10th Maths Quarterly Exam Question Paper 2025 with Complete Solutions | Tirunelveli District
திருநெல்வேலி மாவட்டம்
காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - செப்டம்பர் 2025
வகுப்பு 10 - கணிதம்
காலம்: 3.00 மணி | மதிப்பெண்கள்: 100
விடைகள்
பகுதி-I (14×1=14)
குறிப்பு : அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும்.
1) n(A) = m மற்றும் n(B) = n என்க. A-லிருந்து B-க்கு வரையறுக்கப்பட்ட வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை
c) \(2^{mn}-1\)
விளக்கம்:
A-லிருந்து B-க்கு உள்ள மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{mn}\).
வெற்று கணமில்லாத உறவுகளின் எண்ணிக்கை = மொத்த உறவுகள் - வெற்று உறவு (1)
= \(2^{mn}-1\).
2) \(f(x) = 2x^2\) மற்றும் \(g(x) = \frac{1}{3x}\) எனில் f o g ஆனது
(வினாவில் பிழை இருக்கலாம். சரியான கணக்கீடு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது)
விளக்கம்:
\(f o g(x) = f(g(x))\)
\(f(g(x)) = f\left(\frac{1}{3x}\right)\)
\( = 2\left(\frac{1}{3x}\right)^2\)
\( = 2\left(\frac{1}{9x^2}\right)\)
\( = \frac{2}{9x^2}\)
கொடுக்கப்பட்ட விருப்பங்களில் இந்த விடை இல்லை. ஒருவேளை கேள்வி \(g \circ f\) ஆக இருந்திருந்தால்,
\(g \circ f(x) = g(f(x)) = g(2x^2) = \frac{1}{3(2x^2)} = \frac{1}{6x^2}\). இது விருப்பம் (d) உடன் பொருந்துகிறது.
3) g = {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7)} என்ற சார்பானது \(g(x) = \alpha x + \beta\) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் \(\alpha\) மற்றும் \(\beta\)-வின் மதிப்பானது
b) (2,-1)
விளக்கம்:
\(g(x) = \alpha x + \beta\).
(1,1) என்ற புள்ளியைப் பிரதியிட: \(g(1)=1 \implies \alpha(1) + \beta = 1 \implies \alpha + \beta = 1\) ...(1)
(2,3) என்ற புள்ளியைப் பிரதியிட: \(g(2)=3 \implies \alpha(2) + \beta = 3 \implies 2\alpha + \beta = 3\) ...(2)
சமன்பாடு (2) - (1): \((2\alpha + \beta) - (\alpha + \beta) = 3 - 1 \implies \alpha = 2\)
\(\alpha = 2\) என (1)-ல் பிரதியிட: \(2 + \beta = 1 \implies \beta = -1\).
எனவே, \((\alpha, \beta) = (2, -1)\).
4) 65 மற்றும் 117 -யின்மீ.பொ.வ வை 65m - 117 என்ற வடிவில் எழுதும் போது, m-ன் மதிப்பு
b) 2
விளக்கம்:
யூக்ளிடின் வகுத்தல் முறைப்படி 65 மற்றும் 117-ன் மீ.பொ.வ காண்போம்.
\(117 = 1 \times 65 + 52\)
\(65 = 1 \times 52 + 13\)
\(52 = 4 \times 13 + 0\)
மீ.பொ.வ = 13.
கணக்கின்படி, \(65m - 117 = 13\).
\(65m = 117 + 13 = 130\).
\(m = \frac{130}{65} = 2\).
5) ஒரு கூட்டுத்தொடரின் n வது உறுப்பு 2n-1 எனில் அந்த கூட்டுத்தொடரின் முதல் 'n' உறுப்புகளின் கூடுதல்
a) \(n^2\)
விளக்கம்:
\(t_n = 2n-1\).
முதல் உறுப்பு, \(a = t_1 = 2(1)-1 = 1\).
கடைசி உறுப்பு, \(l = t_n = 2n-1\).
கூடுதல், \(S_n = \frac{n}{2}(a+l)\)
\(S_n = \frac{n}{2}(1 + 2n-1) = \frac{n}{2}(2n) = n^2\).
6) கீழ்க்காண்பனவற்றுள் எது \(y^2 + \frac{1}{y^2}\) க்குச் சமம் இல்லை
கொடுக்கப்பட்டுள்ள வினாத்தாளில் உள்ள வினாவில் பிழை உள்ளது. எனவே இங்கு சரியான வினா மற்றும் விடை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.b) \(\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
விளக்கம்:
a) \(\frac{y^4+1}{y^2} = \frac{y^4}{y^2} + \frac{1}{y^2} = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
b) \((y+\frac{1}{y})^2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம் இல்லை).
d) \((y+\frac{1}{y})^2 - 2 = (y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2}) - 2 = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} - 2 = y^2 + \frac{1}{y^2}\) (சமம்).
7) ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு ________ ஆகும்.
a) நேர்க்கோடு
விளக்கம்:
ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் (Linear Equation) வரைபடம் எப்போதும் ஒரு நேர்க்கோடாகவே இருக்கும்.
8) இரு சமபக்க முக்கோணம் \(\triangle ABC\)-யில் \(\angle C = 90^\circ\) மற்றும் AC = 5 செ.மீ, எனில் AB ஆனது
d) \(5\sqrt{2}\) செ.மீ
விளக்கம்:
\(\triangle ABC\) ஒரு இரு சமபக்க செங்கோண முக்கோணம். \(\angle C = 90^\circ\).
எனவே, AC = BC = 5 செ.மீ.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி, \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).
