10th Standard Latest Syllabus Solutions, Official Question Papers, Answer Key, Tamil Nadu, 1st Mid Term Test 2024 - Paper With Answer Key | Thiruvallur District | (Tamil Medium)

முதல் இடைப்பருவத் தேர்வு - 2024

பத்தாம் வகுப்பு - கணிதம்

மதிப்பெண்கள் : 50    |    நேரம் : 1.30 மணி

வினாத்தாள்

பகுதி - அ (7 x 1 = 7)

I. சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

1. A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில் n[(A∪C) × B] ஆனது ______.

1. அ) 8
2. ஆ) 20
3. இ) 12
4. ஈ) 16

2. f: A→B ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது ______.

1. அ) 7
2. ஆ) 49
3. இ) 1
4. ஈ) 14

3. $f(x) = (x + 1)^3 – (x – 1)^3$ குறிப்பிடும் சார்பானது ______.

1. அ) நேரிய சார்பு
2. ஆ) கனச்சார்பு
3. இ) தலைக்கீழ் சார்பு
4. ஈ) இருபடிச் சார்பு

4. 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுப்படும் மிகச்சிறிய எண் ______.

1. அ) 2025
2. ஆ) 5220
3. இ) 5025
4. ஈ) 2520

5. $F_1 = 1, F_2 = 3$ மற்றும் $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ எனக் கொடுக்கப்படின் $F_5$ ஆனது ______.

1. அ) 3
2. ஆ) 5
3. இ) 8
4. ஈ) 11

6. x + y – 3z = –6, –7y + 7z = 7, 3z = 9 என்ற தொகுப்பின் தீர்வு ______.

1. அ) x = 1, y = 2, z = 3
2. ஆ) x = –1, y = 2, z = 3
3. இ) x = –1, y = –2, z = 3
4. ஈ) x = –1, y = –2, z = –3

7. ΔLMN ல் ∠L = 60°, ∠M = 50° மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில் ∠R ன் மதிப்பு ______.

1. அ) 40°
2. ஆ) 70°
3. இ) 30°
4. ஈ) 110°

பகுதி - ஆ (5 x 2 = 10)

II. எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 14 கட்டாய வினா)

8. B × A = {(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

9. f என்ற உறவானது f(x) = x² - 2 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு x ∈ {-2, -1, 0, 3} எனக் கொண்டால்,
i) f ன் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக.    ii) f ஒரு சார்பாகுமா?

10. $a^b × b^a = 800$ என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐக் காண்க.

11. 9 + 3 + 1 + ....... என்ற முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதல் காண்க.

12. $a_n = \frac{5n}{n+2}$ என்பது தொடர்வரிசையின் n-வது உறுப்பு எனில் $a_6$ மற்றும் $a_{13}$ உறுப்புக்களைக் காண்க.

13. ΔABC ஆனது ΔDEF க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் ΔABC ன் பரப்பு 54 செ.மீ² எனில், ΔDEF யின் பரப்பைக் காண்க.

14. கூடுதல் காண்க : 1 + 8 + 27 + .......... + 1000

பகுதி - இ (5 x 5 = 25)

III. எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 21 கட்டாய வினா)

15. A = {1,2,3}, B = {2,3,5}, C = {3,4}, D = {1,3,5} எனில் (A ∩ C) × (B ∩ D) = (A × B) ∩ (C × D) என்பது உண்மையா என சோதிக்கவும்.

16. f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 – 2x, h(x) = 3x எனில் fo(goh) = (fog)oh என நிறுவுக.

17. யூக்ளிட்டின் வகுத்தலைப் பயன்படுத்தி 84, 90 மற்றும் 120 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. காண்க.

