ЁЯзо Maths Question Papers (EM & TM) 10th Standard - 1st Mid Term Exam 2024 - Original Question Papers & Answer Keys 1st Mid Term Test 2024 - Original Question Paper | Theni District | Mr. M. Senthilkumar & Mr. M.Abbas Manthiri (Tamil Medium)

рокрод்родாроо் ро╡роХுрок்рокு роХрогிродроо் - рооுродро▓் роЗроЯைрок்рокро░ுро╡род் родேро░்ро╡ு - 2024 (ро╡ிроЯைроХро│ுроЯрой்)

рооுродро▓் роЗроЯைрок்рокро░ுро╡род் родேро░்ро╡ு - 2024

рокрод்родாроо் ро╡роХுрок்рокு - роХрогிродроо்

роиேро░роо் : 1.30 роорогி рокродிро╡ு роОрог்: ........................ роородிрок்рокெрог்роХро│் : 50
рокроХுродி - роЕ 7 x 1 = 7

I. роЪро░ிропாрой ро╡ிроЯைропைрод் родேро░்рои்родெроЯுрод்родு роОро┤ுродுроХ.

  1. A = {a, b, p}, B = {2, 3}, C = {p, q, r, s} роОройிро▓் \(n[(A \cup C) \times B]\) роЖройродு
    • роЕ) 8
    • роЖ) 20
    • роЗ) 12
    • роИ) 16
  2. \(f : A \rightarrow B\) роЖройродு роЗро░ுрокுро▒роЪ் роЪாро░்рокு рооро▒்ро▒ுроо் n(B) = 7 роОройிро▓் n(A) роЖройродு
    • роЕ) 7
    • роЖ) 49
    • роЗ) 1
    • роИ) 14
  3. \(f(x) = (x + 1)^3 – (x – 1)^3\) роХுро▒ிрок்рокிроЯுроо் роЪாро░்рокாройродு
    • роЕ) роиேро░ிроп роЪாро░்рокு
    • роЖ) роХройроЪ்роЪாро░்рокு
    • роЗ) родро▓ைроХ்роХீро┤் роЪாро░்рокு
    • роИ) роЗро░ுрокроЯிроЪ் роЪாро░்рокு
  4. 1 рооுродро▓் 10 ро╡ро░ைропுро│்ро│ (роЗро░рог்роЯு роОрог்роХро│ுроо் роЙроЯ்рокроЯ) роЕройைрод்родு роОрог்роХро│ாро▓ுроо் ро╡роХுрок்рокроЯுроо் рооிроХроЪ்роЪிро▒ிроп роОрог்
    • роЕ) 2025
    • роЖ) 5220
    • роЗ) 5025
    • роИ) 2520
  5. \(F_1 = 1, F_2 = 3\) рооро▒்ро▒ுроо் \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\) роОройроХ் роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯிрой் \(F_5\) роЖройродு
    • роЕ) 3
    • роЖ) 5
    • роЗ) 8
    • роИ) 11
  6. \(x + y - 3z = -6, -7y + 7z = 7, 3z = 9\) роОрой்ро▒ родொроХுрок்рокிрой் родீро░்ро╡ு
    • роЕ) x = 1, y = 2, z = 3
    • роЖ) x = -1, y = 2, z = 3
    • роЗ) x = -1, y = -2, z = 3
    • роИ) x = -1, y = -2, z = -3
  7. \(\Delta LMN\)-ро▓் \(\angle L = 60^\circ, \angle M = 50^\circ\) рооேро▓ுроо் \(\Delta LMN \sim \Delta PQR\) роОройிро▓் \(\angle R\)-рой் роородிрок்рокு
    • роЕ) 40°
    • роЖ) 70°
    • роЗ) 30°
    • роИ) 110°
рокроХுродி - роЖ 5 x 2 = 10

II. роОро╡ைропேройுроо் 5 ро╡ிройாроХ்роХро│ுроХ்роХு ро╡ிроЯைропро│ி. (ро╡ிройா роОрог் 14 роХроЯ்роЯாроп ро╡ிройா)

  1. \(B \times A = \{(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)\}\) роОройிро▓் A рооро▒்ро▒ுроо் B роЖроХிропро╡ро▒்ро▒ைроХ் роХாрог்роХ.
  2. f роОрой்ро▒ роЙро▒ро╡ாройродு \(f(x) = x^2 - 2\) роОрой ро╡ро░ைропро▒ுроХ்роХрок்рокроЯுроХிро▒родு. роЗроЩ்роХு \(x \in \{-2, -1, 0, 3\}\) роОройроХ் роХொрог்роЯாро▓்
    i) f-рой் роЙро▒ுрок்рокுроХро│ைрок் рокроЯ்роЯிропро▓ிроЯுроХ.
    ii) f роТро░ு роЪாро░்рокாроХுрооா?
  3. \(a^b \times b^a = 800\) роОрой்ро▒ро╡ாро▒ு роЕрооைропுроо் роЗро░ு рооிроХை рооுро┤ுроХ்роХро│் 'a' рооро▒்ро▒ுроо் 'b' роРроХ் роХாрог்роХ.
  4. \(9 + 3 + 1 + \dots\) роОрой்ро▒ рооுроЯிро╡ுро▒ாрод் родொроЯро░ிрой் роХூроЯுродро▓் роХாрог்роХ.
  5. \(a_n = \frac{5n}{n+2}\) роОрой்рокродு родொроЯро░்ро╡ро░ிроЪைропிрой் n-ро╡родு роЙро▒ுрок்рокு роОройிро▓் \(a_6\) рооро▒்ро▒ுроо் \(a_{13}\) роЙро▒ுрок்рокுроХро│ைроХ் роХாрог்роХ.
  6. \(\Delta ABC\) роЖройродு \(\Delta DEF\)-роХ்роХு ро╡роЯிро╡ொрод்родро╡ை. рооேро▓ுроо் BC = 3 роЪெ.рооீ, EF = 4 роЪெ.рооீ рооро▒்ро▒ுроо் \(\Delta ABC\)-рой் рокро░рок்рокு 54 роЪெ.рооீ² роОройிро▓், \(\Delta DEF\)-ропிрой் рокро░рок்рокைроХ் роХாрог்роХ.
  7. роХூроЯுродро▓் роХாрог்роХ: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\) (Note: Original paper was \(1+8+27+...+1000\), converted to exponent form for clarity).
рокроХுродி - роЗ 5 x 5 = 25

