10th Maths - Quarterly Exam 2024 - Tamil Medium Original Question Paper | Salem District

10 ஆம் வகுப்பு கணிதம் - காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு 2024

சேலம் மாவட்டம் - விடைகளுடன்

காலம் : 3.00 மணி மதிப்பெண்கள் : 100

பகுதி - I (மதிப்பெண்கள்: 14)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதவும்.

1.

A = {1,2,3,4,5} லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில் B ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

1. 3
2. 2
3. 4
4. 8

விடை: ஆ) 2

தீர்வு:

A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)}\).

கொடுக்கப்பட்டது, \(n(A) = 5\) மற்றும் உறவுகளின் எண்ணிக்கை = 1024.

நமக்கு தெரியும், \(1024 = 2^{10}\).

எனவே, \(2^{n(A) \times n(B)} = 2^{10}\).

\(n(A) \times n(B) = 10\)

\(5 \times n(B) = 10\)

\(n(B) = \frac{10}{5} = 2\)

2.

(a, −1) மற்றும் (5, b) வரிசைச் சோடிகள் {(x, y) / y = 2x + 3} என்ற கணத்தைச் சாரும் எனில் a மற்றும் b ன் மதிப்புகள்

1. (-13, 2)
2. (2, 13)
3. (2, -13)
4. (-2, 13)

விடை: ஈ) (-2, 13)

தீர்வு:

உறவு \(y = 2x + 3\).

(a, -1) எனில், \(x=a, y=-1\).
\(-1 = 2a + 3 \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2\).

(5, b) எனில், \(x=5, y=b\).
\(b = 2(5) + 3 \Rightarrow b = 10 + 3 \Rightarrow b = 13\).

எனவே, a = -2 மற்றும் b = 13.

3.

1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்

1. 2025
2. 5220
3. 5025
4. 2520

விடை: ஈ) 2520

தீர்வு:

1 முதல் 10 வரையுள்ள எண்களின் மீ.சி.ம (LCM) கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

எண்கள்: 1, 2, 3, 4=2², 5, 6=2×3, 7, 8=2³, 9=3², 10=2×5.

மீ.சி.ம = \(2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35 = 2520\).

4.

ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் n வது உறுப்பு \(t_n\) எனில் \(t_{2n} - t_n\) என்பதின் மதிப்பு

1. nd
2. 2nd
3. 2d
4. 3nd

விடை: அ) nd

தீர்வு:

ஒரு கூட்டுத்தொடரின் n-வது உறுப்பு, \(t_n = a + (n-1)d\).

\(t_{2n} = a + (2n-1)d\)

\(t_{2n} - t_n = [a + (2n-1)d] - [a + (n-1)d]\)

\(= a + 2nd - d - a - nd + d\)

\(= nd\)

5.

\(\sqrt{11}, \sqrt{55}, 5\sqrt{11}, 5\sqrt{55}, 25\sqrt{11},...\) என்ற தொடர் வரிசை குறிப்பது

1. கூட்டுத்தொடர் வரிசை மட்டும்
2. பெருக்குத்தொடர் வரிசை மட்டும்
3. கூட்டுத்தொடர் வரிசையுமல்ல பெருக்குத் தொடர் வரிசையுமல்ல
4. கூட்டுத்தொடர் வரிசை மற்றும் பெருக்குத் தொடர் வரிசை

விடை: ஆ) பெருக்குத்தொடர் வரிசை மட்டும்

தீர்வு:

பொது விகிதம் (r) காண்போம்:

\(r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{55}}{\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{5 \times 11}}{\sqrt{11}} = \sqrt{5}\)

\(r = \frac{t_3}{t_2} = \frac{5\sqrt{11}}{\sqrt{55}} = \frac{5\sqrt{11}}{\sqrt{5}\sqrt{11}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\)

பொது விகிதம் \(r = \sqrt{5}\) மாறிலியாக இருப்பதால், இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை.

6.

\(x^2 - 2x - 24\) மற்றும் \(x^2 - kx - 6\) யின் மீ.பெ.வ. (x - 6) எனில் k யின் மதிப்பு

1. 3
2. 5
3. 6
4. 8

விடை: ஆ) 5

தீர்வு:

(x-6) என்பது \(x^2 - kx - 6\) இன் ஒரு காரணி என்பதால், P(x) = \(x^2 - kx - 6\) எனில் P(6) = 0.

\(P(6) = (6)^2 - k(6) - 6 = 0\)

\(36 - 6k - 6 = 0\)

\(30 - 6k = 0 \Rightarrow 6k = 30 \Rightarrow k = 5\).

7.

\(x^4 + 64\) முழுவர்க்கமாக மாற்ற அதனுடன் பின்வருவனவற்றுள் எதைக் கூட்ட வேண்டும்?

1. \(4x^2\)
2. \(16x^2\)
3. \(8x^2\)
4. \(-8x^2\)

விடை: ஆ) \(16x^2\)

தீர்வு:

\(x^4 + 64 = (x^2)^2 + (8)^2\).

முழு வர்க்கமாக மாற்ற, நாம் \(\pm 2ab\) ஐக் கூட்ட வேண்டும்.

இங்கு \(a = x^2, b = 8\). எனவே \(2ab = 2(x^2)(8) = 16x^2\).

\(x^4 + 16x^2 + 64 = (x^2 + 8)^2\).

எனவே, \(16x^2\) ஐக் கூட்ட வேண்டும்.