\(AB^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50\).
\(AB = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) செ.மீ.
9) \(\triangle ABC\)-யில் DE || BC, AB = 3.6 செ.மீ, AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில், AE-யின் நீளம்
a) 1.4 செ.மீ
விளக்கம்:
அடிப்படை விகிதசம தேற்றப்படி (தேல்ஸ் தேற்றம்), DE || BC எனில்,
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\)
\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = \frac{2.1 \times 24}{36} = \frac{2.1 \times 2}{3} = 0.7 \times 2 = 1.4\) செ.மீ.
10) \(3x - y = 4\) மற்றும் \(x + y = 8\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி
c) (3,5)
விளக்கம்:
\(3x - y = 4\) ...(1)
\(x + y = 8\) ...(2)
(1) + (2) \(\implies 4x = 12 \implies x = 3\).
x = 3 என (2)-ல் பிரதியிட: \(3 + y = 8 \implies y = 5\).
சந்திக்கும் புள்ளி (3,5).
11) (2,1) ஐ சந்திப்பு புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்க்கோடுகள்
b) \(x + y = 3 ; 3x + y = 7\)
விளக்கம்:
புள்ளி (2,1) ஐ ஒவ்வொரு விருப்பத்திலும் பிரதியிட்டு சரிபார்க்க வேண்டும்.
விருப்பம் b):
\(x + y = 3 \implies 2 + 1 = 3\) (சரி).
\(3x + y = 7 \implies 3(2) + 1 = 6+1=7\) (சரி).
எனவே, இதுவே சரியான விடை.
12) (2,–3), (3,2) மற்றும் (−2,5) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு
(விருப்பங்களில் பிழை. சரியான விடை 12.5)
விளக்கம்:
முக்கோணத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|\)
= \(\frac{1}{2} |2(2-5) + 3(5-(-3)) + (-2)(-3-2)|\)
= \(\frac{1}{2} |2(-3) + 3(8) - 2(-5)|\)
= \(\frac{1}{2} |-6 + 24 + 10|\)
= \(\frac{1}{2} |28| = 14\) சதுர அலகுகள்.
Short-cut method:
\( \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -2 & 2 \\ -3 & 2 & 5 & -3 \end{vmatrix} \)
\( = \frac{1}{2} |((2)(2)+(3)(5)+(-2)(-3)) - ((-3)(3)+(2)(-2)+(5)(2))| \)
\( = \frac{1}{2} |(4+15+6) - (-9-4+10)| \)
\( = \frac{1}{2} |25 - (-3)| = \frac{1}{2} |28| = 14 \).
விடை: c) 14
13) \(tan \theta \ cosec^2 \theta - tan \theta\)-ன் மதிப்பு
d) \(\cot \theta\)
விளக்கம்:
\(tan \theta \ cosec^2 \theta - tan \theta = tan \theta (cosec^2 \theta - 1)\)
\(cosec^2 \theta - 1 = \cot^2 \theta\) என்ற முற்றொருமையை பயன்படுத்த,
\( = tan \theta (\cot^2 \theta)\)
\( = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\)
\( = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta\).
14) \(\sin \theta + \cos \theta = a\) மற்றும் \(\sec \theta + \text{cosec} \theta = b\) எனில் \(b(a^2-1)\)-ன் மதிப்பு
a) 2a
விளக்கம்:
\(a = \sin \theta + \cos \theta \implies a^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta\).
\(a^2 - 1 = 2\sin \theta \cos \theta\).
\(b = \sec \theta + \text{cosec} \theta = \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{a}{\sin \theta \cos \theta}\).
\(b(a^2 - 1) = \left(\frac{a}{\sin \theta \cos \theta}\right) \times (2\sin \theta \cos \theta)\)
\( = 2a\).
பகுதி-II (10×2=20)
குறிப்பு : எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். வினா எண் 28க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.
15) BXA = {(-2,3),(-2,4),(0,3),(0,4),(3,3),(3,4)} எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.
BXA-ல் உள்ள முதல் உறுப்புகள் B கணத்தின் உறுப்புகள். இரண்டாவது உறுப்புகள் A கணத்தின் உறுப்புகள்.
B கணத்தின் உறுப்புகள் = {-2, 0, 3}
A கணத்தின் உறுப்புகள் = {3, 4}
எனவே, A = {3, 4} மற்றும் B = {-2, 0, 3}.
16) ஒரு விமானம் 500 கி.மீ/மணி வேகத்தில் பறக்கிறது. விமானம் 'd' தொலைவு செல்வதற்கு ஆகும் காலத்தை t (மணியில்)-ன் சார்பாக வெளிப்படுத்துக.
இங்கு, விமானத்தின் வேகம் ஒரு மணி நேரத்திற்கு 500 கி.மீ ஆகும். நாம் 'd' தொலைவை 't' காலத்தின் சார்பாகக் குறிப்பிட வேண்டும்.
நமக்குத் தெரிந்த சூத்திரம்:
வேகம் = \(\frac{தொலைவு}{காலம்}\)
இந்த சூத்திரத்தை தொலைவிற்காக மாற்றி எழுதலாம்:
தொலைவு = வேகம் × காலம்
கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
- தொலைவு = d
- வேகம் = 500 கி.மீ/மணி
- காலம் = t (மணியில்)
எனவே, சமன்பாடு:
\(d = 500 \times t\)
இதை சார்பாக எழுதும்போது:
\(d(t) = 500t\)
இதுவே 'd' தொலைவிற்கான சார்பு, 't' காலத்தைப் பொறுத்து ஆகும்.
