10роЖроо் ро╡роХுрок்рокு роХрогிродроо் - роЗро░рог்роЯாроо் роЗроЯைрок் рокро░ுро╡род் родேро░்ро╡ு 2024 ро╡ிройாрод்родாро│் рооро▒்ро▒ுроо் родீро░்ро╡ுроХро│்
TVL10M - родிро░ுроиெро▓்ро╡ேро▓ி рооாро╡роЯ்роЯроо்
роЗро░рог்роЯாроо் роЗроЯைрок் рокро░ுро╡ рокொродுрод் родேро░்ро╡ு - 2024
ро╡роХுрок்рокு 10 - роХрогிродроо்
роХாро▓роо்: 1.30 роорогி | роородிрок்рокெрог்роХро│்: 50
роЗро░рог்роЯாроо் роЗроЯைрок் рокро░ுро╡ рокொродுрод் родேро░்ро╡ு - 2024
ро╡роХுрок்рокு 10 - роХрогிродроо்
роХாро▓роо்: 1.30 роорогி | роородிрок்рокெрог்роХро│்: 50
рокроХுродி - I
роЕройைрод்родு ро╡ிройாроХ்роХро│ுроХ்роХுроо் ро╡ிроЯைропро│ி: (7×1=7)
1) роиிро░ро▓்роХро│் рооро▒்ро▒ுроо் роиிро░ைроХро│் роЪроо роОрог்рогிроХ்роХைропிро▓் роЗро▓்ро▓ாрод роЕрогி
- a) рооூро▓ைро╡ிроЯ்роЯ роЕрогி
- b) роЪெро╡்ро╡роХ роЕрогி
- c) роЪродுро░ роЕрогி
- d) роЕро▓роХு роЕрогி
ро╡ிроЯை: b) роЪெро╡்ро╡роХ роЕрогி
ро╡ிро│роХ்роХроо்: роТро░ு роЕрогிропிро▓் роиிро░ро▓்роХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХைропுроо் роиிро░ைроХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХைропுроо் роЪроорооாроХ роЗро▓்ро▓ைропெройிро▓், роЕродு роЪெро╡்ро╡роХ роЕрогி роОройрок்рокроЯுроо்.
ро╡ிро│роХ்роХроо்: роТро░ு роЕрогிропிро▓் роиிро░ро▓்роХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХைропுроо் роиிро░ைроХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХைропுроо் роЪроорооாроХ роЗро▓்ро▓ைропெройிро▓், роЕродு роЪெро╡்ро╡роХ роЕрогி роОройрок்рокроЯுроо்.
2) A роОрой்ро▒ роЕрогிропிрой் ро╡ро░ிроЪை 2×3, B роОрой்ро▒ роЕрогிропிрой் ро╡ро░ிроЪை 3×4 роОройிро▓், AB роОрой்ро▒ роЕрогிропிрой் роиிро░ро▓்роХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХை
- a) 3
- b) 4
- c) 2
- d) 5
ро╡ிроЯை: b) 4
ро╡ிро│роХ்роХроо்: A-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை m×n, B-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை n×p роОройிро▓், AB-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை m×p роЖроХுроо். роЗроЩ்роХு A-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை 2×3, B-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை 3×4. роОройро╡ே, AB-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை 2×4 роЖроХுроо். AB-ропிрой் роиிро░ро▓்роХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХை 4.
ро╡ிро│роХ்роХроо்: A-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை m×n, B-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை n×p роОройிро▓், AB-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை m×p роЖроХுроо். роЗроЩ்роХு A-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை 2×3, B-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை 3×4. роОройро╡ே, AB-ропிрой் ро╡ро░ிроЪை 2×4 роЖроХுроо். AB-ропிрой் роиிро░ро▓்роХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХை 4.
3) ро╡роЯ்роЯрод்родிрой் родொроЯுроХோроЯுроо் роЕродрой் роЖро░рооுроо் роЪெроЩ்роХுрод்родாроХ роЕрооைропுроо் роЗроЯроо்
- a) рооைропроо்
- b) родொроЯுрокுро│்ро│ி
- c) рооுроЯிро╡ிро▓ி
- d) роиாрог்
ро╡ிроЯை: b) родொроЯுрокுро│்ро│ி
ро╡ிро│роХ்роХроо்: ро╡роЯ்роЯрод்родிрой் роОрои்родро╡ொро░ு рокுро│்ро│ிропிроЯрод்родுроо் ро╡ро░ைропрок்рокроЯுроо் родொроЯுроХோроЯு, роЕрок்рокுро│்ро│ி ро╡ро┤ிропே роЪெро▓்ро▓ுроо் роЖро░род்родிро▒்роХுроЪ் роЪெроЩ்роХுрод்родாроХ роЗро░ுроХ்роХுроо். роЕрои்родрок் рокுро│்ро│ி родொроЯுрокுро│்ро│ி роОройрок்рокроЯுроо்.
ро╡ிро│роХ்роХроо்: ро╡роЯ்роЯрод்родிрой் роОрои்родро╡ொро░ு рокுро│்ро│ிропிроЯрод்родுроо் ро╡ро░ைропрок்рокроЯுроо் родொроЯுроХோроЯு, роЕрок்рокுро│்ро│ி ро╡ро┤ிропே роЪெро▓்ро▓ுроо் роЖро░род்родிро▒்роХுроЪ் роЪெроЩ்роХுрод்родாроХ роЗро░ுроХ்роХுроо். роЕрои்родрок் рокுро│்ро│ி родொроЯுрокுро│்ро│ி роОройрок்рокроЯுроо்.
4) роХрогிродрод்родிрой் рооுродро▓் родேро▒்ро▒роо்
- a) рокிродாроХро░ро╕்
- b) роЪிро╡ாро╕்
- c) родேро▓்ро╕்
- d) рооெройிро▓ாро╕்
ро╡ிроЯை: c) родேро▓்ро╕்
ро╡ிро│роХ்роХроо்: родேро▓்ро╕் родேро▒்ро▒роо் (роЕроЯிрок்рокроЯை ро╡ிроХிродроЪроо родேро▒்ро▒роо்) ро╡роЯிро╡ро╡ிропро▓ிро▓் роТро░ு рооுроХ்роХிропрооாрой рооро▒்ро▒ுроо் рокро┤рооைропாрой родேро▒்ро▒рооாроХроХ் роХро░ுродрок்рокроЯுроХிро▒родு.
ро╡ிро│роХ்роХроо்: родேро▓்ро╕் родேро▒்ро▒роо் (роЕроЯிрок்рокроЯை ро╡ிроХிродроЪроо родேро▒்ро▒роо்) ро╡роЯிро╡ро╡ிропро▓ிро▓் роТро░ு рооுроХ்роХிропрооாрой рооро▒்ро▒ுроо் рокро┤рооைропாрой родேро▒்ро▒рооாроХроХ் роХро░ுродрок்рокроЯுроХிро▒родு.
