக.

$2y=x+8 \implies y = \frac{1}{2}x + 4$

இங்கு, சாய்வு $m = 1/2$.

12. $x=11$ என்ற கொடுக்கப்பட்ட நேர்கோட்டின் சமன்பாடானது

1. ஆதி புள்ளி வழிச் செல்லும்
2. (0, 11) என்ற புள்ளிவழிச் செல்லும்
3. x - அச்சுக்கு இணை
4. y- அச்சுக்கு இணை

விடை

d) y- அச்சுக்கு இணை

விளக்கம்:

$x=k$ என்ற வடிவில் உள்ள எந்த ஒரு கோடும் y-அச்சுக்கு இணையாக இருக்கும்.

13. $\sin\theta = \cos\theta$ எனில் $2\tan^2\theta + \sin^2\theta - 1$-ன் மதிப்பு

1. 3/2
2. -3/2
3. 2/3
4. -2/3

விடை

a) 3/2

விளக்கம்:

$\sin\theta = \cos\theta \implies \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 1 \implies \tan\theta = 1$.

இது $\theta = 45^\circ$ எனும்போது உண்மையாகும்.

$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

இப்போது, $2\tan^2\theta + \sin^2\theta - 1 = 2(1)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - 1$

$= 2(1) + \frac{1}{2} - 1 = 2 + \frac{1}{2} - 1 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

14. $\sin\theta+\cos\theta = a$ மற்றும் $\sec\theta+\csc\theta = b$ எனில் $b(a^2-1)$-ன் மதிப்பு

1. 0
2. 2a
3. 2ab
4. 3a

விடை

b) 2a

விளக்கம்:

$a^2 = (\sin\theta+\cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$.

$a^2-1 = 2\sin\theta\cos\theta$.

$b = \sec\theta+\csc\theta = \frac{1}{\cos\theta} + \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{a}{\sin\theta\cos\theta}$.

இப்போது, $b(a^2-1) = \left( \frac{a}{\sin\theta\cos\theta} \right) (2\sin\theta\cos\theta) = 2a$.

பகுதி - ஆ

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். 28-க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும். (10 x 2 = 20)

15. $A \times B = \{(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)\}$ எனில் A மற்றும் B காண்க.

விடை

A என்பது முதல் உறுப்புகளின் கணம். $A = \{3, 5\}$.

B என்பது இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம். $B = \{2, 4\}$.

16. $f: N \to N$ என்ற சார்பு $f(m)=m^2+m+3$ என வரையறுக்கப்பட்டால் அது ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு எனக் காட்டுக.

விடை

$f(m_1) = f(m_2)$ என எடுத்துக்கொள்வோம்.

$m_1^2 + m_1 + 3 = m_2^2 + m_2 + 3$

$m_1^2 - m_2^2 + m_1 - m_2 = 0$

$(m_1-m_2)(m_1+m_2) + (m_1-m_2) = 0$

$(m_1-m_2)(m_1+m_2+1) = 0$

இதிலிருந்து, $m_1-m_2=0$ அல்லது $m_1+m_2+1=0$.

$m_1, m_2 \in N$ (இயல் எண்கள்) என்பதால், $m_1>0, m_2>0$.

எனவே, $m_1+m_2+1$ பூச்சியமாக இருக்க முடியாது.

ஆகவே, $m_1-m_2=0 \implies m_1=m_2$.

$f(m_1)=f(m_2)$ எனில் $m_1=m_2$ என்பதால், $f$ ஒரு ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு ஆகும்.

17. ஒரு தொடர் வரிசையின் பொது உறுப்பு $a_n = \begin{cases} n^2 & \text{n ஒரு ஒற்றை எண்} \\ n/2 & \text{n ஒரு இரட்டை எண்} \end{cases}$ எனில் 3-வது மற்றும் 4-வது உறுப்பு காண்க.