17) \(a^b \times b^a = 800\) என்றவாறு அமையும் இரு மிகை முழுக்கள் 'a' மற்றும் 'b' ஐ காண்க.
800 ஐ பகா காரணிப்படுத்த:
\(800 = 8 \times 100 = 2^3 \times 10^2 = 2^3 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 5^2\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: \(a^b \times b^a = 800\)
\(a^b \times b^a = 2^5 \times 5^2\)
இதை ஒப்பிடும் போது, a = 2 மற்றும் b = 5 (அல்லது a=5, b=2) என கிடைக்கிறது.
சரிபார்ப்பு: \(2^5 \times 5^2 = 32 \times 25 = 800\).
எனவே, a = 2, b = 5.
18) 1, -3, 9, −27,.... என்ற பெருக்குத் தொடர்வரிசையில் முதல் 8 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.
இத்தொடர் ஒரு பெருக்குத் தொடர்வரிசை (G.P).
முதல் உறுப்பு, a = 1
பொது விகிதம், \(r = \frac{-3}{1} = -3\). \(r < 1\).
n = 8.
கூடுதல் சூத்திரம், \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}\)
\(S_8 = \frac{1((-3)^8 - 1)}{-3-1} = \frac{6561 - 1}{-4} = \frac{6560}{-4} = -1640\).
முதல் 8 உறுப்புகளின் கூடுதல் -1640.
19) மீ.சி.ம காண்க: \(x^4 – 1, x^2 – 2x + 1\)
படி 1: முதல் கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல்
\(p(x) = x^4 - 1\)
= \((x^2)^2 - 1^2\) (a²-b² = (a-b)(a+b) முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி)
= \((x^2 - 1)(x^2 + 1)\)
= \((x-1)(x+1)(x^2 + 1)\)
படி 2: இரண்டாம் கோவையைக் காரணிப்படுத்துதல்
\(q(x) = x^2 - 2x + 1\)
= \((x-1)^2\) (a²-2ab+b² = (a-b)² முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி)
படி 3: மீ.சி.ம (L.C.M) காணுதல்
மீ.சி.ம என்பது அனைத்துக் காரணிகளின் அதிகபட்ச அடுக்குகளின் பெருக்கற்பலன் ஆகும்.
- \((x-1)\)-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு: 2
- \((x+1)\)-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு: 1
- \((x^2+1)\)-ன் அதிகபட்ச அடுக்கு: 1
எனவே, மீ.சி.ம = \((x-1)^2(x+1)(x^2+1)\)
20) சூத்திர முறையைப் பயன்படுத்தி \(2x^2 - 3x - 3 = 0\) ஐத் தீர்க்க.
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: \(2x^2 - 3x - 3 = 0\)
இதை \(ax^2 + bx + c = 0\) உடன் ஒப்பிட, a=2, b=-3, c=-3.
சூத்திரம்: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)}\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{4}\)
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}\)
எனவே, தீர்வுகள்: \(x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}\) மற்றும் \(x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}\).
21) \(3x^2 + 7x – 2 = 0\) என்ற சமன்பாட்டின் மூலங்கள் \(\alpha\) மற்றும் \(\beta\) எனில் \(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}\) ன் மதிப்பைக் காண்க.
சமன்பாடு: \(3x^2 + 7x - 2 = 0\)
மூலங்களின் கூடுதல்: \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{7}{3}\)
மூலங்களின் பெருக்கல்: \(\alpha\beta = \frac{c}{a} = -\frac{2}{3}\)
நாம் காண வேண்டியது: \(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}\)
\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta\)
\( = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{49}{9} + \frac{4}{3} = \frac{49+12}{9} = \frac{61}{9}\)
\(\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{61/9}{-2/3} = \frac{61}{9} \times \frac{-3}{2} = -\frac{61}{6}\).
22) \(\triangle ABC\) ஆனது \(\triangle DEF\) க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ மற்றும் \(\triangle ABC\) யின் பரப்பு = 54 செ.மீ² எனில், \(\triangle DEF\) யின் பரப்பைக் காண்க.
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்புகளின் விகிதமானது அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்குச் சமம்.
\(\frac{\text{பரப்பு}(\triangle ABC)}{\text{பரப்பு}(\triangle DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2\)
\(\frac{54}{\text{பரப்பு}(\triangle DEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\)
பரப்பு(\(\triangle DEF\)) = \(54 \times \frac{16}{9} = 6 \times 16 = 96\) செ.மீ².
23) \(\triangle ABC\) யின் பக்கங்கள் AB மற்றும் AC-யின் மீதுள்ள புள்ளிகள் முறையே D மற்றும் E ஆனது DE || BC என்றவாறு அமைந்துள்ளது. \(\frac{AD}{DB} = \frac{3}{4}\) மற்றும் AC = 15 செ.மீ எனில் AE-யின் மதிப்பு காண்க.
தேல்ஸ் தேற்றப்படி, DE || BC எனில்,
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\)
\(\frac{3}{4} = \frac{AE}{EC}\). எனவே, AE = 3k, EC = 4k.
AC = AE + EC = 3k + 4k = 7k.
கொடுக்கப்பட்டது AC = 15 செ.மீ.
\(7k = 15 \implies k = \frac{15}{7}\)
AE = 3k = \(3 \times \frac{15}{7} = \frac{45}{7} \approx 6.43\) செ.மீ.
24) (14,10) மற்றும் (14,-6) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்க்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.
புள்ளிகள் \((x_1, y_1) = (14, 10)\) மற்றும் \((x_2, y_2) = (14, -6)\).