8.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு மூலம் 5 மற்றும் மூலங்களின் கூடுதல் 0 எனில் அதன் சமன்பாடு

1. \(x^2 - 5x = 0\)
2. \(x^2 - 5x + 5 = 0\)
3. \(x^2 - 25 = 0\)
4. \(x^2 - 5 = 0\)

விடை: இ) \(x^2 - 25 = 0\)

தீர்வு:

மூலங்கள் \(\alpha, \beta\). \(\alpha = 5\) என்க.

மூலங்களின் கூடுதல் \(\alpha + \beta = 0 \Rightarrow 5 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = -5\).

மூலங்களின் பெருக்கல் \(\alpha\beta = 5 \times (-5) = -25\).

சமன்பாடு: \(x^2 - (\text{மூலங்களின் கூடுதல்})x + (\text{மூலங்களின் பெருக்கல்}) = 0\)

\(x^2 - (0)x + (-25) = 0 \Rightarrow x^2 - 25 = 0\).

9.

இரு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் \(\Delta ABC\) மற்றும் \(\Delta PQR\) யின் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ. மற்றும் 24 செ.மீ. ஆகும். PQ = 10செ.மீ. எனில், AB - யின் நீளம்

1. \(6\frac{2}{3}\) செ.மீ.
2. \(\frac{10\sqrt{6}}{3}\) செ.மீ.
3. \(66\frac{2}{3}\) செ.மீ.
4. 15 செ.மீ.

விடை: ஈ) 15 செ.மீ.

தீர்வு:

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் சுற்றளவுகளின் விகிதம் அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.

\(\frac{\text{சுற்றளவு}(\Delta ABC)}{\text{சுற்றளவு}(\Delta PQR)} = \frac{AB}{PQ}\)

\(\frac{36}{24} = \frac{AB}{10}\)

\(\frac{3}{2} = \frac{AB}{10} \Rightarrow AB = \frac{3 \times 10}{2} = 15\) செ.மீ.

10.

\(\Delta ABC\) யில் AD ஆனது \(\angle BAC\) யின் இருசமவெட்டி. AB = 8 செ.மீ., BD = 6 செ.மீ. மற்றும் DC = 3 செ.மீ. எனில் பக்கம் AC யின் நீளம்

1. 6 செ.மீ.
2. 4 செ.மீ.
3. 3 செ.மீ.
4. 8 செ.மீ.

விடை: ஆ) 4 செ.மீ.

தீர்வு:

கோண இருசமவெட்டி தேற்றத்தின்படி,

\(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\)

\(\frac{8}{AC} = \frac{6}{3}\)

\(\frac{8}{AC} = 2 \Rightarrow AC = \frac{8}{2} = 4\) செ.மீ.

11.

x = 11 எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது

1. x - அச்சுக்கு இணை
2. y - அச்சுக்கு இணை
3. ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும்
4. (0, 11) என்ற புள்ளி வழிச் செல்லும்

விடை: ஆ) y - அச்சுக்கு இணை

தீர்வு:

x = c என்ற வடிவில் உள்ள சமன்பாடு, y-அச்சுக்கு இணையாகவும், x-அச்சை (c, 0) என்ற புள்ளியில் வெட்டும் ஒரு செங்குத்து கோட்டைக் குறிக்கும். இங்கு x = 11 என்பது y-அச்சுக்கு இணை.

12.

(5, 7), (3, p) மற்றும் (6, 6) என்பன ஒரு கோடமைந்தவை எனில் p - யின் மதிப்பு

1. 3
2. 6
3. 9
4. 12

விடை: இ) 9

தீர்வு:

புள்ளிகள் ஒரு கோடமைந்தவை எனில், அவற்றின் சாய்வுகள் சமம்.

சாய்வு (5, 7), (3, p) = சாய்வு (3, p), (6, 6)

\(\frac{p-7}{3-5} = \frac{6-p}{6-3}\)

\(\frac{p-7}{-2} = \frac{6-p}{3}\)

\(3(p-7) = -2(6-p)\)

\(3p - 21 = -12 + 2p \Rightarrow p = 9\)

13.

(2, 1) ஐ வெட்டுப் புள்ளியாகக் கொண்ட இரு நேர்க்கோடுகள்

1. x - y - 3 = 0; 3x - y - 7 = 0
2. x + y = 3; 3x + y = 7
3. 3x + y = 3; x + y = 7
4. x + 3y - 3 = 0; x - y - 7 = 0

விடை: ஆ) x + y = 3; 3x + y = 7

தீர்வு:

(2, 1) என்ற புள்ளியை ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிலும் பிரதியிட்டு சரிபார்க்க வேண்டும்.

சாய்ஸ் (ஆ)-ஐ சோதிப்போம்:

x + y = 3 \(\Rightarrow\) 2 + 1 = 3 (சரி)

3x + y = 7 \(\Rightarrow\) 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7 (சரி)

எனவே, இதுவே சரியான விடை.

14.

\(5x = \sec\theta\) மற்றும் \(\frac{5}{y} = \tan\theta\) எனில் \(x^2 - \frac{1}{y^2}\) ன் மதிப்பு

1. 25
2. \(\frac{1}{25}\)
3. 5
4. 1

விடை: ஆ) \(\frac{1}{25}\)

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டது: \(x = \frac{\sec\theta}{5}\) மற்றும் \(\frac{1}{y} = \frac{\tan\theta}{5}\).

\(x^2 = \frac{\sec^2\theta}{25}\) and \(\frac{1}{y^2} = \frac{\tan^2\theta}{25}\).