(குறிப்பு: வினாத்தாளில் பொது உறுப்பு தெளிவாக இல்லை. பொதுவான ஒரு வடிவத்தில் தீர்வு காணப்பட்டுள்ளது.)

விடை

3-வது உறுப்பு (n=3, ஒற்றை எண்):

$a_3 = n^2 = 3^2 = 9$.

4-வது உறுப்பு (n=4, இரட்டை எண்):

$a_4 = n/2 = 4/2 = 2$.

எனவே, $a_3=9$ மற்றும் $a_4=2$.

18. கூடுதல்: $1^2+2^2+3^2+\dots+15^2$

(குறிப்பு: கேள்வியில் $1+4+9+16+\dots+225$ என உள்ளது. $225 = 15^2$.)

விடை

முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்:

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

இங்கு n=15.

கூடுதல் = $\frac{15(15+1)(2 \times 15+1)}{6} = \frac{15 \times 16 \times 31}{6}$

$= 5 \times 8 \times 31 = 40 \times 31 = 1240$.

19. சுருக்குக: $\frac{x^3+8}{x^2-2x+4}$

(குறிப்பு: வினாத்தாளில் உள்ள பகுதி தெளிவாக இல்லை. இது ஒரு பொதுவான வடிவம்.)

விடை

நாம் $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

$x^3+8 = x^3+2^3 = (x+2)(x^2-2x+4)$.

எனவே, $\frac{x^3+8}{x^2-2x+4} = \frac{(x+2)(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4} = x+2$.

20. $p^2-3p+2$, $p^2-4$-ன் மீ.பொ.ம. காண்க.

விடை

முதலில் ஒவ்வொரு கோவையையும் காரணிப்படுத்துக.

$p^2-3p+2 = (p-1)(p-2)$

$p^2-4 = p^2-2^2 = (p-2)(p+2)$

மீ.பொ.ம (LCM) = அனைத்து காரணிகளின் பெருக்கல்

LCM = $(p-1)(p-2)(p+2)$.

21. ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் $\frac{24}{5}$ எனில் அந்த எண்ணைக் காண்க.

விடை

அந்த எண் $x$ என்க.

அதன் தலைகீழி = $\frac{1}{x}$

கணக்கின்படி, $x - \frac{1}{x} = \frac{24}{5}$

$\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{24}{5}$

$5(x^2 - 1) = 24x$

$5x^2 - 5 = 24x$

$5x^2 - 24x - 5 = 0$

இதை காரணிப்படுத்த,

$5x^2 - 25x + x - 5 = 0$

$5x(x - 5) + 1(x - 5) = 0$

$(5x+1)(x-5) = 0$

எனவே, $x=5$ அல்லது $x = -\frac{1}{5}$.

தேவையான எண் 5 அல்லது -1/5.

22. வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து 25 செ.மீ தொலைவில் உள்ள p என்ற புள்ளியிலிருந்து வட்டத்திற்கு வரையப்பட்ட தொடுகோட்டின் நீளம் 24 செ.மீ எனில் வட்டத்தின் ஆரம் என்ன?

விடை

வட்டத்தின் மையம் O, வெளிப்புள்ளி P, தொடுபுள்ளி T என்க.

OP = 25 செ.மீ, PT = 24 செ.மீ

தொடுபுள்ளியில் ஆரம் தொடுகோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும். எனவே, $\triangle OTP$ ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.

பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,

$OP^2 = OT^2 + PT^2$

$25^2 = r^2 + 24^2$

$625 = r^2 + 576$

$r^2 = 625 - 576 = 49$

$r = \sqrt{49} = 7$

வட்டத்தின் ஆரம் 7 செ.மீ.

23. $\triangle ABC$-ல் $DE \parallel BC$, $AD=x$, $DB=x-2$, $AE=x+2$, $EC=x-1$ எனில் AB, AC-ன் நீளங்களைக் காண்க.