III. роОро╡ைропேройுроо் 5 ро╡ிройாроХ்роХро│ுроХ்роХு ро╡ிроЯைропро│ி. (ро╡ிройா роОрог் 21 роХроЯ்роЯாроп ро╡ிройா)

  1. A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5}, C = {3, 4}, D = {1, 3, 5} роОройிро▓் \((A \cap C) \times (B \cap D) = (A \times B) \cap (C \times D)\) роОрой்рокродு роЙрог்рооைропா роОрой роЪோродிроХ்роХро╡ுроо்.
  2. \(f(x) = 2x + 3, g(x) = 1 - 2x, h(x) = 3x\) роОройிро▓் \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\) роОрой роиிро▒ுро╡ுроХ.
  3. ропூроХ்ро│ிроЯிрой் ро╡роХுрод்родро▓ைрок் рокропрой்рокроЯுрод்родி 84, 90 рооро▒்ро▒ுроо் 120 роЖроХிропро╡ро▒்ро▒ிрой் рооீ.рокொ.ро╡. роХாрог்роХ.
  4. \(5 + 55 + 555 + \dots\) роОрой்ро▒ родொроЯро░்ро╡ро░ிроЪைропிрой் рооுродро▓் n роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் роХூроЯுродро▓் роХாрог்роХ.
  5. родீро░்роХ்роХ: \(3x - 2y + z = 2, 2x + 3y - z = 5, x + y + z = 6\)
  6. роТро░ு роХூроЯ்роЯுрод்родொроЯро░் ро╡ро░ிроЪைропிро▓் роЕрооைрои்род роЕроЯுрод்родроЯுрод்род рооூрой்ро▒ு роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் роХூроЯுродро▓் 27 рооро▒்ро▒ுроо் роЕро╡ро▒்ро▒ிрой் рокெро░ுроХ்роХро▒்рокро▓рой் 288 роОройிро▓், роЕрои்род рооூрой்ро▒ு роЙро▒ுрок்рокுроХро│ைроХ் роХாрог்роХ.
  7. \(f : [-5, 9] \rightarrow R\) роОрой்ро▒ роЪாро░்рокாройродு рокிрой்ро╡ро░ுрооாро▒ு ро╡ро░ைропро▒ுроХ்роХрок்рокроЯுроХிро▒родு. \[ f(x) = \begin{cases} 6x+1, & -5 \le x < 2 \\ 5x^2-1, & 2 \le x < 6 \\ 3x-4, & 6 \le x \le 9 \end{cases} \] роОройிро▓், рокிрой்ро╡ро░ுро╡ройро╡ро▒்ро▒ிрой் роородிрок்рокைроХ் роХாрог்роХ.
    i) \(f(7) - f(1)\)
    ii) \(\frac{2f(-2) - f(6)}{f(4) + f(-2)}\)
рокроХுродி - роИ 1 x 8 = 8

IV. роХீро┤்роХ்роХрог்роЯ ро╡ிройாро╡ிро▒்роХு ро╡ிроЯைропро│ிроХ்роХро╡ுроо்.

  1. роЕ) роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ рооுроХ்роХோрогроо் PQR-роХ்роХு роТрод்род рокроХ்роХроЩ்роХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо் \(\frac{3}{5}\) роОрой роЕрооைропுрооாро▒ு роТро░ு ро╡роЯிро╡ொрод்род рооுроХ்роХோрогроо் ро╡ро░ைроХ. (роЕро│ро╡ு роХாро░рогி \(\frac{3}{5} < 1\))
    (роЕро▓்ро▓родு)
    роЖ) роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ рооுроХ்роХோрогроо் PQR-роХ்роХு роТрод்род рокроХ்роХроЩ்роХро│ிрой் ро╡ிроХிродроо் \(\frac{7}{3}\) роОрой роЕрооைропுрооாро▒ு роТро░ு ро╡роЯிро╡ொрод்род рооுроХ்роХோрогроо் ро╡ро░ைроХ. (роЕро│ро╡ு роХாро░рогி \(\frac{7}{3} > 1\))
*******

ро╡ிроЯைроХро│்

рокроХுродி - роЕ ро╡ிроЯைроХро│்

  1. ро╡ிроЯை ро╡ிро│роХ்роХроо்

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை: A = {a, b, p}, B = {2, 3}, C = {p, q, r, s}.

    рооுродро▓ிро▓் \(A \cup C\) роХрогрод்родைроХ் роХрог்роЯுрокிроЯிроХ்роХ ро╡ேрог்роЯுроо். \(A \cup C = \{a, b, p\} \cup \{p, q, r, s\} = \{a, b, p, q, r, s\}\).

    роХрогроЩ்роХро│ிрой் роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХைропைроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо். \(n(A \cup C) = 6\). \(n(B) = 2\).

    роЗрок்рокோродு, \(n[(A \cup C) \times B]\) роРроХ் роХрогроХ்роХிроЯро▓ாроо். \(n[(A \cup C) \times B] = n(A \cup C) \times n(B) = 6 \times 2 = 12\).

    роЪро░ிропாрой ро╡ிроЯை: роЗ) 12

  2. ро╡ிроЯை ро╡ிро│роХ்роХроо்

    роТро░ு роЪாро░்рокு \(f : A \rightarrow B\) роЗро░ுрокுро▒роЪ் роЪாро░்рокு (bijection) роОройிро▓், роЕродு роТрой்ро▒ுроХ்роХு роТрой்ро▒ாрой роЪாро░்рокு рооро▒்ро▒ுроо் рооேро▒்роХோро░்род்родро▓் роЪாро░்рокு роЖроХுроо்.

    роЗро░ுрокுро▒роЪ் роЪாро░்рокிрой் ро╡ро░ைропро▒ைрок்рокроЯி, роХрогроо் A-ро▓் роЙро│்ро│ роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХைропுроо் роХрогроо் B-ро▓் роЙро│்ро│ роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் роОрог்рогிроХ்роХைропுроо் роЪроорооாроХ роЗро░ுроХ்роХுроо்.