\(x^2 - \frac{1}{y^2} = \frac{\sec^2\theta}{25} - \frac{\tan^2\theta}{25} = \frac{\sec^2\theta - \tan^2\theta}{25}\).

நமக்கு தெரியும், \(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\).

எனவே, மதிப்பு = \(\frac{1}{25}\).

பகுதி - II (மதிப்பெண்கள்: 20)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண். 28 க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

15.

R என்ற ஒரு உறவு \(\{(x,y) / y = x + 3, x \in \{0,1,2,3,4,5\}\}\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட உறவு: \(y = x + 3, x \in \{0,1,2,3,4,5\}\).

மதிப்பகம் (Domain): x-ன் மதிப்புகளின் கணம்.
மதிப்பகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

வீச்சகம் (Range): y-ன் மதிப்புகளின் கணம்.

• x=0 எனில், y=0+3=3
• x=1 எனில், y=1+3=4
• x=2 எனில், y=2+3=5
• x=3 எனில், y=3+3=6
• x=4 எனில், y=4+3=7
• x=5 எனில், y=5+3=8

வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

16.

f ஆனது R - லிருந்து R - க்கு ஆன சார்பு மேலும் அது f(x)=3x- 5 என வரையறுக்கப்படுகிறது (a, 4) மற்றும் (1, b) எனக் கொடுக்கப்பட்டால் a மற்றும் b யின் மதிப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு f(x) = 3x - 5.

(a, 4) சார்பின் உறுப்பு என்பதால், f(a) = 4.

\(3a - 5 = 4 \Rightarrow 3a = 9 \Rightarrow a = 3\).

(1, b) சார்பின் உறுப்பு என்பதால், f(1) = b.

\(b = 3(1) - 5 \Rightarrow b = 3 - 5 \Rightarrow b = -2\).

ஆகவே, a = 3, b = -2.

17.

\(f(x) = x^2 - 1, g(x) = x - 2\) மற்றும் \(gof(a) = 1\) எனில், a - ஐக் காண்க.

தீர்வு:

\(gof(a) = g(f(a))\)

\(f(a) = a^2 - 1\)

\(g(f(a)) = g(a^2 - 1) = (a^2 - 1) - 2 = a^2 - 3\)

கொடுக்கப்பட்டது, \(gof(a) = 1\).

\(a^2 - 3 = 1 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2\).

18.

தீர்க்க. \(5x \equiv 4 \pmod{6}\)

தீர்வு:

\(5x \equiv 4 \pmod{6}\) என்பதை \(5x - 4 = 6k\) என எழுதலாம், இங்கு k ஒரு முழு எண்.

\(5x = 6k + 4\).

x-க்கு முழு எண் மதிப்புகளை பிரதியிட்டு சரிபார்க்கலாம்.

x=2 எனில், \(5(2) = 10\). \(10 \pmod{6}\) என்பது \(10 = 1 \times 6 + 4\) என்பதால், மீதி 4 ஆகும்.

எனவே, x = 2 ஒரு தீர்வு.

பொதுவான தீர்வு: \(x \equiv 2 \pmod{6}\)

19.

729, 243, 81, ......... என்ற பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 7 – வது உறுப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட பெருக்குத் தொடர் வரிசை (GP): 729, 243, 81, ...

முதல் உறுப்பு, \( a = 729 \)

பொது விகிதம், \( r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{243}{729} = \frac{1}{3} \)

n-வது உறுப்பிற்கான சூத்திரம்: \( t_n = a \cdot r^{n-1} \)

7-வது உறுப்பைக் காண, n = 7 எனப் பிரதியிட வேண்டும்.

\( t_7 = 729 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{7-1} = 729 \times \left(\frac{1}{3}\right)^6 \)

நமக்குத் தெரியும், \( 729 = 3^6 \)

\( t_7 = 3^6 \times \frac{1}{3^6} = 1 \)

எனவே, 7-வது உறுப்பு 1 ஆகும்.

20.

\( 1+2+3 + ............... + k = 325 \) எனில் \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ............... + k^3 \) ன் மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டது: \( 1+2+3 + ... + k = \sum k = 325 \)

நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது: \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = \sum k^3 \)

முதல் n இயல் எண்களின் கணங்களின் கூடுதலுக்கான சூத்திரம்:

\( \sum k^3 = \left( \sum k \right)^2 = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^2 \)

சூத்திரத்தின்படி, \( \sum k^3 = (1+2+3+...+k)^2 \)

எனவே, \( 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = (325)^2 \)

\( 325^2 = 325 \times 325 = 105625 \)

மதிப்பு 105625 ஆகும்.

21.

\( \frac{t}{t^2 - 5t + 6} \) என்ற கோவைக்கு விலக்கப்பட்ட மதிப்பு காண்க.

தீர்வு:

ஒரு விகிதமுறு கோவையின் மதிப்பு, அதன் பகுதி பூச்சியமாகும் போது வரையறுக்கப்படாது. எனவே, விலக்கப்பட்ட மதிப்பைக் காண, பகுதியை பூச்சியத்திற்கு சமப்படுத்த வேண்டும்.

பகுதி: \( t^2 - 5t + 6 = 0 \)

காரணிப்படுத்த:

\( (t - 2)(t - 3) = 0 \)

இதிலிருந்து, \( t - 2 = 0 \) அல்லது \( t - 3 = 0 \)

எனவே, \( t = 2 \) அல்லது \( t = 3 \)

ஆகவே, விலக்கப்பட்ட மதிப்புகள் 2 மற்றும் 3 ஆகும்.

22.