விடை

$DE \parallel BC$ என்பதால், அடிப்படை விகிதசம தேற்றப்படி (தேல்ஸ் தேற்றம்),

$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

$\frac{x}{x-2} = \frac{x+2}{x-1}$

$x(x-1) = (x+2)(x-2)$

$x^2 - x = x^2 - 4$

$-x = -4$

$x = 4$

இப்போது நீளங்களைக் காண்போம்:

AB = AD + DB = $x + (x-2) = 2x - 2 = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6$

AC = AE + EC = $(x+2) + (x-1) = 2x + 1 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$

எனவே, AB = 6 மற்றும் AC = 9.

24. (2,3) மற்றும் (8, 5) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும் கோடானது $y=ax+12$ என்ற நேர்கோட்டிற்கு செங்குத்தானது எனில் a-ன் மதிப்பு காண்க.

விடை

(2,3) மற்றும் (8,5) வழிச் செல்லும் கோட்டின் சாய்வு ($m_1$) காண்போம்.

$m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 3}{8 - 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y = ax + 12$ என்ற கோட்டின் சாய்வு ($m_2$) = a.

இரு கோடுகளும் செங்குத்து என்பதால், அவற்றின் சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன் -1 ஆகும்.

$m_1 \times m_2 = -1$

$\frac{1}{3} \times a = -1$

$a = -3$

25. (14, 10) மற்றும் (14, -6) ஆகிய புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சாய்வை காண்க.

விடை

சாய்வு $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$m = \frac{-6 - 10}{14 - 14} = \frac{-16}{0}$

பகுதி பூச்சியம் என்பதால், சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை. இது y-அச்சுக்கு இணையான ஒரு செங்குத்துக் கோடு ஆகும்.

26. $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} = \sec\theta + \tan\theta$ என்பதை நிருபிக்கவும்.

விடை

இடது பக்கம் (LHS) = $\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}$

தொகுதி மற்றும் பகுதியை $(1+\sin\theta)$ ஆல் பெருக்க,

LHS = $\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}} = \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}$

$\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta$ என்பதால்,

LHS = $\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}$

LHS = $\frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \sec\theta + \tan\theta$ = RHS (வலது பக்கம்)

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

27. $\frac{\sec\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \cot\theta$ என்பதை நிருபிக்கவும்.

விடை

இடது பக்கம் (LHS) = $\frac{\sec\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ என பிரதியிட,

LHS = $\frac{1/\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} - \frac{\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$

LHS = $\frac{1-\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$

$1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$ என்பதால்,

LHS = $\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta$ = RHS (வலது பக்கம்)

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

28. f(x)=3x-2, g(x)=2x+k மற்றும் fog=gof எனில் k-ன் மதிப்பு காண்க.

விடை

$fog(x) = f(g(x)) = f(2x+k)$

$= 3(2x+k) - 2 = 6x + 3k - 2$

$gof(x) = g(f(x)) = g(3x-2)$

$= 2(3x-2) + k = 6x - 4 + k$

கணக்கின்படி, $fog=gof$.

$6x + 3k - 2 = 6x - 4 + k$

$3k - k = -4 + 2$

$2k = -2$

$k = -1$

பகுதி - இ

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். 42-க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும். (10 x 5 = 50)

29. ஒரு சார்பு $f$ ஆனது $f(x)=2x-3$ என வரையறுக்கப்பட்டால்

(i) $\frac{f(0)+f(1)}{2}$ ஐக் காண்க

(ii) $f(x)=0$ எனில், $x$-ஐக் காண்க.

(iii) $f(x)=x$ எனில், $x$-ஐக் காண்க.

(iv) $f(x)=f(1-x)$ எனில், $x$-ஐக் காண்க.