18. 5 + 55 + 555 + ........ என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

19. தீர்க்க: 3x – 2y + z = 2,   2x + 3y – z = 5,   x + y + z = 6

20. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

21. f : [–5, 9] → R என்ற சார்பானது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. $$ f(x) = \begin{cases} 6x+1, & -5 \le x < 2 \\ 5x^2-1, & 2 \le x < 6 \\ 3x-4, & 6 \le x \le 9 \end{cases} $$ எனில், i) f(7) – f(1)    ii) $\frac{2f(-2) - f(6)}{f(4) + f(-2)}$ ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க.

பகுதி - ஈ (1 x 8 = 8)

IV. கீழ்க்கண்ட வினாவிற்கு விடையளிக்கவும்.

22. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{3}{5}$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{3}{5} < 1$)

(அல்லது)

ஆ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$)

விடைகள் மற்றும் தீர்வுகள்

பகுதி - அ (விடைகள்)

1. A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில் n[(A∪C) × B] ஆனது ______.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை: A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s}.

$A \cup C = \{a,b,p\} \cup \{p,q,r,s\} = \{a,b,p,q,r,s\}$

எனவே, $n(A \cup C) = 6$.

மேலும், $n(B) = 2$.

நாம் காண வேண்டியது: $n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B)$

$n[(A \cup C) \times B] = 6 \times 2 = 12$

இ) 12

2. f: A→B ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது ______.

தீர்வு

ஒரு சார்பு $f: A \to B$ இருபுறச் சார்பு (bijection) எனில், A மற்றும் B கணங்களில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, $n(A) = n(B)$.

இங்கு, $n(B) = 7$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, $n(A) = 7$.

அ) 7

3. $f(x) = (x + 1)^3 – (x – 1)^3$ குறிப்பிடும் சார்பானது ______.

தீர்வு

தெரிந்த முற்றொருமைகள்:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

இங்கு, $a=x, b=1$.

$f(x) = (x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3) - (x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3)$

$f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$

$f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1$

$f(x) = (x^3 - x^3) + (3x^2 + 3x^2) + (3x - 3x) + (1 + 1)$

$f(x) = 6x^2 + 2$

இது $ax^2+bx+c$ என்ற வடிவில் உள்ளதால், இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.

ஈ) இருபடிச் சார்பு

4. 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுப்படும் மிகச்சிறிய எண் ______.

தீர்வு

நாம் காண வேண்டியது 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ஆகிய எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM).

$1 = 1$

$2 = 2$

$3 = 3$

$4 = 2^2$

$5 = 5$

$6 = 2 \times 3$

$7 = 7$

$8 = 2^3$

$9 = 3^2$

$10 = 2 \times 5$

மீ.சி.ம காண, ஒவ்வொரு பகா எண்ணின் அதிகபட்ச அடுக்கை எடுத்து பெருக்க வேண்டும்.

LCM = $2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$

LCM = $8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35 = 2520$

ஈ) 2520

5. $F_1 = 1, F_2 = 3$ மற்றும் $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ எனக் கொடுக்கப்படின் $F_5$ ஆனது ______.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை: $F_1 = 1, F_2 = 3$

$F_3 = F_{3-1} + F_{3-2} = F_2 + F_1 = 3 + 1 = 4$

$F_4 = F_{4-1} + F_{4-2} = F_3 + F_2 = 4 + 3 = 7$

$F_5 = F_{5-1} + F_{5-2} = F_4 + F_3 = 7 + 4 = 11$

ஈ) 11

6. x + y – 3z = –6, –7y + 7z = 7, 3z = 9 என்ற தொகுப்பின் தீர்வு ______.

தீர்வு

சமன்பாடு (3): $3z = 9 \implies z = 9/3 \implies z = 3$.

சமன்பாடு (2): $-7y + 7z = 7$. z=3 என பிரதியிட,

$-7y + 7(3) = 7 \implies -7y + 21 = 7 \implies -7y = 7 - 21 \implies -7y = -14 \implies y = 2$.

