🧮 Maths Question Papers (EM & TM) 10th Standard - 1st Mid Term Exam 2024 - Original Question Papers & Answer Keys 1st Mid Term Test 2024 - Original Question Paper | Tenkasi District |(Tamil Medium)

தென்காசி மாவட்டம்

முதல் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024

வகுப்பு 10 - கணிதம்

காலம்: 1.30 மணி TS10M மதிப்பெண்கள்: 50

பகுதி - அ 7 x 1 = 7

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

1)

A = {1, 2, 3, 4, 5} -லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில் B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை:

• a) 3
• b) 2
• c) 4
• d) 8

2)

{(a, 8), (6, b)} ஆனது ஒரு சமனிச்சார்பு எனில், a மற்றும் b மதிப்புகளாவன முறையே:

• a) (8, 6)
• b) (8, 8)
• c) (6, 8)
• d) (6, 6)

3)

$f(x) = 2x^2$ மற்றும் $g(x) = \frac{1}{3x}$ எனில் $f \omicron g$ ஆனது:

• a) $\frac{3}{2x^2}$
• b) $\frac{2}{3x^2}$
• c) $\frac{2}{9x^2}$
• d) $\frac{1}{6x^2}$

4)

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தையும் 9-ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள்:

• a) 0, 1, 8
• b) 1, 4, 8
• c) 0, 1, 3
• d) 1, 3, 5

5)

ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 6-வது உறுப்பின் 6 மடங்கும், 7வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 13-வது உறுப்பு:

• a) 0
• b) 6
• c) 7
• d) 13

6)

$(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 15^3) - (1 + 2 + 3 + \dots + 15)$-யின் மதிப்பு:

• a) 14400
• b) 14200
• c) 14280
• d) 14520

7)

$xy - 7 = 3$ என்பது:

• a) நேரிய சமன்பாடு
• b) வட்டத்தின் சமன்பாடு
• c) முப்படிச் சமன்பாடு
• d) நேரியச் சமன்பாடு அல்ல

பகுதி - ஆ 5 x 2 = 10

எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண் 14-க்கு கண்டிப்பாக விடையளிக்கவும்.

8)

R என்ற உறவு $\{(x, y) / y = x+3, x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் காண்க.

9)

$f(x) = x-6$ மற்றும் $g(x) = x^2$ எனில் $f \omicron g$-ஐக் காண்க.

10)

$f(x) = 2x - x^2$ எனில் (i) $f(1)$ (ii) $f(2)$ ஆகியவற்றைக் காண்க.

11)

32 மற்றும் 60 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொதுவகுத்தி d என்க. $d = 32x + 60y$ எனில் x மற்றும் y என்ற முழுக்களைக் காண்க.

12)

$16, 11, 6, 1, \dots$ என்ற கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் -54 என்பது எத்தனையாவது உறுப்பு எனக் காண்க.

13)

$9+3+1+\dots$ என்ற முடிவுறா தொடர்களின் கூடுதல் காண்க.

14)

$x+y = 5$ மற்றும் $x-y = 1$ - ஐ தீர்க்க.

பகுதி - இ 5 x 5 = 25

எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். வினா எண் 21-க்கு கண்டிப்பாக விடையளிக்கவும்.

15)

$A = \{x \in W \mid x < 2\}$, $B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\}$ மற்றும் $C = \{3, 5\}$ எனில், $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

16)

$f(x) = 2x+3$, $g(x) = 1-2x$ மற்றும் $h(x) = 3x$ எனில் $f \omicron (g \omicron h) = (f \omicron g) \omicron h$ என்பதைச் சரிபார்க்கவும்.

17)

ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அதன் பெருக்கற்பலன் 288 எனில் அம்மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

18)

வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ABC மற்றும் PQR-ன் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். PQ = 10 செ.மீ எனில் AB-ஐக் காண்க.

