10th Maths Quarterly Exam Paper 2024 - Cuddalore District
காலாண்டுப் பொதுத் தேர்வு - 2024
பத்தாம் வகுப்பு - கணிதம்
கடலூர் மாவட்டம்
பகுதி - அ (மதிப்பெண்கள்: 14)
சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக. (14 x 1 = 14)
1. A = {a,b,p}, B = {2,3}, C = {p,q,r,s} எனில் n[(A∪C) x B] ஆனது
A = {a,b,p}, C = {p,q,r,s}
\(A \cup C = \{a,b,p\} \cup \{p,q,r,s\} = \{a,b,p,q,r,s\}\)
\(n(A \cup C) = 6\)
B = {2,3}, \(n(B) = 2\)
\(n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B) = 6 \times 2 = 12\)
சரியான விடை: இ) 12
2. \(f(x) = (x + 1)^3 – (x – 1)^3\) குறிப்பிடும் சார்பானது
\(f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) – (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\)
\(f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 – x^3 + 3x^2 - 3x + 1\)
\(f(x) = 6x^2 + 2\)
இது x-இன் படி 2 ஆக இருப்பதால், இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.
சரியான விடை: ஈ) இருபடிச் சார்பு
3. n(A) = p, n(B) = q எனில் A யிலிருந்து B க்கு கிடைக்கும் மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கையானது
A யிலிருந்து B க்கு கிடைக்கும் மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{n(A) \times n(B)}\) ஆகும்.
இங்கு, n(A)=p, n(B)=q. எனவே, மொத்த உறவுகளின் எண்ணிக்கை \(2^{pq}\) ஆகும்.
சரியான விடை: ஈ) \(2^{pq}\)
4. 1729 ஐப் பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்
1729 = 7 × 247 = 7 × 13 × 19
\(1729 = 7^1 \times 13^1 \times 19^1\)
அடுக்குகளின் கூடுதல் = 1 + 1 + 1 = 3
சரியான விடை: இ) 3
5. ஒரு கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் 31 உறுப்புகள் உள்ளன. அதன் 16-வது உறுப்பு m எனில், அந்த கூட்டுத் தொடர் வரிசையில் உள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கூடுதல்
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, n = 31 (ஒற்றைப்படை).
16-வது உறுப்பு \(t_{16}\) = m. இது தொடரின் மைய உறுப்பு ஆகும்.
ஒரு கூட்டுத் தொடரின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றைப்படையாக இருந்தால், அதன் கூடுதல் = n × (மைய உறுப்பு).
கூடுதல் \(S_{31} = 31 \times t_{16} = 31m\).
சரியான விடை: இ) 31 m
6. \((1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 15^3) - (1 + 2 + 3 + ... + 15)\) யின் மதிப்பு
\(\Sigma n^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\) and \(\Sigma n = \frac{n(n+1)}{2}\).
இங்கு n = 15.
\((1 + 2 + ... + 15) = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120\).
\((1^3 + 2^3 + ... + 15^3) = \left[\frac{15(15+1)}{2}\right]^2 = 120^2 = 14400\).
மதிப்பு = 14400 - 120 = 14280.
சரியான விடை: இ) 14280
7. \(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2}\) என்பது
\(\frac{3y-3}{y} \div \frac{7y-7}{3y^2} = \frac{3y-3}{y} \times \frac{3y^2}{7y-7}\)
\( = \frac{3(y-1)}{y} \times \frac{3y^2}{7(y-1)}\)
(y-1) ஐ நீக்க,
\( = \frac{3}{y} \times \frac{3y^2}{7} = \frac{9y^2}{7y} = \frac{9y}{7}\)
சரியான விடை: அ) 9y/7
8. \(\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}\) யின் வர்க்கமூலம்
\(\sqrt{\frac{256x^8y^4z^{10}}{25x^6y^6z^6}} = \sqrt{\frac{256}{25} \cdot x^{8-6} \cdot y^{4-6} \cdot z^{10-6}}\)
\(= \sqrt{\frac{16^2}{5^2} \cdot x^2 \cdot y^{-2} \cdot z^4}\)
\(= \sqrt{\left(\frac{16}{5}\right)^2 \cdot \frac{x^2 z^4}{y^2}}\)
\(= \frac{16}{5} \cdot \left|\frac{x z^2}{y}\right| = \frac{16}{5} \left|\frac{xz^2}{y}\right|\)
சரியான விடை: ஈ) \( (\frac{16}{5}) |\frac{xz^2}{y}| \)
9. \( (2x – 1)^2 = 9 \) ன் தீர்வு
\((2x – 1)^2 = 9\)
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் எடுக்க, \(2x - 1 = \pm3\)
நிலை 1: \(2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\)
நிலை 2: \(2x - 1 = -3 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1\)
தீர்வு: x = -1, 2
சரியான விடை: இ) -1, 2
10. \(\triangle ABC\) யில் DE||BC, AB = 3.6 செ.மீ, AC = 2.4 செ.மீ மற்றும் AD = 2.1 செ.மீ எனில் AE யின் நீளம்
தேல்ஸ் தேற்றத்தின்படி (அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்), DE||BC எனில்,
\(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)
\(\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4}\)
\(AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6}\)
AE = 5.04 / 3.6 = 1.4 செ.மீ
சரியான விடை: அ) 1.4 செ.மீ
11. 3x - y = 4 மற்றும் x + y = 8 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளி
(1) 3x - y = 4
(2) x + y = 8
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்ட,
(3x - y) + (x + y) = 4 + 8
4x = 12 \(\Rightarrow\) x = 3
x = 3 ஐ சமன்பாடு (2) இல் பிரதியிட, 3 + y = 8 \(\Rightarrow\) y = 5
சந்திக்கும் புள்ளி (3,5).