சாய்வு \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
\(m = \frac{-6 - 10}{14 - 14} = \frac{-16}{0}\).
பகுதி பூஜ்ஜியமாக இருப்பதால், சாய்வு வரையறுக்கப்படவில்லை. இது ஒரு செங்குத்து கோடு.
25) \(12y = -(p+3)x+12\), \(12x - 7y = 16\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து எனில் 'p'-யின் மதிப்பைக் காண்க.
முதல் கோடு: \(12y = -(p+3)x + 12 \implies (p+3)x + 12y - 12 = 0\)
இதன் சாய்வு \(m_1 = -\frac{\text{x-ன் குணகம்}}{\text{y-ன் குணகம்}} = -\frac{p+3}{12}\)
இரண்டாம் கோடு: \(12x - 7y = 16\)
இதன் சாய்வு \(m_2 = -\frac{12}{-7} = \frac{12}{7}\)
கோடுகள் செங்குத்து என்பதால், \(m_1 \times m_2 = -1\)
\(\left(-\frac{p+3}{12}\right) \times \left(\frac{12}{7}\right) = -1\)
\(-\frac{p+3}{7} = -1 \implies p+3 = 7 \implies p = 4\).
26) \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} = \sec \theta - \tan \theta\) என நிரூபி.
இடது பக்கம் (LHS) = \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta}\)
தொகுதியையும் பகுதியையும் \((1-\sin\theta)\) ஆல் பெருக்க,
LHS = \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin \theta} \times \frac{1 - \sin \theta}{1 - \sin \theta}\)
= \(\frac{\cos \theta (1 - \sin \theta)}{1 - \sin^2 \theta}\)
= \(\frac{\cos \theta (1 - \sin \theta)}{\cos^2 \theta}\) (ஏனெனில் \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\))
= \(\frac{1 - \sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\frac{1}{\cos \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
= \(\sec \theta - \tan \theta\) = வலது பக்கம் (RHS).
நிரூபிக்கப்பட்டது.
27) \(\cot^2 \theta - \frac{1}{\sin^2\theta} = -1\) என நிரூபி.
இடது பக்கம் (LHS) = \(\cot^2 \theta - \frac{1}{\sin^2\theta}\)
நமக்கு தெரியும், \(\frac{1}{\sin \theta} = \text{cosec} \theta\).
LHS = \(\cot^2 \theta - \text{cosec}^2 \theta\)
முற்றொருமைப்படி, \(1 + \cot^2 \theta = \text{cosec}^2 \theta\).
எனவே, \(\cot^2 \theta - \text{cosec}^2 \theta = -1\).
LHS = -1 = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.
28) (கட்டாய வினா) ஒரு பூனை xy-தளத்தில் (−6,-4) என்ற புள்ளியில் உள்ளது. (5,11) என்ற புள்ளியில் ஒரு பால்புட்டி வைக்கப்பட்டுள்ளது. பூனை மிகக் குறுகிய தூரம் பயணித்துப் பால் அருந்த விரும்புகிறது எனில் பாலைப் பருகுவதற்குத் தேவையான பாதையின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
மிகக் குறுகிய தூரம் என்பது இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயான நேர்க்கோடு ஆகும்.
புள்ளிகள் A(-6,-4) மற்றும் B(5,11).
இரு புள்ளி வடிவச் சமன்பாடு: \(\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}\)
\(\frac{y - (-4)}{11 - (-4)} = \frac{x - (-6)}{5 - (-6)}\)
\(\frac{y+4}{15} = \frac{x+6}{11}\)
\(11(y+4) = 15(x+6)\)
\(11y + 44 = 15x + 90\)
\(15x - 11y + 90 - 44 = 0\)
\(15x - 11y + 46 = 0\).
இதுவே தேவையான பாதையின் சமன்பாடு.
பகுதி-III (10×5=50)
குறிப்பு : எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். வினா எண் 42க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.
29) \(A = \{x \in W | x < 2\}\), \(B = \{x \in N | 1 < x \le 4\}\) மற்றும் \(C = \{3,5\}\) எனில் \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\) என்ற சமன்பாட்டைச் சரிபார்.
கொடுக்கப்பட்ட கணங்கள்:
- \(A = \{x \in W | x < 2\} = \{0, 1\}\) (W = முழு எண்கள், 2-ஐ விடச் சிறியவை)
- \(B = \{x \in N | 1 < x \le 4\} = \{2, 3, 4\}\) (N = இயல் எண்கள், 1-ஐ விடப் பெரியவை மற்றும் 4-க்கு சமமானவை அல்லது சிறியவை)
- \(C = \{3, 5\}\)
இடது பக்கம் (LHS): \(A \times (B \cap C)\)
முதலில், \(B \cap C\) காண்போம்:
\(B \cap C = \{2, 3, 4\} \cap \{3, 5\} = \{3\}\)
இப்போது, \(A \times (B \cap C)\) காண்போம்:
\(A \times (B \cap C) = \{0, 1\} \times \{3\}\)
\( = \{(0,3), (1,3)\}\) ...(1)
வலது பக்கம் (RHS): \((A \times B) \cap (A \times C)\)
முதலில், \(A \times B\) காண்போம்:
\(A \times B = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4\} = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}\)
அடுத்து, \(A \times C\) காண்போம்:
\(A \times C = \{0, 1\} \times \{3, 5\} = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}\)
இப்போது, \((A \times B) \cap (A \times C)\) காண்போம் (இரண்டு கணங்களுக்கும் பொதுவான உறுப்புகள்):
\( = \{(0,3), (1,3)\}\) ...(2)
சரிபார்த்தல்:
சமன்பாடுகள் (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS என்பது தெளிவாகிறது.