கூட்டுக. \( \frac{x^3}{x-y} + \frac{y^3}{y-x} \)

தீர்வு:

\( \frac{x^3}{x-y} + \frac{y^3}{y-x} \)

இரண்டாவது பின்னத்தின் பகுதியை \( y-x = -(x-y) \) என மாற்றியமைப்போம்.

\( = \frac{x^3}{x-y} + \frac{y^3}{-(x-y)} = \frac{x^3}{x-y} - \frac{y^3}{x-y} \)

பகுதிகள் சமமாக இருப்பதால், தொகுதிகளைக் கழிக்கலாம்.

\( = \frac{x^3 - y^3}{x-y} \)

கனங்களின் வித்தியாசத்திற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \).

\( = \frac{(x-y)(x^2 + xy + y^2)}{x-y} \)

\( = x^2 + xy + y^2 \)

விடை: \( x^2 + xy + y^2 \)

23.

\( 15x^2 + 11x + 2 = 0 \) என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்களின் தன்மையைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \( 15x^2 + 11x + 2 = 0 \).

இதை \( ax^2 + bx + c = 0 \) உடன் ஒப்பிடும்போது, \( a=15, b=11, c=2 \).

மூலங்களின் தன்மையை அறிய, தன்மைக்காட்டி (Discriminant) \( \Delta = b^2 - 4ac \) ஐக் கணக்கிட வேண்டும்.

\( \Delta = (11)^2 - 4(15)(2) \)

\( \Delta = 121 - 120 = 1 \)

இங்கு \( \Delta = 1 > 0 \). மேலும், இது ஒரு முழு வர்க்க எண்.

எனவே, மூலங்கள் மெய், சமமற்றவை மற்றும் விகிதமுறு எண்களாகும்.

24.

\( \Delta ABC \) ஆனது \( \Delta DEF \) க்கு வடிவொத்தவை மேலும் BC = 3 செ.மீ, EF = 4 செ.மீ. மற்றும் முக்கோணம் ABC யின் பரப்பு = 54செ.மீ\(^2\) எனில் \( \Delta DEF \) யின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் விகிதமானது, அவற்றின் ஒத்த பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.

\( \frac{\text{பரப்பு}(\Delta ABC)}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2 \)

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை பிரதியிட:

\( \frac{54}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \)

\( \text{பரப்பு}(\Delta DEF) = \frac{54 \times 16}{9} \)

\( \text{பரப்பு}(\Delta DEF) = 6 \times 16 = 96 \)

\( \Delta DEF \)-ன் பரப்பு 96 செ.மீ\(^2\) ஆகும்.

25.

(6, 1) மற்றும் (-3, 2) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் நேர்கோட்டின் சாய்வைக் காண்க.

தீர்வு:

புள்ளிகள் \( (x_1, y_1) = (6, 1) \) மற்றும் \( (x_2, y_2) = (-3, 2) \).

சாய்வு (m) காணும் சூத்திரம்:

\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( m = \frac{2 - 1}{-3 - 6} = \frac{1}{-9} \)

சாய்வு \( m = -\frac{1}{9} \) ஆகும்.

26.

\( x - 2y + 3 = 0, 6x + 3y + 8 = 0 \) ஆகிய நேர்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை எனக் காட்டுக.

தீர்வு:

இரு கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்க நிபந்தனை \( m_1 \times m_2 = -1 \), இங்கு \( m_1, m_2 \) என்பன கோடுகளின் சாய்வுகள்.

முதல் கோடு: \( x - 2y + 3 = 0 \)

\( 2y = x + 3 \Rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \). இதன் சாய்வு \( m_1 = \frac{1}{2} \).

இரண்டாவது கோடு: \( 6x + 3y + 8 = 0 \)

\( 3y = -6x - 8 \Rightarrow y = -2x - \frac{8}{3} \). இதன் சாய்வு \( m_2 = -2 \).

சாய்வுகளின் பெருக்கற்பலன்:

\( m_1 \times m_2 = \left(\frac{1}{2}\right) \times (-2) = -1 \)

நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுவதால், கொடுக்கப்பட்ட கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை.

27.

நிரூபிக்க: \( \sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} = \sec\theta + \tan\theta \)

தீர்வு:

இடது பக்கம் (LHS) எடுத்துக்கொள்வோம்:

LHS = \( \sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}} \)

பகுதியின் இணையால் (conjugate) தொகுதி மற்றும் பகுதியை வர்க்கமூலத்திற்குள் பெருக்குவோம்.

LHS = \( \sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta} \times \frac{1+\sin\theta}{1+\sin\theta}} \)

LHS = \( \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1^2 - \sin^2\theta}} \)

முக்கோணவியல் முற்றொருமை \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \Rightarrow 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta \) ஐப் பயன்படுத்துக.

LHS = \( \sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}} \)

வர்க்கமூலம் எடுக்க:

LHS = \( \frac{1+\sin\theta}{\cos\theta} \)

பின்னத்தை பிரித்து எழுத:

LHS = \( \frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \)

நமக்குத் தெரியும், \( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \) மற்றும் \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \).

LHS = \( \sec\theta + \tan\theta \) = RHS (வலது பக்கம்)

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

28.

(1, 2) என்ற புள்ளியின் வழிச் செல்வதும் - 4ஐ சாய்வாக உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு: (கட்டாய வினா)

புள்ளி \((x_1, y_1) = (1, 2)\) மற்றும் சாய்வு \(m = -4\).