சமன்பாடு (1): $x + y - 3z = -6$. y=2, z=3 என பிரதியிட,

$x + 2 - 3(3) = -6 \implies x + 2 - 9 = -6 \implies x - 7 = -6 \implies x = -6 + 7 \implies x = 1$.

தீர்வு: $x=1, y=2, z=3$.

அ) x = 1, y = 2, z = 3

7. ΔLMN ல் ∠L = 60°, ∠M = 50° மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில் ∠R ன் மதிப்பு ______.

தீர்வு

ΔLMN-ல், ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180°.

$\angle L + \angle M + \angle N = 180^\circ$

$60^\circ + 50^\circ + \angle N = 180^\circ \implies 110^\circ + \angle N = 180^\circ \implies \angle N = 70^\circ$.

ΔLMN ~ ΔPQR (வடிவொத்தவை) என்பதால், அவற்றின் ஒத்த கோணங்கள் சமம்.

$\angle L = \angle P$, $\angle M = \angle Q$, $\angle N = \angle R$.

எனவே, $\angle R = \angle N = 70^\circ$.

ஆ) 70°

பகுதி - ஆ (தீர்கள்)

8. B × A = {(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

தீர்வு

B × A என்பது வரிசைச் சோடிகளின் கணம். இதில் முதல் உறுப்புகள் B கணத்திலிருந்தும், இரண்டாம் உறுப்புகள் A கணத்திலிருந்தும் எடுக்கப்படும்.

B என்பது முதல் உறுப்புகளின் கணம்: $B = \{-2, 0, 3\}$

A என்பது இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்: $A = \{3, 4\}$

A = {3, 4}, B = {-2, 0, 3}

9. f என்ற உறவானது f(x) = x² - 2 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு x ∈ {-2, -1, 0, 3} எனக் கொண்டால்,
i) f ன் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக.    ii) f ஒரு சார்பாகுமா?

தீர்வு

i) f ன் உறுப்புகளைக் காண, x-ன் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் பிரதியிட வேண்டும்.

$f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$f(0) = (0)^2 - 2 = 0 - 2 = -2$

$f(3) = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

f-ன் உறுப்புகள் (வரிசைச் சோடிகளின் கணம்):
$f = \{(-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (3, 7)\}$

ii) ஆம், f ஒரு சார்பாகும்.

காரணம்: மதிப்பகம் {-2, -1, 0, 3}-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் ஒரு தனித்த நிழல்உரு (unique image) துணை மதிப்பகத்தில் உள்ளது.

10. $a^b × b^a = 800$ என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐக் காண்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டது: $a^b \times b^a = 800$.

800-ஐ பகா காரணிப்படுத்த পাই:

$800 = 8 \times 100 = 2^3 \times 10^2 = 2^3 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 5^2$.

இப்போது சமன்பாட்டை ஒப்பிடுக: $a^b \times b^a = 2^5 \times 5^2$.

இங்கு, a = 2 மற்றும் b = 5 எனப் பொருத்தினால்:

$2^5 \times 5^2$. இது கொடுக்கப்பட்ட வடிவத்துடன் சரியாகப் பொருந்துகிறது.

அல்லது, a = 5 மற்றும் b = 2 எனப் பொருத்தினால்:

$5^2 \times 2^5$. இதுவும் அதேதான்.

a = 2, b = 5 (அல்லது a = 5, b = 2)

11. 9 + 3 + 1 + ....... என்ற முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு

இது ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP).

முதல் உறுப்பு, $a = 9$.

பொது விகிதம், $r = \frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

இங்கு $|r| = |\frac{1}{3}| < 1$ என்பதால், முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதலைக் காணலாம்.

சூத்திரம்: $S_\infty = \frac{a}{1-r}$

$S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{3-1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \times \frac{3}{2} = \frac{27}{2}$.

கூடுதல் = 27/2 அல்லது 13.5

12. $a_n = \frac{5n}{n+2}$ என்பது தொடர்வரிசையின் n-வது உறுப்பு எனில் $a_6$ மற்றும் $a_{13}$ உறுப்புக்களைக் காண்க.

