10th Maths Quarterly Exam 2024 Question Paper with Solutions - Kallakurichi District

10th Maths Quarterly Exam 2024-25 Solutions (Kallakurichi)

Solutions / விடைகள்

பகுதி - I (Part - I)

1. A = {1,2,3,4,5} லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில், B ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை

விடை: (ஆ) 2

விளக்கம்:

கொடுக்கப்பட்டது, $n(A) = 5$. A-யிலிருந்து B-க்கு உள்ள உறவுகளின் எண்ணிக்கை = 1024.

உறவுகளின் எண்ணிக்கைக்கான சூத்திரம்: $2^{n(A) \times n(B)}$

ஆகவே, $2^{5 \times n(B)} = 1024$.

நமக்குத் தெரியும், $1024 = 2^{10}$.

எனவே, $2^{5 \times n(B)} = 2^{10}$.

அடிமானங்கள் சமமாக இருப்பதால், அடுக்குகளை சமன்படுத்தலாம்:

$5 \times n(B) = 10 \implies n(B) = \frac{10}{5} = 2$

B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும்.

2. $f(x) = (x+1)^3 - (x-1)^3$ குறிப்பிடும் சார்பானது

விடை: (ஈ) இருபடிச் சார்பு

விளக்கம்:

$f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)$

$f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1$

$f(x) = 6x^2 + 2$

இது $x$-ன் அடுக்கு 2 ஐக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. எனவே, இது ஒரு இருபடிச் சார்பு ஆகும்.

3. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றப்படி $a$ மற்றும் $b$ என்ற மிகை முழுக்களுக்கு தனித்த மிகைமுழுக்கள் $q$ மற்றும் $r$, $a=bq+r$ என்றவாறு அமையுமானால், இங்கு $r$ ஆனது

விடை: (இ) $0 \le r < b$

விளக்கம்: யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத்தேற்றத்தின்படி, மீதி '$r$' ஆனது எப்பொழுதும் பூச்சியத்திற்கு சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ மற்றும் வகுக்கும் எண் '$b$'-ஐ விட குறைவாகவோ இருக்கும். எனவே, $0 \le r < b$ ஆகும்.

4. $A = 2^{65}$ மற்றும் $B = 2^{64} + 2^{63} + ... + 2^0$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. பின்வருவனவற்றில் எது உண்மை?

விடை: (ஈ) A ஆனது B ஐ விட 1 அதிகம்

விளக்கம்: $B$ என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடர் (GP) ஆகும். முதல் உறுப்பு $a = 2^0 = 1$, பொது விகிதம் $r=2$, உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை $n=65$.

கூடுதல் சூத்திரம்: $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

$B = \frac{1(2^{65} - 1)}{2 - 1} = 2^{65} - 1$.

கொடுக்கப்பட்டது $A = 2^{65}$. எனவே, $B = A - 1$, அதாவது $A = B+1$.

5. மூன்று மாறிகளில் அமைந்த மூன்று நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பிற்கு தீர்வுகள் இல்லையெனில் அத்தொகுப்பில் உள்ள தளங்கள்

விடை: (ஈ) ஒன்றையொன்று வெட்டாது

விளக்கம்: அத்தொகுப்பிற்கு தீர்வு இல்லை என்றால், மூன்று தளங்களுக்கும் பொதுவான புள்ளி எதுவும் இல்லை. இது மூன்று தளங்களும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாக இருந்து, ஒன்றையொன்று வெட்டாமல் இருக்கும்போது நிகழும்.

6. கீழ்க்கண்டவற்றுள் எது $y^2 + \frac{1}{y^2}$ க்குச் சமமில்லை?

விடை: (ஆ) $(y+\frac{1}{y})^2$

விளக்கம்: $(y+\frac{1}{y})^2 = y^2 + 2(y)(\frac{1}{y}) + \frac{1}{y^2} = y^2 + 2 + \frac{1}{y^2}$. இது $y^2 + \frac{1}{y^2}$ க்குச் சமமில்லை.

7. ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு

விடை: (இ) பரவளையம்

விளக்கம்: $y = ax^2 + bx + c$ என்ற வடிவில் உள்ள எந்தவொரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரைபடமும் ஒரு பரவளையம் (Parabola) ஆகும்.

8. $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{FD}$ எனில், $\Delta ABC$ மற்றும் $\Delta DEF$ எப்பொழுது வடிவொத்தவையாக அமையும்.