புள்ளி-சாய்வு வடிவ சமன்பாடு: \(y - y_1 = m(x - x_1)\)

\(y - 2 = -4(x - 1)\)

\(y - 2 = -4x + 4\)

\(4x + y - 2 - 4 = 0\)

தேவையான சமன்பாடு: \(4x + y - 6 = 0\).

பகுதி - III (மதிப்பெண்கள்: 50)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண். 42 க்கு கட்டாயமாக விடையளிக்கவும்.

29.

\(A = \{x \in W | x < 2\}, B = \{x \in N | 1 < x \le 4\}\) மற்றும் \(C = \{3,5\}\) எனில், \(A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)\) என்பதை சரிபார்க்க.

தீர்வு:

கணங்களை பட்டியலிடுவோம்:

\(A = \{0, 1\}\) (W - முழு எண்கள்)

\(B = \{2, 3, 4\}\) (N - இயல் எண்கள்)

\(C = \{3, 5\}\)

LHS: \(A \times (B \cap C)\)

\(B \cap C = \{3\}\)

\(A \times (B \cap C) = \{0, 1\} \times \{3\} = \{(0,3), (1,3)\}\) ---(1)

RHS: \((A \times B) \cap (A \times C)\)

\(A \times B = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}\)

\(A \times C = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}\)

\((A \times B) \cap (A \times C) = \{(0,3), (1,3)\}\) ---(2)

(1) மற்றும் (2)-இலிருந்து, LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.

30.

f:A→B என்ற சார்பானது \( f(x) = \frac{x}{2} - 1 \) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2,4,6,10,12}, B = {0,1,2,4,5,9} ஆக இருக்கும்போது சார்பு f - ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க. i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் ii) அட்டவணை iii) அம்புக்குறிப்படம் iv) வரைபடம்.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சார்பு: \( f(x) = \frac{x}{2} - 1 \)

A = {2, 4, 6, 10, 12} -ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் f(x)-ன் மதிப்பைக் காண்போம்.

• f(2) = \( \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0 \)
• f(4) = \( \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1 \)
• f(6) = \( \frac{6}{2} - 1 = 3 - 1 = 2 \)
• f(10) = \( \frac{10}{2} - 1 = 5 - 1 = 4 \)
• f(12) = \( \frac{12}{2} - 1 = 6 - 1 = 5 \)

i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:

f = { (2, 0), (4, 1), (6, 2), (10, 4), (12, 5) }

ii) அட்டவணை:

x	2	4	6	10	12
f(x)	0	1	2	4	5

iii) அம்புக்குறிப்படம்:

A → B

2 → 0

4 → 1

6 → 2

10 → 4

12 → 5

(குறிப்பு: வரைபடத்தில் A மற்றும் B கணங்களை வட்டமிட்டு அம்புக்குறிகளால் இணைத்துக் காட்ட வேண்டும்.)

iv) வரைபடம்:

x-அச்சில் A-ன் உறுப்புகளையும், y-அச்சில் f(x)-ன் மதிப்புகளையும் கொண்டு புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும்.

குறிக்க வேண்டிய புள்ளிகள்: (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5).

31.

\( f(x) = x^2, g(x) = 3x \) மற்றும் \( h(x) = x - 2 \) எனில், \( (fog)oh = fo(goh) \) என நிறுவுக.

தீர்வு:

LHS = (fog)oh

முதலில், \( fog(x) \)-ஐக் காண்போம்:

\( fog(x) = f(g(x)) = f(3x) = (3x)^2 = 9x^2 \)

இப்போது, \( (fog)oh(x) \)-ஐக் காண்போம்:

\( (fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(x-2) \)

\( = 9(x-2)^2 \) --- (1)

RHS = fo(goh)

முதலில், \( goh(x) \)-ஐக் காண்போம்:

\( goh(x) = g(h(x)) = g(x-2) = 3(x-2) \)

இப்போது, \( fo(goh)(x) \)-ஐக் காண்போம்:

\( fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(3(x-2)) \)

\( = (3(x-2))^2 = 9(x-2)^2 \) --- (2)

(1) மற்றும் (2) -லிருந்து, LHS = RHS.

எனவே, \( (fog)oh = fo(goh) \) என நிறுவப்பட்டது.

32.

ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையின் 13-வது உறுப்பு 3 மற்றும் முதல் 13 உறுப்புகளின் கூடுதல் 234 எனில், கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் பொது வித்தியாசம் மற்றும் முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

முதல் உறுப்பு 'a', பொது வித்தியாசம் 'd' என்க.

கொடுக்கப்பட்டவை:

13-வது உறுப்பு, \( t_{13} = a + 12d = 3 \) --- (1)

முதல் 13 உறுப்புகளின் கூடுதல், \( S_{13} = 234 \)

கூடுதலுக்கான சூத்திரம்: \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \), இங்கு l என்பது கடைசி உறுப்பு.

\( S_{13} = \frac{13}{2}(a + t_{13}) = 234 \)

\( \frac{13}{2}(a + 3) = 234 \)

\( a + 3 = \frac{234 \times 2}{13} = 18 \times 2 = 36 \)

\( a = 36 - 3 = 33 \)

a=33 என (1)-ல் பிரதியிட:

\( 33 + 12d = 3 \Rightarrow 12d = 3 - 33 = -30 \)

\( d = \frac{-30}{12} = -\frac{5}{2} \)

இப்போது, முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் \( S_{21} \) காண்போம்.