தீர்வு

n = 6 என பிரதியிட, $a_6$ ஐக் காணலாம்.

$a_6 = \frac{5(6)}{6+2} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$.

n = 13 என பிரதியிட, $a_{13}$ ஐக் காணலாம்.

$a_{13} = \frac{5(13)}{13+2} = \frac{65}{15} = \frac{13}{3}$.

$a_6 = 15/4$, $a_{13} = 13/3$

13. ΔABC ஆனது ΔDEF க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் ΔABC ன் பரப்பு 54 செ.மீ² எனில், ΔDEF யின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதமானது, அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.

$\frac{\text{பரப்பு}(ΔABC)}{\text{பரப்பு}(ΔDEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$

$\frac{54}{\text{பரப்பு}(ΔDEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

$\text{பரப்பு}(ΔDEF) = 54 \times \frac{16}{9}$

$\text{பரப்பு}(ΔDEF) = 6 \times 16 = 96$ செ.மீ²

ΔDEF யின் பரப்பு = 96 செ.மீ²

14. கூடுதல் காண்க : 1 + 8 + 27 + .......... + 1000

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட தொடர்: $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3$.

இது முதல் 'n' இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல் ஆகும், இங்கு n = 10.

சூத்திரம்: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

n = 10 என பிரதியிட:

கூடுதல் = $\left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^2 = (5 \times 11)^2 = 55^2$

$55^2 = 3025$

கூடுதல் = 3025

பகுதி - இ (தீர்கள்)

15. A = {1,2,3}, B = {2,3,5}, C = {3,4}, D = {1,3,5} எனில் (A ∩ C) × (B ∩ D) = (A × B) ∩ (C × D) என்பது உண்மையா என சோதிக்கவும்.

தீர்வு

இடது கை பக்கம் (LHS): (A ∩ C) × (B ∩ D)

$A \cap C = \{1,2,3\} \cap \{3,4\} = \{3\}$

$B \cap D = \{2,3,5\} \cap \{1,3,5\} = \{3,5\}$

LHS = $\{3\} \times \{3,5\} = \{(3,3), (3,5)\}$

வலது கை பக்கம் (RHS): (A × B) ∩ (C × D)

$A \times B = \{(1,2), (1,3), (1,5), (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5)\}$

$C \times D = \{(3,1), (3,3), (3,5), (4,1), (4,3), (4,5)\}$

RHS = இரண்டு கணங்களுக்கும் பொதுவான உறுப்புகள் = $\{(3,3), (3,5)\}$

LHS = RHS என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு உண்மையாகும்.

உண்மை என சரிபார்க்கப்பட்டது.

16. f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 – 2x, h(x) = 3x எனில் fo(goh) = (fog)oh என நிறுவுக.

தீர்வு

LHS: fo(goh)

முதலில், $goh(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x$.

பிறகு, $fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(1-6x) = 2(1-6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x$.

RHS: (fog)oh

முதலில், $fog(x) = f(g(x)) = f(1-2x) = 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x$.

பிறகு, $(fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x$.

LHS = $5 - 12x$ மற்றும் RHS = $5 - 12x$.

LHS = RHS. எனவே, fo(goh) = (fog)oh என நிறுவப்பட்டது.

17. யூக்ளிட்டின் வகுத்தலைப் பயன்படுத்தி 84, 90 மற்றும் 120 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. காண்க.

தீர்வு

படி 1: 84 மற்றும் 90-ன் மீ.பொ.வ. காணுதல்

யூக்ளிட்டின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, $a = bq + r, 0 \le r < b$.

$90 = 84(1) + 6$

$84 = 6(14) + 0$

மீதி 0 என்பதால், கடைசி வகுத்தி 6 ஆகும். எனவே, HCF(84, 90) = 6.