19)

$5+55+555+\dots$ என்ற தொடர்வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

20)

தீர்க்க: $3x-2y+z = 2$, $2x+3y-z = 5$, $x+y+z = 6$.

21)

கூடுதல் காண்க: $6^2+7^2+8^2+\dots+21^2$.

பகுதி - ஈ 1 x 8 = 8

பின்வரும் வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும்.

22)

a) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{3}{5}$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{3}{5} < 1$).

( அல்லது )

b) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$).

விடைகள்

பகுதி - அ சரியான விடை

1) விடை

கணக்குப்படி, $n(A) = 5$. A-லிருந்து B-க்கு உள்ள உறவுகளின் எண்ணிக்கை $2^{n(A) \times n(B)}$.

கொடுக்கப்பட்ட உறவுகளின் எண்ணிக்கை = 1024.

நமக்குத் தெரியும், $1024 = 2^{10}$.

எனவே, $2^{n(A) \times n(B)} = 2^{10}$.

$n(A) \times n(B) = 10 \implies 5 \times n(B) = 10 \implies n(B) = \frac{10}{5} = 2$.

சரியான விடை: b) 2

2) விடை

சமனிச்சார்பு என்பது $f(x) = x$ என வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதனுடனேயே தொடர்புபடுத்தப்படும்.

கொடுக்கப்பட்ட உறவு: $\{(a, 8), (6, b)\}$.

$(a, 8)$ ஒரு சமனிச்சார்பின் உறுப்பு என்பதால், $a = 8$.

$(6, b)$ ஒரு சமனிச்சார்பின் உறுப்பு என்பதால், $b = 6$.

சரியான விடை: a) (8, 6)

3) விடை

கொடுக்கப்பட்டவை: $f(x) = 2x^2$ மற்றும் $g(x) = \frac{1}{3x}$.

நாம் $f \omicron g$ ஐக் கண்டறிய வேண்டும்.

$f \omicron g (x) = f(g(x))$

$= f\left(\frac{1}{3x}\right)$

$= 2\left(\frac{1}{3x}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{9x^2}\right)$

$= \frac{2}{9x^2}$

சரியான விடை: c) $\frac{2}{9x^2}$

4) விடை

யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தின்படி, எந்த ஒரு மிகை முழு எண்ணையும் $3k$, $3k+1$ அல்லது $3k+2$ என்ற வடிவில் எழுதலாம்.

நிலை 1: $(3k)^3 = 27k^3 = 9(3k^3)$. 9-ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 0.

நிலை 2: $(3k+1)^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 9(3k^3 + 3k^2 + k) + 1$. 9-ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 1.

நிலை 3: $(3k+2)^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 = 9(3k^3 + 6k^2 + 4k) + 8$. 9-ஆல் வகுக்கும்போது மீதி 8.

எனவே, சாத்தியமான மீதிகள் 0, 1, மற்றும் 8 ஆகும்.

சரியான விடை: a) 0, 1, 8

5) விடை

ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் n-வது உறுப்பு $T_n = a + (n-1)d$.

கணக்குப்படி, $6 \times T_6 = 7 \times T_7$.

$6(a + (6-1)d) = 7(a + (7-1)d)$

$6(a+5d) = 7(a+6d)$

$6a + 30d = 7a + 42d$

$0 = (7a-6a) + (42d-30d) \implies 0 = a + 12d$.

13-வது உறுப்பு, $T_{13} = a + (13-1)d = a + 12d$.

மேற்கண்ட சமன்பாட்டிலிருந்து, $a+12d=0$. எனவே, $T_{13}=0$.

சரியான விடை: a) 0

6) விடை

முதல் n இயல் எண்களின் கணங்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$.

முதல் n இயல் எண்களின் கூடுதல் சூத்திரம்: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.

இங்கே $n=15$.

$\sum_{k=1}^{15} k = \frac{15(15+1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 15 \times 8 = 120$.

$\sum_{k=1}^{15} k^3 = (120)^2 = 14400$.

