🧮 Maths Question Papers (EM & TM) 10th Standard - 1st Mid Term Exam 2024 - Original Question Papers & Answer Keys | Virudhunagar District

விருதுநகர் மாவட்டம் - முதல் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு 2024

வகுப்பு 10 | கணிதம் | மதிப்பெண்கள்: 50 | காலம்: 1.30 மணி

வினாத்தாள்

பகுதி I: சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக 7 x 1 = 7

1. \(n(A \times B) = 6\) மற்றும் \(A = \{1, 3\}\) எனில் \(n(B)\) ஆனது
   • a) 1
   • b) 2
   • c) 3
   • d) 6
2. \(f(x) = (x+1)^3 - (x-1)^3\) குறிப்பிடும் சார்பானது
   • a) நேரிய சார்பு
   • b) ஒரு கனச்சார்பு
   • c) தலைகீழ் சார்பு
   • d) இருபடிச்சார்பு
3. 1729 -ஐ பகாக் காரணிப்படுத்தும் போது, அந்தப் பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல்
   • a) 1
   • b) 2
   • c) 3
   • d) 4
4. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 6வது உறுப்பின் 6 மடங்கும் 7வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 13வது உறுப்பு
   • a) 0
   • b) 6
   • c) 7
   • d) 13
5. \(f : A \rightarrow B\) ஆனது இருபுறச்சார்பு மற்றும் \(n(B) = 7\) எனில் \(n(A)\) ஆனது
   • a) 7
   • b) 49
   • c) 1
   • d) 14
6. 1 முதல் 10 வரையுள்ள (இரண்டு எண்களும் உட்பட) அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண்
   • a) 2025
   • b) 5220
   • c) 5025
   • d) 2520
7. \(\frac{3}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, \dots\) என்ற தொடர் வரிசையின் அடுத்த உறுப்பு
   • a) \(\frac{1}{24}\)
   • b) \(\frac{1}{27}\)
   • c) \(\frac{2}{3}\)
   • d) \(\frac{1}{81}\)

பகுதி II: எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி (வினா எண் 14க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்) 5 x 2 = 10

8. \(B \times A = \{(-2, 3), (-2, 4), (0, 3), (0, 4), (3, 3), (3, 4)\}\) எனில் A மற்றும் B ஆகியவற்றைக் காண்க.
9. \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) மற்றும் \(f : A \rightarrow B\) என்ற சார்பானது \(f(x) = x^2 + x + 1\) மேல்சார்பு எனில், Bஐ காண்க.
10. \(10^4 \equiv x \pmod{19}\) என்றவாறு அமையும் x மதிப்பைக் கணக்கிடுக.
11. x, 10, y, 24, z என்பவை ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ளன எனில் x, y, z ஆகியவற்றின் மதிப்பு காண்க.
12. \(1+2+3+\dots+k = 325\) எனில் \(1^3+2^3+3^3+\dots+k^3\)-ன் மதிப்பு காண்க.
13. R என்ற ஒரு உறவு \(\{(x, y) / y = x+3, x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும் வீச்சகத்தையும் கண்டறிக.
14. \(3+1+\frac{1}{3}+\dots\) என்ற தொடரின் கூடுதல் காண்க.

பகுதி III: எவையேனும் ஐந்து வினாக்களுக்கு விடையளி (வினா எண் 21க்கு கட்டாயம் விடையளிக்கவும்) 5 x 5 = 25