படி 2: படி 1-ல் கிடைத்த மீ.பொ.வ (6) மற்றும் 120-ன் மீ.பொ.வ. காணுதல்

$120 = 6(20) + 0$

மீதி 0 என்பதால், வகுத்தி 6 ஆகும். எனவே, HCF(6, 120) = 6.

84, 90, மற்றும் 120-ன் மீ.பொ.வ. = 6

18. 5 + 55 + 555 + ........ என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு

$S_n = 5 + 55 + 555 + \dots + n$ உறுப்புகள்

பொதுவாக 5-ஐ வெளியே எடுக்கவும்: $S_n = 5(1 + 11 + 111 + \dots)$

9-ஆல் பெருக்கி வகுக்க: $S_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \dots)$

$S_n = \frac{5}{9}((10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots)$

தொடரை இரண்டாகப் பிரிக்கவும்: $S_n = \frac{5}{9}[(10 + 10^2 + 10^3 + \dots) - (1+1+1+ \dots n \text{ முறை})]$

முதல் பகுதி ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP) với $a=10, r=10$. அதன் கூடுதல்: $\frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10(10^n-1)}{9}$.

இரண்டாம் பகுதி: $(1+1+\dots n \text{ முறை}) = n$.

$S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10(10^n-1)}{9} - n \right]$

$S_n = \frac{50}{81}(10^n-1) - \frac{5n}{9}$

19. தீர்க்க: 3x – 2y + z = 2,   2x + 3y – z = 5,   x + y + z = 6

தீர்வு

(1) $3x - 2y + z = 2$

(2) $2x + 3y - z = 5$

(3) $x + y + z = 6$

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2)-ஐ கூட்டுக (z நீக்கப்படும்):

$(3x - 2y + z) + (2x + 3y - z) = 2 + 5 \implies 5x + y = 7$ --- (4)

சமன்பாடு (2) மற்றும் (3)-ஐ கூட்டுக (z நீக்கப்படும்):

$(2x + 3y - z) + (x + y + z) = 5 + 6 \implies 3x + 4y = 11$ --- (5)

இப்போது (4) மற்றும் (5)-ஐ தீர்க்கவும். சமன்பாடு (4)-ஐ 4-ஆல் பெருக்கவும்:

$4 \times (5x + y) = 4 \times 7 \implies 20x + 4y = 28$ --- (6)

சமன்பாடு (6)-லிருந்து (5)-ஐ கழிக்கவும்:

$(20x + 4y) - (3x + 4y) = 28 - 11 \implies 17x = 17 \implies x = 1$.

$x=1$ என்பதை (4)-ல் பிரதியிட: $5(1) + y = 7 \implies y = 2$.

$x=1, y=2$ என்பதை (3)-ல் பிரதியிட: $1 + 2 + z = 6 \implies 3 + z = 6 \implies z = 3$.

தீர்வு: x = 1, y = 2, z = 3

20. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு

கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் மூன்று உறுப்புகள் $a-d, a, a+d$ என்க.

கூடுதல்: $(a-d) + a + (a+d) = 27 \implies 3a = 27 \implies a = 9$.

பெருக்கற்பலன்: $(a-d) \times a \times (a+d) = 288$.

$a=9$ எனப் பிரதியிட: $(9-d) \times 9 \times (9+d) = 288$.

$9(81 - d^2) = 288 \implies 81 - d^2 = \frac{288}{9} = 32$.

$d^2 = 81 - 32 = 49 \implies d = \pm 7$.

நிலை 1: d = 7 எனில்
உறுப்புகள்: $9-7, 9, 9+7 \implies 2, 9, 16$.

நிலை 2: d = -7 எனில்
உறுப்புகள்: $9-(-7), 9, 9-7 \implies 16, 9, 2$.

அந்த மூன்று உறுப்புகள் 2, 9, 16 (அல்லது 16, 9, 2).