எனவே, \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\) என்பது சரிபார்க்கப்பட்டது.
30) f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 - 2x, h(x) = 3x எனில் \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\) என நிறுவுக.
LHS: \(f \circ (g \circ h)\)
முதலில் \(g \circ h(x)\) காண்போம்:
\(g \circ h(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x\).
இப்போது \(f \circ (g \circ h)(x)\):
\(f(g \circ h(x)) = f(1 - 6x) = 2(1-6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x\) ...(1)
RHS: \((f \circ g) \circ h\)
முதலில் \(f \circ g(x)\) காண்போம்:
\(f \circ g(x) = f(g(x)) = f(1-2x) = 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x\).
இப்போது \((f \circ g) \circ h(x)\):
\((f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x\) ...(2)
(1) மற்றும் (2) லிருந்து, \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\). சார்புகளின் சேர்ப்பு பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.
31) f என்ற சார்பானது \(f(x) = \begin{cases} x+2 & ; x > 1 \\ 2 & ; -1 \le x \le 1 \\ x-1 & ; -3 < x < -1 \end{cases}\) என வரையறுக்கப்பட்டால் (i) f(3) (ii) f(0) (iii) f(−1.5) (iv) f(2) + f(-2) ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
(i) f(3):
இங்கு \(x=3 > 1\), எனவே \(f(x) = x+2\) ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
\(f(3) = 3 + 2 = 5\).
(ii) f(0):
இங்கு \(-1 \le 0 \le 1\), எனவே \(f(x) = 2\) ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
\(f(0) = 2\).
(iii) f(-1.5):
இங்கு \(-3 < -1.5 < -1\), எனவே \(f(x) = x-1\) ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.
\(f(-1.5) = -1.5 - 1 = -2.5\).
(iv) f(2) + f(-2):
f(2) காண: \(x=2 > 1 \implies f(x) = x+2 \implies f(2) = 2+2 = 4\).
f(-2) காண: \(-3 < -2 < -1 \implies f(x) = x-1 \implies f(-2) = -2 - 1 = -3\).
\(f(2) + f(-2) = 4 + (-3) = 1\).
32) 3 + 33 + 333 + ... என்ற தொடர்வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.
\(S_n = 3 + 33 + 333 + ... + n\) உறுப்புகள்
\(S_n = 3(1 + 11 + 111 + ... + n\) உறுப்புகள்)
\(\frac{9}{9}\) ஆல் பெருக்கி வகுக்க,
\(S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + ... + n\) உறுப்புகள்)
\(S_n = \frac{1}{3}((10-1) + (100-1) + (1000-1) + ... + n\) உறுப்புகள்)
\(S_n = \frac{1}{3}((10+100+1000+...) - (1+1+1+...))\)
இங்கு (10+100+1000+...) என்பது ஒரு G.P. a=10, r=10.
அதன் கூடுதல் = \(\frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{10(10^n-1)}{10-1} = \frac{10(10^n-1)}{9}\)
(1+1+1+...) n முறை = n.
\(S_n = \frac{1}{3}\left[\frac{10(10^n-1)}{9} - n\right]\)
\(S_n = \frac{10}{27}(10^n-1) - \frac{n}{3}\)
33) கூடுதல் காண்க: \(15^2 + 16^2 + 17^2 + ..... + 28^2\).
இதை \((1^2+2^2+...+28^2) - (1^2+2^2+...+14^2)\) என எழுதலாம்.
முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: \(\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(\sum_{k=1}^{28} k^2 = \frac{28(28+1)(2 \times 28+1)}{6} = \frac{28 \times 29 \times 57}{6} = 14 \times 29 \times 19 = 7714\).
\(\sum_{k=1}^{14} k^2 = \frac{14(14+1)(2 \times 14+1)}{6} = \frac{14 \times 15 \times 29}{6} = 7 \times 5 \times 29 = 1015\).
தேவையான கூடுதல் = 7714 - 1015 = 6699.
34) தீர்க்க: \(x + y + z = 5; 2x - y + z = 9; x - 2y + 3z = 16\)
கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:
\(x + y + z = 5\) ...(1)
\(2x - y + z = 9\) ...(2)
\(x - 2y + 3z = 16\) ...(3)
(1) + (2) \(\implies (x+y+z) + (2x-y+z) = 5+9\)
\(3x + 2z = 14\) ...(4)
(1) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி, (3) லிருந்து கழிக்க:
\(2(x+y+z) = 10 \implies 2x+2y+2z=10\)
\((x - 2y + 3z) - (2x + 2y + 2z)\) இப்படி செய்தால் y நீங்காது. எனவே வேறு வழியில் செய்வோம்.
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி (3) உடன் கூட்ட:
\(2(2x-y+z) = 18 \implies 4x-2y+2z=18\)
\((4x-2y+2z) + (x-2y+3z)\) இதுவும் சரி வராது.
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி (3) லிருந்து கழிக்கலாம். y நீங்காது.
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்கி, (3) உடன் கழிக்க:
\(2(2x-y+z) = 4x-2y+2z=18\)
\((x-2y+3z) - (4x-2y+2z) = 16-18\)
\(-3x+z = -2 \implies z = 3x-2\) ...(5)
(5) ஐ (4)ல் பிரதியிட:
\(3x + 2(3x-2) = 14\)
\(3x + 6x - 4 = 14\)
\(9x = 18 \implies x = 2\)
x=2 ஐ (5)ல் பிரதியிட: \(z = 3(2) - 2 = 6-2=4\)
x=2, z=4 ஐ (1)ல் பிரதியிட: \(2+y+4 = 5 \implies y+6=5 \implies y = -1\)
தீர்வு: \(x=2, y=-1, z=4\).