    роЕродாро╡родு, \(n(A) = n(B)\). роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை: n(B) = 7.

    роОройро╡ே, \(n(A) = 7\).

    роЪро░ிропாрой ро╡ிроЯை: роЕ) 7

  3. ро╡ிроЯை ро╡ிро│роХ்роХроо்

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роЪாро░்рокு: \(f(x) = (x + 1)^3 – (x – 1)^3\).

    роЗропро▒்роХрогிрод роЪூрод்родிро░роЩ்роХро│ைрок் рокропрой்рокроЯுрод்родி ро╡ிро░ிро╡ுрокроЯுрод்родுро╡ோроо்: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

    роЗроЩ்роХு a = x, b = 1. \((x+1)^3 = x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\). \((x-1)^3 = x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\).

    роЗрок்рокோродு \(f(x)\) роРроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \(f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\) \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1\) \(f(x) = (x^3-x^3) + (3x^2+3x^2) + (3x-3x) + (1+1)\) \(f(x) = 6x^2 + 2\).

    роХிроЯைрод்род роЪாро░்рокு \(f(x) = 6x^2 + 2\) роОрой்рокродு роТро░ு роЗро░ுрокроЯிроЪ் роЪроорой்рокாроЯு (x-рой் роЕроЯுроХ்роХு 2). роОройро╡ே, роЗродு роТро░ு роЗро░ுрокроЯிроЪ் роЪாро░்рокு роЖроХுроо்.

    роЪро░ிропாрой ро╡ிроЯை: роИ) роЗро░ுрокроЯிроЪ் роЪாро░்рокு

  4. ро╡ிроЯை ро╡ிро│роХ்роХроо்

    1 рооுродро▓் 10 ро╡ро░ைропுро│்ро│ роЕройைрод்родு роОрог்роХро│ாро▓ுроо் ро╡роХுрок்рокроЯுроо் рооிроХроЪ்роЪிро▒ிроп роОрог் роОрой்рокродு роЕрои்род роОрог்роХро│ிрой் рооீроЪ்роЪிро▒ு рокொродு роороЯроЩ்роХு (LCM) роЖроХுроо்.

    роиாроо் LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) роРроХ் роХрог்роЯுрокிроЯிроХ்роХ ро╡ேрог்роЯுроо். роОрог்роХро│ை рокроХா роХாро░рогிроХро│ாроХрок் рокிро░ிрок்рокோроо்: \(1 = 1\) \(2 = 2\) \(3 = 3\) \(4 = 2^2\) \(5 = 5\) \(6 = 2 \times 3\) \(7 = 7\) \(8 = 2^3\) \(9 = 3^2\) \(10 = 2 \times 5\)

    LCM роОрой்рокродு роТро╡்ро╡ொро░ு рокроХா роОрог்рогிрой் роЙропро░்рои்родрокроЯ்роЪ роЕроЯுроХ்роХிрой் рокெро░ுроХ்роХро▒்рокро▓рой் роЖроХுроо். \(LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1\)

    роородிрок்рокைроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \(LCM = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35\). \(72 \times 35 = 2520\).

    роЪро░ிропாрой ро╡ிроЯை: роИ) 2520

  5. ро╡ிроЯை ро╡ிро│роХ்роХроо்

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை: \(F_1 = 1, F_2 = 3\) рооро▒்ро▒ுроо் \(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\).

    роиாроо் \(F_5\) роРроХ் роХрог்роЯுрокிроЯிроХ்роХ ро╡ேрог்роЯுроо். роЪூрод்родிро░род்родைрок் рокропрой்рокроЯுрод்родி роЕроЯுрод்родроЯுрод்род роЙро▒ுрок்рокுроХро│ைроХ் роХாрог்рокோроо். \(n=3\) роОройрок் рокிро░родிропிроЯ, \(F_3 = F_{3-1} + F_{3-2} = F_2 + F_1 = 3 + 1 = 4\).

    \(n=4\) роОройрок் рокிро░родிропிроЯ, \(F_4 = F_{4-1} + F_{4-2} = F_3 + F_2 = 4 + 3 = 7\).

    \(n=5\) роОройрок் рокிро░родிропிроЯ, \(F_5 = F_{5-1} + F_{5-2} = F_4 + F_3 = 7 + 4 = 11\).

    роЪро░ிропாрой ро╡ிроЯை: роИ) 11

  6. ро╡ிроЯை ро╡ிро│роХ்роХроо்

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роЪроорой்рокாроЯுроХро│்: \(x + y - 3z = -6\) --- (1) \(-7y + 7z = 7\) --- (2) \(3z = 9\) --- (3)

    роЪроорой்рокாроЯு (3) ро▓ிро░ுрои்родு z-рой் роородிрок்рокைроХ் роХாрогро▓ாроо்: \(3z = 9 \implies z = \frac{9}{3} \implies z = 3\).

    z = 3 роОрой்рокродை роЪроорой்рокாроЯு (2)-ро▓் рокிро░родிропிроЯ: \(-7y + 7(3) = 7\) \(-7y + 21 = 7\) \(-7y = 7 - 21\) \(-7y = -14 \implies y = \frac{-14}{-7} \implies y = 2\).

    y = 2, z = 3 роЖроХிроп роородிрок்рокுроХро│ை роЪроорой்рокாроЯு (1)-ро▓் рокிро░родிропிроЯ: \(x + (2) - 3(3) = -6\) \(x + 2 - 9 = -6\) \(x - 7 = -6\) \(x = -6 + 7 \implies x = 1\).

    родீро░்ро╡ு: роЕ) x = 1, y = 2, z = 3

  7. ро╡ிроЯை ро╡ிро│роХ்роХроо்

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை: \(\Delta LMN \sim \Delta PQR\). ро╡роЯிро╡ொрод்род рооுроХ்роХோрогроЩ்роХро│ிро▓், роТрод்род роХோрогроЩ்роХро│் роЪроорооாроХ роЗро░ுроХ்роХுроо். роОройро╡ே, \(\angle L = \angle P, \angle M = \angle Q, \angle N = \angle R\).