விடை: (ஈ) $\angle B = \angle D$

விளக்கம்: ப-கோ-ப (SAS) வடிவொத்தமை விதியின்படி, இரு பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருந்தால், அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும். $\Delta ABC$-ல் $AB, BC$-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle B$. $\Delta DEF$-ல் $DE, FD$-க்கு இடைப்பட்ட கோணம் $\angle D$.

9. $\Delta ABC$-ல் $DE \parallel BC$, $AB = 3.6$ செ.மீ, $AC = 2.4$ செ.மீ மற்றும் $AD = 2.1$ செ.மீ எனில் $AE$-ன் நீளம்

விடை: (அ) 1.4 செ.மீ

விளக்கம்: அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின்படி, $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$.

$\frac{2.1}{3.6} = \frac{AE}{2.4} \implies AE = \frac{2.1 \times 2.4}{3.6} = 1.4$ செ.மீ.

10. $x = 11$ எனக் கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோட்டின் சமன்பாடானது

விடை: (ஆ) Y - அச்சுக்கு இணை

விளக்கம்: $x = 11$ என்ற கோடு Y-அச்சுக்கு இணையாகவும், X-அச்சை $(11,0)$ என்ற புள்ளியில் வெட்டும் ஒரு செங்குத்து கோடாகும்.

11. கோட்டுத்துண்டு PQ-ன் சாய்வு $\frac{1}{\sqrt{3}}$ எனில், PQ-க்கு செங்குத்தான இருசம வெட்டியின் சாய்வு

விடை: (ஆ) $-\sqrt{3}$

விளக்கம்: ஒரு கோட்டின் சாய்வு $m_1$ எனில், செங்குத்தான கோட்டின் சாய்வு $m_2 = -\frac{1}{m_1}$.

இங்கு, $m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$, எனவே $m_2 = -\frac{1}{1/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$.

12. கொடுக்கப்பட்ட நேர்க்கோடுகளில் எந்த ஜோடி செங்குத்தானது?

விடை: (அ) $l_1$ மற்றும் $l_3$ செங்குத்தானவை

விளக்கம்: இரு கோடுகள் செங்குத்தாக இருக்க $m_1 \times m_2 = -1$ ஆக இருக்க வேண்டும்.

• $l_1: 3y = 4x+5 \implies m_1 = \frac{4}{3}$
• $l_3: 4y+3x=7 \implies m_3 = -\frac{3}{4}$

$m_1 \times m_3 = \frac{4}{3} \times (-\frac{3}{4}) = -1$. எனவே, $l_1, l_3$ செங்குத்தானவை.

13. $\sin^2\theta + \frac{1}{1+\tan^2\theta}$ ன் மதிப்பு

விடை: (ஆ) 1

விளக்கம்: $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ என்பதால், கோவை $\sin^2\theta + \frac{1}{\sec^2\theta} = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ ஆகும்.

14. $5x = \sec\theta$ மற்றும் $\frac{5}{x} = \tan\theta$, எனில் $x^2 - \frac{1}{x^2}$ ன் மதிப்பு

விடை: (ஆ) $\frac{1}{25}$

விளக்கம்: முற்றொருமை $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$-ல் பிரதியிட,

$(5x)^2 - (\frac{5}{x})^2 = 1 \implies 25x^2 - \frac{25}{x^2} = 1$

$25(x^2 - \frac{1}{x^2}) = 1 \implies x^2 - \frac{1}{x^2} = \frac{1}{25}$.

பகுதி - II (Part - II)

15. $B \times A = \{(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)\}$ எனில் $A$ மற்றும் $B$ ஆகியவற்றைக் காண்க.

$B \times A$-ல், $B$ என்பது முதல் உறுப்புகளின் கணம் மற்றும் $A$ என்பது இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்.

$B = \{-2, 0, 3\}$

$A = \{3, 4\}$

16. $f = \{(1,2), (2,2), (3,2), (4,3),(5,4)\}$ என்ற சார்பினை (i) அம்புக்குறி படம் (ii) அட்டவணை மூலமாகக் குறிக்கவும்.

(i) அம்புக்குறி படம்:

17. $7 \times 5 \times 3 \times 2+3$ என்பது ஒரு பகு எண்ணா? உனது விடையை நியாயப்படுத்துக.

ஆம், இது ஒரு பகு எண்.

நியாயப்படுத்துதல்: $7 \times 5 \times 3 \times 2+3 = 3 \times (7 \times 5 \times 2 + 1) = 3 \times (70+1) = 3 \times 71$.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிற்கு 1 மற்றும் அதே எண்ணைத் தவிர 3, 71 ஆகிய காரணிகளும் உள்ளதால் இது ஒரு பகு எண் ஆகும்.