35) \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
35) \(9x^4 + 12x^3 + 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்கமூலத்தை நீள்வகுத்தல் முறைப்படி காணலாம்.
நீள்வகுத்தல் முறை:
நீள்வகுத்தல் முறையின் படிகள் கீழே உள்ள படத்தில் தெளிவாகக் காட்டப்பட்டுள்ளன.
தீர்வு காணுதல்:
கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழு வர்க்கம் என்பதால், அதன் மீதி பூஜ்ஜியமாக இருக்க வேண்டும்.
வகுத்தலின் முடிவில் கிடைக்கும் மீதி:
\((a-16)x + (b-16)\)
மீதியை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்படுத்த:
\((a-16)x + (b-16) = 0x + 0\)
இருபுறமும் உள்ள x-ன் கெழுக்களையும், மாறிலி உறுப்புகளையும் ஒப்பிட:
- \(a - 16 = 0 \implies a = 16\)
- \(b - 16 = 0 \implies b = 16\)
எனவே, தேவையான மதிப்புகள் a = 16 மற்றும் b = 16 ஆகும்.
36) \((c^2 - ab) x^2 - 2(a^2 – bc) x + b^2 - ac = 0\) என்ற சமன்பாட்டில் மூலங்கள் சமம் மற்றும் மெய் எனில், a = 0 அல்லது \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\) என நிரூபி.
மூலங்கள் சமம் மற்றும் மெய் எனில், தன்மைகாட்டி (Discriminant) \(\Delta = 0\).
\(\Delta = B^2 - 4AC = 0\), இங்கு
\(A = c^2 - ab\)
\(B = -2(a^2 - bc)\)
\(C = b^2 - ac\)
\([-2(a^2 - bc)]^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0\)
\(4(a^2 - bc)^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0\)
\((a^4 - 2a^2bc + b^2c^2) - (b^2c^2 - ac^3 - ab^3 + a^2bc) = 0\)
\(a^4 - 2a^2bc + b^2c^2 - b^2c^2 + ac^3 + ab^3 - a^2bc = 0\)
\(a^4 + ab^3 + ac^3 - 3a^2bc = 0\)
\(a(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0\)
இதிலிருந்து, \(a=0\) அல்லது \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0\)
அதாவது, \(a=0\) அல்லது \(a^3 + b^3 + c^3 = 3abc\).
நிரூபிக்கப்பட்டது.
37) அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தை எழுதி நிரூபிக்கவும்.
38) (−9,−2), (−8,-4), (2,2) மற்றும் (1,−3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க.
புள்ளிகளை வரிசைப்படி எடுத்துக்கொள்வோம்: A(−9,−2), B(−8,-4), C(1,−3), D(2,2).
(புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து வரிசைப்படுத்தினால் பிழை வராது. இங்கு கொடுக்கப்பட்ட வரிசையே சரி).
நாற்கரத்தின் பரப்பு = \(\frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{vmatrix}\)
= \(\frac{1}{2} \begin{vmatrix} -9 & -8 & 2 & 1 & -9 \\ -2 & -4 & 2 & -3 & -2 \end{vmatrix}\)
= \(\frac{1}{2} |((-9)(-4)+(-8)(2)+(2)(-3)+(1)(-2)) - ((-2)(-8)+(-4)(2)+(2)(1)+(-3)(-9))|\)
= \(\frac{1}{2} |(36 - 16 - 6 - 2) - (16 - 8 + 2 + 27)|\)
= \(\frac{1}{2} |(12) - (37)|\)
= \(\frac{1}{2} |-25| = \frac{25}{2} = 12.5\) சதுர அலகுகள்.
(குறிப்பு: புள்ளிகள் A(-9,-2), B(-8,-4), D(1,-3), C(2,2) என்ற வரிசையில் இருக்கலாம். அப்போது பரப்பு மாறும். கொடுக்கப்பட்ட வரிசையில் கணக்கிட்டுள்ளோம்.)
சரியான வரிசை: A(-9,-2), B(-8,-4), C(1,-3), D(2,2) என எடுத்துக்கொண்டால்:
\(\frac{1}{2} |((-9)(-4)+(-8)(-3)+(1)(2)+(2)(-2)) - ((-2)(-8)+(-4)(1)+(-3)(2)+(2)(-9))| \)
\(= \frac{1}{2} |(36+24+2-4) - (16-4-6-18)| \)
\(= \frac{1}{2} |58 - (-12)| = \frac{1}{2} |70| = 35 \) சதுர அலகுகள்.
39) \(\triangle ABC\) யின் முனைகள் A (−3,0), B (10,–2), C (12,3) எனில் A மற்றும் B-யிலிருந்து முக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடுகளைக் காண்க.
A-லிருந்து BC-க்கு குத்துக்கோடு (AD):
BC-ன் சாய்வு \(m_{BC} = \frac{3 - (-2)}{12 - 10} = \frac{5}{2}\).
AD \(\perp\) BC என்பதால், AD-ன் சாய்வு \(m_{AD} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{2}{5}\).
AD-ன் சமன்பாடு (புள்ளி A(-3,0) மற்றும் சாய்வு -2/5):
\(y - y_1 = m(x - x_1)\)
\(y - 0 = -\frac{2}{5}(x - (-3))\)
\(5y = -2(x+3) \implies 5y = -2x - 6 \implies 2x + 5y + 6 = 0\).