21. f : [–5, 9] → R என்ற சார்பானது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. $$ f(x) = \begin{cases} 6x+1, & -5 \le x < 2 \\ 5x^2-1, & 2 \le x < 6 \\ 3x-4, & 6 \le x \le 9 \end{cases} $$ எனில், i) f(7) – f(1)    ii) $\frac{2f(-2) - f(6)}{f(4) + f(-2)}$ ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு

i) f(7) – f(1)

$x=7$ என்பது $6 \le x \le 9$ என்ற நிபந்தனையில் உள்ளது, எனவே $f(x) = 3x-4$ ஐப் பயன்படுத்தவும்.
$f(7) = 3(7) - 4 = 21 - 4 = 17$.

$x=1$ என்பது $-5 \le x < 2$ என்ற நிபந்தனையில் உள்ளது, எனவே $f(x) = 6x+1$ ஐப் பயன்படுத்தவும்.
$f(1) = 6(1) + 1 = 7$.

$f(7) - f(1) = 17 - 7 = 10$.

ii) $\frac{2f(-2) - f(6)}{f(4) + f(-2)}$

$f(-2)$: $x=-2$ என்பது $-5 \le x < 2$ நிபந்தனையில் உள்ளது. $f(x) = 6x+1 \implies f(-2) = 6(-2)+1 = -11$.

$f(6)$: $x=6$ என்பது $6 \le x \le 9$ நிபந்தனையில் உள்ளது. $f(x) = 3x-4 \implies f(6) = 3(6)-4 = 14$.

$f(4)$: $x=4$ என்பது $2 \le x < 6$ நிபந்தனையில் உள்ளது. $f(x) = 5x^2-1 \implies f(4) = 5(4^2)-1 = 5(16)-1 = 79$.

இப்போது மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:

$\frac{2(-11) - 14}{79 + (-11)} = \frac{-22 - 14}{79 - 11} = \frac{-36}{68}$

$\frac{-36}{68} = \frac{-9 \times 4}{17 \times 4} = -\frac{9}{17}$

i) 10    ii) -9/17

பகுதி - ஈ (விடை)

22. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{3}{5}$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{3}{5} < 1$)

வரைமுறை

1. ஏதேனும் ஒரு அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.

2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.

3. அளவு காரணி $\frac{3}{5}$-ல் பெரிய எண் 5 என்பதால், QX-ல் $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5$ என 5 சம அளவுள்ள வில்களை வெட்டுக.

4. $Q_5$ மற்றும் R-ஐ இணைக்க ($Q_5R$).

5. அளவு காரணியின் சிறிய எண் 3 என்பதால், $Q_3$-லிருந்து $Q_5R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QR-ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும். (அதாவது $\angle QQ_5R = \angle QQ_3R'$).

6. R'-லிருந்து PR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது PQ-ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.

7. இப்பொழுது, ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔPQR-ன் பக்கங்களில் $\frac{3}{5}$ பங்கு இருக்கும்.

ஆ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$)

வரைமுறை

1. ஏதேனும் ஒரு அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.

2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.

3. அளவு காரணி $\frac{7}{3}$-ல் பெரிய எண் 7 என்பதால், QX-ல் $Q_1, Q_2, \dots, Q_7$ என 7 சம அளவுள்ள வில்களை வெட்டுக.

4. அளவு காரணியின் பகுதி 3 என்பதால், $Q_3$ மற்றும் R-ஐ இணைக்க ($Q_3R$).

5. QR கோட்டை நீட்டி ஒரு கதிர் வரைக.

6. அளவு காரணியின் தொகுதி 7 என்பதால், $Q_7$-லிருந்து $Q_3R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட QR-ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.

7. PQ கோட்டை நீட்டி ஒரு கதிர் வரைக.

8. R'-லிருந்து PR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட PQ-ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.

9. இப்பொழுது, ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔPQR-ன் பக்கங்களில் $\frac{7}{3}$ பங்கு இருக்கும்.