15. A என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்களின் கணம், B என்பது 8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்களின் கணம் மற்றும், C என்பது இரட்டைப்படை பகா எண்களின் கணம் எனில், கீழ்க்கண்டவற்றைச் சரிபார்க்க: \((A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)\).
16. A = {1, 2, 3, 4} மற்றும் B = {2, 5, 8, 11, 14} என்பன இரு கணங்கள் என்க. \(f : A \rightarrow B\) எனும் சார்பு \(f(x) = 3x-1\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பினைக் கொண்டு (i) அம்புக்குறிபடம் (ii) அட்டவணை (iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம் (iv) வரைபடம் ஆகியவற்றைக் குறிக்க.
17. 600-க்கும் 800-க்கும் இடையே 11 ஆல் வகுபடும் அனைத்து இயல் எண்களின் கூடுதல் காண்க.
18. \(5+55+555+\dots\) என்ற தொடர் வரிசையின் முதல் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.
19. ரேகாவிடம் 10 செ.மீ, 11 செ.மீ, 12 செ.மீ, ...., 24 செ.மீ என்ற பக்க அளவுள்ள 15 சதுர வடிவ வண்ணக் காகிதங்கள் உள்ளன. இந்த வண்ணக் காகிதங்களைக் கொண்டு எவ்வளவு பரப்பை அடைத்து அலங்கரிக்க முடியும்?
20. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் 288 எனில், அந்த மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.
21. \(f(x) = x-4, g(x) = x^2\) மற்றும் \(h(x) = 3x-5\) எனில் \((fog)oh = fo(goh)\) என நிறுவுக.

பகுதி IV: பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்க 1 x 8 = 8

22) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQRக்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{7}{4}\) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac{7}{4} > 1\))

(அல்லது)

கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் LMNன் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{4}{5}\) என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி \(\frac{4}{5} < 1\))

---

விடைகள் மற்றும் தீர்வுகள்

பகுதி I: தீர்வுகள் 7 x 1 = 7

1. தீர்வு: கொடுக்கப்பட்டவை: \(n(A \times B) = 6\) மற்றும் \(A = \{1, 3\}\).
   இதிலிருந்து, \(n(A) = 2\).
   நமக்கு தெரியும், \(n(A \times B) = n(A) \times n(B)\).
   \(6 = 2 \times n(B)\)
   \(n(B) = \frac{6}{2} = 3\).

   விடை: c) 3
2. தீர்வு: \(f(x) = (x+1)^3 - (x-1)^3\).
   சூத்திரங்கள்: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) மற்றும் \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\).
   \(f(x) = (x^3 + 3x^2(1) + 3x(1)^2 + 1^3) - (x^3 - 3x^2(1) + 3x(1)^2 - 1^3)\)
   \(f(x) = (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)\)
   \(f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 + 3x^2 - 3x + 1\)
   \(f(x) = 6x^2 + 2\).
   இது x-ன் அடுக்கு 2 கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. எனவே, இது ஒரு இருபடிச்சார்பு ஆகும்.

   விடை: d) இருபடிச்சார்பு
3. தீர்வு: 1729-ஐ பகாக் காரணிப்படுத்த:
   \(1729 = 7 \times 247\)
   \(247 = 13 \times 19\)
   எனவே, \(1729 = 7^1 \times 13^1 \times 19^1\).
   பகா எண்களின் அடுக்குகளின் கூடுதல் = \(1 + 1 + 1 = 3\).

   விடை: c) 3
4. தீர்வு: கொடுக்கப்பட்டவை: \(6 \times t_6 = 7 \times t_7\).
   ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n-வது உறுப்பு: \(t_n = a + (n-1)d\).
   \(6(a + (6-1)d) = 7(a + (7-1)d)\)
   \(6(a + 5d) = 7(a + 6d)\)
   \(6a + 30d = 7a + 42d\)
   \(0 = 7a - 6a + 42d - 30d\)
   \(0 = a + 12d\).
   13வது உறுப்பு, \(t_{13} = a + (13-1)d = a + 12d\).
   எனவே, \(t_{13} = 0\).

   விடை: a) 0
5. தீர்வு: \(f : A \rightarrow B\) ஒரு இருபுறச்சார்பு (bijection) எனில், அது ஒன்றுக்கு-ஒன்றான மற்றும் மேல்சார்பு ஆகும்.
   ஒரு சார்பு இருபுறச்சார்பாக இருக்கவேண்டுமெனில், அதன் மதிப்பகம் மற்றும் துணை மதிப்பகத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமமாக இருக்க வேண்டும்.
   அதாவது, \(n(A) = n(B)\).
   இங்கு \(n(B) = 7\) எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.
   எனவே, \(n(A) = 7\).

