முதல் இடைப்பருவத் தேர்வு - 2024 | பத்தாம் வகுப்பு கணிதம் - வினாத்தாள் மற்றும் தீர்வுகள்

முதல் இடைப்பருவத் தேர்வு - 2024

பத்தாம் வகுப்பு - கணிதம்

மதிப்பெண்கள் : 50 | நேரம் : 1.30 மணி

வினாத்தாள்

பகுதி - அ (7 x 1 = 7)

I. சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

1. A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில் n[(A∪C) × B] ஆனது ______.

அ) 8
ஆ) 20
இ) 12
ஈ) 16

2. f: A→B ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது ______.

அ) 7
ஆ) 49
இ) 1
ஈ) 14

3. $f(x) = (x + 1)^3 – (x – 1)^3$ குறிப்பிடும் சார்பானது ______.

அ) நேரிய சார்பு
ஆ) கனச்சார்பு
இ) தலைக்கீழ் சார்பு
ஈ) இருபடிச் சார்பு

4. 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுப்படும் மிகச்சிறிய எண் ______.

அ) 2025
ஆ) 5220
இ) 5025
ஈ) 2520

5. $F_1 = 1, F_2 = 3$ மற்றும் $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ எனக் கொடுக்கப்படின் $F_5$ ஆனது ______.

அ) 3
ஆ) 5
இ) 8
ஈ) 11

6. x + y – 3z = –6, –7y + 7z = 7, 3z = 9 என்ற தொகுப்பின் தீர்வு ______.

அ) x = 1, y = 2, z = 3
ஆ) x = –1, y = 2, z = 3
இ) x = –1, y = –2, z = 3
ஈ) x = –1, y = –2, z = –3

7. ΔLMN ல் ∠L = 60°, ∠M = 50° மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில் ∠R ன் மதிப்பு ______.

அ) 40°
ஆ) 70°
இ) 30°
ஈ) 110°

பகுதி - ஆ (5 x 2 = 10)

II. எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 14 கட்டாய வினா)

8. B × A = {(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

9. f என்ற உறவானது f(x) = x² - 2 என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு x ∈ {-2, -1, 0, 3} எனக் கொண்டால்,
i) f ன் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுக. ii) f ஒரு சார்பாகுமா?

10. $a^b × b^a = 800$ என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐக் காண்க.

11. 9 + 3 + 1 + ....... என்ற முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதல் காண்க.

12. $a_n = \frac{5n}{n+2}$ என்பது தொடர்வரிசையின் n-வது உறுப்பு எனில் $a_6$ மற்றும் $a_{13}$ உறுப்புக்களைக் காண்க.

13. ΔABC ஆனது ΔDEF க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் ΔABC ன் பரப்பு 54 செ.மீ² எனில், ΔDEF யின் பரப்பைக் காண்க.

14. கூடுதல் காண்க : 1 + 8 + 27 + .......... + 1000

பகுதி - இ (5 x 5 = 25)

III. எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 21 கட்டாய வினா)

15. A = {1,2,3}, B = {2,3,5}, C = {3,4}, D = {1,3,5} எனில் (A ∩ C) × (B ∩ D) = (A × B) ∩ (C × D) என்பது உண்மையா என சோதிக்கவும்.

16. f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 – 2x, h(x) = 3x எனில் fo(goh) = (fog)oh என நிறுவுக.

17. யூக்ளிட்டின் வகுத்தலைப் பயன்படுத்தி 84, 90 மற்றும் 120 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. காண்க.

18. 5 + 55 + 555 + ........ என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

19. தீர்க்க: 3x – 2y + z = 2, 2x + 3y – z = 5, x + y + z = 6

20. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

21. f : [–5, 9] → R என்ற சார்பானது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது. $$ f(x) = \begin{cases} 6x+1, & -5 \le x < 2 \\ 5x^2-1, & 2 \le x < 6 \\ 3x-4, & 6 \le x \le 9 \end{cases} $$ எனில், i) f(7) – f(1) ii) $\frac{2f(-2) - f(6)}{f(4) + f(-2)}$ ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க.

பகுதி - ஈ (1 x 8 = 8)

IV. கீழ்க்கண்ட வினாவிற்கு விடையளிக்கவும்.

22. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{3}{5}$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{3}{5} < 1$)

(அல்லது)

ஆ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$)

விடைகள் மற்றும் தீர்வுகள்

பகுதி - அ (விடைகள்)

1. A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில் n[(A∪C) × B] ஆனது ______.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை: A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s}.

$A \cup C = \{a,b,p\} \cup \{p,q,r,s\} = \{a,b,p,q,r,s\}$

எனவே, $n(A \cup C) = 6$.