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роХோрог роЕро│ро╡ுроХро│்: \(\angle L = 60^\circ, \angle M = 50^\circ\).

    роТро░ு рооுроХ்роХோрогрод்родிрой் рооூрой்ро▒ு роХோрогроЩ்роХро│ிрой் роХூроЯுродро▓் 180° роЖроХுроо். \(\Delta LMN\)-ро▓்: \(\angle L + \angle M + \angle N = 180^\circ\) \(60^\circ + 50^\circ + \angle N = 180^\circ\) \(110^\circ + \angle N = 180^\circ\).

    \(\angle N = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\).

    ро╡роЯிро╡ொрод்род рокрог்рокிрой்рокроЯி, \(\angle R = \angle N\). роОройро╡ே, \(\angle R = 70^\circ\).

    роЪро░ிропாрой ро╡ிроЯை: роЖ) 70°
рокроХுродி - роЖ ро╡ிроЯைроХро│்

  1. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு \(B \times A = \{(-2,3), (-2,4), (0,3), (0,4), (3,3), (3,4)\}.\)

    роХாро░்роЯ்роЯீроЪிропрой் рокெро░ுроХ்роХро▓் \(B \times A\)-ро▓், рооுродро▓் роЙро▒ுрок்рокுроХро│் роХрогроо் B-роРроЪ் роЪேро░்рои்родро╡ை, рооро▒்ро▒ுроо் роЗро░рог்роЯாроо் роЙро▒ுрок்рокுроХро│் роХрогроо் A-роРроЪ் роЪேро░்рои்родро╡ை.

    роХрогроо் B роОрой்рокродு рооுродро▓் роЖропрод்родொро▓ைро╡ுроХро│ிрой் роХрогроо்: \(B = \{-2, 0, 3\}\).

    роХрогроо் A роОрой்рокродு роЗро░рог்роЯாроо் роЖропрод்родொро▓ைро╡ுроХро│ிрой் роХрогроо்: \(A = \{3, 4\}\).

    A = {3, 4} рооро▒்ро▒ுроо் B = {-2, 0, 3}

  2. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு: \(f(x) = x^2 - 2\) рооро▒்ро▒ுроо் \(x \in \{-2, -1, 0, 3\}\).

    i) f-рой் роЙро▒ுрок்рокுроХро│ைрок் рокроЯ்роЯிропро▓ிроЯுродро▓்:

    \(x = -2 \implies f(-2) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2\)

    \(x = -1 \implies f(-1) = (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1\)

    \(x = 0 \implies f(0) = (0)^2 - 2 = 0 - 2 = -2\)

    \(x = 3 \implies f(3) = (3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7\)

    роОройро╡ே, f-рой் роЙро▒ுрок்рокுроХро│் (ро╡ро░ிроЪைроЪ் роЪோроЯிроХро│ிрой் роХрогроо்): \(f = \{(-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (3, 7)\}.\)

    ii) f роТро░ு роЪாро░்рокாроХுрооா?

    роЖроо், f роТро░ு роЪாро░்рокாроХுроо். роПройெройிро▓், роородிрок்рокроХроо் \(\{-2, -1, 0, 3\}\)-ро▓் роЙро│்ро│ роТро╡்ро╡ொро░ு роЙро▒ுрок்рокிро▒்роХுроо் роТро░ு родройிрод்род роиிро┤ро▓் роЙро░ு родுрогை роородிрок்рокроХрод்родிро▓் роЙро│்ро│родு.

    f = {(-2, 2), (-1, -1), (0, -2), (3, 7)}, роЖроо், роЗродு роТро░ு роЪாро░்рокு.

  3. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯродு: \(a^b \times b^a = 800\).

    800-роР рокроХா роХாро░рогிрок்рокроЯுрод்родுро╡ோроо்: \(800 = 8 \times 100 = 2^3 \times 10^2 = 2^3 \times (2 \times 5)^2 = 2^3 \times 2^2 \times 5^2 = 2^5 \times 5^2\).

    роЗрок்рокொро┤ுродு, роЪроорой்рокாроЯ்роЯை роТрок்рокிроЯுро╡ோроо்: \(a^b \times b^a = 2^5 \times 5^2\).

    роТрок்рокிроЯ்роЯுрок் рокாро░்роХ்роХுроо்рокோродு, \(a=2\) рооро▒்ро▒ுроо் \(b=5\) роОрой роОроЯுрод்родுроХ்роХொрог்роЯாро▓், \(a^b = 2^5\) рооро▒்ро▒ுроо் \(b^a = 5^2\) роОрой роЪро░ிропாроХрок் рокொро░ுрои்родுроХிро▒родு. (роЕро▓்ро▓родு \(a=5, b=2\) роОрой роОроЯுрод்родுроХ்роХொрог்роЯாро▓், \(a^b \times b^a = 5^2 \times 2^5\), роЗродுро╡ுроо் роЕродேродாрой்).

    a = 2, b = 5 (роЕро▓்ро▓родு a = 5, b = 2)

  4. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ родொроЯро░்: \(9 + 3 + 1 + \dots\). роЗродு роТро░ு рокெро░ுроХ்роХுрод்родொроЯро░் ро╡ро░ிроЪை (GP).

    рооுродро▓் роЙро▒ுрок்рокு, \(a = 9\).

    рокொродு ро╡ிроХிродроо், \(r = \frac{\text{роЗро░рог்роЯாроо் роЙро▒ுрок்рокு}}{\text{рооுродро▓் роЙро▒ுрок்рокு}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

    рокொродு ро╡ிроХிродрод்родிрой் роороЯ்роЯு роородிрок்рокு, \(|r| = |\frac{1}{3}| < 1\). роОройро╡ே, роЗрои்род рооுроЯிро╡ுро▒ாрод் родொроЯро░ிрой் роХூроЯுродро▓ைроХ் роХாрог роЗропро▓ுроо்.

    рооுроЯிро╡ுро▒ாрод் родொроЯро░ிрой் роХூроЯுродро▓் роЪூрод்родிро░роо்: \(S_\infty = \frac{a}{1-r}\). \(S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{3-1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \times \frac{3}{2} = \frac{27}{2}\).

