🧮 10th Maths 1st Mid Term Exam 2025 Question Paper Tirunelveli District Tamil Medium PDF Download

TVL10M

முதல் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2025

திருநெல்வேலி மாவட்டம்

வகுப்பு: 10 பாடம்: கணிதம் மதிப்பெண்கள்: 50 காலம்: 1.30 மணி

பகுதி - அ 5 × 1 = 5

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக:

1) A = {a, b, p}, B = {2, 3}, C = {p, q, r, s} எனில், n[(A∪C)×B] ஆனது

a) 8 b) 20 c) 12 d) 16

2) A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 8, 9, 10} என்க. சார்பு f : A→B ஆனது f = {(1, 4), (2, 8), (3, 9), (4, 10)} எனக் கொடுக்கப்பட்டால் f என்பது

a) பலவற்றிற்கு ஒன்றான சார்பு b) சமனிச் சார்பு c) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு d) உட்சார்பு

3) f(x) = (x+1)³ - (x-1)³ குறிப்பிடும் சார்பானது

a) நேரியச் சார்பு b) ஒரு கனச்சார்பு c) தலைகீழ்ச் சார்பு d) இருபடிச் சார்பு

4) 1729 -ஐ பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

5) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 6வது உறுப்பின் 6 மடங்கும் 7வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 13வது உறுப்பு

a) 0 b) 6 c) 7 d) 13

பகுதி - ஆ 6 × 2 = 12

(வினா எண் 12 கட்டாய வினா)

ஏதேனும் ஆறு வினாக்களுக்கு விடையளி:

6) A×B = {(3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)} எனில் A மற்றும் B-ஐக் காண்க.

7) A = {1, 2, 3, 4, ......, 45} மற்றும் R என்ற உறவு "A-யின் மீது, ஓர் எண்ணின் வர்க்கம்" என வரையறுக்கப்பட்டால், R-ஐ A×A-யின் உட்கணமாக எழுதுக. மேலும் R-க்கான சார்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் காண்க.

8) வரையறு: (i) ஒன்றுக்கு-ஒன்றான சார்பு (ii) சமனிச் சார்பு

9) f(x) = 3x+2, g(x) = 6x-k மற்றும் fog = gof எனில் k-ன் மதிப்பைக் காண்க.

10) தீர்க்க: 5x ≡ 4 (மட்டு 6)

11) 16, 11, 6, 1, ......... என்ற கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் -54 எத்தனையாவது உறுப்பு?

12) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n-வது உறுப்பு 4n-3 எனில் அதன் முதல் 28 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

பகுதி - இ 5 × 5 = 25

(வினா எண் 18 கட்டாய வினா)

ஏதேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி:

13) A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும் C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில், A × (B - C) = (A × B) - (A × C) என சரிபார்க்க.

14) A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {2, 5, 8, 11, 14}. f : A→B எனும் சார்பு f(x) = 3x-1 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பினைக் கொண்டு (i) அம்புகுறி படம் (ii) அட்டவணை (iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (iv) வரைபடம் ஆகியவற்றைக் குறிக்க.

15) 396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. காண்க.

16) ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 6-வது மற்றும் 8-வது உறுப்புகளின் விகிதம் 7:9 எனில், 9-வது மற்றும் 13-வது உறுப்புகளின் விகிதம் காண்க.

17) 300-க்கும் 600-க்கும் இடையே 7 - ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதல் காண்க.

18) f(x) = x², g(x) = 3x, h(x) = x-2 எனில் (fog)oh = fo(goh) என நிறுவுக.

பகுதி - ஈ 1 × 8 = 8

பின்வருவனவற்றிற்கு விடையளி:

19) a) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{7}{3} \) என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{7}{3} > 1 \))

(அல்லது)

b) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR -க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \( \frac{3}{5} \) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \( \frac{3}{5} < 1 \))

விடைகள்

பகுதி - அ (விடைகள்)

1) விடை

கொடுக்கப்பட்டவை: A = {a, b, p}, B = {2, 3}, C = {p, q, r, s}.

• A∪C = {a, b, p} ∪ {p, q, r, s} = {a, b, p, q, r, s}
• n(A∪C) = 6
• n(B) = 2
• n[(A∪C)×B] = n(A∪C) × n(B) = 6 × 2 = 12

சரியான விடை: c) 12

2) விடை

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு f = {(1, 4), (2, 8), (3, 9), (4, 10)}. சார்பகம் A = {1, 2, 3, 4}, துணைச் சார்பகம் B = {4, 8, 9, 10}.