18. 4, 8, 16, ..., 8192 என்ற பெருக்குத்தொடர் வரிசையிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை காண்க.

$a=4, r=2, t_n = 8192$.

$t_n = a \cdot r^{n-1} \implies 8192 = 4 \cdot 2^{n-1} \implies 2048 = 2^{n-1}$.

$2^{11} = 2^{n-1} \implies 11 = n-1 \implies n=12$.

உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை 12.

19. $8x^4y^2, 48x^2y^4$ ன் மீ.பொ.ம காண்க. (Find the LCM of $8x^4y^2, 48x^2y^4$).

படி 1: கெழுக்களின் மீ.பொ.ம (LCM) காண்போம்.

கெழுக்கள் 8 மற்றும் 48. $\text{மீ.பொ.ம}(8, 48) = 48$.

படி 2: மாறிகளின் மீ.பொ.ம காண்போம்.

மீ.பொ.ம காண, ஒவ்வொரு மாறியின் மிகப்பெரிய அடுக்கை எடுக்க வேண்டும்.

• $x$-ன் மாறிகளில், $x^4$ மற்றும் $x^2$ -ன் மிகப்பெரிய அடுக்கு $x^4$ ஆகும்.
• $y$-ன் மாறிகளில், $y^2$ மற்றும் $y^4$ -н மிகப்பெரிய அடுக்கு $y^4$ ஆகும்.

படி 3: இரண்டையும் இணைக்க.

மொத்த மீ.பொ.ம = (கெழுக்களின் மீ.பொ.ம) $\times$ (மாறிகளின் மீ.பொ.ம)

$\text{மீ.பொ.ம} = 48 \times x^4y^4 = 48x^4y^4$

விடை: $48x^4y^4$

20. $4x^2-7x-2=0$ ஐ காரணிப்படுத்துதல் முறையை பயன்படுத்தி தீர்க்க.

$4x^2 - 8x + x - 2 = 0 \implies 4x(x-2) + 1(x-2) = 0$.

$(4x+1)(x-2) = 0$.

தீர்கள்: $x=2, x = -\frac{1}{4}$.

21. $\Delta ABC$ ஆனது $\Delta DEF$ க்கு வடிவொத்தவை. மேலும் $BC = 3$ செ.மீ, $EF = 4$ செ.மீ மற்றும் $\Delta ABC$ ன் பரப்பு = $54 \text{ செ.மீ}^2$ எனில் $\Delta DEF$ ன் பரப்பைக் காண்க.

$\frac{\text{பரப்பு}(\Delta ABC)}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = (\frac{BC}{EF})^2 \implies \frac{54}{\text{பரப்பு}(\Delta DEF)} = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.

$\text{பரப்பு}(\Delta DEF) = \frac{54 \times 16}{9} = 96 \text{ செ.மீ}^2$.

22. கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தை எழுதுக.

தேற்றம்: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் உட்புற இருசமவெட்டியானது அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை, அக்கோணத்தினை அடக்கியுள்ள மற்ற இரு பக்கங்களின் விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

$\Delta ABC$-யில், $\angle A$-ன் இருசமவெட்டி $AD$ எனில், $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.

23. P(-1.5,3), Q(6,-2) மற்றும் R(-3,4) ஆகிய புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும் எனக்காட்டு.

முக்கோணத்தின் பரப்பு = $\frac{1}{2} [x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)]$.

பரப்பு = $\frac{1}{2} [(-1.5)(-2-4) + 6(4-3) + (-3)(3-(-2))]$

பரப்பு = $\frac{1}{2} [(-1.5)(-6) + 6(1) + (-3)(5)] = \frac{1}{2} [9 + 6 - 15] = 0$.

பரப்பு பூச்சியம் என்பதால், புள்ளிகள் ஒரே நேர்க்கோட்டில் அமையும்.

24. $x-2y+3=0, 6x+3y+8=0$ ஆகிய நேர்க்கோடுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை எனக் காட்டு.

முதல் கோட்டின் சாய்வு $m_1 = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$.

இரண்டாம் கோட்டின் சாய்வு $m_2 = -\frac{6}{3} = -2$.

$m_1 \times m_2 = \frac{1}{2} \times (-2) = -1$. எனவே, கோடுகள் செங்குத்தானவை.