    роХூроЯுродро▓் = \(\frac{27}{2}\) роЕро▓்ро▓родு 13.5

  5. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ n-ро╡родு роЙро▒ுрок்рокு: \(a_n = \frac{5n}{n+2}\).

    \(a_6\) роРроХ் роХாрог: n = 6 роОройрок் рокிро░родிропிроЯ, \(a_6 = \frac{5(6)}{6+2} = \frac{30}{8}\). роЗродைроЪ் роЪுро░ுроХ்роХிройாро▓், \(a_6 = \frac{15}{4}\).

    \(a_{13}\) роРроХ் роХாрог: n = 13 роОройрок் рокிро░родிропிроЯ, \(a_{13} = \frac{5(13)}{13+2} = \frac{65}{15}\). роЗродைроЪ் роЪுро░ுроХ்роХிройாро▓், \(a_{13} = \frac{13}{3}\).

    \(a_6 = \frac{15}{4}\), \(a_{13} = \frac{13}{3}\)

  6. ро╡ிроЯை

    роЗро░ு ро╡роЯிро╡ொрод்род рооுроХ்роХோрогроЩ்роХро│ிрой் рокро░рок்рокுроХро│ிрой் ро╡ிроХிродрооாройродு, роЕро╡ро▒்ро▒ிрой் роТрод்род рокроХ்роХроЩ்роХро│ிрой் ро╡ро░்роХ்роХроЩ்роХро│ிрой் ро╡ிроХிродрод்родிро▒்роХுроЪ் роЪроороо். \[\frac{\text{рокро░рок்рокு}(\Delta ABC)}{\text{рокро░рок்рокு}(\Delta DEF)} = \left(\frac{BC}{EF}\right)^2\]

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роородிрок்рокுроХро│ைрок் рокிро░родிропிроЯுро╡ோроо்: BC = 3 роЪெ.рооீ, EF = 4 роЪெ.рооீ, рокро░рок்рокு(\(\Delta ABC\)) = 54 роЪெ.рооீ². \[\frac{54}{\text{рокро░рок்рокு}(\Delta DEF)} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\]

    \(\text{рокро░рок்рокு}(\Delta DEF)\) роРроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \[\text{рокро░рок்рокு}(\Delta DEF) = 54 \times \frac{16}{9}\] \[\text{рокро░рок்рокு}(\Delta DEF) = 6 \times 16 = 96 \text{ роЪெ.рооீ}^2\]

    \(\Delta DEF\)-ропிрой் рокро░рок்рокு = 96 роЪெ.рооீ²

  7. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ родொроЯро░்: \(1 + 8 + 27 + \dots + 1000\).

    роЗрои்родрод் родொроЯро░ை роХройроЩ்роХро│ிрой் роХூроЯுродро▓ாроХ роОро┤ுродро▓ாроо்: \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 10^3\). роЗроЩ்роХு, роХроЯைроЪி роЙро▒ுрок்рокு \(1000 = 10^3\), роОройро╡ே n = 10.

    рооுродро▓் n роЗропро▓் роОрог்роХро│ிрой் роХройроЩ்роХро│ிрой் роХூроЯுродро▓் роЪூрод்родிро░роо்: \(\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\).

    n = 10 роОройрок் рокிро░родிропிроЯ்роЯு роХூроЯுродро▓ைроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \[ S_{10} = \left(\frac{10(10+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^2 = (5 \times 11)^2 = 55^2 \] \[ 55^2 = 3025 \]

    роХூроЯுродро▓் = 3025
рокроХுродி - роЗ ро╡ிроЯைроХро│்

  1. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை: A={1,2,3}, B={2,3,5}, C={3,4}, D={1,3,5}. роиாроо் \((A \cap C) \times (B \cap D) = (A \times B) \cap (C \times D)\) роОрой்рокродைроЪ் роЪро░ிрокாро░்роХ்роХ ро╡ேрог்роЯுроо்.

    роЗроЯродு роХை рокроХ்роХроо் (LHS): \((A \cap C) \times (B \cap D)\)

    \(A \cap C = \{1,2,3\} \cap \{3,4\} = \{3\}\)

    \(B \cap D = \{2,3,5\} \cap \{1,3,5\} = \{3,5\}\)

    \((A \cap C) \times (B \cap D) = \{3\} \times \{3,5\} = \{(3,3), (3,5)\}\) --- (1)

    ро╡ро▓родு роХை рокроХ்роХроо் (RHS): \((A \times B) \cap (C \times D)\)

    \(A \times B = \{1,2,3\} \times \{2,3,5\} = \{(1,2), (1,3), (1,5), (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5)\}\)

    \(C \times D = \{3,4\} \times \{1,3,5\} = \{(3,1), (3,3), (3,5), (4,1), (4,3), (4,5)\}\)

    роЗрок்рокொро┤ுродு, \((A \times B)\) рооро▒்ро▒ுроо் \((C \times D)\) роЖроХிропро╡ро▒்ро▒ிрой் рокொродுро╡ாрой роЙро▒ுрок்рокுроХро│ைроХ் роХрог்роЯро▒ிропро╡ுроо்: \((A \times B) \cap (C \times D) = \{(3,3), (3,5)\}\) --- (2)

    роЪроорой்рокாроЯு (1) рооро▒்ро▒ுроо் (2) роР роТрок்рокிроЯுроо்рокோродு, LHS = RHS. \(\{(3,3), (3,5)\} = \{(3,3), (3,5)\}\)

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роЪроорой்рокாроЯு роЙрог்рооைропே.

  2. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯро╡ை: \(f(x) = 2x+3, g(x) = 1-2x, h(x) = 3x\). роиாроо் \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\) роОрой роиிро▒ுро╡ ро╡ேрог்роЯுроо்.

    LHS: \(f \circ (g \circ h)\)

    рооுродро▓ிро▓், \(g \circ h(x)\) роРроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \(g \circ h(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x\).

    роЗрок்рокோродு, \(f \circ (g \circ h)(x)\) роРроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \(f(g \circ h(x)) = f(1-6x) = 2(1-6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x\). --- (1)

    RHS: \((f \circ g) \circ h\)

    рооுродро▓ிро▓், \(f \circ g(x)\) роРроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \(f \circ g(x) = f(g(x)) = f(1-2x) = 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x\).