மேலும், $n(B) = 2$.

நாம் காண வேண்டியது: $n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B)$

$n[(A \cup C) \times B] = 6 \times 2 = 12$

இ) 12

2. f: A→B ஆனது இருபுறச் சார்பு மற்றும் n(B) = 7 எனில் n(A) ஆனது ______.

தீர்வு

ஒரு சார்பு $f: A \to B$ இருபுறச் சார்பு (bijection) எனில், A மற்றும் B கணங்களில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்கும்.

அதாவது, $n(A) = n(B)$.

இங்கு, $n(B) = 7$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

எனவே, $n(A) = 7$.

அ) 7

3. $f(x) = (x + 1)^3 – (x – 1)^3$ குறிப்பிடும் சார்பானது ______.

தீர்வு

தெரிந்த முற்றொருமைகள்:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

இங்கு, $a=x, b=1$.

$f(x) = (x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3) - (x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3)$

$f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$

$f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1$

$f(x) = (x^3 - x^3) + (3x^2 + 3x^2) + (3x - 3x) + (1 + 1)$

$f(x) = 6x^2 + 2$

இது $ax^2+bx+c$ என்ற வடிவில் உள்ளதால், இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.

ஈ) இருபடிச் சார்பு

தீர்வு

நாம் காண வேண்டியது 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ஆகிய எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM).

$1 = 1$

$2 = 2$

$3 = 3$

$4 = 2^2$

$5 = 5$

$6 = 2 \times 3$

$7 = 7$

$8 = 2^3$

$9 = 3^2$

$10 = 2 \times 5$

மீ.சி.ம காண, ஒவ்வொரு பகா எண்ணின் அதிகபட்ச அடுக்கை எடுத்து பெருக்க வேண்டும்.

LCM = $2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$

LCM = $8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35 = 2520$

ஈ) 2520

5. $F_1 = 1, F_2 = 3$ மற்றும் $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ எனக் கொடுக்கப்படின் $F_5$ ஆனது ______.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டவை: $F_1 = 1, F_2 = 3$

$F_3 = F_{3-1} + F_{3-2} = F_2 + F_1 = 3 + 1 = 4$

$F_4 = F_{4-1} + F_{4-2} = F_3 + F_2 = 4 + 3 = 7$

$F_5 = F_{5-1} + F_{5-2} = F_4 + F_3 = 7 + 4 = 11$

ஈ) 11

6. x + y – 3z = –6, –7y + 7z = 7, 3z = 9 என்ற தொகுப்பின் தீர்வு ______.

தீர்வு

சமன்பாடு (3): $3z = 9 \implies z = 9/3 \implies z = 3$.

சமன்பாடு (2): $-7y + 7z = 7$. z=3 என பிரதியிட,

$-7y + 7(3) = 7 \implies -7y + 21 = 7 \implies -7y = 7 - 21 \implies -7y = -14 \implies y = 2$.

சமன்பாடு (1): $x + y - 3z = -6$. y=2, z=3 என பிரதியிட,

$x + 2 - 3(3) = -6 \implies x + 2 - 9 = -6 \implies x - 7 = -6 \implies x = -6 + 7 \implies x = 1$.

தீர்வு: $x=1, y=2, z=3$.

அ) x = 1, y = 2, z = 3

7. ΔLMN ல் ∠L = 60°, ∠M = 50° மேலும் ΔLMN ~ ΔPQR எனில் ∠R ன் மதிப்பு ______.

தீர்வு

ΔLMN-ல், ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180°.

$\angle L + \angle M + \angle N = 180^\circ$

$60^\circ + 50^\circ + \angle N = 180^\circ \implies 110^\circ + \angle N = 180^\circ \implies \angle N = 70^\circ$.

ΔLMN ~ ΔPQR (வடிவொத்தவை) என்பதால், அவற்றின் ஒத்த கோணங்கள் சமம்.

$\angle L = \angle P$, $\angle M = \angle Q$, $\angle N = \angle R$.

எனவே, $\angle R = \angle N = 70^\circ$.

ஆ) 70°

பகுதி - ஆ (தீர்கள்)

8. B × A = {(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.

தீர்வு

B × A என்பது வரிசைச் சோடிகளின் கணம். இதில் முதல் உறுப்புகள் B கணத்திலிருந்தும், இரண்டாம் உறுப்புகள் A கணத்திலிருந்தும் எடுக்கப்படும்.