5) роТро░ு роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░род்родிро▒்роХுроо் роЕродрой் роиிро┤ро▓ிрой் роиீро│род்родிро▒்роХுроо் роЙро│்ро│ ро╡ிроХிродроо் \(\sqrt{3}:1\) роОройிро▓் роЪூро░ிропройைроХ் роХாрогுроо் роПро▒்ро▒роХோрог роЕро│ро╡ாройродு
- a) 45°
- b) 30°
- c) 90°
- d) 60°
ро╡ிроЯை: d) 60°
ро╡ிро│роХ்роХроо்: \(\tan \theta = \frac{\text{роЙропро░роо்}}{\text{роиிро┤ро▓ிрой் роиீро│роо்}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\). роОройро╡ே, \(\theta = 60°\).
ро╡ிро│роХ்роХроо்: \(\tan \theta = \frac{\text{роЙропро░роо்}}{\text{роиிро┤ро▓ிрой் роиீро│роо்}} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\). роОройро╡ே, \(\theta = 60°\).
6) роЖро░роо் 5 роЪெ.рооீ рооро▒்ро▒ுроо் роЪாропுропро░роо் 13 роЪெ.рооீ роЙроЯைроп роиேро░்ро╡роЯ்роЯ роХூроо்рокிрой் роЖро░роо்
- a) 12 роЪெ.рооீ
- b) 10 роЪெ.рооீ
- c) 13 роЪெ.рооீ
- d) 5 роЪெ.рооீ
ро╡ிроЯை: d) 5 роЪெ.рооீ
ро╡ிро│роХ்роХроо்: роХேро│்ро╡ிропிро▓ேропே роХூроо்рокிрой் роЖро░роо் 5 роЪெ.рооீ роОройроХ் роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯுро│்ро│родு. (роХுро▒ிрок்рокு: роЗрои்род ро╡ிройாро╡ிро▓் 'роЙропро░роо்' роОрой்рокродро▒்роХுрок் рокродிро▓ாроХ 'роЖро░роо்' роОройроХ் роХேроЯ்роХрок்рокроЯ்роЯுро│்ро│родு роТро░ு роЕроЪ்роЪுрок்рокிро┤ைропாроХ роЗро░ுроХ்роХро▓ாроо். роЙропро░роо் роХேроЯ்роЯாро▓், \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) роЪெ.рооீ. роЕрок்рокோродு ро╡ிроЯை (a) роЖроХ роЗро░ுроХ்роХுроо்.)
ро╡ிро│роХ்роХроо்: роХேро│்ро╡ிропிро▓ேропே роХூроо்рокிрой் роЖро░роо் 5 роЪெ.рооீ роОройроХ் роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯுро│்ро│родு. (роХுро▒ிрок்рокு: роЗрои்род ро╡ிройாро╡ிро▓் 'роЙропро░роо்' роОрой்рокродро▒்роХுрок் рокродிро▓ாроХ 'роЖро░роо்' роОройроХ் роХேроЯ்роХрок்рокроЯ்роЯுро│்ро│родு роТро░ு роЕроЪ்роЪுрок்рокிро┤ைропாроХ роЗро░ுроХ்роХро▓ாроо். роЙропро░роо் роХேроЯ்роЯாро▓், \(h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\) роЪெ.рооீ. роЕрок்рокோродு ро╡ிроЯை (a) роЖроХ роЗро░ுроХ்роХுроо்.)
7) роТро░ு роХூроо்рокிрой் ро╡ро│ைрокро░рок்рокு рооро▒்ро▒ுроо் рооொрод்родрок் рокுро▒рок்рокро░рок்рокு роЖроХிропро╡ро▒்ро▒ிрой் ро╡ிрод்родிропாроЪроо்
- a) \(\pi r^2 h\)
- b) \(\pi r l\)
- c) \(\pi r^2\)
- d) \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\)
ро╡ிроЯை: c) \(\pi r^2\)
ро╡ிро│роХ்роХроо்: рооொрод்родрок் рокுро▒рок்рокро░рок்рокு (TSA) = \(\pi r (l+r) = \pi r l + \pi r^2\). ро╡ро│ைрокро░рок்рокு (CSA) = \(\pi r l\). ро╡ிрод்родிропாроЪроо் = TSA - CSA = \((\pi r l + \pi r^2) - \pi r l = \pi r^2\).
ро╡ிро│роХ்роХроо்: рооொрод்родрок் рокுро▒рок்рокро░рок்рокு (TSA) = \(\pi r (l+r) = \pi r l + \pi r^2\). ро╡ро│ைрокро░рок்рокு (CSA) = \(\pi r l\). ро╡ிрод்родிропாроЪроо் = TSA - CSA = \((\pi r l + \pi r^2) - \pi r l = \pi r^2\).
рокроХுродி - II
роОро╡ைропேройுроо் роРрои்родு ро╡ிройாроХ்роХро│ுроХ்роХு ро╡ிроЯைропро│ி: (5×2=10)
роХேро│்ро╡ி роОрог் 14 роХроЯ்роЯாроп ро╡ிройா.
8) \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \) роОройிро▓் \((A^T)^T = A\) роОрой்рокродройைроЪ் роЪро░ிрокாро░்роХ்роХ.
родீро░்ро╡ு:
роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роЕрогி, \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \).
A-ропிрой் роиிро░ை роиிро░ро▓் рооாро▒்ро▒ு роЕрогி,
\( A^T = \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{17} & 8 \\ 2 & 0.7 & 3 \\ 2 & \frac{5}{2} & 1 \end{pmatrix} \).
\(A^T\)-ропிрой் роиிро░ை роиிро░ро▓் рооாро▒்ро▒ு роЕрогி,
\( (A^T)^T = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} = A \).
роОройро╡ே, \((A^T)^T = A\) роОрой்рокродு роЪро░ிрокாро░்роХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு.
роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роЕрогி, \( A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} \).
A-ропிрой் роиிро░ை роиிро░ро▓் рооாро▒்ро▒ு роЕрогி,
\( A^T = \begin{pmatrix} 5 & -\sqrt{17} & 8 \\ 2 & 0.7 & 3 \\ 2 & \frac{5}{2} & 1 \end{pmatrix} \).
\(A^T\)-ропிрой் роиிро░ை роиிро░ро▓் рооாро▒்ро▒ு роЕрогி,
\( (A^T)^T = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 2 \\ -\sqrt{17} & 0.7 & \frac{5}{2} \\ 8 & 3 & 1 \end{pmatrix} = A \).
роОройро╡ே, \((A^T)^T = A\) роОрой்рокродு роЪро░ிрокாро░்роХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு.
9) \( A = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) роОройிро▓் \(A+B = B+A\) роОрой்рокродройைроЪ் роЪро░ிрокாро░்роХ்роХ.