சரியான விடை: இ) (3,5)
12. சாய்வைப் பயன்படுத்தி நாற்கரமானது ஓர் இணைகரமாக உள்ளது எனக் கூற நாம் காண வேண்டியவை
ஒரு நாற்கரத்தின் இரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களின் சாய்வுகள் சமமாக இருந்தால், அந்த நாற்கரம் ஒரு இணைகரம் ஆகும்.
சரியான விடை: இ) இரு சோடி எதிர் பக்கங்களின் சாய்வுகள்
13. (-2,0), (0,-2), (2,0) ஆகிய புள்ளிகளால் அமைக்கப்படும் முக்கோணத்தின் பரப்பு
புள்ளிகள் A(-2,0), B(0,-2), C(2,0).
முக்கோணத்தின் பரப்பு = \( \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \)
\( = \frac{1}{2} |(-2)(-2-0) + 0(0-0) + 2(0-(-2))| \)
\( = \frac{1}{2} |(-2)(-2) + 0 + 2(2)| \)
\( = \frac{1}{2} |4 + 0 + 4| = \frac{1}{2} |8| = 4 \) ச.அலகுகள்.
சரியான விடை: ஆ) 4 ச.அலகுகள்
14. \((\sin \alpha + \csc \alpha)^2 + (\cos \alpha + \sec \alpha)^2 = k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\) எனில் k-ன் மதிப்பு
LHS = \((\sin^2\alpha + \csc^2\alpha + 2\sin\alpha\csc\alpha) + (\cos^2\alpha + \sec^2\alpha + 2\cos\alpha\sec\alpha)\)
= \((\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + \csc^2\alpha + \sec^2\alpha + 2(1) + 2(1)\) [∵ \(\sin\alpha\csc\alpha = 1, \cos\alpha\sec\alpha = 1\)]
= \(1 + (1 + \cot^2\alpha) + (1 + \tan^2\alpha) + 4\) [∵ \(\csc^2\alpha=1+\cot^2\alpha, \sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha\)]
= \(1 + 1 + \cot^2\alpha + 1 + \tan^2\alpha + 4\)
= \(7 + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\)
RHS = \(k + \tan^2\alpha + \cot^2\alpha\)
ஒப்பிடும் போது, k = 7.
சரியான விடை: ஆ) 7
பகுதி - ஆ (மதிப்பெண்கள்: 20)
எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 28 கட்டாய வினா) (10 x 2 = 20)
15. A x B = {(3,2), (3,4), (5,2), (5,4)} எனில் A மற்றும் B ஐக் காண்க.
A = {3, 5}
B = {A x B இல் உள்ள வரிசைச் சோடிகளின் இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்}
B = {2, 4}
16. X = {1,2,3,4}, Y = {2,4,6,8,10} மற்றும் R = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)} எனில் R ஆனது ஒரு சார்பு எனக் காட்டுக. மேலும் அதன் மதிப்பகம், துணை மதிப்பகம் மற்றும் வீச்சகத்தைக் காண்க.
i) X-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் Y-ல் ஒரு நிழல் உரு உள்ளது.
ii) X-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் Y-ல் ஒரே ஒரு நிழல் உரு மட்டுமே உள்ளது.
எனவே, R ஒரு சார்பு ஆகும்.
மதிப்பகம் = X = {1, 2, 3, 4}
துணை மதிப்பகம் = Y = {2, 4, 6, 8, 10}
வீச்சகம் = {2, 4, 6, 8}
17. 9, 3, 1, ......... என்ற பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் 8-வது உறுப்பைக் காண்க.
முதல் உறுப்பு, a = 9
பொது விகிதம், \(r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)
n-வது உறுப்பு, \(t_n = ar^{n-1}\)
8-வது உறுப்பு, \(t_8 = 9 \times (\frac{1}{3})^{8-1} = 9 \times (\frac{1}{3})^7\)
\(t_8 = 3^2 \times \frac{1}{3^7} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}\)
18. மீ.பொ.வ. காண்க: 5x - 10, \(5x^2 - 20\)
\(5x^2 - 20 = 5(x^2 - 4) = 5(x - 2)(x + 2)\)
பொதுவான காரணிகள் 5 மற்றும் (x-2).