சூத்திரம்: \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \)

\( S_{21} = \frac{21}{2}[2(33) + (21-1)(-\frac{5}{2})] \)

\( S_{21} = \frac{21}{2}[66 + 20(-\frac{5}{2})] = \frac{21}{2}[66 - 50] = \frac{21}{2}(16) = 21 \times 8 = 168 \)

பொது வித்தியாசம் = -5/2, முதல் 21 உறுப்புகளின் கூடுதல் = 168.

33.

3 + 33 + 333 + ......... n உறுப்புகள் வரை கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

\( S_n = 3 + 33 + 333 + ... + n \) உறுப்புகள்

\( S_n = 3(1 + 11 + 111 + ...) \)

9-ஆல் பெருக்கி வகுக்க:

\( S_n = \frac{3}{9}(9 + 99 + 999 + ...) \)

\( S_n = \frac{1}{3}[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + ...] \)

\( S_n = \frac{1}{3}[(10+10^2+10^3+...) - (1+1+1+...)] \)

முதல் பகுதி ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP), \(a=10, r=10\).

GP-யின் கூடுதல்: \( S_{GP} = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} = \frac{10(10^n - 1)}{10-1} = \frac{10}{9}(10^n - 1) \)

இரண்டாம் பகுதி: \( (1+1+1+...) = n \)

\( S_n = \frac{1}{3}\left[\frac{10}{9}(10^n - 1) - n\right] \)

\( S_n = \frac{10}{27}(10^n - 1) - \frac{n}{3} \)

34.

ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகளின் மொத்த மதிப்பு ரூ. 105 மற்றும் மொத்த நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை 12. முதல் இரண்டு வகை நோட்டுகளின் எண்ணிக்கையை இடமாற்றம் செய்தால் முந்தைய மதிப்பை விட ரூ. 20 அதிகரிக்கிறது எனில், எத்தனை ஐந்து, பத்து மற்றும் இருபது ரூபாய் நோட்டுகள் உள்ளன?

தீர்வு:

₹5, ₹10, ₹20 நோட்டுகளின் எண்ணிக்கை முறையே x, y, z என்க.

மொத்த எண்ணிக்கை: \( x + y + z = 12 \) --- (1)

மொத்த மதிப்பு: \( 5x + 10y + 20z = 105 \). (5-ஆல் வகுக்க)

\( x + 2y + 4z = 21 \) --- (2)

இடமாற்றம் செய்தபின் புதிய மதிப்பு: \( 10x + 5y + 20z = 105 + 20 = 125 \). (5-ஆல் வகுக்க)

\( 2x + y + 4z = 25 \) --- (3)

சமன்பாடு (2) - (1):

\( (x + 2y + 4z) - (x + y + z) = 21 - 12 \Rightarrow y + 3z = 9 \) --- (4)

சமன்பாடு (3) - 2 \(\times\) (1):

\( (2x + y + 4z) - 2(x + y + z) = 25 - 2(12) \)

\( 2x + y + 4z - 2x - 2y - 2z = 25 - 24 \Rightarrow -y + 2z = 1 \) --- (5)

சமன்பாடு (4) + (5):

\( (y + 3z) + (-y + 2z) = 9 + 1 \Rightarrow 5z = 10 \Rightarrow z = 2 \)

z=2 என (4)-ல் பிரதியிட: \( y + 3(2) = 9 \Rightarrow y = 3 \)

y=3, z=2 என (1)-ல் பிரதியிட: \( x + 3 + 2 = 12 \Rightarrow x = 7 \)

₹5 நோட்டுகள் = 7, ₹10 நோட்டுகள் = 3, ₹20 நோட்டுகள் = 2.

35.

\( 37x^2 - 28x^3 + 4x^4 + 42x + 9 \) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் வர்க்கமூலம் காண்க.

தீர்வு:

பல்லுறுப்புக்கோவையை திட்ட வடிவில் எழுத: \( 4x^4 - 28x^3 + 37x^2 + 42x + 9 \).

நீள் வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி வர்க்கமூலம் காணலாம்.

1. \( \sqrt{4x^4} = 2x^2 \)

2. \( (2x^2) \times 2 = 4x^2 \). அடுத்த உறுப்பு: \( \frac{-28x^3}{4x^2} = -7x \).

3. \( (2x^2 - 7x) \times 2 = 4x^2 - 14x \). அடுத்த உறுப்பு: \( \frac{-12x^2}{4x^2} = -3 \).

(விரிவான நீள் வகுத்தல் படிநிலைகள் மாணவர்கள் தேர்வில் காட்ட வேண்டும்)

வர்க்கமூலம் \( = 2x^2 - 7x - 3 \).

விடை: \( |2x^2 - 7x - 3| \)

36.

\( x^2 + 6x - 4 = 0 \)-யின் மூலங்கள் \( \alpha, \beta \) எனில் \( \alpha^2 \) மற்றும் \( \beta^2 \) ஐ மூலங்களாகக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு \( x^2 + 6x - 4 = 0 \).

மூலங்களின் கூடுதல்: \( \alpha + \beta = -6 \)

மூலங்களின் பெருக்கல்: \( \alpha\beta = -4 \)

புதிய மூலங்கள் \( \alpha^2 \) மற்றும் \( \beta^2 \).

புதிய மூலங்களின் கூடுதல்:

\( \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta \)

\( = (-6)^2 - 2(-4) = 36 + 8 = 44 \)

புதிய மூலங்களின் பெருக்கல்:

\( \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-4)^2 = 16 \)

தேவையான இருபடிச் சமன்பாடு:

\( x^2 - (\text{புதிய மூலங்களின் கூடுதல்})x + (\text{புதிய மூலங்களின் பெருக்கல்}) = 0 \)

\( x^2 - 44x + 16 = 0 \)

37.

அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தை எழுதி நிறுவுக.

தீர்வு:

38.

(8, 6), (5, 11), (-5, 12) மற்றும் (-4, 3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காண்க.

தீர்வு:

புள்ளிகள் A(8, 6), B(5, 11), C(-5, 12), D(-4, 3).

நாற்கரத்தின் பரப்பு = \( \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{matrix} \right| \)

= \( \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} 8 & 5 & -5 & -4 & 8 \\ 6 & 11 & 12 & 3 & 6 \end{matrix} \right| \)

= \( \frac{1}{2} |((8)(11)+(5)(12)+(-5)(3)+(-4)(6)) - ((6)(5)+(11)(-5)+(12)(-4)+(3)(8))| \)

= \( \frac{1}{2} |(88+60-15-24) - (30-55-48+24)| \)

= \( \frac{1}{2} |(148 - 39) - (54 - 103)| \)

= \( \frac{1}{2} |109 - (-49)| = \frac{1}{2} |109+49| = \frac{1}{2}(158) = 79 \)

பரப்பு = 79 சதுர அலகுகள்.

39.

(1, – 4) என்ற புள்ளி வழிச் செல்வதும், வெட்டுத் துண்டுகளின் விகிதம் 2 : 5 உடையதுமான நேர்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

வெட்டுத்துண்டு வடிவ சமன்பாடு: \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)

வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் a : b = 2 : 5. எனவே a=2k, b=5k.

சமன்பாடு: \( \frac{x}{2k} + \frac{y}{5k} = 1 \)

இது (1, -4) வழிச் செல்கிறது:

\( \frac{1}{2k} + \frac{-4}{5k} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2k} - \frac{4}{5k} = 1 \)

\( \frac{5 - 8}{10k} = 1 \Rightarrow \frac{-3}{10k} = 1 \Rightarrow 10k = -3 \Rightarrow k = -\frac{3}{10} \)

எனவே, a = 2k = -6/10 = -3/5 மற்றும் b = 5k = -15/10 = -3/2.

சமன்பாட்டில் பிரதியிட: \( \frac{x}{-3/5} + \frac{y}{-3/2} = 1 \)

\( -\frac{5x}{3} - \frac{2y}{3} = 1 \Rightarrow -5x - 2y = 3 \)

\( 5x + 2y + 3 = 0 \)

40.

A(−4, 2) மற்றும் B(6, -4) என்ற புள்ளிகளை இணைக்கும் மையக் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

தீர்வு:

1. AB-யின் மையப்புள்ளி (M) காண்க:

\( M = \left(\frac{-4+6}{2}, \frac{2-4}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (1, -1) \)

2. AB-யின் சாய்வு காண்க:

\( m_{AB} = \frac{-4 - 2}{6 - (-4)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5} \)

3. குத்துக்கோட்டின் சாய்வு காண்க:

\( m_{\perp} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3} \)

4. குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடு காண்க:

புள்ளி M(1, -1) மற்றும் சாய்வு m = 5/3.

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

\( y - (-1) = \frac{5}{3}(x - 1) \)

\( 3(y+1) = 5(x-1) \Rightarrow 3y + 3 = 5x - 5 \)

\( 5x - 3y - 8 = 0 \)

41.

\( \cot\theta + \tan\theta = x \) மற்றும் \( \sec\theta - \cos\theta = y \) எனில், \( (x^2y)^{2/3} - (xy^2)^{2/3} = 1 \) என்பதை நிரூபிக்கவும்.

தீர்வு:

முதலில் x மற்றும் y-ஐ சுருக்குவோம்:

\( x = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} \)

\( y = \frac{1}{\cos\theta} - \cos\theta = \frac{1-\cos^2\theta}{\cos\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \)

இப்போது \( x^2y \)-ஐக் கணக்கிடுவோம்:

\( x^2y = \left(\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\right)^2 \left(\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\right) = \frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta} \cdot \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{\cos^3\theta} = \sec^3\theta \)

இப்போது \( xy^2 \)-ஐக் கணக்கிடுவோம்:

\( xy^2 = \left(\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\right) \left(\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\right)^2 = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} \cdot \frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\sin^3\theta}{\cos^3\theta} = \tan^3\theta \)

இப்போது, கொடுக்கப்பட்ட கோவையில் பிரதியிட:

LHS = \( (x^2y)^{2/3} - (xy^2)^{2/3} \)

= \( (\sec^3\theta)^{2/3} - (\tan^3\theta)^{2/3} \)

= \( \sec^2\theta - \tan^2\theta \)

முக்கோணவியல் முற்றொருமையின்படி, \( \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \).

LHS = 1 = RHS.

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

42.

சுவாதி என்பவர் 9செ.மீ., 10 செ.மீ. 11 செ.மீ,.......... 23 செ.மீ. என்ற வெவ்வேறு அளவுகளுடைய 15 கனச் சதுர பனிக்கட்டிகளை பழரசம் தயாரிக்க பயன்படுத்தினால், அவர் பயன்படுத்திய 15 கனச்சதுர பனிக்கட்டிகளின் கன அளவைக் காண்க.

தீர்வு: (கட்டாய வினா)

பனிக்கட்டிகளின் பக்க அளவுகள்: 9 செ.மீ, 10 செ.மீ, ..., 23 செ.மீ.

மொத்த கன அளவு = \(9^3 + 10^3 + ... + 23^3\)

இதை \((1^3 + 2^3 + ... + 23^3) - (1^3 + 2^3 + ... + 8^3)\) என எழுதலாம்.