• சார்பகத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் துணைச் சார்பகத்தில் தனித்தனியான நிழல் உரு உள்ளது.
• எனவே, இது ஒன்றுக்கு-ஒன்றான சார்பு ஆகும்.

சரியான விடை: c) ஒன்றுக்கொன்றான சார்பு

3) விடை

f(x) = (x+1)³ - (x-1)³

• நமக்குத் தெரியும், (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ மற்றும் (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.
• (x+1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
• (x-1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1
• f(x) = (x³ + 3x² + 3x + 1) - (x³ - 3x² + 3x - 1)
• f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ + 3x² - 3x + 1
• f(x) = 6x² + 2
• இது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு. எனவே, இது ஒரு இருபடிச் சார்பு.

சரியான விடை: d) இருபடிச் சார்பு

4) விடை

1729 -ஐ பகாக் காரணிப்படுத்த:

• 1729 = 7 × 247
• 247 = 13 × 19
• எனவே, 1729 = 7¹ × 13¹ × 19¹
• பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல் = 1 + 1 + 1 = 3

சரியான விடை: c) 3

5) விடை

கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n-வது உறுப்பு, \(t_n = a + (n-1)d\).

கொடுக்கப்பட்டது: 6 × t₆ = 7 × t₇

• 6(a + 5d) = 7(a + 6d)
• 6a + 30d = 7a + 42d
• 7a - 6a = 30d - 42d
• a = -12d

13வது உறுப்பைக் காண வேண்டும், t₁₃:

• t₁₃ = a + (13-1)d = a + 12d
• a = -12d என பிரதியிட,
• t₁₃ = (-12d) + 12d = 0

சரியான விடை: a) 0

பகுதி - ஆ (விடைகள்)

6) விடை

கொடுக்கப்பட்டது A×B = {(3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}.

• கணம் A என்பது கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் முதல் உறுப்புகளின் கணம்.
• கணம் B என்பது கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்.

எனவே,

A = {3, 5} மற்றும் B = {2, 4}

7) விடை

A = {1, 2, ..., 45}. உறவு R "ஓர் எண்ணின் வர்க்கம்".

R = {(x, y) | y = x², x, y ∈ A}

• x=1, y=1²=1. (1, 1) ∈ R.
• x=2, y=2²=4. (2, 4) ∈ R.
• x=3, y=3²=9. (3, 9) ∈ R.
• x=4, y=4²=16. (4, 16) ∈ R.
• x=5, y=5²=25. (5, 25) ∈ R.
• x=6, y=6²=36. (6, 36) ∈ R.
• x=7, y=7²=49. (49 ∉ A)

R-ஐ A×A-யின் உட்கணமாக:

R = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36)}

சார்பகம் = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, வீச்சகம் = {1, 4, 9, 16, 25, 36}

8) விடை

(i) ஒன்றுக்கு-ஒன்றான சார்பு:

f : A → B என்ற சார்பில், A-ல் உள்ள வெவ்வேறு உறுப்புகளுக்கு B-ல் வெவ்வேறு நிழல் உருக்கள் இருந்தால், அச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்றான சார்பு எனப்படும். அதாவது, ஒவ்வொரு a₁, a₂ ∈ A க்கும், f(a₁) = f(a₂) எனில் a₁ = a₂ ஆகும்.

(ii) சமனிச் சார்பு:

A என்பது ஒரு வெற்றற்ற கணம் என்க. f : A → A என்ற சார்பு, f(x) = x என அனைத்து x ∈ A க்கும் வரையறுக்கப்பட்டால், அது A மீதான சமனிச் சார்பு எனப்படும். இது Iₐ என குறிக்கப்படும்.

9) விடை

f(x) = 3x+2, g(x) = 6x-k. கொடுக்கப்பட்டது fog = gof.

LHS: fog(x)

fog(x) = f(g(x)) = f(6x-k) = 3(6x-k) + 2 = 18x - 3k + 2

RHS: gof(x)

gof(x) = g(f(x)) = g(3x+2) = 6(3x+2) - k = 18x + 12 - k

fog = gof

• 18x - 3k + 2 = 18x + 12 - k
• -3k + 2 = 12 - k
• 2 - 12 = 3k - k
• -10 = 2k
• k = -10 / 2

k = -5

10) விடை

5x ≡ 4 (மட்டு 6)

இதன் பொருள், 5x - 4 என்பது 6-ன் மடங்கு. அதாவது, 5x - 4 = 6n.