25. x, y வெட்டுத்துண்டுகள் முறையே 4 மற்றும் -6 எனில், நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

சமன்பாடு: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \implies \frac{x}{4} + \frac{y}{-6} = 1$.

$\frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 1$. சமன்பாட்டை 12-ஆல் பெருக்க, $3x - 2y = 12$.

$3x - 2y - 12 = 0$.

26. $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}} = \csc\theta + \cot\theta$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

LHS = $\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} \times \frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}} = \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$

$\frac{1}{\sin\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \csc\theta + \cot\theta$ = RHS. நிரூபிக்கப்பட்டது.

27. $1 + 2 + 3 + ... + 60$-ன் கூடுதல் காண்.

சூத்திரம்: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$. இங்கு $n=60$.

$S_{60} = \frac{60(61)}{2} = 30 \times 61 = 1830$.

28. ஓர் எண் மற்றும் அதன் தலைகீழி ஆகியவற்றின் வித்தியாசம் $\frac{24}{5}$ எனில், அந்த எண்ணைக் காண்க.

$x - \frac{1}{x} = \frac{24}{5} \implies \frac{x^2-1}{x} = \frac{24}{5} \implies 5x^2 - 24x - 5 = 0$.

$(5x+1)(x-5) = 0$. எனவே, $x=5$ அல்லது $x = -\frac{1}{5}$.

பகுதி - III (Part - III)

29. $A = \{x \in W \mid x < 2\}, B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\}$ மற்றும் $C = \{3,5\}$ எனில் $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ என்பதை சரிபார்க்க.

$A = \{0, 1\}, B = \{2, 3, 4\}, C = \{3, 5\}$.

LHS: $B \cup C = \{2, 3, 4, 5\}$. $A \times (B \cup C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$.

RHS: $A \times B = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}$. $A \times C = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}$.

$(A \times B) \cup (A \times C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$.

LHS = RHS. சரிபார்க்கப்பட்டது.

30. சார்பு $f(x)$ வரையறுக்கப்பட்டபடி, மதிப்புகளைக் காண்க.

$ f(x) = \begin{cases} 2x + 7 & \text{if } x < -2 \\ x^2 - 2 & \text{if } -2 \le x < 3 \\ 3x - 2 & \text{if } x \ge 3 \end{cases} $

(i) f(4): $x=4 \ge 3 \implies f(4) = 3(4)-2 = 10$.

(ii) f(-2): $-2 \le x < 3 \implies f(-2) = (-2)^2-2 = 2$.

(iii) f(4) + 2f(1): $f(1) = (1)^2-2 = -1$. $f(4)+2f(1) = 10+2(-1) = 8$.

(iv) $\frac{f(1) - 3f(4)}{f(-3)}$: $f(-3) = 2(-3)+7 = 1$. $\frac{-1 - 3(10)}{1} = -31$.

31. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, ..., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுரவடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?

தேவைப்படும் மொத்த பரப்பு = $10^2 + 11^2 + 12^2 + \dots + 24^2$.

இதை $(\sum_{k=1}^{24} k^2) - (\sum_{k=1}^{9} k^2)$ என எழுதலாம்.

முதல் n இயல் எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்:

$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$

$n=24$ எனில்:

$S_{24} = \frac{24(24+1)(2 \times 24+1)}{6} = \frac{24 \times 25 \times 49}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 4900$.

$n=9$ எனில்:

$S_9 = \frac{9(9+1)(2 \times 9+1)}{6} = \frac{9 \times 10 \times 19}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285$.

மொத்த பரப்பு = $S_{24} - S_9 = 4900 - 285 = 4615$.

விடை: 4615 செ.மீ$^2$.

32. $6x^3-30x^2+60x-48$ மற்றும் $3x^3-12x^2+21x-18$ ஆகிய பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் மீ.பொ.வ காண்க.

Let $p(x) = 6x^3-30x^2+60x-48 = 6(x^3-5x^2+10x-8)$.

Let $q(x) = 3x^3-12x^2+21x-18 = 3(x^3-4x^2+7x-6)$.

முதலில், கெழுக்களின் மீ.பொ.வ: $\text{மீ.பொ.வ}(6, 3) = 3$.