родீро░்ро╡ு:
\( A+B = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 9+7 \\ 3+3 & 4+3 \\ 8+1 & -3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (1)
\( B+A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5+1 & 7+9 \\ 3+3 & 3+4 \\ 1+8 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (2)
(1) рооро▒்ро▒ுроо் (2) ро▓ிро░ுрои்родு, \(A+B = B+A\) роОрой்рокродு роЪро░ிрокாро░்роХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு.
\( A+B = \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 9+7 \\ 3+3 & 4+3 \\ 8+1 & -3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (1)
\( B+A = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 3 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 3 & 4 \\ 8 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5+1 & 7+9 \\ 3+3 & 3+4 \\ 1+8 & 0-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 16 \\ 6 & 7 \\ 9 & -3 \end{pmatrix} \) --- (2)
(1) рооро▒்ро▒ுроо் (2) ро▓ிро░ுрои்родு, \(A+B = B+A\) роОрой்рокродு роЪро░ிрокாро░்роХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு.
10) 3 роЪெ.рооீ роЖро░рооுро│்ро│ ро╡роЯ்роЯрод்родிрой் рооைропрод்родிро▓ிро░ுрои்родு 5 роЪெ.рооீ родொро▓ைро╡ிро▓் роЙро│்ро│ рокுро│்ро│ிропிро▓ிро░ுрои்родு ро╡роЯ்роЯрод்родிро▒்роХு ро╡ро░ைропрок்рокроЯ்роЯ родொроЯுроХோроЯ்роЯிрой் роиீро│роо் роХாрог்роХ.
родீро░்ро╡ு:
ро╡роЯ்роЯрод்родிрой் роЖро░роо் (r) = 3 роЪெ.рооீ.
рооைропрод்родிро▓ிро░ுрои்родு рокுро│்ро│ி ро╡ро░ைропிро▓ாрой родூро░роо் (d) = 5 роЪெ.рооீ.
родொроЯுроХோроЯு, роЖро░роо் рооро▒்ро▒ுроо் рооைропрод்родை рокுро│்ро│ிропுроЯрой் роЗрогைроХ்роХுроо் роХோроЯு роЖроХிропро╡ை роТро░ு роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогрод்родை роЙро░ுро╡ாроХ்роХுроо்.
рокிродாроХро░ро╕் родேро▒்ро▒рок்рокроЯி,
родொроЯுроХோроЯ்роЯிрой் роиீро│роо் \( = \sqrt{d^2 - r^2} \)
\( = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) роЪெ.рооீ.
роОройро╡ே, родொроЯுроХோроЯ்роЯிрой் роиீро│роо் 4 роЪெ.рооீ.
ро╡роЯ்роЯрод்родிрой் роЖро░роо் (r) = 3 роЪெ.рооீ.
рооைропрод்родிро▓ிро░ுрои்родு рокுро│்ро│ி ро╡ро░ைропிро▓ாрой родூро░роо் (d) = 5 роЪெ.рооீ.
родொроЯுроХோроЯு, роЖро░роо் рооро▒்ро▒ுроо் рооைропрод்родை рокுро│்ро│ிропுроЯрой் роЗрогைроХ்роХுроо் роХோроЯு роЖроХிропро╡ை роТро░ு роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогрод்родை роЙро░ுро╡ாроХ்роХுроо்.
рокிродாроХро░ро╕் родேро▒்ро▒рок்рокроЯி,
родொроЯுроХோроЯ்роЯிрой் роиீро│роо் \( = \sqrt{d^2 - r^2} \)
\( = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \) роЪெ.рооீ.
роОройро╡ே, родொроЯுроХோроЯ்роЯிрой் роиீро│роо் 4 роЪெ.рооீ.
11) роТро░ு роХோрокுро░роо் родро░ைроХ்роХுроЪ் роЪெроЩ்роХுрод்родாроХ роЙро│்ро│родு. роХோрокுро░род்родிрой் роЕроЯிрок்рокроХுродிропிро▓ிро░ுрои்родு родро░ைропிро▓் 48рооீ. родொро▓ைро╡ிро▓் роЙро│்ро│ роТро░ு рокுро│்ро│ிропிро▓ிро░ுрои்родு роХோрокுро░ роЙроЪ்роЪிропிрой் роПро▒்ро▒роХ்роХோрогроо் 30° роОройிро▓், роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░род்родைроХ் роХாрог்роХ.
родீро░்ро╡ு:
роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░роо் h рооீ роОрой்роХ.
родொро▓ைро╡ு = 48 рооீ, роПро▒்ро▒роХ்роХோрогроо் \(\theta = 30°\).
\( \tan \theta = \frac{\text{роОродிро░்рок்рокроХ்роХроо்}}{\text{роЕроЯுрод்родுро│்ро│ рокроХ்роХроо்}} \)
\( \tan 30° = \frac{h}{48} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48} \)
\( h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \) рооீ.
роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░роо் \(16\sqrt{3}\) рооீ роЖроХுроо்.
роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░роо் h рооீ роОрой்роХ.
родொро▓ைро╡ு = 48 рооீ, роПро▒்ро▒роХ்роХோрогроо் \(\theta = 30°\).
\( \tan \theta = \frac{\text{роОродிро░்рок்рокроХ்роХроо்}}{\text{роЕроЯுрод்родுро│்ро│ рокроХ்роХроо்}} \)
\( \tan 30° = \frac{h}{48} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{48} \)
\( h = \frac{48}{\sqrt{3}} = \frac{48 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{48\sqrt{3}}{3} = 16\sqrt{3} \) рооீ.
роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░роо் \(16\sqrt{3}\) рооீ роЖроХுроо்.
12) 88 роЪ.роЪெ.рооீ ро╡ро│ைрокро░рок்рокுроЯைроп роТро░ு роиேро░்ро╡роЯ்роЯ роЙро░ுро│ைропிрой் роЙропро░роо் 14 роЪெ.рооீ роОройிро▓் роЙро░ுро│ைропிрой் ро╡ிроЯ்роЯроо் роХாрог்роХ.
родீро░்ро╡ு:
роЙро░ுро│ைропிрой் ро╡ро│ைрокро░рок்рокு (CSA) = 88 роЪ.роЪெ.рооீ.
роЙропро░роо் (h) = 14 роЪெ.рооீ.
CSA роЪூрод்родிро░роо்: \( 2\pi rh = 88 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14 = 88 \)
\( 2 \times 22 \times r \times 2 = 88 \)
\( 88r = 88 \)
\( r = 1 \) роЪெ.рооீ.
ро╡ிроЯ்роЯроо் (d) = 2r = 2 \(\times\) 1 = 2 роЪெ.рооீ.
роЙро░ுро│ைропிрой் ро╡ிроЯ்роЯроо் 2 роЪெ.рооீ.