    роЗрок்рокோродு, \((f \circ g) \circ h(x)\) роРроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \((f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x\). --- (2)

    роЪроорой்рокாроЯு (1) рооро▒்ро▒ுроо் (2) роР роТрок்рокிроЯுроо்рокோродு, LHS = RHS. \(5 - 12x = 5 - 12x\).

    роОройро╡ே, \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\) роОрой்рокродு роиிро▒ுро╡рок்рокроЯ்роЯродு.

  3. ро╡ிроЯை

    роиாроо் 84, 90, 120 роЖроХிропро╡ро▒்ро▒ிрой் рооீрок்рокெро░ு рокொродு ро╡роХுрод்родி (HCF/рооீ.рокொ.ро╡.) ропை ропூроХ்ро│ிроЯிрой் ро╡роХுрод்родро▓் ро╡ро┤ிрооுро▒ை рооூро▓роо் роХாрог ро╡ேрог்роЯுроо்.

    рокроЯி 1: 120 рооро▒்ро▒ுроо் 90 роЖроХிропро╡ро▒்ро▒ிрой் рооீ.рокொ.ро╡. роХாрог்рокோроо். (рокெро░ிроп роОрог்рогை роЪிро▒ிроп роОрог்рогாро▓் ро╡роХுроХ்роХ) \(120 = 90 \times 1 + 30\) роЗроЩ்роХு рооீродி 30 (\(\ne 0\)). роЗрок்рокோродு ро╡роХுроХ்роХுроо் роОрог் 90 роР рооீродி 30 роЖро▓் ро╡роХுроХ்роХ ро╡ேрог்роЯுроо். \(90 = 30 \times 3 + 0\) роЗроЩ்роХு рооீродி 0. роОройро╡ே, 120 рооро▒்ро▒ுроо் 90-рой் рооீ.рокொ.ро╡. = 30.

    рокроЯி 2: рокроЯி 1-ро▓் роХிроЯைрод்род рооீ.рокொ.ро╡. (30) рооро▒்ро▒ுроо் рооீродрооுро│்ро│ роОрог் (84) роЖроХிропро╡ро▒்ро▒ிрой் рооீ.рокொ.ро╡. роХாрог்рокோроо். \(84 = 30 \times 2 + 24\) рооீродி 24 (\(\ne 0\)). \(30 = 24 \times 1 + 6\) рооீродி 6 (\(\ne 0\)). \(24 = 6 \times 4 + 0\) рооீродி 0. роОройро╡ே, 30 рооро▒்ро▒ுроо் 84-рой் рооீ.рокொ.ро╡. = 6.

    84, 90 рооро▒்ро▒ுроо் 120 роЖроХிропро╡ро▒்ро▒ிрой் рооீ.рокொ.ро╡. = 6.

  4. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ родொроЯро░்: \(S_n = 5 + 55 + 555 + \dots\) n роЙро▒ுрок்рокுроХро│் ро╡ро░ை.

    5 роРрок் рокொродுро╡ாроХ ро╡ெро│ிропே роОроЯுрок்рокோроо்: \(S_n = 5(1 + 11 + 111 + \dots \text{ n роЙро▒ுрок்рокுроХро│்})\).

    9 роЖро▓் рокெро░ுроХ்роХி ро╡роХுрок்рокோроо்: \(S_n = \frac{5}{9}(9 + 99 + 999 + \dots \text{ n роЙро▒ுрок்рокுроХро│்})\).

    роТро╡்ро╡ொро░ு роЙро▒ுрок்рокைропுроо் (10-рой் роЕроЯுроХ்роХு - 1) роОрой рооாро▒்ро▒ி роОро┤ுродுро╡ோроо்: \(S_n = \frac{5}{9}[(10-1) + (100-1) + (1000-1) + \dots \text{ n роЙро▒ுрок்рокுроХро│்}]\).

    родொроЯро░ை роЗро░рог்роЯு рокроХுродிроХро│ாроХрок் рокிро░ிрок்рокோроо்: \(S_n = \frac{5}{9}[ (10 + 10^2 + 10^3 + \dots) - (1+1+1+\dots) ]\). рооுродро▓் рокроХுродி роТро░ு рокெро░ுроХ்роХுрод் родொроЯро░் (GP), роЗро░рог்роЯாроо் рокроХுродி n рооுро▒ை 1-рой் роХூроЯுродро▓்.

    рокெро░ுроХ்роХுрод் родொроЯро░ிрой் роХூроЯுродро▓்: \(a=10, r=10\). роЪூрод்родிро░роо்: \(S_{gp} = a\frac{r^n-1}{r-1}\). \(S_{gp} = 10\frac{10^n-1}{10-1} = \frac{10}{9}(10^n-1)\). роЗро░рог்роЯாроо் рокроХுродிропிрой் роХூроЯுродро▓்: \(n\).

    роЗро╡ро▒்ро▒ை рокிро░родிропிроЯ: \(S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10}{9}(10^n - 1) - n \right]\).

    \(S_n = \frac{50}{81}(10^n - 1) - \frac{5n}{9}\)

  5. ро╡ிроЯை

    роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роЪроорой்рокாроЯுроХро│்: \[3x - 2y + z = 2 \quad \text{--- (1)}\] \[2x + 3y - z = 5 \quad \text{--- (2)}\] \[x + y + z = 6 \quad \text{--- (3)}\]

    роЪроорой்рокாроЯு (1) рооро▒்ро▒ுроо் (2)-роРроХ் роХூроЯ்роЯро╡ுроо் (z роиீроХ்роХрок்рокроЯுроо்): \((3x - 2y + z) + (2x + 3y - z) = 2 + 5\) \(5x + y = 7\) --- (4)

    роЪроорой்рокாроЯு (2) рооро▒்ро▒ுроо் (3)-роРроХ் роХூроЯ்роЯро╡ுроо் (z роиீроХ்роХрок்рокроЯுроо்): \((2x + 3y - z) + (x + y + z) = 5 + 6\) \(3x + 4y = 11\) --- (5)