B-லிருந்து AC-க்கு குத்துக்கோடு (BE):
AC-ன் சாய்வு \(m_{AC} = \frac{3 - 0}{12 - (-3)} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}\).
BE \(\perp\) AC என்பதால், BE-ன் சாய்வு \(m_{BE} = -\frac{1}{m_{AC}} = -5\).
BE-ன் சமன்பாடு (புள்ளி B(10,-2) மற்றும் சாய்வு -5):
\(y - (-2) = -5(x - 10)\)
\(y + 2 = -5x + 50\)
\(5x + y - 48 = 0\).
40) \(\frac{\cos^3 A - \sin^3 A}{\cos A - \sin A} - \frac{\cos^3 A + \sin^3 A}{\cos A + \sin A} = 2 \sin A \cos A\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.
LHS = \(\frac{\cos^3 A - \sin^3 A}{\cos A - \sin A} - \frac{\cos^3 A + \sin^3 A}{\cos A + \sin A}\)
\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\) மற்றும் \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த,
முதல் பகுதி: \(\frac{(\cos A - \sin A)(\cos^2 A + \cos A \sin A + \sin^2 A)}{\cos A - \sin A}\)
= \((\cos^2 A + \sin^2 A) + \cos A \sin A = 1 + \cos A \sin A\).
இரண்டாம் பகுதி: \(\frac{(\cos A + \sin A)(\cos^2 A - \cos A \sin A + \sin^2 A)}{\cos A + \sin A}\)
= \((\cos^2 A + \sin^2 A) - \cos A \sin A = 1 - \cos A \sin A\).
LHS = \((1 + \cos A \sin A) - (1 - \cos A \sin A)\)
= \(1 + \cos A \sin A - 1 + \cos A \sin A\)
= \(2 \sin A \cos A\) = RHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.
41) \(\frac{\cos \theta}{1 + \sin\theta} = \frac{1}{a}\) எனில் \(\frac{a^2-1}{a^2+1} = \sin \theta\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.
கொடுக்கப்பட்டது: \(a = \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\)
நாம் நிரூபிக்க வேண்டியது: \(\sin\theta = \frac{a^2-1}{a^2+1}\)
RHS = \(\frac{a^2-1}{a^2+1} = \frac{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2 - 1}{(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta})^2 + 1}\)
= \(\frac{\frac{(1+\sin\theta)^2 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}}{\frac{(1+\sin\theta)^2 + \cos^2\theta}{\cos^2\theta}}\)
= \(\frac{(1+2\sin\theta+\sin^2\theta) - \cos^2\theta}{(1+2\sin\theta+\sin^2\theta) + \cos^2\theta}\)
\(\cos^2\theta = 1-\sin^2\theta\) என பிரதியிட,
தொகுதி = \(1+2\sin\theta+\sin^2\theta - (1-\sin^2\theta) = 2\sin\theta + 2\sin^2\theta = 2\sin\theta(1+\sin\theta)\)
பகுதி = \(1+2\sin\theta+\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1+2\sin\theta+1 = 2+2\sin\theta = 2(1+\sin\theta)\)
RHS = \(\frac{2\sin\theta(1+\sin\theta)}{2(1+\sin\theta)} = \sin\theta\) = LHS.
நிரூபிக்கப்பட்டது.
42) (கட்டாய வினா) \(4x + 7y – 3 = 0\) மற்றும் \(2x - 3y + 1 = 0\) ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி வழியாகவும், ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகள் சமமானதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
படி 1: சந்திக்கும் புள்ளியைக் காணுதல்
\(4x + 7y = 3\) ...(1)
\(2x - 3y = -1\) ...(2)
(2) ஐ 2 ஆல் பெருக்க: \(4x - 6y = -2\) ...(3)
(1) - (3) \(\implies (4x+7y) - (4x-6y) = 3 - (-2)\)
\(13y = 5 \implies y = \frac{5}{13}\).
y-ன் மதிப்பை (2)ல் பிரதியிட:
\(2x - 3(\frac{5}{13}) = -1 \implies 2x - \frac{15}{13} = -1 \implies 2x = \frac{15}{13} - 1 = \frac{2}{13} \implies x = \frac{1}{13}\).
சந்திக்கும் புள்ளி \((\frac{1}{13}, \frac{5}{13})\).
படி 2: நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காணுதல்
ஆய அச்சுகளின் வெட்டுத்துண்டுகள் சமம். அதாவது a = b.
வெட்டுத்துண்டு வடிவ சமன்பாடு: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
\(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \implies x+y=a\).
இந்தக் கோடு \((\frac{1}{13}, \frac{5}{13})\) வழி செல்கிறது.
\(\frac{1}{13} + \frac{5}{13} = a \implies a = \frac{6}{13}\).
தேவையான சமன்பாடு: \(x+y = \frac{6}{13} \implies 13x + 13y = 6 \implies 13x+13y-6=0\).
பகுதி-IV (2×8=16)
குறிப்பு : அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும்.
43) a) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-யின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{2}{3}\) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac{2}{3} < 1\))
வரைமுறைப் படிகள்:
1. ஏதேனும் ஓர் முக்கோணம் PQR வரைக.
2. QR என்ற பக்கத்தில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற ஒரு கதிரை வரைக.
3. QX கதிரில், அளவு காரணியில் பெரிய எண் 3 என்பதால், \(Q_1, Q_2, Q_3\) என மூன்று சம அளவுள்ள பாகங்களைக் குறிக்கவும் (\(QQ_1 = Q_1Q_2 = Q_2Q_3\)).