B என்பது முதல் உறுப்புகளின் கணம்: $B = \{-2, 0, 3\}$

A என்பது இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்: $A = \{3, 4\}$

A = {3, 4}, B = {-2, 0, 3}

தீர்வு

i) f ன் உறுப்புகளைக் காண, x-ன் ஒவ்வொரு மதிப்பையும் பிரதியிட வேண்டும்.

$f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$

$f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

$f(0) = (0)^2 - 2 = 0 - 2 = -2$

$f(3) = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

f-ன் உறுப்புகள் (வரிசைச் சோடிகளின் கணம்):
$f = \{(-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (3, 7)\}$

ii) ஆம், f ஒரு சார்பாகும்.

காரணம்: மதிப்பகம் {-2, -1, 0, 3}-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் ஒரு தனித்த நிழல்உரு (unique image) துணை மதிப்பகத்தில் உள்ளது.

10. $a^b × b^a = 800$ என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐக் காண்க.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்டது: $a^b \times b^a = 800$.

800-ஐ பகா காரணிப்படுத்த পাই:

$800 = 8 \times 100 = 2^3 \times 10^2 = 2^3 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 5^2$.

இப்போது சமன்பாட்டை ஒப்பிடுக: $a^b \times b^a = 2^5 \times 5^2$.

இங்கு, a = 2 மற்றும் b = 5 எனப் பொருத்தினால்:

$2^5 \times 5^2$. இது கொடுக்கப்பட்ட வடிவத்துடன் சரியாகப் பொருந்துகிறது.

அல்லது, a = 5 மற்றும் b = 2 எனப் பொருத்தினால்:

$5^2 \times 2^5$. இதுவும் அதேதான்.

a = 2, b = 5 (அல்லது a = 5, b = 2)

11. 9 + 3 + 1 + ....... என்ற முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு

இது ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP).

முதல் உறுப்பு, $a = 9$.

பொது விகிதம், $r = \frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

இங்கு $|r| = |\frac{1}{3}| < 1$ என்பதால், முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதலைக் காணலாம்.

சூத்திரம்: $S_\infty = \frac{a}{1-r}$

$S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{3-1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \times \frac{3}{2} = \frac{27}{2}$.

கூடுதல் = 27/2 அல்லது 13.5

தீர்வு

n = 6 என பிரதியிட, $a_6$ ஐக் காணலாம்.

$a_6 = \frac{5(6)}{6+2} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$.

n = 13 என பிரதியிட, $a_{13}$ ஐக் காணலாம்.

$a_{13} = \frac{5(13)}{13+2} = \frac{65}{15} = \frac{13}{3}$.

$a_6 = 15/4$, $a_{13} = 13/3$

தீர்வு

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதமானது, அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.

$\frac{\text{பரப்பு}(ΔABC)}{\text{பரப்பு}(ΔDEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2$

$\frac{54}{\text{பரப்பு}(ΔDEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$

$\text{பரப்பு}(ΔDEF) = 54 \times \frac{16}{9}$

$\text{பரப்பு}(ΔDEF) = 6 \times 16 = 96$ செ.மீ²

ΔDEF யின் பரப்பு = 96 செ.மீ²

14. கூடுதல் காண்க : 1 + 8 + 27 + .......... + 1000

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட தொடர்: $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3$.

இது முதல் 'n' இயல் எண்களின் கனங்களின் கூடுதல் ஆகும், இங்கு n = 10.

சூத்திரம்: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

n = 10 என பிரதியிட:

கூடுதல் = $\left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^2 = (5 \times 11)^2 = 55^2$

$55^2 = 3025$

கூடுதல் = 3025

பகுதி - இ (தீர்கள்)

15. A = {1,2,3}, B = {2,3,5}, C = {3,4}, D = {1,3,5} எனில் (A ∩ C) × (B ∩ D) = (A × B) ∩ (C × D) என்பது உண்மையா என சோதிக்கவும்.

தீர்வு

இடது கை பக்கம் (LHS): (A ∩ C) × (B ∩ D)

$A \cap C = \{1,2,3\} \cap \{3,4\} = \{3\}$

$B \cap D = \{2,3,5\} \cap \{1,3,5\} = \{3,5\}$

LHS = $\{3\} \times \{3,5\} = \{(3,3), (3,5)\}$

வலது கை பக்கம் (RHS): (A × B) ∩ (C × D)

$A \times B = \{(1,2), (1,3), (1,5), (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5)\}$

$C \times D = \{(3,1), (3,3), (3,5), (4,1), (4,3), (4,5)\}$

RHS = இரண்டு கணங்களுக்கும் பொதுவான உறுப்புகள் = $\{(3,3), (3,5)\}$

LHS = RHS என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு உண்மையாகும்.

உண்மை என சரிபார்க்கப்பட்டது.