роЙро░ுро│ைропிрой் ро╡ро│ைрокро░рок்рокு (CSA) = 88 роЪ.роЪெ.рооீ.
роЙропро░роо் (h) = 14 роЪெ.рооீ.
CSA роЪூрод்родிро░роо்: \( 2\pi rh = 88 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times r \times 14 = 88 \)
\( 2 \times 22 \times r \times 2 = 88 \)
\( 88r = 88 \)
\( r = 1 \) роЪெ.рооீ.
ро╡ிроЯ்роЯроо் (d) = 2r = 2 \(\times\) 1 = 2 роЪெ.рооீ.
роЙро░ுро│ைропிрой் ро╡ிроЯ்роЯроо் 2 роЪெ.рооீ.
13) роТро░ு родிрог்роо роЕро░ைроХ்роХோро│род்родிрой் роЕроЯிрок்рокро░рок்рокு 1386 роЪ.рооீ роОройிро▓், роЕродрой் рооொрод்родрок்рокுро▒рок்рокро░рок்рокைроХ் роХாрог்роХ.
родீро░்ро╡ு:
роЕро░ைроХ்роХோро│род்родிрой் роЕроЯிрок்рокро░рок்рокு (ро╡роЯ்роЯрод்родிрой் рокро░рок்рокு) = \(\pi r^2 = 1386\) роЪ.рооீ.
роЕро░ைроХ்роХோро│род்родிрой் рооொрод்родрок்рокுро▒рок்рокро░рок்рокு (TSA) = \(3\pi r^2\).
TSA = \(3 \times (\pi r^2) = 3 \times 1386 = 4158\) роЪ.рооீ.
роОройро╡ே, рооொрод்родрок்рокுро▒рок்рокро░рок்рокு 4158 роЪ.рооீ.
роЕро░ைроХ்роХோро│род்родிрой் роЕроЯிрок்рокро░рок்рокு (ро╡роЯ்роЯрод்родிрой் рокро░рок்рокு) = \(\pi r^2 = 1386\) роЪ.рооீ.
роЕро░ைроХ்роХோро│род்родிрой் рооொрод்родрок்рокுро▒рок்рокро░рок்рокு (TSA) = \(3\pi r^2\).
TSA = \(3 \times (\pi r^2) = 3 \times 1386 = 4158\) роЪ.рооீ.
роОройро╡ே, рооொрод்родрок்рокுро▒рок்рокро░рок்рокு 4158 роЪ.рооீ.
14) роЗро░ு роХோро│роЩ்роХро│ிрой் роЖро░роЩ்роХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо் 4:7 роОройிро▓், роЕро╡ро▒்ро▒ிрой் роХройроЕро│ро╡ுроХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо் роХாрог்роХ. (роХроЯ்роЯாроп ро╡ிройா)
родீро░்ро╡ு:
роЗро░ு роХோро│роЩ்роХро│ிрой் роЖро░роЩ்роХро│் \(r_1\) рооро▒்ро▒ுроо் \(r_2\) роОрой்роХ.
роЖро░роЩ்роХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо், \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{7}\).
роХோро│род்родிрой் роХройроЕро│ро╡ு \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
роХройроЕро│ро╡ுроХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо், \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\).
\(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{7}\right)^3 = \frac{4^3}{7^3} = \frac{64}{343}\).
роОройро╡ே, роХройроЕро│ро╡ுроХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо் 64:343.
роЗро░ு роХோро│роЩ்роХро│ிрой் роЖро░роЩ்роХро│் \(r_1\) рооро▒்ро▒ுроо் \(r_2\) роОрой்роХ.
роЖро░роЩ்роХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо், \(\frac{r_1}{r_2} = \frac{4}{7}\).
роХோро│род்родிрой் роХройроЕро│ро╡ு \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
роХройроЕро│ро╡ுроХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо், \(\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\).
\(\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{4}{7}\right)^3 = \frac{4^3}{7^3} = \frac{64}{343}\).
роОройро╡ே, роХройроЕро│ро╡ுроХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо் 64:343.
рокроХுродி - III
роОро╡ைропேройுроо் роРрои்родு ро╡ிройாроХ்роХро│ுроХ்роХு ро╡ிроЯைропро│ி: (5×5=25)
роХேро│்ро╡ி роОрог் 21 роХроЯ்роЯாроп ро╡ிройா.
15) \( A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} \) рооро▒்ро▒ுроо் \( C = \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} \) роОройிро▓், A+(B+C) = (A+B)+C роОрой்рокродройைроЪ் роЪро░ிрокாро░்роХ்роХ.
родீро░்ро╡ு:
роЗроЯродு роХை рокроХ்роХроо் (LHS): A+(B+C)
\( B+C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} \)
\( A+(B+C) = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (1)
ро╡ро▓родு роХை рокроХ்роХроо் (RHS): (A+B)+C
\( A+B = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} \)
\( (A+B)+C = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (2)
(1) рооро▒்ро▒ுроо் (2) ро▓ிро░ுрои்родு, A+(B+C) = (A+B)+C роОрой்рокродு роЪро░ிрокாро░்роХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு.
роЗроЯродு роХை рокроХ்роХроо் (LHS): A+(B+C)
\( B+C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} \)
\( A+(B+C) = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 6 & 8 \\ 2 & 7 & 5 \\ -5 & 5 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (1)
ро╡ро▓родு роХை рокроХ்роХроо் (RHS): (A+B)+C
\( A+B = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -8 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 9 & 2 \\ -7 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} \)
\( (A+B)+C = \begin{pmatrix} 6 & 6 & 5 \\ 3 & 12 & -6 \\ -6 & 1 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 9 & 9 \\ 4 & 10 & -3 \\ -4 & 5 & -6 \end{pmatrix} \) --- (2)
(1) рооро▒்ро▒ுроо் (2) ро▓ிро░ுрои்родு, A+(B+C) = (A+B)+C роОрой்рокродு роЪро░ிрокாро░்роХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு.
16) \( A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) роОройிро▓் CD-AB = 0 роОройுрооாро▒ு роЕрогி DроРроХ் роХாрог்роХ.
родீро░்ро╡ு:
CD - AB = 0 роОройிро▓், CD = AB.
рооுродро▓ிро▓் AB роРроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்:
\( AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(6)+(0)(8) & (3)(3)+(0)(5) \\ (4)(6)+(5)(8) & (4)(3)+(5)(5) \end{pmatrix} \)
\( AB = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 24+40 & 12+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
D роОрой்рокродு 2x2 ро╡ро░ிроЪைропுроЯைроп роЕрогி. \( D = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) роОрой்роХ.