விடை

கொடுக்கப்பட்டது: $f(x)=2x-3$

(i) $f(0) = 2(0)-3 = -3$

$f(1) = 2(1)-3 = -1$

$\frac{f(0)+f(1)}{2} = \frac{-3-1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

(ii) $f(x)=0 \implies 2x-3=0 \implies 2x=3 \implies x = 3/2$

(iii) $f(x)=x \implies 2x-3=x \implies 2x-x=3 \implies x=3$

(iv) $f(x)=f(1-x) \implies 2x-3 = 2(1-x)-3$

$2x-3 = 2-2x-3 \implies 2x-3 = -1-2x \implies 4x = 2 \implies x=1/2$

30. $f(x)=2x+3, g(x)=1-2x, h(x)=3x$ எனில் $fo(goh) = (fog)oh$ என நிறுவுக.

விடை

இடது கை பக்கம் (LHS) = fo(goh)

முதலில், $goh(x)$ ஐக் காண்போம்:

$goh(x) = g(h(x)) = g(3x)$

$= 1 - 2(3x) = 1 - 6x$

இப்போது, $fo(goh)(x)$ ஐக் காண்போம்:

$fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(1 - 6x)$

$= 2(1 - 6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x$

LHS = $5 - 12x$ ---(1)

வலது கை பக்கம் (RHS) = (fog)oh

முதலில், $fog(x)$ ஐக் காண்போம்:

$fog(x) = f(g(x)) = f(1-2x)$

$= 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x$

இப்போது, $(fog)oh(x)$ ஐக் காண்போம்:

$(fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x)$

$= 5 - 4(3x) = 5 - 12x$

RHS = $5 - 12x$ ---(2)

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS.

எனவே, $fo(goh) = (fog)oh$ என நிறுவப்பட்டது.

31. 100-க்கும் 1000-க்கும் இடையே 11-ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதல் காண்க.

விடை

100-க்கும் 1000-க்கும் இடையே 11-ஆல் வகுபடும் எண்களின் தொடர்வரிசை:

$110, 121, 132, \dots, 990$.

இது ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசை (A.P).

முதல் உறுப்பு (a) = 110

கடைசி உறுப்பு (l) = 990

பொது வித்தியாசம் (d) = 11

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (n) = $\frac{l-a}{d} + 1$

$n = \frac{990 - 110}{11} + 1 = \frac{880}{11} + 1 = 80 + 1 = 81$

கூடுதல் ($S_n$) = $\frac{n}{2}(a+l)$

$S_{81} = \frac{81}{2}(110 + 990) = \frac{81}{2}(1100)$

$S_{81} = 81 \times 550 = 44550$

எனவே, தேவையான கூடுதல் 44550 ஆகும்.

32. $10^3 + 11^3 + 12^3 + \dots + 20^3$ தொடரின் கூடுதல் காண்க.

விடை

முதல் n இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்:

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

தேவையான கூடுதல் = $(1^3 + 2^3 + \dots + 20^3) - (1^3 + 2^3 + \dots + 9^3)$

$\sum_{k=1}^{20} k^3 = \left(\frac{20(20+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{20 \times 21}{2}\right)^2 = (10 \times 21)^2 = 210^2 = 44100$

$\sum_{k=1}^{9} k^3 = \left(\frac{9(9+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{9 \times 10}{2}\right)^2 = (9 \times 5)^2 = 45^2 = 2025$

தேவையான கூடுதல் = $44100 - 2025 = 42075$

33. $x^3+x^2-5x+3, x^3+3x^2-x-3$ என்ற பல்லுறுப்புக் கோவையின் மீ.பொ.வ. காண்க.

(குறிப்பு: வினாத்தாளில் கோவைகள் $x^3+3x^2-x-3, x^3+x^2-5x+3$ ஆக இருக்கலாம். அதன்படி தீர்வு தரப்பட்டுள்ளது.)

விடை

நீள்வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

Let $f(x) = x^3+3x^2-x-3$ and $g(x) = x^3+x^2-5x+3$.