    роЗрок்рокோродு роЪроорой்рокாроЯு (4) рооро▒்ро▒ுроо் (5)-роРрод் родீро░்роХ்роХро╡ுроо். роЪроорой்рокாроЯு (4)-роР 4-роЖро▓் рокெро░ுроХ்роХро╡ுроо்: \(4 \times (5x+y) = 4 \times 7 \implies 20x + 4y = 28\) --- (6)

    роЪроорой்рокாроЯு (6)-ро▓ிро░ுрои்родு роЪроорой்рокாроЯு (5)-роРроХ் роХро┤ிроХ்роХро╡ுроо்: \((20x + 4y) - (3x + 4y) = 28 - 11\) \(17x = 17 \implies x = 1\)

    x = 1 роОрой்рокродை роЪроорой்рокாроЯு (4)-ро▓் рокிро░родிропிроЯ: \(5(1) + y = 7 \implies y = 7 - 5 \implies y = 2\)

    x = 1, y = 2 роЖроХிропро╡ро▒்ро▒ை роЪроорой்рокாроЯு (3)-ро▓் рокிро░родிропிроЯ: \(1 + 2 + z = 6 \implies 3 + z = 6 \implies z = 3\)

    родீро░்ро╡ு: x = 1, y = 2, z = 3

  6. ро╡ிроЯை

    роХூроЯ்роЯுрод்родொроЯро░் ро╡ро░ிроЪைропிрой் роЕроЯுрод்родроЯுрод்род рооூрой்ро▒ு роЙро▒ுрок்рокுроХро│ை \(a-d, a, a+d\) роОрой роОроЯுрод்родுроХ்роХொро│்ро╡ோроо்.

    роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் роХூроЯுродро▓் = 27 \((a-d) + a + (a+d) = 27\) \(3a = 27 \implies a = \frac{27}{3} \implies a = 9\).

    роЙро▒ுрок்рокுроХро│ிрой் рокெро░ுроХ்роХро▒்рокро▓рой் = 288 \((a-d) \times a \times (a+d) = 288\). a = 9 роОройрок் рокிро░родிропிроЯ: \((9-d) \times 9 \times (9+d) = 288\).

    d-рой் роородிрок்рокைроХ் роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \((9-d)(9+d) = \frac{288}{9} = 32\) \(9^2 - d^2 = 32 \implies 81 - d^2 = 32\) \(d^2 = 81 - 32 = 49\) \(d = \pm \sqrt{49} \implies d = 7\) роЕро▓்ро▓родு \(d = -7\).

    d = 7 роОройிро▓், роЙро▒ுрок்рокுроХро│்: \(9-7, 9, 9+7 \implies 2, 9, 16\).
    d = -7 роОройிро▓், роЙро▒ுрок்рокுроХро│்: \(9-(-7), 9, 9-7 \implies 16, 9, 2\).

    роЕрои்род рооூрой்ро▒ு роЙро▒ுрок்рокுроХро│் 2, 9, 16 роЖроХுроо்.

  7. ро╡ிроЯை

    рооுродро▓ிро▓், родேро╡ைропாрой роородிрок்рокுроХро│ைроЪ் роЪாро░்рокிрой் ро╡ро░ைропро▒ைроХро│ிро▓ிро░ுрои்родு роХрогроХ்роХிроЯுро╡ோроо்: \[ f(x) = \begin{cases} 6x+1, & -5 \le x < 2 \\ 5x^2-1, & 2 \le x < 6 \\ 3x-4, & 6 \le x \le 9 \end{cases} \]

    \(f(7)\): x=7 роОрой்рокродு \(6 \le x \le 9\) роОрой்ро▒ роиிрокрои்родройைропிро▓் роЙро│்ро│родு. \(f(7) = 3(7) - 4 = 21 - 4 = 17\).

    \(f(1)\): x=1 роОрой்рокродு \(-5 \le x < 2\) роОрой்ро▒ роиிрокрои்родройைропிро▓் роЙро│்ро│родு. \(f(1) = 6(1) + 1 = 7\).

    \(f(-2)\): x=-2 роОрой்рокродு \(-5 \le x < 2\) роОрой்ро▒ роиிрокрои்родройைропிро▓் роЙро│்ро│родு. \(f(-2) = 6(-2) + 1 = -12 + 1 = -11\).

    \(f(6)\): x=6 роОрой்рокродு \(6 \le x \le 9\) роОрой்ро▒ роиிрокрои்родройைропிро▓் роЙро│்ро│родு. \(f(6) = 3(6) - 4 = 18 - 4 = 14\).

    \(f(4)\): x=4 роОрой்рокродு \(2 \le x < 6\) роОрой்ро▒ роиிрокрои்родройைропிро▓் роЙро│்ро│родு. \(f(4) = 5(4)^2 - 1 = 5(16) - 1 = 80 - 1 = 79\).

    i) \(f(7) - f(1)\)

    \(f(7) - f(1) = 17 - 7 = 10\).

    ii) \(\frac{2f(-2) - f(6)}{f(4) + f(-2)}\)

    \(\frac{2(-11) - 14}{79 + (-11)} = \frac{-22 - 14}{79 - 11} = \frac{-36}{68}\). роЗродை 4-роЖро▓் роЪுро░ுроХ்роХிройாро▓்: \(\frac{-9}{17}\).

    i) 10     ii) \(-\frac{9}{17}\)
рокроХுродி - роИ ро╡ிроЯை

  1. роЕ) ро╡роЯிро╡ொрод்род рооுроХ்роХோрогроо் ро╡ро░ைроХ (роЕро│ро╡ு роХாро░рогி \(\frac{3}{5} < 1\))

    роЗроЩ்роХு роЕро│ро╡ு роХாро░рогி 1-роР ро╡ிроЯроХ் роХுро▒ைро╡ு. роОройро╡ே, рокுродிроп рооுроХ்роХோрогроо் \(\Delta P'QR'\) роЖройродு роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ рооுроХ்роХோрогроо் \(\Delta PQR\)-роХ்роХு роЙро│்ро│ே роЕрооைропுроо்.