சூத்திரம்: \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\)

\(1^3 + ... + 23^3 = \left[\frac{23(23+1)}{2}\right]^2 = \left[\frac{23 \times 24}{2}\right]^2 = (23 \times 12)^2 = 276^2 = 76176\)

\(1^3 + ... + 8^3 = \left[\frac{8(8+1)}{2}\right]^2 = \left[\frac{8 \times 9}{2}\right]^2 = (36)^2 = 1296\)

மொத்த கன அளவு = \(76176 - 1296 = 74880\) கன செ.மீ.

பகுதி - IV (மதிப்பெண்கள்: 16)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி.

43.

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC யின் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{6}{5}\) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அல்லது) QR = 5 செ.மீ. \(\angle P = 30^\circ\), மற்றும் P - யிலிருந்து QR - க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ. கொண்ட \(\Delta PQR\) வரைக.

தீர்வு:

வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவு காரணி > 1):

1. ஏதேனும் ஓர் முக்கோணம் \(\Delta ABC\) வரைக.
2. BC என்ற கோட்டுத்துண்டில், B-யிலிருந்து ஒரு குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு BX என்ற கதிரை வரைக.
3. BX-ல் \(B_1, B_2, B_3, B_4, B_5, B_6\) என 6 சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக.
4. \(B_5\) மற்றும் C-ஐ இணைக்க.
5. \(B_6\)-லிருந்து \(B_5C\)-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது BC-யின் நீட்சியை C' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. C'-லிருந்து CA-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது BA-யின் நீட்சியை A' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. \(\Delta A'BC'\) என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

(அல்லது) \(\Delta PQR\) வரைதல்:

1. QR = 5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. Q-ல் \(\angle RQX = 30^\circ\) என இருக்குமாறு QX வரைக.
3. Q-ல் \(QY \perp QX\) வரைக.
4. QR-க்கு மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது QR-ஐ M-ல் சந்திக்கட்டும்.
5. மையக்குத்துக்கோடு, QY-ஐ O-வில் சந்திக்கட்டும்.
6. O-வை மையமாகவும், OQ-வை ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
7. M-லிருந்து 4.2 செ.மீ உயரத்திற்கு ஒரு கோடு வரைந்து, அது வட்டத்தை P மற்றும் P' இல் வெட்டுமாறு வரைக.
8. PQ மற்றும் PR-ஐ இணைக்க. \(\Delta PQR\) என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.

44.

அ) ஒரு பேருந்து 50 கி.மீ. / மணி என்ற சீரான வேகத்தில் பயணிக்கிறது. இத்தொடர்புக்கான தூரம் - நேரம் வரைபடம் வரைந்து பின்வருவனவற்றைக் காண்க. i) விகிதசம மாறிலியைக் காண்க. ii) 90 நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம் எவ்வளவு? iii) 300 கி.மீ. தூரத்தை பயணிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்? (அல்லது) ஆ) ஒரு தொட்டியை நிரப்பத் தேவையான குழாய்களின் எண்ணிக்கையும் அவை எடுத்துக் கொள்ளும் நேரமும் பின்வரும் அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. அதற்கான வரைபடம் வரைந்து i) 5 குழாய்களை பயன்படுத்தினால் தொட்டி நிரம்ப எடுத்துக்கொள்ளும் நேரத்தைக் காண்க. ii) 9 நிமிடங்களில் தொட்டி நிரம்பினால் பயன்படுத்தப்பட்ட குழாய்களின் எண்ணிக்கையைக் காண்க.

தீர்வு:

அ) நேர் மாறுபாடு வரைபடம்:

வேகம் = 50 கி.மீ/மணி. தூரம் (y) = வேகம் \(\times\) நேரம் (x). எனவே \(y = 50x\).

i) விகிதசம மாறிலி (k): \(k = 50\).

அட்டவணை:

நேரம் x (மணி)	1	2	3	4
தூரம் y (கி.மீ)	50	100	150	200

இந்த புள்ளிகளை வரைபடத்தில் குறித்து, ஆதிப்புள்ளி வழியாக செல்லும் ஒரு நேர்க்கோட்டை வரைய வேண்டும்.

ii) 90 நிமிடங்கள் (1.5 மணி) பயணிக்கும் தூரம்: வரைபடத்தில் x=1.5 எனும்போது y=75 கி.மீ. கிடைக்கும்.

iii) 300 கி.மீ பயணிக்க ஆகும் நேரம்: வரைபடத்தில் y=300 எனும்போது x=6 மணி நேரம் கிடைக்கும்.

ஆ) எதிர் மாறுபாடு வரைபடம்:

கொடுக்கப்பட்ட தரவு: \(xy = k\).
\(2 \times 45 = 90, 3 \times 30 = 90\), ... எனவே \(k=90\).

அட்டவணையில் உள்ள புள்ளிகளை (2,45), (3,30), (6,15), (9,10) குறித்து ஒரு வளைவரை (hyperbola) வரைய வேண்டும்.

i) 5 குழாய்கள் எனில் நேரம்: \(5 \times y = 90 \Rightarrow y = 18\) நிமிடங்கள். வரைபடத்திலிருந்தும் இதைக் காணலாம்.

ii) 9 நிமிடங்களில் நிரம்பினால் குழாய்கள்: \(x \times 9 = 90 \Rightarrow x = 10\) குழாய்கள். வரைபடத்திலிருந்தும் இதைக் காணலாம்.