எனவே, மீ.பொ.வ = 5(x - 2).
19. சுருக்குக : \( \frac{4x^2y}{2z^2} \times \frac{6xz^3}{20y^4} \)
\( = \frac{4 \times 6}{2 \times 20} \times \frac{x^2 \cdot x \cdot y \cdot z^3}{z^2 \cdot y^4} \)
\( = \frac{24}{40} \times x^3 \cdot y^{1-4} \cdot z^{3-2} \)
\( = \frac{3}{5} \times x^3 \cdot y^{-3} \cdot z^1 \)
\( = \frac{3x^3z}{5y^3} \)
20. படம் \(\triangle ABC\) ல் \(\angle A\) ன் இருசமவெட்டி AD ஆகும். BD = 4 செமீ, DC = 3 செமீ மற்றும் AB = 6 செமீ எனில் AC யைக் காண்க.
\( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \)
\( \frac{6}{AC} = \frac{4}{3} \)
\( 4 \times AC = 6 \times 3 \)
\( AC = \frac{18}{4} \)
AC = 4.5 செ.மீ
21. 6 மீ உயரமுள்ள செங்குத்தாக நிற்கும் கம்பமானது தரையில் 400 செமீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. ஒரு கோபுரமானது 28 மீ நீளமுள்ள நிழலை ஏற்படுத்துகிறது. கம்பம் மற்றும், கோபுரம் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமைவதாகக் கருதி வடிவொத்த தன்மையைப் பயன்படுத்தி, கோபுரத்தின் உயரம் காண்க.
கம்பத்தின் உயரம் \((H_1)\) = 6 மீ
கம்பத்தின் நிழல் \((S_1)\) = 400 செமீ = 4 மீ
கோபுரத்தின் உயரம் \((H_2)\) = ?
கோபுரத்தின் நிழல் \((S_2)\) = 28 மீ
வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி,
\( \frac{H_1}{S_1} = \frac{H_2}{S_2} \)
\( \frac{6}{4} = \frac{H_2}{28} \)
\( H_2 = \frac{6 \times 28}{4} \)
\( H_2 = 6 \times 7 = 42 \) மீ
கோபுரத்தின் உயரம் 42 மீ ஆகும்.
22. P(-1.5, 3), Q(6, -2) மற்றும் R(-3, 4) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக்காட்டுக.
பரப்பு = \( \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \)
\( = \frac{1}{2} |(-1.5)(-2-4) + 6(4-3) + (-3)(3-(-2))| \)
\( = \frac{1}{2} |(-1.5)(-6) + 6(1) + (-3)(5)| \)
\( = \frac{1}{2} |9 + 6 - 15| \)
\( = \frac{1}{2} |15 - 15| = \frac{1}{2} |0| = 0 \)
பரப்பு பூச்சியம் என்பதால், கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.
23. (-6,1) மற்றும் (14,10) என்ற புள்ளிகளுக்கு சாய்வு காண்க.
\(m = \frac{10 - 1}{14 - (-6)}\)
\(m = \frac{9}{14 + 6}\)
\(m = \frac{9}{20}\)
24. 2x + 3y - 8 = 0, 4x + 6y + 18 = 0 ஆகிய நேர்க்கோடுகள் இணை எனக்காட்டுக.
கோடு 2: 4x + 6y + 18 = 0, சாய்வு \(m_2 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}\).
இங்கு, \(m_1 = m_2\). எனவே, இரு கோடுகளும் இணை ஆகும்.
25. கொடுக்கப்பட்ட சார்பு \(f: x \rightarrow x^2 - 5x + 6\), எனில் i) f(-1) ii) f(2) ன் மதிப்பு காண்க.
i) \(f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12\)
ii) \(f(2) = (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\)
26. \(13824 = 2^a \times 3^b\) எனில் a மற்றும் b யின் மதிப்பு காண்க.
13824 = 2 × 6912
= 2² × 3456
= 2³ × 1728
= \(2^3 \times 12^3 = 2^3 \times (2^2 \times 3)^3 = 2^3 \times 2^6 \times 3^3\)
= \(2^9 \times 3^3\)
\(2^a \times 3^b\) உடன் ஒப்பிட, a = 9, b = 3.
27. \(\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} = \csc\theta + \cot\theta\) என்பதை நிரூபிக்கவும்.