அடுத்து, பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கு நீள் வகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்துவோம்:

                  1
              ___________________
x³-5x²+10x-8 | x³-4x²+7x-6
             |-(x³-5x²+10x-8)
              ___________________
                   x²-3x+2  (மீதி)
            

மீதி பூச்சியம் இல்லை. இப்போது, முந்தைய வகுத்தியை மீதியால் வகுக்க:

                  x - 2
              ___________________
    x²-3x+2  | x³-5x²+10x-8
             |-(x³-3x²+2x)
              ___________________
                  -2x²+8x-8
                 -(-2x²+6x-4)
                  ___________________
                       2x - 4 = 2(x-2)
            

மீண்டும் மீதி பூச்சியம் இல்லை. இப்போது, முந்தைய வகுத்தியை மீதியால் (காரணியை மட்டும்) வகுக்க:

                  x - 1
              ___________________
      x - 2  | x²-3x+2
             |-(x²-2x)
              ___________________
                  -x+2
                 -(-x+2)
                  ___________________
                       0
            

கடைசி பூச்சியமற்ற மீதி $x-2$ ஆகும்.

எனவே, மொத்த மீ.பொ.வ = $3 \times (x-2) = 3(x-2)$.

33. $9x^4+12x^3+28x^2+ax+b$ ஆனது ஒரு முழுவர்க்கம் எனில் $a, b$ ஆகியவற்றின் மதிப்புகளைக் காண்க.

நீள்வகுத்தல் முறையில் வர்க்கமூலம் காண்போம்:

             3x²  + 2x  + 4
           _________________________
    3x²   | 9x⁴+12x³+28x²+ax+b
          |-(9x⁴)
          |_________________
  6x²+2x  |  12x³+28x²
          |-(12x³+ 4x²)
          |_________________
6x²+4x+4|    24x² + ax + b
          |   -(24x² + 16x + 16)
          |_________________
          |        (a-16)x + (b-16)
            

இது ஒரு முழுவர்க்கம் என்பதால், மீதி பூச்சியமாக இருக்க வேண்டும். $(a-16)x + (b-16) = 0$.

ஒத்த கெழுக்களை சமன்படுத்த: $a - 16 = 0 \implies a = 16$.

$b - 16 = 0 \implies b = 16$.

விடை: $a=16, b=16$.

34. $A = \frac{2x+1}{2x-1}$ மற்றும் $B = \frac{2x-1}{2x+1}$ எனில் $\frac{1}{A-B} - \frac{2B}{A^2-B^2}$ காண்க.

முதலில் கோவையைச் சுருக்குவோம்:

$$ \frac{1}{A-B} - \frac{2B}{A^2-B^2} = \frac{1}{A-B} - \frac{2B}{(A-B)(A+B)} $$ $$ = \frac{1(A+B) - 2B}{(A-B)(A+B)} = \frac{A+B-2B}{(A-B)(A+B)} = \frac{A-B}{(A-B)(A+B)} = \frac{1}{A+B} $$

எனவே, நாம் $A+B$-ன் தலைகீழியைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

$$ A+B = \frac{2x+1}{2x-1} + \frac{2x-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)^2 + (2x-1)^2}{(2x-1)(2x+1)} $$

$$ = \frac{(4x^2+4x+1) + (4x^2-4x+1)}{4x^2-1} = \frac{8x^2+2}{4x^2-1} $$

தேவையான மதிப்பு $\frac{1}{A+B} = \frac{4x^2-1}{8x^2+2} = \frac{4x^2-1}{2(4x^2+1)}$.

35. அடிப்படை விகிதசமத் தேற்றத்தை எழுதி நிரூபி.

36. 90 செ.மீ உயரமுள்ள ஒரு சிறுவன் விளக்கு கம்பத்தின் அடியிலிருந்து 1.2 மீ/வினாடி வேகத்தில் நடந்து செல்கிறான்... 4 வினாடிகள் கழித்து சிறுவனுடைய நிழலின் நீளத்தைக் காண்க.

விளக்கு கம்பத்தின் உயரம் (AB) = $3.6$ மீ.

சிறுவனின் உயரம் (CD) = $0.9$ மீ.

4 வினாடிகளில் சிறுவன் கடந்த தூரம் (BC) = $1.2 \times 4 = 4.8$ மீ.

நிழலின் நீளம் (CE) = $x$ என்க.

$\Delta ABE$ மற்றும் $\Delta DCE$ வடிவொத்தவை. எனவே, $\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{CE}$.

$$ \frac{3.6}{0.9} = \frac{4.8+x}{x} \implies 4 = \frac{4.8+x}{x} $$

$4x = 4.8 + x \implies 3x = 4.8 \implies x = 1.6$ மீ.

நிழலின் நீளம் 1.6 மீட்டர் ஆகும்.