    ро╡ро░ைрооுро▒ை:

    1. рооுродро▓ிро▓், роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роЕро│ро╡ுроХро│ைроХ் роХொрог்роЯு \(\Delta PQR\) ро╡ро░ைроХ.
    2. QR роОрой்ро▒ роХோроЯ்роЯுрод்родுрог்роЯிро▒்роХு роХீро┤், роХுро▒ுроЩ்роХோрогроо் роЙрог்роЯாроХுрооாро▒ு QX роОрой்ро▒ роХродிро░ை ро╡ро░ைроХ.
    3. роЕро│ро╡ு роХாро░рогி \(\frac{3}{5}\)-ро▓் рокெро░ிроп роОрог் 5 роОрой்рокродாро▓், QX роХродிро░ிро▓் роЪроо роЕро│ро╡ுро│்ро│ 5 ро╡ிро▒்роХро│ை ро╡ெроЯ்роЯுроХ. роЕро╡ро▒்ро▒ுроХ்роХு \(Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5\) роОройрок் рокெропро░ிроЯுроХ. (\(QQ_1 = Q_1Q_2 = \dots = Q_4Q_5\)).
    4. \(\frac{3}{5}\)-рой் рокроХுродி 5 роОрой்рокродாро▓், \(Q_5\) роР R роЙроЯрой் роЗрогைроХ்роХро╡ுроо். роЗрок்рокொро┤ுродு \(Q_5R\) роОрой்ро▒ роХோроЯு роХிроЯைроХ்роХுроо்.
    5. \(\frac{3}{5}\)-рой் родொроХுродி 3 роОрой்рокродாро▓், \(Q_3\) ро╡ро┤ிропே \(Q_5R\)-роХ்роХு роЗрогைропாроХ роТро░ு роХோроЯு ро╡ро░ைроХ. роЕродு QR-роР R' роОрой்ро▒ рокுро│்ро│ிропிро▓் роЪрои்родிроХ்роХроЯ்роЯுроо்.
    6. R'-ро▓ிро░ுрои்родு, PR-роХ்роХு роЗрогைропாроХ роТро░ு роХோроЯு ро╡ро░ைроХ. роЕродு PQ-роР P' роОрой்ро▒ рокுро│்ро│ிропிро▓் роЪрои்родிроХ்роХроЯ்роЯுроо்.
    7. \(\Delta P'QR'\) роОрой்рокродே роироороХ்роХுрод் родேро╡ைропாрой ро╡роЯிро╡ொрод்род рооுроХ்роХோрогроо் роЖроХுроо்.
    (роЕро▓்ро▓родு)

    роЖ) ро╡роЯிро╡ொрод்род рооுроХ்роХோрогроо் ро╡ро░ைроХ (роЕро│ро╡ு роХாро░рогி \(\frac{7}{3} > 1\))

    роЗроЩ்роХு роЕро│ро╡ு роХாро░рогி 1-роР ро╡ிроЯрок் рокெро░ிропродு. роОройро╡ே, рокுродிроп рооுроХ்роХோрогроо் \(\Delta P'QR'\) роЖройродு роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ рооுроХ்роХோрогроо் \(\Delta PQR\)-роХ்роХு ро╡ெро│ிропே роЕрооைропுроо்.

    ро╡ро░ைрооுро▒ை:

    1. рооுродро▓ிро▓், роХொроЯுроХ்роХрок்рокроЯ்роЯ роЕро│ро╡ுроХро│ைроХ் роХொрог்роЯு \(\Delta PQR\) ро╡ро░ைроХ.
    2. PQ рооро▒்ро▒ுроо் QR рокроХ்роХроЩ்роХро│ை роиீроЯ்роЯி роХродிро░்роХро│ை ро╡ро░ைроХ.
    3. QR роОрой்ро▒ роХோроЯ்роЯுрод்родுрог்роЯிро▒்роХு роХீро┤், роХுро▒ுроЩ்роХோрогроо் роЙрог்роЯாроХுрооாро▒ு QX роОрой்ро▒ роХродிро░ை ро╡ро░ைроХ.
    4. роЕро│ро╡ு роХாро░рогி \(\frac{7}{3}\)-ро▓் рокெро░ிроп роОрог் 7 роОрой்рокродாро▓், QX роХродிро░ிро▓் роЪроо роЕро│ро╡ுро│்ро│ 7 ро╡ிро▒்роХро│ை ро╡ெроЯ்роЯுроХ. роЕро╡ро▒்ро▒ுроХ்роХு \(Q_1, Q_2, \dots, Q_7\) роОройрок் рокெропро░ிроЯுроХ.
    5. \(\frac{7}{3}\)-рой் рокроХுродி 3 роОрой்рокродாро▓், \(Q_3\) роР R роЙроЯрой் роЗрогைроХ்роХро╡ுроо். роЗрок்рокொро┤ுродு \(Q_3R\) роОрой்ро▒ роХோроЯு роХிроЯைроХ்роХுроо்.
    6. \(\frac{7}{3}\)-рой் родொроХுродி 7 роОрой்рокродாро▓், \(Q_7\) ро╡ро┤ிропே \(Q_3R\)-роХ்роХு роЗрогைропாроХ роТро░ு роХோроЯு ро╡ро░ைроХ. роЕродு роиீроЯ்роЯрок்рокроЯ்роЯ QR роХродிро░ை R' роОрой்ро▒ рокுро│்ро│ிропிро▓் роЪрои்родிроХ்роХроЯ்роЯுроо்.
    7. R'-ро▓ிро░ுрои்родு, PR-роХ்роХு роЗрогைропாроХ роТро░ு роХோроЯு ро╡ро░ைроХ. роЕродு роиீроЯ்роЯрок்рокроЯ்роЯ PQ роХродிро░ை P' роОрой்ро▒ рокுро│்ро│ிропிро▓் роЪрои்родிроХ்роХроЯ்роЯுроо்.
    8. \(\Delta P'QR'\) роОрой்рокродே роироороХ்роХுрод் родேро╡ைропாрой ро╡роЯிро╡ொрод்род рооுроХ்роХோрогроо் роЖроХுроо்.
*** роиро▓்ро╡ாро┤்род்родுроХ்роХро│்! ***