4. \(Q_3\) மற்றும் R ஐ இணைக்கவும் (\(Q_3R\) வரைக).
5. அளவு காரணியில் சிறிய எண் 2 என்பதால், \(Q_2\) விலிருந்து \(Q_3R\) க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QR ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும். (\(Q_2R' || Q_3R\)).
6. R' லிருந்து PR க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது PQ ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும். (\(P'R' || PR\)).
7. இப்போது \(\triangle P'QR'\) என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் \(\triangle PQR\)-ன் பக்கங்களின் \(\frac{2}{3}\) பங்காக இருக்கும்.
(அல்லது)
b) AB = 5.5 செ.மீ, \(\angle C = 25^\circ\) மற்றும் உச்சி C-யிலிருந்து ABக்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4 செ.மீ உடைய \(\triangle ABC\) வரைக.
வரைமுறைப் படிகள்:
1. AB = 5.5 செ.மீ நீளமுள்ள ஒரு கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. புள்ளி A-ல், கீழ்நோக்கி \(\angle BAE = 25^\circ\) இருக்குமாறு AE என்ற கோட்டை வரைக.
3. புள்ளி A-ல், AE-க்கு செங்குத்தாக AF என்ற கோட்டை வரைக.
4. AB-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது AB-ஐ G என்ற புள்ளியிலும், AF-ஐ O என்ற புள்ளியிலும் சந்திக்கட்டும்.
5. O-ஐ மையமாகவும் OA-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் A மற்றும் B வழியாகச் செல்லும்.
6. AB-க்கு வரையப்பட்ட மையக்குத்துக்கோட்டில் G-லிருந்து 4 செ.மீ உயரத்தில் M என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
7. M வழியாக AB-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது வட்டத்தை C மற்றும் C' ஆகிய புள்ளிகளில் வெட்டும்.
8. AC மற்றும் BC-ஐ இணைக்கவும். (அல்லது AC' மற்றும் BC'-ஐ இணைக்கவும்).
9. \(\triangle ABC\) என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
44) a) ஒரு பள்ளியானது குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு பரிசுத் தொகையினை எல்லா பங்கேற்பாளர்களுக்குப் பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குவதாக அறிவிக்கிறது.
| பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (x) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் தொகை ₹ (y) | 180 | 90 | 60 | 45 | 36 |
1. மாறுபாட்டைக் கண்டறிதல்:
x அதிகரிக்கும்போது y குறைகிறது. இது எதிர் மாறுபாடாக இருக்கலாம்.
\(xy = 2 \times 180 = 360\)
\(xy = 4 \times 90 = 360\)
\(xy = 6 \times 60 = 360\)
அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் \(xy=360\) (மாறிலி). எனவே, இது ஒரு எதிர் மாறுபாடு.
சமன்பாடு: \(xy = 360\).
2. வரைபடம் வரைதல்:
அளவுத்திட்டம்:
X-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 பங்கேற்பாளர்கள்
Y-அச்சு: 1 செ.மீ = ₹ 20
(2,180), (4,90), (6,60), (8,45), (10,36) ஆகிய புள்ளிகளைக் குறித்து, அவற்றை மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்க வேண்டும். இது ஒரு அதிபரவளையமாக (Hyperbola) இருக்கும்.
3. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்:
12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் பரிசுத் தொகை காண:
X-அச்சில் x=12 என்ற புள்ளிக்கு நேராக வளைகோட்டை நோக்கி ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைக.
அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து Y-அச்சுக்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக.
அது Y-அச்சை சந்திக்கும் புள்ளி y-ன் மதிப்பாகும். வரைபடத்தில் இருந்து, y = 30 என கிடைக்கும்.
கணக்கீடு மூலம் சரிபார்த்தல்:
\(xy = 360 \implies (12)y = 360 \implies y = \frac{360}{12} = 30\).
விடை: 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால், ஒவ்வொருவருக்கும் ₹30 கிடைக்கும்.
(அல்லது)
b) xy = 24, x, y > 0 என்ற வரைபடத்தை வரைக. வரைபடத்தை பயன்படுத்தி (i) x = 3 எனில் y-ஐக் காண்க (ii) y = 6 எனில் x-ஐக் காண்க.
1. அட்டவணை தயாரித்தல்:
\(y = \frac{24}{x}\) என்ற சமன்பாட்டிற்கு சில மதிப்புகளைக் காண்போம்.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 |
| y | 24 | 12 | 8 | 6 | 4 | 3 | 2 |
2. வரைபடம் வரைதல்:
அளவுத்திட்டம்:
X-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 அலகுகள்
Y-அச்சு: 1 செ.மீ = 2 அலகுகள்
அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை (1,24), (2,12), (3,8), (4,6), (6,4), (8,3), (12,2) வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை மென்மையான வளைகோட்டால் இணைக்கவும். இது ஒரு அதிபரவளையம் ஆகும்.
3. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்:
(i) x = 3 எனில் y-ஐக் காண்க:
X-அச்சில் x=3 என்ற புள்ளியிலிருந்து வளைகோட்டை நோக்கி செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து Y-அச்சுக்கு ஒரு கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது Y-அச்சை y=8 என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.
விடை: y = 8.
(ii) y = 6 எனில் x-ஐக் காண்க:
Y-அச்சில் y=6 என்ற புள்ளியிலிருந்து வளைகோட்டை நோக்கி கிடைமட்டக்கோடு வரைக. அது வளைகோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியிலிருந்து X-அச்சுக்கு ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைக. அது X-அச்சை x=4 என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.
விடை: x = 4.