37. (-9,0), (-8,6), (-1,-2) மற்றும் (-6,-3) ஆகிய புள்ளிகளை முனைகளாகக் கொண்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காண்க.

நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் சூத்திரம்:

$$ \text{Area} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & x_1 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 & y_1 \end{vmatrix} $$

$$ = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} -9 & -8 & -1 & -6 & -9 \\ 0 & 6 & -2 & -3 & 0 \end{vmatrix} $$

$= \frac{1}{2} | ((-9)(6) + (-8)(-2) + (-1)(-3) + (-6)(0)) - ((0)(-8) + (6)(-1) + (-2)(-6) + (-3)(-9)) |$

$= \frac{1}{2} | (-54 + 16 + 3 + 0) - (0 - 6 + 12 + 27) |$

$= \frac{1}{2} | (-35) - (33) | = \frac{1}{2} | -68 | = 34$.

பரப்பு = 34 சதுர அலகுகள்.

38. A(3,-4), B(9,-4), C(5,-7) மற்றும் D(7,-7) ஆகிய புள்ளிகள் சரிவகத்தை அமைக்கும் என நிறுவுக.

சரிவகத்திற்கு ஒரு சோடி பக்கங்கள் இணையாக இருக்க வேண்டும். சாய்வுகளைக் காண்போம்.

$m_{AB} = \frac{-4 - (-4)}{9-3} = \frac{0}{6} = 0$.

$m_{CD} = \frac{-7 - (-7)}{7-5} = \frac{0}{2} = 0$.

$m_{BC} = \frac{-7 - (-4)}{5-9} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$.

$m_{DA} = \frac{-4 - (-7)}{3-7} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.

$m_{AB} = m_{CD}$ என்பதால், $AB \parallel CD$. மேலும், $m_{BC} \neq m_{DA}$ என்பதால், மற்ற பக்கங்கள் இணையில்லை.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட புள்ளிகள் ஒரு சரிவகத்தை அமைக்கும்.

39. (-3,8) என்ற புள்ளிவழிச் செல்லும் ஆய அச்சுகளின் மிகை வெட்டுத்துண்டுகளின் கூடுதல் 7 உடையதுமான நேர்க்கோட்டின் சமன்பாட்டைக் காண்க.

வெட்டுத்துண்டு வடிவம்: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

கொடுக்கப்பட்டது: $a+b=7 \implies b=7-a$.

$\frac{x}{a} + \frac{y}{7-a} = 1$.

இது $(-3,8)$ வழிச் செல்வதால், $\frac{-3}{a} + \frac{8}{7-a} = 1$.

$-3(7-a) + 8a = a(7-a) \implies -21+3a+8a = 7a-a^2$.

$a^2+4a-21=0 \implies (a+7)(a-3)=0$.

மிகை வெட்டுத்துண்டுகள் என்பதால் $a>0, b>0$. $a=3$ எனில், $b=4$. (இது பொருந்தும்)

$a=-7$ எனில், $b=14$. (இது பொருந்தாது, કારણકે $a$ குறை எண்).

எனவே, $a=3, b=4$. சமன்பாடு: $\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \implies 4x+3y=12$.

40. $\sin^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \sin^2 B + \cos^2 A \cos^2 B + \sin^2 A \sin^2 B = 1$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

Explanation: $\sin^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \sin^2 B + \cos^2 A \cos^2 B + \sin^2 A \sin^2 B = 1$.

LHS-ஐ மறுசீரமைப்போம்:

$(\sin^2 A \cos^2 B + \cos^2 A \cos^2 B) + (\cos^2 A \sin^2 B + \sin^2 A \sin^2 B)$

பொதுவான காரணிகளை வெளியே எடுக்க:

$\cos^2 B (\sin^2 A + \cos^2 A) + \sin^2 B (\cos^2 A + \sin^2 A)$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த:

$\cos^2 B (1) + \sin^2 B (1) = \cos^2 B + \sin^2 B = 1$ = RHS.

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

41. $\frac{\cos\alpha}{\cos\beta} = m$ மற்றும் $\frac{\cos\alpha}{\sin\beta} = n$ எனில், $(m^2+n^2)\cos^2\beta = n^2$ என்பதை நிரூபிக்கவும்.

42. $S_1, S_2, ..., S_m$ என்பன $m$ வெவ்வேறு கூட்டுத்தொடர் வரிசைகளின் $n$ உறுப்புகளின் கூடுதலாகும். முதல் உறுப்புகள் $1,2, ..., m$ மற்றும் பொது வித்தியாசங்கள் $1,3, ..., (2m-1)$ முறையே அமைந்தால், $S_1+S_2+...+S_m = \frac{1}{2}mn(mn+1)$ என நிரூபிக்க.