16. f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 – 2x, h(x) = 3x எனில் fo(goh) = (fog)oh என நிறுவுக.

தீர்வு

LHS: fo(goh)

முதலில், $goh(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x$.

பிறகு, $fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(1-6x) = 2(1-6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x$.

RHS: (fog)oh

முதலில், $fog(x) = f(g(x)) = f(1-2x) = 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x$.

பிறகு, $(fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x$.

LHS = $5 - 12x$ மற்றும் RHS = $5 - 12x$.

LHS = RHS. எனவே, fo(goh) = (fog)oh என நிறுவப்பட்டது.

தீர்வு

படி 1: 84 மற்றும் 90-ன் மீ.பொ.வ. காணுதல்

யூக்ளிட்டின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, $a = bq + r, 0 \le r < b$.

$90 = 84(1) + 6$

$84 = 6(14) + 0$

மீதி 0 என்பதால், கடைசி வகுத்தி 6 ஆகும். எனவே, HCF(84, 90) = 6.

படி 2: படி 1-ல் கிடைத்த மீ.பொ.வ (6) மற்றும் 120-ன் மீ.பொ.வ. காணுதல்

$120 = 6(20) + 0$

மீதி 0 என்பதால், வகுத்தி 6 ஆகும். எனவே, HCF(6, 120) = 6.

84, 90, மற்றும் 120-ன் மீ.பொ.வ. = 6

18. 5 + 55 + 555 + ........ என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு

$S_n = 5 + 55 + 555 + \dots + n$ உறுப்புகள்

பொதுவாக 5-ஐ வெளியே எடுக்கவும்: $S_n = 5(1 + 11 + 111 + \dots)$

9-ஆல் பெருக்கி வகுக்க: $S_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \dots)$

$S_n = \frac{5}{9}((10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots)$

தொடரை இரண்டாகப் பிரிக்கவும்: $S_n = \frac{5}{9}[(10 + 10^2 + 10^3 + \dots) - (1+1+1+ \dots n \text{ முறை})]$

முதல் பகுதி ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP) với $a=10, r=10$. அதன் கூடுதல்: $\frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10(10^n-1)}{9}$.

இரண்டாம் பகுதி: $(1+1+\dots n \text{ முறை}) = n$.

$S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10(10^n-1)}{9} - n \right]$

$S_n = \frac{50}{81}(10^n-1) - \frac{5n}{9}$

19. தீர்க்க: 3x – 2y + z = 2, 2x + 3y – z = 5, x + y + z = 6

தீர்வு

(1) $3x - 2y + z = 2$

(2) $2x + 3y - z = 5$

(3) $x + y + z = 6$

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2)-ஐ கூட்டுக (z நீக்கப்படும்):

$(3x - 2y + z) + (2x + 3y - z) = 2 + 5 \implies 5x + y = 7$ --- (4)

சமன்பாடு (2) மற்றும் (3)-ஐ கூட்டுக (z நீக்கப்படும்):

$(2x + 3y - z) + (x + y + z) = 5 + 6 \implies 3x + 4y = 11$ --- (5)

இப்போது (4) மற்றும் (5)-ஐ தீர்க்கவும். சமன்பாடு (4)-ஐ 4-ஆல் பெருக்கவும்:

$4 \times (5x + y) = 4 \times 7 \implies 20x + 4y = 28$ --- (6)

சமன்பாடு (6)-லிருந்து (5)-ஐ கழிக்கவும்:

$(20x + 4y) - (3x + 4y) = 28 - 11 \implies 17x = 17 \implies x = 1$.

$x=1$ என்பதை (4)-ல் பிரதியிட: $5(1) + y = 7 \implies y = 2$.

$x=1, y=2$ என்பதை (3)-ல் பிரதியிட: $1 + 2 + z = 6 \implies 3 + z = 6 \implies z = 3$.

தீர்வு: x = 1, y = 2, z = 3

தீர்வு

கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் மூன்று உறுப்புகள் $a-d, a, a+d$ என்க.

கூடுதல்: $(a-d) + a + (a+d) = 27 \implies 3a = 27 \implies a = 9$.

பெருக்கற்பலன்: $(a-d) \times a \times (a+d) = 288$.

$a=9$ எனப் பிரதியிட: $(9-d) \times 9 \times (9+d) = 288$.

$9(81 - d^2) = 288 \implies 81 - d^2 = \frac{288}{9} = 32$.

$d^2 = 81 - 32 = 49 \implies d = \pm 7$.

நிலை 1: d = 7 எனில்
உறுப்புகள்: $9-7, 9, 9+7 \implies 2, 9, 16$.