\( CD = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} \)
CD = AB роОрой்рокродாро▓்,
\( \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
роТрод்род роЙро▒ுрок்рокுроХро│ை роЪроорой்рокроЯுрод்род,
3a + 6c = 18 => a + 2c = 6 --- (1)
a + c = 64 --- (2)
(2) - (1) => (a+c) - (a+2c) = 64-6 => -c = 58 => c = -58
c = -58 роР (2) роЗро▓் рокிро░родிропிроЯ, a - 58 = 64 => a = 122.
3b + 6d = 9 => b + 2d = 3 --- (3)
b + d = 37 --- (4)
(4) - (3) => (b+d) - (b+2d) = 37-3 => -d = 34 => d = -34
d = -34 роР (4) роЗро▓் рокிро░родிропிроЯ, b - 34 = 37 => b = 71.
роОройро╡ே, \( D = \begin{pmatrix} 122 & 71 \\ -58 & -34 \end{pmatrix} \).
CD - AB = 0 роОройிро▓், CD = AB.
рооுродро▓ிро▓் AB роРроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்:
\( AB = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 8 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(6)+(0)(8) & (3)(3)+(0)(5) \\ (4)(6)+(5)(8) & (4)(3)+(5)(5) \end{pmatrix} \)
\( AB = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 24+40 & 12+25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
D роОрой்рокродு 2x2 ро╡ро░ிроЪைропுроЯைроп роЕрогி. \( D = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) роОрой்роХ.
\( CD = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} \)
CD = AB роОрой்рокродாро▓்,
\( \begin{pmatrix} 3a+6c & 3b+6d \\ a+c & b+d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 9 \\ 64 & 37 \end{pmatrix} \)
роТрод்род роЙро▒ுрок்рокுроХро│ை роЪроорой்рокроЯுрод்род,
3a + 6c = 18 => a + 2c = 6 --- (1)
a + c = 64 --- (2)
(2) - (1) => (a+c) - (a+2c) = 64-6 => -c = 58 => c = -58
c = -58 роР (2) роЗро▓் рокிро░родிропிроЯ, a - 58 = 64 => a = 122.
3b + 6d = 9 => b + 2d = 3 --- (3)
b + d = 37 --- (4)
(4) - (3) => (b+d) - (b+2d) = 37-3 => -d = 34 => d = -34
d = -34 роР (4) роЗро▓் рокிро░родிропிроЯ, b - 34 = 37 => b = 71.
роОройро╡ே, \( D = \begin{pmatrix} 122 & 71 \\ -58 & -34 \end{pmatrix} \).
18) родро░ைропிрой் рооீродு роТро░ு рокுро│்ро│ிропிро▓ிро░ுрои்родு 30рооீ роЙропро░рооுро│்ро│ роХроЯ்роЯிроЯрод்родிрой் рооேро▓ுро│்ро│ роТро░ு роХோрокுро░род்родிрой் роЕроЯி рооро▒்ро▒ுроо் роЙроЪ்роЪிропிрой் роПро▒்ро▒роХ்роХோрогроЩ்роХро│் рооுро▒ைропே 45° рооро▒்ро▒ுроо் 60° роОройிро▓் роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░род்родைроХ் роХாрог்роХ. (\(\sqrt{3}=1.732\))
родீро░்ро╡ு:
роХроЯ்роЯிроЯрод்родிрой் роЙропро░роо் (BC) = 30 рооீ.
роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░роо் (CD) = h рооீ роОрой்роХ.
рокுро│்ро│ி A ропிро▓ிро░ுрои்родு роХроЯ்роЯிроЯрод்родிрой் роЕроЯிрок்рокроХுродிроХ்роХு роЙро│்ро│ родூро░роо் AB = x рооீ.
роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогроо் ABC роЗро▓்,
\(\tan 45° = \frac{BC}{AB} = \frac{30}{x}\)
\(1 = \frac{30}{x} \implies x = 30\) рооீ.
роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогроо் ABD роЗро▓்,
\(\tan 60° = \frac{BD}{AB} = \frac{BC+CD}{AB} = \frac{30+h}{x}\)
\(\sqrt{3} = \frac{30+h}{30}\)
\(30\sqrt{3} = 30+h\)
\(h = 30\sqrt{3} - 30 = 30(\sqrt{3}-1)\)
\(h = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96\) рооீ.
роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░роо் 21.96 рооீ роЖроХுроо்.
роХроЯ்роЯிроЯрод்родிрой் роЙропро░роо் (BC) = 30 рооீ.
роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░роо் (CD) = h рооீ роОрой்роХ.
рокுро│்ро│ி A ропிро▓ிро░ுрои்родு роХроЯ்роЯிроЯрод்родிрой் роЕроЯிрок்рокроХுродிроХ்роХு роЙро│்ро│ родூро░роо் AB = x рооீ.
роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогроо் ABC роЗро▓்,
\(\tan 45° = \frac{BC}{AB} = \frac{30}{x}\)
\(1 = \frac{30}{x} \implies x = 30\) рооீ.
роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогроо் ABD роЗро▓்,
\(\tan 60° = \frac{BD}{AB} = \frac{BC+CD}{AB} = \frac{30+h}{x}\)
\(\sqrt{3} = \frac{30+h}{30}\)
\(30\sqrt{3} = 30+h\)
\(h = 30\sqrt{3} - 30 = 30(\sqrt{3}-1)\)
\(h = 30(1.732 - 1) = 30(0.732) = 21.96\) рооீ.
роХோрокுро░род்родிрой் роЙропро░роо் 21.96 рооீ роЖроХுроо்.
19) роТро░ு роЙро░ுро│ைропிрой் роЖро░роо் рооро▒்ро▒ுроо் роЙропро░роЩ்роХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо் 5:7 роЖроХுроо். роЕродрой் ро╡ро│ைрокро░рок்рокு 5500 роЪ.роЪெ.рооீ роОройிро▓், роЙро░ுро│ைропிрой் роЖро░роо் рооро▒்ро▒ுроо் роЙропро░роо் роХாрог்роХ.
родீро░்ро╡ு:
роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை:
роЙро░ுро│ைропிрой் роЖро░роо் рооро▒்ро▒ுроо் роЙропро░род்родிрой் ро╡ிроХிродроо் = 5:7.
роЖро░роо் \(r = 5x\) роОрой்роХ.
роЙропро░роо் \(h = 7x\) роОрой்роХ.
роЙро░ுро│ைропிрой் ро╡ро│ைрокро░рок்рокு (CSA) = 5500 роЪ.роЪெ.рооீ.
роЙро░ுро│ைропிрой் ро╡ро│ைрокро░рок்рокுроХ்роХாрой роЪூрод்родிро░роо் \(2\pi rh\).