$f(x) - g(x) = (x^3+3x^2-x-3) - (x^3+x^2-5x+3) = 2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3)$

இப்போது $g(x)$ ஐ $x^2+2x-3$ ஆல் வகுப்போம்:

$x(x^2+2x-3) = x^3+2x^2-3x$.

மீதி = $(x^3+x^2-5x+3) - (x^3+2x^2-3x) = -x^2-2x+3 = -1(x^2+2x-3)$.

மீதி பூச்சியம் ஆவதால், வகுத்தி $x^2+2x-3$ மீ.பொ.வ ஆகும்.

மீ.பொ.வ = $x^2+2x-3$ or $(x+3)(x-1)$.

34. $289x^4-612x^3+970x^2-684x+361$-ன் வர்க்கமூலம் காண்க.

விடை

நீள்வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலம் காண்போம்:

கொடுக்கப்பட்ட கோவையின் முதல் உறுப்பு $289x^4$, அதன் வர்க்கமூலம் $17x^2$.

கடைசி உறுப்பு $361$, அதன் வர்க்கமூலம் $19$.

வர்க்கமூலம் $(ax^2+bx+c)$ வடிவில் இருக்கும்.

$(ax^2+bx+c)^2 = a^2x^4+2abx^3+(b^2+2ac)x^2+2bcx+c^2$

ஒப்பிட:

$a^2=289 \implies a=17$

$c^2=361 \implies c=19$

$2ab = -612 \implies 2(17)b = -612 \implies 34b = -612 \implies b = -18$

சரிபார்த்தல்: $b^2+2ac = (-18)^2+2(17)(19) = 324+646 = 970$.

$2bc = 2(-18)(19) = -684$.

அனைத்து கெழுக்களும் பொருந்துவதால், வர்க்கமூலம் $17x^2-18x+19$ ஆகும்.

விடை: $|17x^2-18x+19|$.

35. $(-4, -2), (-3, k), (3, -2)$ மற்றும் $(2, 3)$ ஆகியவற்றை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பளவு 28 ச.அ. எனில் k-ன் மதிப்பு காண்க.

விடை

நாற்கரத்தின் பரப்பு = $\frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|$

புள்ளிகள்: $(-4, -2), (-3, k), (3, -2), (2, 3)$.

பரப்பு = $\frac{1}{2} |((-4k) + (6) + (9) + (-4)) - ((6) + (3k) + (-4) + (-12))| = 28$

$|(-4k + 11) - (3k - 10)| = 56$

$|-4k + 11 - 3k + 10| = 56$

$|-7k + 21| = 56$

$-7k + 21 = 56$ அல்லது $-7k + 21 = -56$

நிலை 1: $-7k = 35 \implies k = -5$

நிலை 2: $-7k = -77 \implies k = 11$

k-ன் மதிப்புகள் -5 அல்லது 11.

36. A(-4, 2) மற்றும் B(6, -4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக்குத்துக் கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை

1. AB-ன் மையப்புள்ளி M-ஐக் காண்க:

M = $(\frac{-4+6}{2}, \frac{2-4}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}) = (1, -1)$

2. AB-ன் சாய்வு ($m_{AB}$) ஐக் காண்க:

$m_{AB} = \frac{-4-2}{6-(-4)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

3. மையக்குத்துக்கோட்டின் சாய்வு ($m_{\perp}$) ஐக் காண்க:

$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3}$

4. மையக்குத்துக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க (புள்ளி: M(1, -1), சாய்வு: 5/3):

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - (-1) = \frac{5}{3}(x - 1)$

$3(y+1) = 5(x-1)$

$3y+3 = 5x-5$

$5x - 3y - 8 = 0$

37. தேல்ஸ் தேற்றத்தை எழுதி நிருபிக்கவும்.

விடை

தேற்றம்: ஒரு நேர்கோடு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாகவும் மற்ற இரு பக்கங்களை வெட்டுமாறும் வரையப்பட்டால் அக்கோடு அவ்விரண்டு பக்கங்களையும் சம விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.