$k$-ஆவது கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் முதல் உறுப்பு $a_k = k$ மற்றும் பொது வித்தியாசம் $d_k = 2k-1$.

அதன் $n$ உறுப்புகளின் கூடுதல் $S_k = \frac{n}{2}[2a_k + (n-1)d_k]$.

$S_k = \frac{n}{2}[2k + (n-1)(2k-1)] = \frac{n}{2}[2k + 2nk - n - 2k + 1] = \frac{n}{2}[2nk - n + 1]$.

தேவைப்படும் கூடுதல்: $\sum_{k=1}^{m} S_k = \sum_{k=1}^{m} \frac{n}{2}[2nk - (n-1)]$

$$ = \frac{n}{2} \left[ \sum_{k=1}^{m} 2nk - \sum_{k=1}^{m} (n-1) \right] $$

$$ = \frac{n}{2} \left[ 2n \sum_{k=1}^{m} k - m(n-1) \right] = \frac{n}{2} \left[ 2n \frac{m(m+1)}{2} - m(n-1) \right] $$

$$ = \frac{n}{2} [nm(m+1) - m(n-1)] = \frac{nm}{2} [n(m+1) - (n-1)] $$

$$ = \frac{nm}{2} [nm + n - n + 1] = \frac{nm(nm+1)}{2} $$

எனவே, நிரூபிக்கப்பட்டது.

பகுதி - IV (Part - IV)

43. (அ) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-ன், ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ என அமையுமாறு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$)

(அல்லது)

(ஆ) $PQ = 8$ செ.மீ, $\angle R = 60^\circ$, உச்சி R-யிலிருந்து PQ-க்கு வரையப்பட்ட நடுக்கோட்டின் நீளம் $RG = 5.8$ செ.மீ என இருக்குமாறு $\Delta PQR$ வரைக. R-லிருந்து PQ-க்கு வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் நீளம் காண்க.

(அ) வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல் (அளவு காரணி > 1)

தேவை: கொடுக்கப்பட்ட $\Delta PQR$-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ ஆக உள்ள ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் $\Delta P'QR'$ வரைதல்.

வரைமுறைப் படிகள்:

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு $\Delta PQR$ வரைக.
2. $QR$ என்ற கோட்டுத்துண்டில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு $QX$ என்ற கதிரை $P$ என்ற முனைக்கு എതിർ ദിശയിൽ വരയ്ക്കുക.
3. $QX$ கதிரில், $Q_1, Q_2, \dots, Q_7$ என்ற 7 புள்ளிகளை ($ \frac{7}{3}$-ல் பெரிய எண் 7 என்பதால்) சம அளவில் குறிக்கவும்.
4. $Q_3$ (விகிதத்தின் பகுதி 3 என்பதால்) மற்றும் $R$ ஐ இணைக்கவும்.
5. $Q_7$ வழியே $Q_3R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட $QR$-ஐ $R'$-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
6. $R'$ வழியே $PR$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது நீட்டப்பட்ட $QP$-ஐ $P'$-ல் சந்திக்குமாறு வரைக.
7. $\Delta P'QR'$ என்பதே தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

(ஆ) நடுக்கோடு மற்றும் உச்சிக்கோணம் கொண்டு முக்கோணம் வரைதல்

தேவை: $PQ = 8$ செ.மீ, $\angle R = 60^\circ$, நடுக்கோடு $RG = 5.8$ செ.மீ கொண்ட $\Delta PQR$ வரைந்து, குத்துக்கோட்டின் நீளம் காணுதல்.

வரைமுறைப் படிகள்:

1. $PQ = 8$ செ.மீ என்ற கோட்டுத்துண்டு வரைக.
2. $P$ என்ற புள்ளியில், $\angle QPE = 60^\circ$ என இருக்குமாறு $PE$ என்ற கோடு வரைக.
3. $P$ என்ற புள்ளியில், $\angle EPF = 90^\circ$ என இருக்குமாறு $PF$ என்ற செங்குத்துக்கோடு வரைக.
4. $PQ$-க்கு மையக் குத்துக்கோடு வரைக. அது $PQ$-ஐ $G$-யிலும், $PF$-ஐ $O$-விலும் சந்திக்கட்டும்.
5. $O$-வை மையமாகவும், $OP$-ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக. இந்த வட்டம் $P, Q$ வழிச் செல்லும்.
6. நடுக்கோட்டின் அடிப்புள்ளி $G$-யிலிருந்து, $5.8$ செ.மீ ஆரத்தில் வட்டத்தை வெட்டுமாறு ஒரு வில் வரைக. அது வட்டத்தை $R$ மற்றும் $R'$-ல் வெட்டட்டும்.
7. $PR$ மற்றும் $QR$-ஐ இணைக்கவும். $\Delta PQR$ என்பதே தேவையான முக்கோணம் ஆகும்.
8. குத்துக்கோட்டின் நீளம் காணுதல்: $R$-லிருந்து $PQ$ பக்கத்திற்கு $RM$ என்ற செங்குத்துக்கோடு வரைக.
9. $RM$-ன் நீளத்தை அளவிடவும்.

முடிவு: குத்துக்கோட்டின் நீளம் $RM \approx 3.5$ செ.மீ ஆகும்.

பகுதி - IV (Part - IV)

பகுதி - IV (Part - IV)

44. (அ) $y = \frac{1}{2}x$ என்ற நேரிய சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரைக. விகிதசம மாறிலியை அடையாளம் கண்டு, அதனை வரைபடத்துடன் சரிபார்க்க. மேலும் (i) $x=9$ எனில் $y$-ஐக் காண்க. (ii) $y=7.5$ எனில் $x$-ஐக் காண்க.

1. சமன்பாடு மற்றும் விகிதசம மாறிலி

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு $y = \frac{1}{2}x$.

இது $y=kx$ என்ற வடிவில் உள்ளது. இது ஒரு நேர் மாறுபாடு ஆகும். இதன் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளி வழிச் செல்லும் ஒரு நேர்க்கோடு ஆகும்.

இங்கு, விகிதசம மாறிலி (constant of proportionality) $k = \frac{1}{2}$.

2. மதிப்புகளின் அட்டவணை

வரைபடம் வரைய சில புள்ளிகளைக் கணக்கிடுவோம்.

$x$	0	2	4	6	8	10
$y = \frac{1}{2}x$	0	1	2	3	4	5

3. வரைபடம் வரைதல்

மேற்கண்ட புள்ளிகளை $(0,0), (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5)$ வரைபடத்தில் குறித்து, அவற்றை ஒரு நேர்க்கோட்டால் இணைக்கவும்.

4. வரைபடத்துடன் சரிபார்த்தல்

வரைபடத்தில் உள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொள்வோம், உதாரணமாக $(8,4)$.

விகிதசம மாறிலி $k = \frac{y}{x} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

இது நாம் கணக்கிட்ட மாறிலியுடன் பொருந்துவதால், வரைபடம் சரிபார்க்கப்பட்டது.

5. வரைபடத்திலிருந்து தீர்வு காணுதல்

(i) $x=9$ எனில் $y$-ன் மதிப்பு:

வரைபடத்தில், x-அச்சில் $x=9$ என்ற புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக நேர்க்கோட்டை நோக்கிச் செல்லவும். கோட்டை சந்தித்த புள்ளியிலிருந்து கிடைமட்டமாக y-அச்சிற்குச் சென்றால், அது $y=4.5$ என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.

எனவே, $x=9$ எனில், $y=4.5$.

(ii) $y=7.5$ எனில் $x$-ன் மதிப்பு:

வரைபடத்தில், y-அச்சில் $y=7.5$ என்ற புள்ளியிலிருந்து கிடைமட்டமாக நேர்க்கோட்டை நோக்கிச் செல்லவும். கோட்டை சந்தித்த புள்ளியிலிருந்து செங்குத்தாக x-அச்சிற்குச் சென்றால், அது $x=15$ என்ற புள்ளியில் சந்திக்கும்.

எனவே, $y=7.5$ எனில், $x=15$.

44. (ஆ) நிஷாந்த் 12 கி.மீ தூரத்திற்கான மாரத்தான் ஓட்டத்தின் வெற்றியாளர் ஆவார். அவர் மணிக்கு 12 கி.மீ என்ற சீரான வேகத்தில் ஓடி, இலக்கினை 1 மணி நேரத்தில் அடைந்தார்... வேகம் - நேரம் வரைபடம் வரைந்து அதனைப் பயன்படுத்தி மணிக்கு 2.4 கி.மீ/மணி வேகத்தில் சென்ற கௌசிக் எடுத்துக் கொண்ட நேரத்தைக் காண்க.

Original Question Paper