   விடை: a) 7
6. தீர்வு: 1 முதல் 10 வரையுள்ள அனைத்து எண்களாலும் வகுபடும் மிகச்சிறிய எண் என்பது அந்த எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு (LCM) ஆகும்.
   LCM(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) -ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
   பகா காரணிகள்: \(1=1, 2=2, 3=3, 4=2^2, 5=5, 6=2 \times 3, 7=7, 8=2^3, 9=3^2, 10=2 \times 5\).
   ஒவ்வொரு பகா எண்ணின் உயர்ந்தபட்ச அடுக்கை எடுத்து பெருக்க வேண்டும்.
   LCM = \(2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 72 \times 35\).
   \(72 \times 35 = 2520\).

   விடை: d) 2520
7. தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட தொடர்: \(\frac{3}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{12}, \frac{1}{18}, \dots\)
   இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசையா (GP) என சரிபார்க்கலாம்.
   பொது விகிதம் \(r = \frac{t_2}{t_1} = \frac{1/8}{3/16} = \frac{1}{8} \times \frac{16}{3} = \frac{2}{3}\).
   \(\frac{t_3}{t_2} = \frac{1/12}{1/8} = \frac{1}{12} \times \frac{8}{1} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).
   ஆம், இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை.
   அடுத்த உறுப்பு = முந்தைய உறுப்பு \(\times r = t_4 \times r\).
   அடுத்த உறுப்பு = \(\frac{1}{18} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}\).

   விடை: b) \(\frac{1}{27}\)

பகுதி II: தீர்வுகள் 5 x 2 = 10

8. தீர்வு: கொடுக்கப்பட்ட கார்டீசியன் பெருக்கல் \(B \times A = \{(-2, 3), (-2, 4), (0, 3), (0, 4), (3, 3), (3, 4)\}\).
   \(B \times A\) இல், முதல் உறுப்புகளின் கணம் B ஆகவும், இரண்டாவது உறுப்புகளின் கணம் A ஆகவும் இருக்கும்.
   முதல் உறுப்புகள்: -2, 0, 3.
   இரண்டாவது உறுப்புகள்: 3, 4.

   \(A = \{3, 4\}\)
   \(B = \{-2, 0, 3\}\)
9. தீர்வு: \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\) மற்றும் \(f(x) = x^2 + x + 1\).
   \(f : A \rightarrow B\) ஒரு மேல்சார்பு (onto function) என்பதால், B கணமானது f-ன் வீச்சகத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.
   A-ல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் f-ன் மதிப்பைக் காண்போம்.

   • \(f(-2) = (-2)^2 + (-2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3\)
   • \(f(-1) = (-1)^2 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1\)
   • \(f(0) = 0^2 + 0 + 1 = 1\)
   • \(f(1) = 1^2 + 1 + 1 = 3\)
   • \(f(2) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7\)

   f-ன் வீச்சகம் = {1, 3, 7}.
   f ஒரு மேல்சார்பு என்பதால், B = வீச்சகம்.

   \(B = \{1, 3, 7\}\)
10. தீர்வு: \(10^4 \equiv x \pmod{19}\)
    \(10^2 = 100\).
    100-ஐ 19 ஆல் வகுத்தால், \(100 = 5 \times 19 + 5\). எனவே, \(10^2 \equiv 5 \pmod{19}\).
    இப்பொழுது, \(10^4 = (10^2)^2 \equiv 5^2 \pmod{19}\).
    \(10^4 \equiv 25 \pmod{19}\).
    25-ஐ 19 ஆல் வகுத்தால், \(25 = 1 \times 19 + 6\).
    எனவே, \(25 \equiv 6 \pmod{19}\).