\( 2\pi rh = 5500 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times (5x) \times (7x) = 5500 \)
\( 2 \times 22 \times 5x \times x = 5500 \) (7-роР роиீроХ்роХிроп рокிро▒роХு)
\( 220x^2 = 5500 \)
\( x^2 = \frac{5500}{220} \)
\( x^2 = \frac{550}{22} \)
\( x^2 = 25 \)
\( x = \sqrt{25} = 5 \)
роЗрок்рокோродு, роЖро░роо் рооро▒்ро▒ுроо் роЙропро░род்родைроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்:
роЖро░роо் \(r = 5x = 5 \times 5 = 25\) роЪெ.рооீ.
роЙропро░роо் \(h = 7x = 7 \times 5 = 35\) роЪெ.рооீ.
ро╡ிроЯை:
роЙро░ுро│ைропிрой் роЖро░роо் 25 роЪெ.рооீ р░ор░░ిр░пు роЙропро░роо் 35 роЪெ.рооீ роЖроХுроо்.
роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை:
роЙро░ுро│ைропிрой் роЖро░роо் рооро▒்ро▒ுроо் роЙропро░род்родிрой் ро╡ிроХிродроо் = 5:7.
роЖро░роо் \(r = 5x\) роОрой்роХ.
роЙропро░роо் \(h = 7x\) роОрой்роХ.
роЙро░ுро│ைропிрой் ро╡ро│ைрокро░рок்рокு (CSA) = 5500 роЪ.роЪெ.рооீ.
роЙро░ுро│ைропிрой் ро╡ро│ைрокро░рок்рокுроХ்роХாрой роЪூрод்родிро░роо் \(2\pi rh\).
\( 2\pi rh = 5500 \)
\( 2 \times \frac{22}{7} \times (5x) \times (7x) = 5500 \)
\( 2 \times 22 \times 5x \times x = 5500 \) (7-роР роиீроХ்роХிроп рокிро▒роХு)
\( 220x^2 = 5500 \)
\( x^2 = \frac{5500}{220} \)
\( x^2 = \frac{550}{22} \)
\( x^2 = 25 \)
\( x = \sqrt{25} = 5 \)
роЗрок்рокோродு, роЖро░роо் рооро▒்ро▒ுроо் роЙропро░род்родைроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்:
роЖро░роо் \(r = 5x = 5 \times 5 = 25\) роЪெ.рооீ.
роЙропро░роо் \(h = 7x = 7 \times 5 = 35\) роЪெ.рооீ.
ро╡ிроЯை:
роЙро░ுро│ைропிрой் роЖро░роо் 25 роЪெ.рооீ р░ор░░ిр░пు роЙропро░роо் 35 роЪெ.рооீ роЖроХுроо்.
20) рокிродாроХро░ро╕் родேро▒்ро▒род்родை роОро┤ுродி роиிро▒ுро╡ுроХ.
родீро░்ро╡ு:
роХூро▒்ро▒ு: роТро░ு роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогрод்родிро▓் роХро░்рогрод்родிрой் ро╡ро░்роХ்роХроо் рооро▒்ро▒ роЗро░ு рокроХ்роХроЩ்роХро│ிрой் ро╡ро░்роХ்роХроЩ்роХро│ிрой் роХூроЯுродро▓ுроХ்роХுроЪ் роЪроороо்.
роиிро▒ுро╡ро▓்:
\(\triangle ABC\)-ропிро▓் \(\angle A = 90^\circ\).
роиாроо் роиிро▒ுро╡ ро╡ேрог்роЯிропродு: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)
ро╡ро░ைродро▓்: \(AD \perp BC\) ро╡ро░ைроХ.
роиிро▒ுрокрогроо்:
\(\triangle ABC\) рооро▒்ро▒ுроо் \(\triangle DBA\)-роРроХ் роХро░ுродுроХ.
\(\angle B\) рокொродுро╡ாройродு.
\(\angle BAC = \angle BDA = 90^\circ\).
роОройро╡ே, AA ро╡ிродிрооுро▒ைрок்рокроЯி \(\triangle ABC \sim \triangle DBA\).
\(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} \implies AB^2 = BC \times DB\) --- (1)
\(\triangle ABC\) рооро▒்ро▒ுроо் \(\triangle DAC\)-роРроХ் роХро░ுродுроХ.
\(\angle C\) рокொродுро╡ாройродு.
\(\angle BAC = \angle ADC = 90^\circ\).
роОройро╡ே, AA ро╡ிродிрооுро▒ைрок்рокроЯி \(\triangle ABC \sim \triangle DAC\).
\(\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \implies AC^2 = BC \times DC\) --- (2)
роЪроорой்рокாроЯு (1) рооро▒்ро▒ுроо் (2)-роРроХ் роХூроЯ்роЯ,
\(AB^2 + AC^2 = (BC \times DB) + (BC \times DC)\)
\( = BC(DB+DC)\)
\( = BC(BC) = BC^2\)
роОройро╡ே, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). родேро▒்ро▒роо் роиிро▒ுро╡рок்рокроЯ்роЯродு.
роХூро▒்ро▒ு: роТро░ு роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогрод்родிро▓் роХро░்рогрод்родிрой் ро╡ро░்роХ்роХроо் рооро▒்ро▒ роЗро░ு рокроХ்роХроЩ்роХро│ிрой் ро╡ро░்роХ்роХроЩ்роХро│ிрой் роХூроЯுродро▓ுроХ்роХுроЪ் роЪроороо்.
роиிро▒ுро╡ро▓்:
\(\triangle ABC\)-ропிро▓் \(\angle A = 90^\circ\).
роиாроо் роиிро▒ுро╡ ро╡ேрог்роЯிропродு: \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)
ро╡ро░ைродро▓்: \(AD \perp BC\) ро╡ро░ைроХ.
роиிро▒ுрокрогроо்:
\(\triangle ABC\) рооро▒்ро▒ுроо் \(\triangle DBA\)-роРроХ் роХро░ுродுроХ.
\(\angle B\) рокொродுро╡ாройродு.
\(\angle BAC = \angle BDA = 90^\circ\).
роОройро╡ே, AA ро╡ிродிрооுро▒ைрок்рокроЯி \(\triangle ABC \sim \triangle DBA\).
\(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BA} \implies AB^2 = BC \times DB\) --- (1)
\(\triangle ABC\) рооро▒்ро▒ுроо் \(\triangle DAC\)-роРроХ் роХро░ுродுроХ.
\(\angle C\) рокொродுро╡ாройродு.
\(\angle BAC = \angle ADC = 90^\circ\).
роОройро╡ே, AA ро╡ிродிрооுро▒ைрок்рокроЯி \(\triangle ABC \sim \triangle DAC\).
\(\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{DC} \implies AC^2 = BC \times DC\) --- (2)
роЪроорой்рокாроЯு (1) рооро▒்ро▒ுроо் (2)-роРроХ் роХூроЯ்роЯ,
\(AB^2 + AC^2 = (BC \times DB) + (BC \times DC)\)
\( = BC(DB+DC)\)
\( = BC(BC) = BC^2\)
роОройро╡ே, \(AB^2 + AC^2 = BC^2\). родேро▒்ро▒роо் роиிро▒ுро╡рок்рокроЯ்роЯродு.