= \(\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)(1+\cos\theta)}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}}\)
= \(\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}}\)
= \(\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}}\)
= \(\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\)
= \(\frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\)
= \(\csc\theta + \cot\theta\) = RHS
28. 1 + 3 + 5 + ... + 51 ன் கூடுதல் காண்க. (கட்டாய வினா)
a = 1, d = 2, l = 51
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை \(n = \left[\frac{l - a}{d}\right] + 1\)
\(n = \left[\frac{51 - 1}{2}\right] + 1 = \left[\frac{50}{2}\right] + 1 = 25 + 1 = 26\)
கூடுதல் \(S_n = \frac{n}{2} (a + l)\)
\(S_{26} = \frac{26}{2} (1 + 51) = 13 (52) = 676\).
பகுதி - இ (மதிப்பெண்கள்: 50)
எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு விடையளி. (வினா எண் 42 கட்டாய வினா) (10 x 5 = 50)
29. f: A → B என்ற சார்பானது \(f(x) = \frac{x}{2} - 1\) என வரையறுக்கப்படுகிறது. இங்கு A = {2,4,6,10,12}, B = {0,1,2,4,5,9} ஆக இருக்கும் போது சார்பு f-ஐ பின்வரும் முறைகளில் குறிக்க.
i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் ii) அட்டவணை iii) அம்புக்குறி படம் iv) வரைபடம்
\(f(2) = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0\)
\(f(4) = \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1\)
\(f(6) = \frac{6}{2} - 1 = 3 - 1 = 2\)
\(f(10) = \frac{10}{2} - 1 = 5 - 1 = 4\)
\(f(12) = \frac{12}{2} - 1 = 6 - 1 = 5\)
i) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:
f = {(2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5)}
ii) அட்டவணை:
| x | 2 | 4 | 6 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 |
A = {2, 4, 6, 10, 12} → B = {0, 1, 2, 4, 5, 9}2→0, 4→1, 6→2, 10→4, 12→5
iv) வரைபடம்:
புள்ளிகளை XY-தளத்தில் குறிக்கவும்: (2,0), (4,1), (6,2), (10,4), (12,5).
30. f(x) = 3x + 1, g(x) = x + 3 ஆகியவை இரு சார்புகள். மேலும் gff(x) = fgg(x) எனில் x-ஐக் காண்க.
ff(x) = f(f(x)) = f(3x+1) = 3(3x+1) + 1 = 9x + 3 + 1 = 9x + 4
gff(x) = g(ff(x)) = g(9x+4) = (9x+4) + 3 = 9x + 7
gg(x) = g(g(x)) = g(x+3) = (x+3) + 3 = x + 6
fgg(x) = f(gg(x)) = f(x+6) = 3(x+6) + 1 = 3x + 18 + 1 = 3x + 19
gff(x) = fgg(x)
9x + 7 = 3x + 19
9x - 3x = 19 - 7
6x = 12
x = 2
31. 5 + 15 + 45 + ... என்ற பெருக்குத் தொடர் வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் 1365 எனில், n-ன் மதிப்பைக் காண்க.
இது ஒரு பெருக்குத் தொடர் வரிசை (GP).
முதல் உறுப்பு, a = 5
பொது விகிதம், \(r = \frac{15}{5} = 3\). இங்கு r > 1.
n உறுப்புகளின் கூடுதல், \(S_n = 1365\).
GP-யின் கூடுதல் சூத்திரம்: \(S_n = a \frac{(r^n - 1)}{r - 1}\)
மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
\(1365 = 5 \frac{(3^n - 1)}{3 - 1}\)
\(1365 = 5 \frac{(3^n - 1)}{2}\)
\(\frac{1365 \times 2}{5} = 3^n - 1\)
\(273 \times 2 = 3^n - 1\)
\(546 = 3^n - 1\)
\(547 = 3^n\)
குறிப்பு: 547 என்பது 3-இன் முழு அடுக்கு அல்ல (\(3^5 = 243, 3^6 = 729\)). எனவே, n-க்கு முழு எண் தீர்வு இல்லை. வினாவில் கொடுக்கப்பட்ட கூடுதல் மதிப்பில் அச்சுப்பிழை இருக்கலாம்.
32. தீர்க்க: \( \frac{x}{x-1} + \frac{x-1}{x} = 2 \frac{1}{2} \)
\(y = \frac{x}{x-1}\) என்க. அப்போது \(\frac{x-1}{x} = \frac{1}{y}\).
சமன்பாடு \( y + \frac{1}{y} = \frac{5}{2} \) என மாறும்.
குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய:
\( \frac{y^2 + 1}{y} = \frac{5}{2} \)
\( 2(y^2 + 1) = 5y \)
\( 2y^2 + 2 = 5y \)
\( 2y^2 - 5y + 2 = 0 \)
இதை காரணிப்படுத்த:
\( (2y - 1)(y - 2) = 0 \)
எனவே, \(2y - 1 = 0\) அல்லது \(y - 2 = 0\).
\(y = \frac{1}{2}\) அல்லது \(y = 2\).