5x = 6n + 4

x-க்கு மதிப்புகளை பிரதியிட்டு சோதிக்கலாம்:

• x = 1 எனில், 5(1) = 5. 5 ≡ 5 (மட்டு 6).
• x = 2 எனில், 5(2) = 10. 10 = 1(6) + 4. எனவே, 10 ≡ 4 (மட்டு 6).

x = 2 ஒரு தீர்வு ஆகும்.

தீர்வு: x ≡ 2 (மட்டு 6)

11) விடை

கூட்டுத்தொடர் வரிசை: 16, 11, 6, 1, ...

• முதல் உறுப்பு (a) = 16
• பொது வித்தியாசம் (d) = 11 - 16 = -5
• n-வது உறுப்பு \(t_n = -54\) என்க.

சூத்திரம்: \(t_n = a + (n-1)d\)

• -54 = 16 + (n-1)(-5)
• -54 - 16 = -5(n-1)
• -70 = -5(n-1)
• n-1 = (-70) / (-5) = 14
• n = 14 + 1 = 15

-54 என்பது 15-வது உறுப்பு ஆகும்.

12) விடை (கட்டாய வினா)

கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n-வது உறுப்பு \(t_n = 4n - 3\).

முதல் 28 உறுப்புகளின் கூடுதல் \(S_{28}\) காண வேண்டும்.

• முதல் உறுப்பு (a) = t₁ = 4(1) - 3 = 1
• 28-வது உறுப்பு (l) = t₂₈ = 4(28) - 3 = 112 - 3 = 109

கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: \(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\)

• \(S_{28} = \frac{28}{2}(1 + 109)\)
• \(S_{28} = 14 \times 110\)
• \(S_{28} = 1540\)

முதல் 28 உறுப்புகளின் கூடுதல் 1540.

பகுதி - இ (விடைகள்)

13) விடை

கொடுக்கப்பட்ட கணங்கள்:

• A (8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்கள்) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• B (8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள்) = {2, 3, 5, 7}
• C (இரட்டைப்படை பகா எண்) = {2}

சரிபார்க்க வேண்டியது: A × (B - C) = (A × B) - (A × C)

LHS = A × (B - C)

• B - C = {2, 3, 5, 7} - {2} = {3, 5, 7}
• A × (B - C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {3, 5, 7}
• = {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7), (4,3), (4,5), (4,7), (5,3), (5,5), (5,7), (6,3), (6,5), (6,7), (7,3), (7,5), (7,7)} ...(1)

RHS = (A × B) - (A × C)

• A × B = {(1,2), (1,3), (1,5), (1,7), (2,2), (2,3), ..., (7,7)}
• A × C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} × {2} = {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)}
• (A × B) - (A × C) என்பது A × B கணத்திலிருந்து A × C கணத்தின் உறுப்புகளை நீக்குவதாகும்.
• இது A × B யில் உள்ள சோடிகள், அதன் இரண்டாம் உறுப்பு 2 அல்லாதவை.
• = {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7), (4,3), (4,5), (4,7), (5,3), (5,5), (5,7), (6,3), (6,5), (6,7), (7,3), (7,5), (7,7)} ...(2)

(1) மற்றும் (2)-லிருந்து, LHS = RHS.

A × (B - C) = (A × B) - (A × C) என சரிபார்க்கப்பட்டது.

14) விடை

A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 5, 8, 11, 14}, f(x) = 3x-1.

• f(1) = 3(1)-1 = 2
• f(2) = 3(2)-1 = 5
• f(3) = 3(3)-1 = 8
• f(4) = 3(4)-1 = 11

(i) அம்புகுறி படம்:

(ii) அட்டவணை:

x	f(x)
1	2
2	5
3	8
4	11

(iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:

f = {(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11)}

(iv) வரைபடம்:

15) விடை

396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ (HCF) காண யூக்ளிடின் வகுத்தல் வழிமுறையைப் பயன்படுத்துவோம்.

படி 1: 504 மற்றும் 396-ன் மீ.பொ.வ.

• 504 = 1 × 396 + 108
• 396 = 3 × 108 + 72
• 108 = 1 × 72 + 36
• 72 = 2 × 36 + 0

மீதி 0. எனவே, மீ.பொ.வ(504, 396) = 36.