21) 45 роЪெ.рооீ роЙропро░рооுро│்ро│ роУро░் роЗроЯைроХ்роХрог்роЯрод்родிрой் роЗро░ுрокுро▒ роЖро░роЩ்роХро│் рооுро▒ைропே 28 роЪெ.рооீ рооро▒்ро▒ுроо் 7 роЪெ.рооீ роОройிро▓் роЗроЯைроХ்роХрог்роЯрод்родிрой் роХройроЕро│ро╡ைроХ் роХாрог்роХ. (роХроЯ்роЯாроп ро╡ிройா)
родீро░்ро╡ு:
роЗроЯைроХ்роХрог்роЯрод்родிрой் роЙропро░роо் (h) = 45 роЪெ.рооீ.
рокெро░ிроп роЖро░роо் (R) = 28 роЪெ.рооீ.
роЪிро▒ிроп роЖро░роо் (r) = 7 роЪெ.рооீ.
роЗроЯைроХ்роХрог்роЯрод்родிрой் роХройроЕро│ро╡ு \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)\).
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^2 + 7^2 + (28)(7)) \)
\( V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196) \)
\( V = \frac{330}{7} \times (1029) \)
\( V = 330 \times 147 \)
\( V = 48510 \) роХ.роЪெ.рооீ.
роЗроЯைроХ்роХрог்роЯрод்родிрой் роХройроЕро│ро╡ு 48510 роХ.роЪெ.рооீ. роЖроХுроо்.
роЗроЯைроХ்роХрог்роЯрод்родிрой் роЙропро░роо் (h) = 45 роЪெ.рооீ.
рокெро░ிроп роЖро░роо் (R) = 28 роЪெ.рооீ.
роЪிро▒ிроп роЖро░роо் (r) = 7 роЪெ.рооீ.
роЗроЯைроХ்роХрог்роЯрод்родிрой் роХройроЕро│ро╡ு \(V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr)\).
\( V = \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 45 \times (28^2 + 7^2 + (28)(7)) \)
\( V = \frac{22 \times 15}{7} \times (784 + 49 + 196) \)
\( V = \frac{330}{7} \times (1029) \)
\( V = 330 \times 147 \)
\( V = 48510 \) роХ.роЪெ.рооீ.
роЗроЯைроХ்роХрог்роЯрод்родிрой் роХройроЕро│ро╡ு 48510 роХ.роЪெ.рооீ. роЖроХுроо்.
рокроХுродி - IV
роПродேройுроо் роТро░ு ро╡ிройாро╡ிро▒்роХு роороЯ்роЯுроо் ро╡ிроЯைропро│ிроХ்роХро╡ுроо்: (1×8=8)
22) a) 6 роЪெ.рооீ ро╡ிроЯ்роЯрооுро│்ро│ ро╡роЯ்роЯроо் ро╡ро░ைрои்родு ро╡роЯ்роЯрод்родிрой் рооைропрод்родிро▓ிро░ுрои்родு 8 роЪெ.рооீ родொро▓ைро╡ிро▓் P роОрой்ро▒ рокுро│்ро│ிропைроХ் роХுро▒ிроХ்роХро╡ுроо். роЕрок்рокுро│்ро│ிропிро▓ிро░ுрои்родு PA рооро▒்ро▒ுроо் PB роОрой்ро▒ роЗро░ு родொроЯுроХோроЯுроХро│் ро╡ро░ைрои்родு роЕро╡ро▒்ро▒ிрой் роиீро│роЩ்роХро│ை роЕро│ро╡ிроЯுроХ.
родீро░்ро╡ு:
роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை: ро╡ிроЯ்роЯроо் = 6 роЪெ.рооீ, роОройро╡ே роЖро░роо் (r) = 3 роЪெ.рооீ. рооைропрод்родிро▓ிро░ுрои்родு рокுро│்ро│ி P-ропிрой் родொро▓ைро╡ு (OP) = 8 роЪெ.рооீ.
ро╡ро░ைрооுро▒ை:
1. O-ро╡ை рооைропрооாроХроХ் роХொрог்роЯு 3 роЪெ.рооீ роЖро░рооுро│்ро│ ро╡роЯ்роЯроо் ро╡ро░ைроХ.
2. O-ро╡ிро▓ிро░ுрои்родு 8 роЪெ.рооீ родொро▓ைро╡ிро▓் P роОрой்ро▒ рокுро│்ро│ிропைроХ் роХுро▒ிроХ்роХро╡ுроо். OP-роР роЗрогைроХ்роХро╡ுроо்.
3. OP-роХ்роХு рооைропроХ்роХுрод்родுроХ்роХோроЯு ро╡ро░ைроХ. роЕродு OP-роР M роОрой்ро▒ рокுро│்ро│ிропிро▓் роЪрои்родிроХ்роХроЯ்роЯுроо்.
4. M-роР рооைропрооாроХро╡ுроо் MO-ро╡ை роЖро░рооாроХро╡ுроо் роХொрог்роЯு роТро░ு ро╡роЯ்роЯроо் ро╡ро░ைроХ. роЗрои்род ро╡роЯ்роЯроо் рооுрои்родைроп ро╡роЯ்роЯрод்родை A рооро▒்ро▒ுроо் B роЖроХிроп рокுро│்ро│ிроХро│ிро▓் ро╡ெроЯ்роЯுроо்.
5. PA рооро▒்ро▒ுроо் PB-роР роЗрогைроХ்роХро╡ுроо். роЗро╡ைропே родேро╡ைропாрой родொроЯுроХோроЯுроХро│் роЖроХுроо்.
роЕро│ро╡ிроЯுродро▓்: роЕро│ро╡ுроХோро▓ைрок் рокропрой்рокроЯுрод்родி роЕро│рои்родாро▓், PA = PB = 7.4 роЪெ.рооீ (родோро░ாропрооாроХ).
роЪро░ிрокாро░்род்родро▓்:
роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогроо் OAP-ро▓், рокிродாроХро░ро╕் родேро▒்ро▒рок்рокроЯி,
\( PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} \)
\( PA = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55} \)
\( \sqrt{55} \approx 7.416 \) роЪெ.рооீ.
роОройро╡ே, ро╡ро░ைрооுро▒ை роЪро░ிрокாро░்роХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு.
роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை: ро╡ிроЯ்роЯроо் = 6 роЪெ.рооீ, роОройро╡ே роЖро░роо் (r) = 3 роЪெ.рооீ. рооைропрод்родிро▓ிро░ுрои்родு рокுро│்ро│ி P-ропிрой் родொро▓ைро╡ு (OP) = 8 роЪெ.рооீ.