    \(x = 6\)
11. தீர்வு: x, 10, y, 24, z ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் (AP) உள்ளன.
    \(t_2 = 10\), \(t_4 = 24\).
    பொது வித்தியாசம் d எனில், \(t_n = a + (n-1)d\).
    \(t_4 - t_2 = (a+3d) - (a+d) = 2d\).
    \(24 - 10 = 14\).
    \(2d = 14 \Rightarrow d = 7\).
    இப்பொழுது உறுப்புகளைக் காணலாம்:

    • \(x = t_1 = t_2 - d = 10 - 7 = 3\)
    • \(y = t_3 = t_2 + d = 10 + 7 = 17\)
    • \(z = t_5 = t_4 + d = 24 + 7 = 31\)

    x = 3, y = 17, z = 31
12. தீர்வு: முதல் k இயல் எண்களின் கூடுதல்: \(1+2+\dots+k = \frac{k(k+1)}{2}\).
    கொடுக்கப்பட்டவை: \(\frac{k(k+1)}{2} = 325\).
    முதல் k இயல் எண்களின் கணங்களின் கூடுதல்: \(1^3+2^3+\dots+k^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2\).
    எனவே, \(1^3+2^3+\dots+k^3 = (325)^2\).
    \(325^2 = 105625\).

    மதிப்பு = 105625
13. தீர்வு: உறவு R = \(\{(x, y) / y = x+3, x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}\).
    மதிப்பகம்: x-ன் சாத்தியமான மதிப்புகளின் கணம்.
    மதிப்பகம் = \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\).
    வீச்சகம்: y-ன் மதிப்புகளின் கணம்.

    • \(x=0 \Rightarrow y=0+3=3\)
    • \(x=1 \Rightarrow y=1+3=4\)
    • \(x=2 \Rightarrow y=2+3=5\)
    • \(x=3 \Rightarrow y=3+3=6\)
    • \(x=4 \Rightarrow y=4+3=7\)
    • \(x=5 \Rightarrow y=5+3=8\)

    வீச்சகம் = \(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\).

    மதிப்பகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
14. தீர்வு (கட்டாய வினா): தொடர்: \(3+1+\frac{1}{3}+\dots\).
    இது ஒரு முடிவிலி பெருக்குத்தொடர் (Infinite GP).
    முதல் உறுப்பு \(a = 3\).
    பொது விகிதம் \(r = \frac{1}{3}\).
    \(-1 < r < 1\) என்பதால், இதன் கூடுதல் காண இயலும்.
    சூத்திரம்: \(S_\infty = \frac{a}{1-r}\).
    \(S_\infty = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{\frac{2}{3}} = 3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\).

    கூடுதல் = \(\frac{9}{2}\)

பகுதி III: தீர்வுகள் 5 x 5 = 25

15. தீர்வு: கணங்களைக் கண்டறிதல்:

    • A = 8-ஐ விடக் குறைவான இயல் எண்கள் = \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)
    • B = 8-ஐ விடக் குறைவான பகா எண்கள் = \(\{2, 3, 5, 7\}\)
    • C = இரட்டைப்படை பகா எண் = \(\{2\}\)

    சரிபார்க்க வேண்டியது: \((A \cap B) \times C = (A \times C) \cap (B \times C)\).
    இடது கை பக்கம் (LHS):
    \(A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \cap \{2, 3, 5, 7\} = \{2, 3, 5, 7\}\).
    \((A \cap B) \times C = \{2, 3, 5, 7\} \times \{2\} = \{(2, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)\}\). -- (1)
    வலது கை பக்கம் (RHS):
    \(A \times C = \{1,..,7\} \times \{2\} = \{(1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2), (7,2)\}\).
    \(B \times C = \{2, 3, 5, 7\} \times \{2\} = \{(2, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)\}\).
    \((A \times C) \cap (B \times C) = \{(2, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)\}\). -- (2)
    (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS.