படி 2: 636 மற்றும் 36-ன் மீ.பொ.வ.

• 636 = 17 × 36 + 24
• 36 = 1 × 24 + 12
• 24 = 2 × 12 + 0

மீதி 0. எனவே, மீ.பொ.வ(636, 36) = 12.

396, 504, 636 ஆகியவற்றின் மீ.பொ.வ. 12 ஆகும்.

16) விடை

கொடுக்கப்பட்டது: t₆ : t₈ = 7 : 9

\(\frac{t_6}{t_8} = \frac{a+5d}{a+7d} = \frac{7}{9}\)

• 9(a + 5d) = 7(a + 7d)
• 9a + 45d = 7a + 49d
• 9a - 7a = 49d - 45d
• 2a = 4d => a = 2d

காண வேண்டியது t₉ : t₁₃

\(\frac{t_9}{t_{13}} = \frac{a+8d}{a+12d}\)

a = 2d என பிரதியிட:

\(\frac{2d+8d}{2d+12d} = \frac{10d}{14d} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}\)

9-வது மற்றும் 13-வது உறுப்புகளின் விகிதம் 5:7.

17) விடை

300-க்கும் 600-க்கும் இடையே 7-ஆல் வகுபடும் எண்களின் கூடுதல்.

• 300-ஐ அடுத்து 7-ஆல் வகுபடும் முதல் எண்: 301. (300 ÷ 7, மீதி 6; 300+(7-6)=301)
• 600-க்கு முன் 7-ஆல் வகுபடும் கடைசி எண்: 595. (600 ÷ 7, மீதி 5; 600-5=595)

இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை: a = 301, d = 7, l = 595.

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (n):

\(n = \frac{l-a}{d} + 1 = \frac{595-301}{7} + 1 = \frac{294}{7} + 1 = 42 + 1 = 43\)

கூடுதல் (Sₙ):

\(S_n = \frac{n}{2}(a+l) = \frac{43}{2}(301+595) = \frac{43}{2}(896) = 43 \times 448 = 19264\)

தேவையான கூடுதல் 19264.

18) விடை (கட்டாய வினா)

f(x) = x², g(x) = 3x, h(x) = x-2. (fog)oh = fo(goh) என நிறுவ வேண்டும்.

LHS = (fog)oh

• முதலில், fog(x) = f(g(x)) = f(3x) = (3x)² = 9x²
• (fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(x-2) = 9(x-2)²
• = 9(x² - 4x + 4) = 9x² - 36x + 36 ...(1)

RHS = fo(goh)

• முதலில், goh(x) = g(h(x)) = g(x-2) = 3(x-2) = 3x - 6
• fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(3x-6) = (3x-6)²
• = [3(x-2)]² = 9(x-2)² = 9(x² - 4x + 4) = 9x² - 36x + 36 ...(2)

(1) மற்றும் (2)-லிருந்து, LHS = RHS.

(fog)oh = fo(goh) என நிறுவப்பட்டது.

பகுதி - ஈ (விடைகள்)

19) a) விடை (அளவு காரணி 7/3 > 1)

வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
3. QX-ன் மீது \(Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6, Q_7\) என்ற 7 சம அளவுள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்க. (\(\frac{7}{3}\)ல் பெரிய எண் 7)
4. பின்னத்தின் பகுதியில் உள்ள 3-க்குரிய \(Q_3\)ஐ R உடன் இணைக்க.
5. \(Q_7\) லிருந்து \(Q_3R\)-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது QR-ன் நீட்சியான கோட்டை R' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. R' லிருந்து PR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது QP-ன் நீட்சியான கோட்டை P' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. ΔP'QR' என்பதே தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

(அல்லது)

19) b) விடை (அளவு காரணி 3/5 < 1)

வரைமுறை:

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.
2. QR என்ற கோட்டுத்துண்டில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
3. QX-ன் மீது \(Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5\) என்ற 5 சம அளவுள்ள புள்ளிகளைக் குறிக்க. (\(\frac{3}{5}\)ல் பெரிய எண் 5)
4. பின்னத்தின் பகுதியில் உள்ள 5-க்குரிய \(Q_5\)ஐ R உடன் இணைக்க.
5. பின்னத்தின் தொகுதியில் உள்ள 3-க்குரிய \(Q_3\) லிருந்து \(Q_5R\)-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது QR-ஐ R' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. R' லிருந்து PR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது QP-ஐ P' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. ΔP'QR' என்பதே தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.