கொடுக்கப்பட்டவை: $\triangle ABC$-ல், AB-ன் மீது புள்ளி D, AC-ன் மீது புள்ளி E உள்ளது மற்றும் $DE \parallel BC$.

நிரூபிக்க வேண்டியது: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.

அமைப்பு: BE மற்றும் CD-ஐ இணைக்கவும். $DM \perp AC$ மற்றும் $EN \perp AB$ வரைக.

நிரூபணம்:

$\frac{Area(\triangle ADE)}{Area(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EN}{\frac{1}{2} \times DB \times EN} = \frac{AD}{DB}$ ---(1)

$\frac{Area(\triangle ADE)}{Area(\triangle CDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DM}{\frac{1}{2} \times EC \times DM} = \frac{AE}{EC}$ ---(2)

$\triangle BDE$ மற்றும் $\triangle CDE$ ஒரே அடிப்பக்கம் DE மற்றும் ஒரே இணைக்கோடுகள் DE, BC ஆகியவற்றிற்கு இடையே அமைந்துள்ளன.

எனவே, Area($\triangle BDE$) = Area($\triangle CDE$).

(1) மற்றும் (2) லிருந்து, $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.

38. ஒரு விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் 6 மீ. அதன் அடியிலிருந்து 8 மீ தொலைவிலுள்ள ஒரு பூச்சி கம்பத்தை நோக்கி ஒரு குறிப்பிட்ட தொலைவு நகர்கிறது. கம்பத்தின் உச்சிக்கும் தற்பொழுது பூச்சி இருக்கும் இடத்திற்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு, பூச்சி கம்பத்தை நோக்கி நகர்ந்த தொலைவிற்கு சமம் எனில் கம்பத்தின் அடியிலிருந்து பூச்சி தற்பொழுது எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது?

விடை

விளக்கு கம்பம் AB = 6 மீ.

தொடக்க நிலை C, BC = 8 மீ.

பூச்சி நகர்ந்த தொலைவு CD = x என்க.

தற்போதைய நிலை D. கம்பத்தின் அடியிலிருந்து உள்ள தொலைவு BD = 8 - x.

கம்பத்தின் உச்சி A-க்கும் D-க்கும் உள்ள தொலைவு AD.

கணக்கின்படி, AD = x.

செங்கோண முக்கோணம் ABD-ல், பிதாகரஸ் தேற்றப்படி,

$AD^2 = AB^2 + BD^2$

$x^2 = 6^2 + (8-x)^2$

$x^2 = 36 + 64 - 16x + x^2$

$0 = 100 - 16x$

$16x = 100 \implies x = \frac{100}{16} = 6.25$ மீ.

தேவையான தொலைவு BD = $8 - x = 8 - 6.25 = 1.75$ மீ.

39. $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} + \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = 2\csc\theta$ என்பதை நிருபிக்கவும்.

விடை

LHS = $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} + \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$

= $\frac{\sqrt{1+\cos\theta}}{\sqrt{1-\cos\theta}} + \frac{\sqrt{1-\cos\theta}}{\sqrt{1+\cos\theta}}$

குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய,

= $\frac{(\sqrt{1+\cos\theta})^2 + (\sqrt{1-\cos\theta})^2}{\sqrt{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}}$

= $\frac{(1+\cos\theta) + (1-\cos\theta)}{\sqrt{1-\cos^2\theta}}$

= $\frac{2}{\sqrt{\sin^2\theta}} = \frac{2}{\sin\theta} = 2\csc\theta$ = RHS

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

40. AB என்ற நேர்கோடு ஆய அச்சுகளை A மற்றும் B புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது. AB-ன் நடுப்புள்ளி (2, 3) எனில் AB-ன் சமன்பாட்டைக் காண்க.