நிலை 1: y = 2
\( \frac{x}{x-1} = 2 \)
\( x = 2(x-1) \Rightarrow x = 2x - 2 \)
\( 2 = 2x - x \Rightarrow x = 2 \)
நிலை 2: y = 1/2
\( \frac{x}{x-1} = \frac{1}{2} \)
\( 2x = x - 1 \)
\( 2x - x = -1 \Rightarrow x = -1 \)
தீர்வு: x = 2, -1
33. மீ.பொ.ம காண்க: \( x^2 + 4x - 12, x^2 - 5x + 6 \)
பெருக்கினால் -12, கூட்டினால் +4 வரும் எண்கள் 6 மற்றும் -2.
\( p(x) = (x+6)(x-2) \)
இரண்டாம் கோவை: \( q(x) = x^2 - 5x + 6 \)
பெருக்கினால் 6, கூட்டினால் -5 வரும் எண்கள் -2 மற்றும் -3.
\( q(x) = (x-2)(x-3) \)
மீ.பொ.ம (LCM) என்பது அனைத்துக் காரணிகளின் பெருக்கல் ஆகும்.
பொதுவான காரணி: (x-2)
மற்ற காரணிகள்: (x+6), (x-3)
மீ.பொ.ம = (x-2)(x+6)(x-3)
34. \(9x^4+ 12x^3+ 28x^2 + ax + b\) ஆனது ஒரு முழு வர்க்கம் எனில் a, b ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.
கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முழுவர்க்கம் என்பதால், a − 16 = 0, b − 16 = 0 எனவே, a = 16, b = 16.
வழிமுறைகள்:1. \(9x^4\) இன் வர்க்கமூலம் \(3x^2\). ஈவாகவும் வகு எண்ணாகவும் \(3x^2\) ஐ எழுதவும்.
2. \(9x^4\) ஐக் கழித்தால் மீதி \(12x^3 + 28x^2\).
3. ஈவை 2 ஆல் பெருக்கி (\(6x^2\)), அடுத்த உறுப்பான \(12x^3\) ஐ \(6x^2\) ஆல் வகுக்க +2x கிடைக்கும். ஈவில் +2x ஐச் சேர்க்கவும்.
4. \((6x^2 + 2x)\) ஐ 2x ஆல் பெருக்க \(12x^3 + 4x^2\) கிடைக்கும். இதைக் கழிக்க மீதி \(24x^2 + ax + b\).
5. ஈவை (\(3x^2 + 2x\)) ஐ 2 ஆல் பெருக்க \(6x^2 + 4x\) கிடைக்கும். \(24x^2\) ஐ \(6x^2\) ஆல் வகுக்க +4 கிடைக்கும். ஈவில் +4 ஐச் சேர்க்கவும்.
6. \((6x^2 + 4x + 4)\) ஐ 4 ஆல் பெருக்க \(24x^2 + 16x + 16\) கிடைக்கும்.
இது முழு வர்க்கம் என்பதால் மீதி பூச்சியம்.
\((24x^2 + ax + b) - (24x^2 + 16x + 16) = 0\)
ஒத்த உறுப்புகளை ஒப்பிட,
a = 16
b = 16
35. தீர்க்க: \(3x - 2y + z = 2, 2x + 3y - z = 5, x + y + z = 6\)
(1) \(3x - 2y + z = 2\)
(2) \(2x + 3y - z = 5\)
(3) \(x + y + z = 6\)
படி 1: சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்டுக
\( (3x - 2y + z) + (2x + 3y - z) = 2 + 5 \)
\( 5x + y = 7 \) --- (4)
படி 2: சமன்பாடு (2) மற்றும் (3) ஐக் கூட்டுக
\( (2x + 3y - z) + (x + y + z) = 5 + 6 \)
\( 3x + 4y = 11 \) --- (5)
படி 3: சமன்பாடு (4) மற்றும் (5) ஐத் தீர்க்க
சமன்பாடு (4) ஐ 4 ஆல் பெருக்க:
\( 4 \times (5x + y) = 4 \times 7 \)
\( 20x + 4y = 28 \) --- (6)
சமன்பாடு (6) லிருந்து (5) ஐக் கழிக்க:
\( (20x + 4y) - (3x + 4y) = 28 - 11 \)
\( 17x = 17 \)
x = 1
படி 4: x மதிப்பை சமன்பாடு (4) இல் பிரதியிட
\( 5(1) + y = 7 \)
\( 5 + y = 7 \)
y = 2
படி 5: x, y மதிப்புகளை சமன்பாடு (3) இல் பிரதியிட
\( (1) + (2) + z = 6 \)
\( 3 + z = 6 \)
z = 3
தீர்வு: x = 1, y = 2, z = 3
36. அடிப்படை விகித சமத் தேற்றத்தை எழுதி நிரூபிக்க.
கொடுக்கப்பட்டவை: \(\triangle ABC\) இல், AB இன் மேல் D என்ற புள்ளியும், AC இன் மேல் E என்ற புள்ளியும் உள்ளன. DE || BC.
நிரூபிக்க வேண்டியது: \(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\).