    சரிபார்க்கப்பட்டது.
16. தீர்வு: \(A = \{1, 2, 3, 4\}\), \(B = \{2, 5, 8, 11, 14\}\), \(f(x) = 3x-1\).
    \(f(1) = 3(1)-1=2\), \(f(2) = 3(2)-1=5\), \(f(3) = 3(3)-1=8\), \(f(4) = 3(4)-1=11\).
    (i) அம்புக்குறிபடம்:
    (A என்ற வட்டத்திலிருந்து B என்ற வட்டத்திற்கு அம்புக்குறிகள் வரையப்பட வேண்டும்: 1→2, 2→5, 3→8, 4→11)
    
    (ii) அட்டவணை:

    x	f(x)
    1	2
    2	5
    3	8
    4	11

    
    (iii) வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:
    \(f = \{(1, 2), (2, 5), (3, 8), (4, 11)\}\)
    (iv) வரைபடம்:
    (ஒரு வரைபடத்தில் (1,2), (2,5), (3,8), (4,11) ஆகிய புள்ளிகள் குறிக்கப்பட வேண்டும்.)
    
17. தீர்வு: 600-க்கும் 800-க்கும் இடையே 11 ஆல் வகுபடும் எண்களைக் கண்டறிய வேண்டும்.
    முதல் எண்: 600-ஐ 11 ஆல் வகுத்தால் மீதி 6. \(600-6+11 = 605\). So, \(a = 605\).
    கடைசி எண்: 800-ஐ 11 ஆல் வகுத்தால் மீதி 8. \(800-8 = 792\). So, \(l = 792\).
    இது ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசை: \(a=605, d=11, l=792\).
    உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை (n): \(n = \frac{l-a}{d} + 1\).
    \(n = \frac{792-605}{11} + 1 = \frac{187}{11} + 1 = 17 + 1 = 18\).
    கூடுதல் (S_n): \(S_n = \frac{n}{2}(a+l)\).
    \(S_{18} = \frac{18}{2}(605+792) = 9(1397)\).
    \(9 \times 1397 = 12573\).

    கூடுதல் = 12573
18. தீர்வு: \(S_n = 5+55+555+\dots\) n உறுப்புகள் வரை.
    \(S_n = 5(1+11+111+\dots)\)
    \(S_n = \frac{5}{9}(9+99+999+\dots)\)
    \(S_n = \frac{5}{9}((10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots)\)
    \(S_n = \frac{5}{9}((10+10^2+10^3+\dots) - (1+1+1+\dots))\)
    முதல் பகுதி ஒரு பெருக்குத்தொடர் \(a=10, r=10\).
    \(S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10(10^n-1)}{10-1} - n \right]\)
    \(S_n = \frac{5}{9} \left[ \frac{10}{9}(10^n-1) - n \right]\)

    \(S_n = \frac{50}{81}(10^n-1) - \frac{5n}{9}\)
19. தீர்வு: அலங்கரிக்க வேண்டிய மொத்த பரப்பு என்பது சதுரங்களின் பரப்புகளின் கூடுதலாகும்.
    பக்க அளவுகள்: 10, 11, 12, ..., 24 செ.மீ.
    மொத்த பரப்பு = \(10^2 + 11^2 + 12^2 + \dots + 24^2\).
    இதை \((1^2 + 2^2 + \dots + 24^2) - (1^2 + 2^2 + \dots + 9^2)\) என எழுதலாம்.
    சூத்திரம்: \(\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).
    \(\sum_{k=1}^{24} k^2 = \frac{24(25)(49)}{6} = 4 \times 25 \times 49 = 100 \times 49 = 4900\).
    \(\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = 3 \times 5 \times 19 = 285\).
    மொத்த பரப்பு = \(4900 - 285 = 4615\).