விடை

நேர்கோடு x-அச்சை A(a, 0) என்ற புள்ளியிலும் y-அச்சை B(0, b) என்ற புள்ளியிலும் வெட்டட்டும்.

AB-ன் நடுப்புள்ளி = $(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$

கொடுக்கப்பட்டது, நடுப்புள்ளி (2, 3).

$\frac{a}{2} = 2 \implies a = 4$ (x-வெட்டுத்துண்டு)

$\frac{b}{2} = 3 \implies b = 6$ (y-வெட்டுத்துண்டு)

வெட்டுத்துண்டு வடிவில் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

$\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$

12-ஆல் பெருக்க, $3x + 2y = 12$

தேவையான சமன்பாடு: $3x + 2y - 12 = 0$.

41. $f: A \to B$ என்ற சார்பானது $f(x)=x/2-1$ என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு $A=\{2,4,6,10,12\}, B=\{0,1,2,4,5,9\}$ ஆக இருக்கும்போது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க:

(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (ii) அட்டவணை (iii) அம்புக்குறிப் படம் (iv) வரைபடம்

விடை

$f(2) = 2/2 - 1 = 0$

$f(4) = 4/2 - 1 = 1$

$f(6) = 6/2 - 1 = 2$

$f(10) = 10/2 - 1 = 4$

$f(12) = 12/2 - 1 = 5$

(i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:

$f = \{(2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5)\}$

(ii) அட்டவணை:

x	2	4	6	10	12
f(x)	0	1	2	4	5

(iii) அம்புக்குறிப் படம்:

A என்ற கணத்திலிருந்து B என்ற கணத்திற்கு அம்புக்குறிகள் வரையப்பட வேண்டும்:

2 $\to$ 0, 4 $\to$ 1, 6 $\to$ 2, 10 $\to$ 4, 12 $\to$ 5.

(iv) வரைபடம்:

ஒரு வரைபடத்தில் (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5) ஆகிய புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும்.

42. ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 6-வது மற்றும் 8-வது உறுப்புகளின் விகிதம் 7:9 எனில், 9-வது மற்றும் 13-வது உறுப்புகளின் விகிதம் காண்க.

விடை

ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n-வது உறுப்பு $a_n = a+(n-1)d$.

கொடுக்கப்பட்டது: $\frac{a_6}{a_8} = \frac{7}{9}$

$\frac{a+5d}{a+7d} = \frac{7}{9}$

$9(a+5d) = 7(a+7d)$

$9a+45d = 7a+49d$

$2a = 4d \implies a=2d$

நாம் காண வேண்டியது: $\frac{a_9}{a_{13}} = \frac{a+8d}{a+12d}$

$a=2d$ என பிரதியிட,

$\frac{2d+8d}{2d+12d} = \frac{10d}{14d} = \frac{5}{7}$

எனவே, 9-வது மற்றும் 13-வது உறுப்புகளின் விகிதம் 5:7 ஆகும்.

பகுதி - ஈ

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (2 x 8 = 16)

43. அ) கொடுக்கபட்ட முக்கோணம் ABC-ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $4/5$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவுகாரணி $4/5 < 1$)

(அல்லது)

ஆ) $QR=5$ செ.மீ, $\angle P=30^\circ$ மற்றும் P-யிலிருந்து QR-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ கொண்ட $\triangle PQR$ வரைக.

விடை

அ) வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவுகாரணி 4/5):

வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு $\triangle ABC$ வரைக.
2. BC என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு BX என்ற கதிரை வரைக.
3. BX-ல் $B_1, B_2, B_3, B_4, B_5$ என்ற 5 சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக.
4. $B_5C$-ஐ இணைக்க.
5. $B_4$-லிருந்து $B_5C$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து BC-ஐ C'-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. C'-லிருந்து CA-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து BA-ஐ A'-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. $\triangle A'BC'$ என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

ஆ) $\triangle PQR$ வரைதல்:

வரைமுறை:

1. $QR = 5$ செ.மீ நீளமுள்ள கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. Q-ல் $30^\circ$ கோணத்தை வரைக. பின்னர் Q-ல் $90^\circ$ கோணத்தை வரைக.
3. QR-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது QR-ஐ M-ல் சந்திக்கட்டும்.
4. மையக்குத்துக்கோடு $90^\circ$ கோட்டை O-ல் சந்திக்கட்டும்.
5. O-வை மையமாகவும், OQ-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
6. M-லிருந்து 4.2 செ.மீ உயரத்திற்கு ஒரு கோடு வரைந்து வட்டத்தை P-ல் வெட்டுமாறு வரைக.
7. PQ மற்றும் PR-ஐ இணைக்க. $\triangle PQR$ தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

44. அ) $x^2-8x+16=0$ என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைந்து தீர்வின் தன்மையை ஆராய்க.

(அல்லது)

ஆ) ஒரு பள்ளியானது ஒரு குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு பரிசு தொகையினை எல்லா பங்கேற்பாளர்களுக்கும் பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குமாறு அறிவிக்கிறது.

பங்கேற்பாளரின் எண்ணிக்கை (x)	2	4	6	8	10
ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் தொகை (y)	180	90	60	45	36

i) விகித சம மாறிலியை காண்க

ii) மேற்காணும் தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கேற்றுக்கொண்டால் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் பெறும் பரிசுத் தொகை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க.

விடை

அ) வரைபடம் வரைதல்:

$y=x^2-8x+16 = (x-4)^2$

புள்ளிகளுக்கான அட்டவணை:

x	0	1	2	3	4	5	6
y	16	9	4	1	0	1	4

வரைமுறை:

1. x, y அச்சுகளை வரைந்து அளவுகளைக் குறிக்கவும்.
2. அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை குறித்து, அவற்றை மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்கவும்.

தீர்வின் தன்மை:

பரவளையம் x-அச்சை $(4,0)$ என்ற ஒரே ஒரு புள்ளியில் தொடுகிறது. எனவே, சமன்பாட்டிற்கு மெய்யான மற்றும் சமமான மூலங்கள் உண்டு. தீர்வு: $x=4$.

ஆ) எதிர் மாறுபாடு:

கொடுக்கப்பட்ட தரவுகளிலிருந்து, $xy$ மாறிலியாக உள்ளதா என சோதிப்போம்.

$2 \times 180 = 360$

$4 \times 90 = 360$

$6 \times 60 = 360$

$8 \times 45 = 360$

$10 \times 36 = 360$

இங்கு $xy=360$ என்பது மாறிலி. எனவே, இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு.

i) விகித சம மாறிலி, k = 360.

ii) வரைபடம்:

வரைமுறை:

1. x, y அச்சுகளை வரைந்து பொருத்தமான அளவுகளைக் குறிக்கவும். (x-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 பங்கேற்பாளர்கள்; y-அச்சு: 1 செ.மீ = 20 ரூபாய்).
2. அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளைக் குறித்து, அவற்றை இணைத்து ஒரு அதிபரவளையத்தை (hyperbola) வரைக.
3. வரைபடத்தில், x-அச்சில் 12-க்கு நேராக ஒரு செங்குத்துக் கோடு வரைந்து, அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
4. அப்புள்ளியிலிருந்து y-அச்சுக்கு ஒரு கிடைமட்டக் கோடு வரைந்து, அது y-அச்சில் வெட்டும் இடத்தைக் கண்டறியவும்.

வரைபடத்திலிருந்து, $x=12$ எனில், $y=30$ என கிடைக்கும்.

கணக்கீடு: $y = \frac{k}{x} = \frac{360}{12} = 30$.

எனவே, 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கேற்றால், ஒவ்வொருவருக்கும் கிடைக்கும் பரிசுத் தொகை ரூ.30 ஆகும்.