அமைப்பு: BE மற்றும் CD ஐ இணைக்கவும். DM ⊥ AC மற்றும் EN ⊥ AB வரைக.
நிரூபணம்:
பரப்பு(\(\triangle ADE\)) = \( \frac{1}{2} \times AD \times EN \)
பரப்பு(\(\triangle BDE\)) = \( \frac{1}{2} \times DB \times EN \)
\( \frac{\text{பரப்பு}(\triangle ADE)}{\text{பரப்பு}(\triangle BDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AD \times EN}{\frac{1}{2} \times DB \times EN} = \frac{AD}{DB} \) .....(1)
பரப்பு(\(\triangle ADE\)) = \( \frac{1}{2} \times AE \times DM \)
பரப்பு(\(\triangle CDE\)) = \( \frac{1}{2} \times EC \times DM \)
\( \frac{\text{பரப்பு}(\triangle ADE)}{\text{பரப்பு}(\triangle CDE)} = \frac{\frac{1}{2} \times AE \times DM}{\frac{1}{2} \times EC \times DM} = \frac{AE}{EC} \) .....(2)
\(\triangle BDE\) மற்றும் \(\triangle CDE\) ஒரே அடிப்பக்கம் DE மற்றும் ஒரே இணைக்கோடுகளான BC மற்றும் DE க்கு இடையில் அமைந்துள்ளன.
எனவே, பரப்பு(\(\triangle BDE\)) = பரப்பு(\(\triangle CDE\)).
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து,
\(\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\). தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது.
37. (1, 4) மற்றும் (2, -3) என்ற இரு புள்ளிகள் வழிச்செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.
இரு புள்ளிகள் வழிச் செல்லும் நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு:
\( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)
மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
\( \frac{y - 4}{-3 - 4} = \frac{x - 1}{2 - 1} \)
\( \frac{y - 4}{-7} = \frac{x - 1}{1} \)
குறுக்குப் பெருக்கல் செய்ய:
\( 1(y - 4) = -7(x - 1) \)
\( y - 4 = -7x + 7 \)
\( 7x + y - 4 - 7 = 0 \)
\( 7x + y - 11 = 0 \)
இதுவே தேவையான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடு ஆகும்.
38. நிரூபிக்க: \( \frac{\tan\theta + \sec\theta - 1}{\tan\theta - \sec\theta + 1} = \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} \)
தொகுதியில் உள்ள 1-க்கு பதிலாக \( \sec^2\theta - \tan^2\theta \) எனப் பிரதியிட:
= \( \frac{(\tan\theta + \sec\theta) - (\sec^2\theta - \tan^2\theta)}{\tan\theta - \sec\theta + 1} \)
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த:
= \( \frac{(\sec\theta + \tan\theta) - (\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta)}{\tan\theta - \sec\theta + 1} \)
தொகுதியில் \((\sec\theta + \tan\theta)\) ஐப் பொதுவாக வெளியே எடுக்க:
= \( \frac{(\sec\theta + \tan\theta)[1 - (\sec\theta - \tan\theta)]}{\tan\theta - \sec\theta + 1} \)
= \( \frac{(\sec\theta + \tan\theta)(1 - \sec\theta + \tan\theta)}{(\tan\theta - \sec\theta + 1)} \)
தொகுதியிலும் பகுதியிலும் உள்ள \((1 - \sec\theta + \tan\theta)\) ஐ நீக்க:
= \( \sec\theta + \tan\theta \)
= \( \frac{1}{\cos\theta} + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \)
= \( \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} \) = RHS
எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.
39. A(10, 4), B(4, -9), மற்றும் C(-2, -1) என்பன ஒரு முக்கோணத்தின் முனைப் புள்ளிகள் எனில், A-யிலிருந்து வரையப்படும் நடுக்கோட்டின் சமன்பாட்டையும், B-யிலிருந்து வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாட்டையும் காண்க.
நடுக்கோடு AD ஆனது BC-யின் நடுப்புள்ளி D-ஐ இணைக்கும்.
BC-யின் நடுப்புள்ளி D = \( \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{-9 + (-1)}{2} \right) \)
D = \( \left( \frac{2}{2}, \frac{-10}{2} \right) \) = (1, -5).
நடுக்கோடு AD-யின் சமன்பாடு (A(10, 4), D(1, -5) வழிச் செல்லும் கோடு):
\( \frac{y - 4}{-5 - 4} = \frac{x - 10}{1 - 10} \)
\( \frac{y - 4}{-9} = \frac{x - 10}{-9} \)
\( y - 4 = x - 10 \)
\( x - y - 6 = 0 \)
ii) B-யிலிருந்து வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடு:
குத்துக்கோடு BE ஆனது AC-க்கு செங்குத்தாக இருக்கும்.
முதலில் AC-யின் சாய்வைக் காண்போம்.