    மொத்த பரப்பு = 4615 செ.மீ²
20. தீர்வு: கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் மூன்று அடுத்தடுத்த உறுப்புகளை \(a-d, a, a+d\) என கொள்க.
    கூடுதல்: \((a-d) + a + (a+d) = 27 \Rightarrow 3a = 27 \Rightarrow a = 9\).
    பெருக்கற்பலன்: \((a-d)(a)(a+d) = 288\).
    a-ன் மதிப்பை பிரதியிட: \((9-d)(9)(9+d) = 288\).
    \((9-d)(9+d) = \frac{288}{9} = 32\).
    \(9^2 - d^2 = 32 \Rightarrow 81 - d^2 = 32\).
    \(d^2 = 81 - 32 = 49\).
    \(d = \pm 7\).
    d=7 எனில், உறுப்புகள்: \(9-7, 9, 9+7 \Rightarrow 2, 9, 16\).
    d=-7 எனில், உறுப்புகள்: \(9-(-7), 9, 9-7 \Rightarrow 16, 9, 2\).

    அந்த மூன்று உறுப்புகள் 2, 9, 16.
21. தீர்வு (கட்டாய வினா): \(f(x) = x-4, g(x) = x^2, h(x) = 3x-5\).
    \((fog)oh = fo(goh)\) என நிறுவ வேண்டும்.
    LHS = (fog)oh
    \(fog(x) = f(g(x)) = f(x^2) = x^2 - 4\).
    \((fog)oh(x) = (fog)(h(x)) = (fog)(3x-5)\).
    \(= (3x-5)^2 - 4 = (9x^2 - 30x + 25) - 4 = 9x^2 - 30x + 21\). --- (1)
    RHS = fo(goh)
    \(goh(x) = g(h(x)) = g(3x-5) = (3x-5)^2\).
    \(fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f((3x-5)^2)\).
    \(= (3x-5)^2 - 4 = (9x^2 - 30x + 25) - 4 = 9x^2 - 30x + 21\). --- (2)
    (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS.

    நிரூபிக்கப்பட்டது.

பகுதி IV: தீர்வுகள் 1 x 8 = 8

22. தீர்வு: (வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல்)
    வினா 1: ΔPQR -க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{7}{4}\) என அமைத்தல். (அளவு காரணி > 1)

    வரைமுறை:

    1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔPQR வரைக.
    2. QR என்ற பக்கத்திற்கு கீழ், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
    3. QX கதிரில் \(Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6, Q_7\) என 7 சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக. (\(\frac{7}{4}\) இல் பெரிய எண் 7)
    4. \(Q_4R\) -ஐ இணைக்கவும். (\(\frac{7}{4}\) இல் சிறிய எண் 4)
    5. \(Q_7\) லிருந்து \(Q_4R\)-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது QR-ன் நீட்சியான பகுதியை R' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
    6. R' லிருந்து PR-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது QP-ன் நீட்சியான பகுதியை P' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
    7. ΔP'QR' என்பதே தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔPQR-ன் பக்கங்களைப் போல \(\frac{7}{4}\) மடங்கு இருக்கும்.

    (அல்லது)

    வினா 2: ΔLMN -க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் \(\frac{4}{5}\) என அமைத்தல். (அளவு காரணி < 1)

    வரைமுறை:

    1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு ΔLMN வரைக.
    2. LM என்ற பக்கத்திற்கு கீழ், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு LX என்ற கதிரை வரைக.
    3. QX கதிரில் \(L_1, L_2, L_3, L_4, L_5\) என 5 சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக. (\(\frac{4}{5}\) இல் பெரிய எண் 5)
    4. \(L_5M\) -ஐ இணைக்கவும். (\(\frac{4}{5}\) இல் பகுதி 5)
    5. \(L_4\) லிருந்து \(L_5M\)-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது LM-ஐ M' இல் சந்திக்குமாறு வரைக. (\(\frac{4}{5}\) இல் தொகுதி 4)
    6. M' லிருந்து MN-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து, அது LN-ஐ N' இல் சந்திக்குமாறு வரைக.
    7. ΔLM'N' என்பதே தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். இதன் பக்கங்கள் ΔLMN-ன் பக்கங்களைப் போல \(\frac{4}{5}\) மடங்கு இருக்கும்.

    குறிப்பு: மாணவர்கள் இந்த வரைபடங்களை வடிவியல் கருவிகளைப் பயன்படுத்தி துல்லியமாக வரைய வேண்டும்.