நிலை 2: d = -7 எனில்
உறுப்புகள்: $9-(-7), 9, 9-7 \implies 16, 9, 2$.

அந்த மூன்று உறுப்புகள் 2, 9, 16 (அல்லது 16, 9, 2).

தீர்வு

i) f(7) – f(1)

$x=7$ என்பது $6 \le x \le 9$ என்ற நிபந்தனையில் உள்ளது, எனவே $f(x) = 3x-4$ ஐப் பயன்படுத்தவும்.
$f(7) = 3(7) - 4 = 21 - 4 = 17$.

$x=1$ என்பது $-5 \le x < 2$ என்ற நிபந்தனையில் உள்ளது, எனவே $f(x) = 6x+1$ ஐப் பயன்படுத்தவும்.
$f(1) = 6(1) + 1 = 7$.

$f(7) - f(1) = 17 - 7 = 10$.

ii) $\frac{2f(-2) - f(6)}{f(4) + f(-2)}$

$f(-2)$: $x=-2$ என்பது $-5 \le x < 2$ நிபந்தனையில் உள்ளது. $f(x) = 6x+1 \implies f(-2) = 6(-2)+1 = -11$.

$f(6)$: $x=6$ என்பது $6 \le x \le 9$ நிபந்தனையில் உள்ளது. $f(x) = 3x-4 \implies f(6) = 3(6)-4 = 14$.

$f(4)$: $x=4$ என்பது $2 \le x < 6$ நிபந்தனையில் உள்ளது. $f(x) = 5x^2-1 \implies f(4) = 5(4^2)-1 = 5(16)-1 = 79$.

இப்போது மதிப்புகளைப் பிரதியிடவும்:

$\frac{2(-11) - 14}{79 + (-11)} = \frac{-22 - 14}{79 - 11} = \frac{-36}{68}$

$\frac{-36}{68} = \frac{-9 \times 4}{17 \times 4} = -\frac{9}{17}$

i) 10 ii) -9/17

பகுதி - ஈ (விடை)

வரைமுறை

1. ஏதேனும் ஒரு அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.

2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.

3. அளவு காரணி $\frac{3}{5}$-ல் பெரிய எண் 5 என்பதால், QX-ல் $Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5$ என 5 சம அளவுள்ள வில்களை வெட்டுக.

4. $Q_5$ மற்றும் R-ஐ இணைக்க ($Q_5R$).

5. அளவு காரணியின் சிறிய எண் 3 என்பதால், $Q_3$-லிருந்து $Q_5R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QR-ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும். (அதாவது $\angle QQ_5R = \angle QQ_3R'$).

6. R'-லிருந்து PR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது PQ-ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.

7. இப்பொழுது, ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔPQR-ன் பக்கங்களில் $\frac{3}{5}$ பங்கு இருக்கும்.

வரைமுறை

1. ஏதேனும் ஒரு அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.

2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.

3. அளவு காரணி $\frac{7}{3}$-ல் பெரிய எண் 7 என்பதால், QX-ல் $Q_1, Q_2, \dots, Q_7$ என 7 சம அளவுள்ள வில்களை வெட்டுக.

4. அளவு காரணியின் பகுதி 3 என்பதால், $Q_3$ மற்றும் R-ஐ இணைக்க ($Q_3R$).

5. QR கோட்டை நீட்டி ஒரு கதிர் வரைக.

6. அளவு காரணியின் தொகுதி 7 என்பதால், $Q_7$-லிருந்து $Q_3R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட QR-ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.

7. PQ கோட்டை நீட்டி ஒரு கதிர் வரைக.

8. R'-லிருந்து PR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட PQ-ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.

9. இப்பொழுது, ΔP'QR' என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔPQR-ன் பக்கங்களில் $\frac{7}{3}$ பங்கு இருக்கும்.

10th Standard Latest Syllabus Solutions, Official Question Papers, Answer Key, Tamil Nadu, 1st Mid Term Test 2024 - Paper With Answer Key | Thiruvallur District | (Tamil Medium)

முதல் இடைப்பருவத் தேர்வு - 2024

பத்தாம் வகுப்பு - கணிதம்

வினாத்தாள்

பகுதி - அ (7 x 1 = 7)

பகுதி - ஆ (5 x 2 = 10)

பகுதி - இ (5 x 5 = 25)

பகுதி - ஈ (1 x 8 = 8)

விடைகள் மற்றும் தீர்வுகள்

பகுதி - அ (விடைகள்)

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

பகுதி - ஆ (தீர்கள்)

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

பகுதி - இ (தீர்கள்)

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

தீர்வு

பகுதி - ஈ (விடை)

வரைமுறை

வரைமுறை