AC-யின் சாய்வு \( m_{AC} = \frac{-1 - 4}{-2 - 10} = \frac{-5}{-12} = \frac{5}{12} \)
குத்துக்கோடு BE-யின் சாய்வு \( m_{BE} = \frac{-1}{m_{AC}} = \frac{-1}{5/12} = \frac{-12}{5} \)
B(4, -9) புள்ளி மற்றும் சாய்வு \( \frac{-12}{5} \) கொண்ட குத்துக்கோட்டின் சமன்பாடு:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \)
\( y - (-9) = \frac{-12}{5}(x - 4) \)
\( 5(y + 9) = -12(x - 4) \)
\( 5y + 45 = -12x + 48 \)
\( 12x + 5y - 3 = 0 \)
40. A = {x ∈ W | x < 2}, B = {x ∈ N | 1 < x ≤ 4} மற்றும் C = {3, 5} எனில், \( A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) \) என்பதைச் சரிபார்க்க.
A = {0, 1} (2-ஐ விடக் குறைவான முழு எண்கள்)
B = {2, 3, 4} (1-க்கும் 4-க்கும் இடைப்பட்ட இயல் எண்கள், 4 உட்பட)
C = {3, 5}
LHS = \( A \times (B \cup C) \)
\( B \cup C = \{2, 3, 4\} \cup \{3, 5\} = \{2, 3, 4, 5\} \)
\( A \times (B \cup C) = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4, 5\} \)
= {(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)} ...(1)
RHS = \( (A \times B) \cup (A \times C) \)
\( A \times B = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4\} \)
= {(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)}
\( A \times C = \{0, 1\} \times \{3, 5\} \)
= {(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)}
\( (A \times B) \cup (A \times C) \) = {(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)} ∪ {(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)}
= {(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)} ...(2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2)-லிருந்து, LHS = RHS. எனவே, சரிபார்க்கப்பட்டது.
41. 300-க்கும் 600-க்கும் இடையே 7-ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதலைக் காண்க.
300-க்கு அடுத்த 7-ஆல் வகுபடும் முதல் எண் = 301.
600-க்கு முந்தைய 7-ஆல் வகுபடும் கடைசி எண் = 595.
எனவே, தொடர்வரிசை: 301, 308, ..., 595.
இங்கு, முதல் உறுப்பு a = 301.
கடைசி உறுப்பு l = 595.
பொது வித்தியாசம் d = 7.
உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, \( n = \left( \frac{l - a}{d} \right) + 1 \)
\( n = \left( \frac{595 - 301}{7} \right) + 1 \)
\( n = \left( \frac{294}{7} \right) + 1 = 42 + 1 = 43 \)
கூடுதல், \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \)
\( S_{43} = \frac{43}{2}(301 + 595) \)
\( S_{43} = \frac{43}{2}(896) \)
\( S_{43} = 43 \times 448 \)
\( S_{43} = 19264 \)
தேவையான கூடுதல் 19264 ஆகும்.
42. A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும் C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில் \(A \times (B – C) = (A \times B) – (A \times C)\) என்பதைச் சரிபார்க்க. (கட்டாய வினா)
B = {2, 3, 5, 7}
C = {2}
LHS = \(A \times (B – C)\)
B – C = {2, 3, 5, 7} – {2} = {3, 5, 7}
\(A \times (B – C)\) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} x {3, 5, 7}
= {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7), (4,3), (4,5), (4,7), (5,3), (5,5), (5,7), (6,3), (6,5), (6,7), (7,3), (7,5), (7,7)} ...(1)
RHS = \((A \times B) – (A \times C)\)
\(A \times B\) = {(1,2), (1,3), (1,5), (1,7), (2,2), (2,3), (2,5), (2,7), ... , (7,7)}
\(A \times C\) = {(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)}
\((A \times B) – (A \times C)\) என்பது \(A \times B\) இல் உள்ள, \(A \times C\) இல் இல்லாத உறுப்புகளாகும். அதாவது இரண்டாம் உறுப்பு 2 ஆக இல்லாதவை.
= {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7), (3,3), (3,5), (3,7), (4,3), (4,5), (4,7), (5,3), (5,5), (5,7), (6,3), (6,5), (6,7), (7,3), (7,5), (7,7)} ...(2)
சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.
பகுதி - ஈ (மதிப்பெண்கள்: 16)
அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளிக்கவும். (2 x 8 = 16)
43. அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR ன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் 7/3 என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி 7/3 > 1)
(அல்லது)
ஆ) QR = 5 செ.மீ, \(\angle P = 30^\circ\) மற்றும் P-யிலிருந்து QR க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் 4.2 செ.மீ கொண்ட \(\triangle PQR\) வரைக.
(அ) வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவு காரணி 7/3 > 1):
வரைமுறை:
1. ஏதேனும் ஓர் അളവിൽ \(\triangle PQR\) வரைக.