ро╡ро░ைрооுро▒ை:
1. O-ро╡ை рооைропрооாроХроХ் роХொрог்роЯு 3 роЪெ.рооீ роЖро░рооுро│்ро│ ро╡роЯ்роЯроо் ро╡ро░ைроХ.
2. O-ро╡ிро▓ிро░ுрои்родு 8 роЪெ.рооீ родொро▓ைро╡ிро▓் P роОрой்ро▒ рокுро│்ро│ிропைроХ் роХுро▒ிроХ்роХро╡ுроо். OP-роР роЗрогைроХ்роХро╡ுроо்.
3. OP-роХ்роХு рооைропроХ்роХுрод்родுроХ்роХோроЯு ро╡ро░ைроХ. роЕродு OP-роР M роОрой்ро▒ рокுро│்ро│ிропிро▓் роЪрои்родிроХ்роХроЯ்роЯுроо்.
4. M-роР рооைропрооாроХро╡ுроо் MO-ро╡ை роЖро░рооாроХро╡ுроо் роХொрог்роЯு роТро░ு ро╡роЯ்роЯроо் ро╡ро░ைроХ. роЗрои்род ро╡роЯ்роЯроо் рооுрои்родைроп ро╡роЯ்роЯрод்родை A рооро▒்ро▒ுроо் B роЖроХிроп рокுро│்ро│ிроХро│ிро▓் ро╡ெроЯ்роЯுроо்.
5. PA рооро▒்ро▒ுроо் PB-роР роЗрогைроХ்роХро╡ுроо். роЗро╡ைропே родேро╡ைропாрой родொроЯுроХோроЯுроХро│் роЖроХுроо்.
роЕро│ро╡ிроЯுродро▓்: роЕро│ро╡ுроХோро▓ைрок் рокропрой்рокроЯுрод்родி роЕро│рои்родாро▓், PA = PB = 7.4 роЪெ.рооீ (родோро░ாропрооாроХ).
роЪро░ிрокாро░்род்родро▓்:
роЪெроЩ்роХோрог рооுроХ்роХோрогроо் OAP-ро▓், рокிродாроХро░ро╕் родேро▒்ро▒рок்рокроЯி,
\( PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} \)
\( PA = \sqrt{8^2 - 3^2} = \sqrt{64 - 9} = \sqrt{55} \)
\( \sqrt{55} \approx 7.416 \) роЪெ.рооீ.
роОройро╡ே, ро╡ро░ைрооுро▒ை роЪро░ிрокாро░்роХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு.
(роЕро▓்ро▓родு)
b) роЗро░ுрокроЯிроЪ் роЪроорой்рокாроЯ்роЯிрой் ро╡ро░ைрокроЯроо் ро╡ро░ைрои்родு родீро░்ро╡ுроХро│ிрой் родрой்рооைропை ро╡ро░ைрокроЯроо் рооூро▓роо் роХாрог்роХ: \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
родீро░்ро╡ு:
\(y = x^2 - 9x + 20\) роОрой்роХ.
рооுродро▓ிро▓் x-роХ்роХு ро╡ெро╡்ро╡ேро▒ு роородிрок்рокுроХро│ைроХ் роХொроЯுрод்родு y-ропிрой் роородிрок்рокுроХро│ைроХ் роХாрог роЕроЯ்роЯро╡рогைропை роЙро░ுро╡ாроХ்роХுро╡ோроо்.
ро╡ро░ைрокроЯроо்:
рооேро▒்роХрог்роЯ рокுро│்ро│ிроХро│ை (-1,30), (0,20), (1,12), (2,6), (3,2), (4,0), (4.5, -0.25), (5,0), (6,2) ро╡ро░ைрокроЯрод்родாро│ிро▓் роХுро▒ிрод்родு, роЕро╡ро▒்ро▒ை роТро░ு рооெрой்рооைропாрой ро╡ро│ைроХோроЯ்роЯாро▓் роЗрогைроХ்роХ ро╡ேрог்роЯுроо். роироороХ்роХு роТро░ு рокро░ро╡ро│ைропроо் (parabola) роХிроЯைроХ்роХுроо்.
родீро░்ро╡ிрой் родрой்рооை:
ро╡ро░ைрокроЯроо் x-роЕроЪ்роЪை (4, 0) рооро▒்ро▒ுроо் (5, 0) роЖроХிроп роЗро░рог்роЯு ро╡ெро╡்ро╡ேро▒ு рокுро│்ро│ிроХро│ிро▓் ро╡ெроЯ்роЯுроХிро▒родு.
роОройро╡ே, роЪроорой்рокாроЯ்роЯிрой் рооூро▓роЩ்роХро│் рооெроп் рооро▒்ро▒ுроо் роЪроорооро▒்ро▒ро╡ை. (рооூро▓роЩ்роХро│் 4 рооро▒்ро▒ுроо் 5).
\(y = x^2 - 9x + 20\) роОрой்роХ.
рооுродро▓ிро▓் x-роХ்роХு ро╡ெро╡்ро╡ேро▒ு роородிрок்рокுроХро│ைроХ் роХொроЯுрод்родு y-ропிрой் роородிрок்рокுроХро│ைроХ் роХாрог роЕроЯ்роЯро╡рогைропை роЙро░ுро╡ாроХ்роХுро╡ோроо்.
| x | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 4.5 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x² | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 20.25 | 25 | 36 |
| -9x | 9 | 0 | -9 | -18 | -27 | -36 | -40.5 | -45 | -54 |
| +20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
| y | 30 | 20 | 12 | 6 | 2 | 0 | -0.25 | 0 | 2 |
рооேро▒்роХрог்роЯ рокுро│்ро│ிроХро│ை (-1,30), (0,20), (1,12), (2,6), (3,2), (4,0), (4.5, -0.25), (5,0), (6,2) ро╡ро░ைрокроЯрод்родாро│ிро▓் роХுро▒ிрод்родு, роЕро╡ро▒்ро▒ை роТро░ு рооெрой்рооைропாрой ро╡ро│ைроХோроЯ்роЯாро▓் роЗрогைроХ்роХ ро╡ேрог்роЯுроо். роироороХ்роХு роТро░ு рокро░ро╡ро│ைропроо் (parabola) роХிроЯைроХ்роХுроо்.
родீро░்ро╡ிрой் родрой்рооை:
ро╡ро░ைрокроЯроо் x-роЕроЪ்роЪை (4, 0) рооро▒்ро▒ுроо் (5, 0) роЖроХிроп роЗро░рог்роЯு ро╡ெро╡்ро╡ேро▒ு рокுро│்ро│ிроХро│ிро▓் ро╡ெроЯ்роЯுроХிро▒родு.
роОройро╡ே, роЪроорой்рокாроЯ்роЯிрой் рооூро▓роЩ்роХро│் рооெроп் рооро▒்ро▒ுроо் роЪроорооро▒்ро▒ро╡ை. (рооூро▓роЩ்роХро│் 4 рооро▒்ро▒ுроо் 5).