2. QR என்ற பக்கத்தில் குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
3. QX கதிரில் \(Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6, Q_7\) என்ற 7 சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக. (ஏனெனில் விகிதத்தில் பெரிய எண் 7).
4. \(Q_3R\) ஐ இணைக்கவும் (ஏனெனில் விகிதத்தில் சிறிய எண் 3).
5. \(Q_7\) லிருந்து \(Q_3R\) இக்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, QR ஐ நீட்டித்ததில் R' இல் சந்திக்கமாறு வரைக. (\(Q_7R' || Q_3R\)).
6. R' லிருந்து PR இக்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, QP ஐ நீட்டித்ததில் P' இல் சந்திக்கமாறு வரைக. (\(R'P' || RP\)).
\(\triangle P'QR'\) என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.
(ஆ) \(\triangle PQR\) வரைதல்:
வரைமுறை:
1. QR = 5 செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. Q-வில் \(\angle RQE = 30^\circ\) வரைக.
3. Q-வில் QE இக்கு செங்குத்தாக QF வரைக.
4. QR இன் மையக்குத்துக்கோடு வரைக. அது QF ஐ O விலும் QR ஐ G யிலும் சந்திக்கட்டும்.
5. O வை மையமாகவும் OQ ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
6. G யிலிருந்து மையக்குத்துக்கோட்டில் 4.2 செ.மீ தொலைவில் M என்ற புள்ளியைக் குறிக்கவும்.
7. M வழியாக QR இக்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது வட்டத்தை P மற்றும் P' இல் வெட்டும்.
8. PQ மற்றும் PR ஐ இணைக்கவும். \(\triangle PQR\) என்பது தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
44. அ) ஒரு பேருந்து 50 கி.மீ/மணி என்ற சீரான வேகத்தில் பயணிக்கிறது. இத்தொடர்புக்கான தூரம் - நேரம் வரைபடம் வரைந்து, பின்வருவனவற்றைக் காண்க.
i) விகிதசம மாறிலியைக் காண்க.
ii) 90 நிமிடங்களில் பயணிக்கும் தூரம் எவ்வளவு?
iii) 300 கி.மீ தூரத்தைப் பயணிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும் ?
(அல்லது)
ஆ) ஒரு பள்ளியானது குறிப்பிட்ட சில போட்டிகளுக்கு, பரிசுத் தொகையினை எல்லா பங்கேற்பாளர்களுக்கும் பின்வருமாறு சமமாக பிரித்து வழங்குவதாக அறிவிக்கிறது.
| பங்கேற்பாளர்களின் எண்ணிக்கை (X) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரின் தொகை ரூ.(y) | 180 | 90 | 60 | 45 | 36 |
ii) மேற்காணும் தரவுகளுக்கு வரைபடம் வரைந்து 12 பங்கேற்பாளர்கள் பங்கெடுத்துக் கொண்டால் ஒவ்வொரு பங்கேற்பாளரும் பெறும் பரிசுத்தொகை எவ்வளவு என்பதைக் காண்க.
வேகம் = 50 கி.மீ/மணி. y = தூரம், x = நேரம். y = 50x (நேர் மாறுபாடு).
அட்டவணை:
| பயண நேரம் x நிமிடங்களில் | 60 | 120 | 180 | 240 |
|---|---|---|---|---|
| தூரம் y (கி.மீ) | 50 | 100 | 150 | 200 |
i) விகிதசம மாறிலி, k = y/x = 50/60 = 5/6.
ii) 90 நிமிடம் = 1.5 மணி. வரைபடத்தில் x = 1.5 எனும்போது y-அச்சில் தொடர்புடைய மதிப்பு 75 கி.மீ ஆகும்.
iii) y = 300 கி.மீ. வரைபடத்தில் y = 300 எனும்போது x-அச்சில் தொடர்புடைய மதிப்பு 6 மணி நேரம் ஆகும்.
(ஆ) எதிர் மாறுபாடு வரைபடம்:
பங்கேற்பாளர்கள் (x) அதிகரிக்க, பரிசுத்தொகை (y) குறைகிறது. இது எதிர் மாறுபாடு.
i) விகிதசம மாறிலி, k = xy = 2 × 180 = 360.
ii) வரைபடம் வரைதல்: (2,180), (4,90), (6,60), (8,45), (10,36) புள்ளிகளைக் குறித்து ஒரு செவ்வக அதிபரவளையத்தை வரைக.
வரைபடத்தில், x = 12 என்ற நேர்க்கோடு வளைவரையை சந்திக்கும் புள்ளியைக் காண்க. அந்த புள்ளியின் y-அச்சு மதிப்பு என்ன என்பதைக் காண்க.
கணக்கீடு: y = k/x = 360/12 = 30.
வரைபடத்திலிருந்து, 12 பங்கேற்பாளர்கள் இருந்தால், ஒவ்வொருவரும் பெறும் பரிசுத்தொகை ரூ. 30 ஆகும்.