தேவையான மதிப்பு = $(1^3 + \dots + 15^3) - (1 + \dots + 15) = 14400 - 120 = 14280$.

சரியான விடை: c) 14280

7) விடை

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு: $xy - 7 = 3 \implies xy = 10$.

ஒரு நேரிய சமன்பாடு $ax+by+c=0$ என்ற வடிவில் இருக்கும், இங்கு $x$ மற்றும் $y$-ன் அடுக்கு 1 ஆக இருக்க வேண்டும்.

இங்கு $xy$ என்ற உறுப்பு உள்ளது. இதில் மாறிகளின் மொத்த அடுக்கு $1+1=2$.

எனவே, यह ஒரு நேரிய சமன்பாடு அல்ல. (இது ஒரு செவ்வக அதிபரவளையத்தின் சமன்பாடு ஆகும்).

சரியான விடை: d) நேரியச் சமன்பாடு அல்ல

பகுதி - ஆ விரிவான விடை

8) விடை

R-ன் மதிப்பகம் மற்றும் வீச்சகம் காணுதல்

கொடுக்கப்பட்ட உறவு: $R = \{(x, y) / y = x+3, x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}$.

ஒவ்வொரு $x$ மதிப்பிற்கும் $y$-ன் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

• $x=0$ எனில், $y = 0+3 = 3$
• $x=1$ எனில், $y = 1+3 = 4$
• $x=2$ எனில், $y = 2+3 = 5$
• $x=3$ எனில், $y = 3+3 = 6$
• $x=4$ எனில், $y = 4+3 = 7$
• $x=5$ எனில், $y = 5+3 = 8$

உறவின் வரிசைச் சோடிகள்: $R = \{(0, 3), (1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)\}$.

மதிப்பகம் என்பது வரிசைச் சோடிகளின் முதல் உறுப்புகளின் கணம். வீச்சகம் என்பது இரண்டாம் உறுப்புகளின் கணம்.

மதிப்பகம் = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
வீச்சகம் = {3, 4, 5, 6, 7, 8}

9) விடை

$f \omicron g$ ஐக் காணுதல்

கொடுக்கப்பட்டவை: $f(x) = x-6$ மற்றும் $g(x) = x^2$.

$f \omicron g(x) = f(g(x))$

$= f(x^2)$

$= x^2 - 6$

$f \omicron g(x) = x^2 - 6$

10) விடை

$f(x) = 2x - x^2$ -ன் மதிப்புகளைக் காணுதல்

(i) $f(1)$ ஐக் காணுதல்:
$f(x) = 2x - x^2$
$f(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$

(ii) $f(2)$ ஐக் காணுதல்:
$f(x) = 2x - x^2$
$f(2) = 2(2) - (2)^2 = 4 - 4 = 0$

(i) $f(1) = 1$
(ii) $f(2) = 0$

11) விடை

$x$ மற்றும் $y$ முழுக்களைக் காணுதல்

முதலில் 32 மற்றும் 60-ன் மீ.பொ.வ (d) -ஐ யூக்ளிடின் வகுத்தல் முறைப்படி காண்போம்.

$60 = 1 \times 32 + 28$

$32 = 1 \times 28 + 4$

$28 = 7 \times 4 + 0$

மீதி 0 என்பதால், மீ.பொ.வ $d=4$.

இப்போது, $d = 32x + 60y$ என எழுத வேண்டும். பின்னோக்கிச் செல்வோம்:

$4 = 32 - 1 \times 28$

$4 = 32 - 1 \times (60 - 1 \times 32)$ (28-ன் மதிப்பை பிரதியிட)

$4 = 32 - 1 \times 60 + 1 \times 32$

$4 = (1+1) \times 32 + (-1) \times 60$

$4 = 2 \times 32 + (-1) \times 60$

இதை $d = 32x + 60y$ உடன் ஒப்பிடும்போது, $x=2$ மற்றும் $y=-1$.

$x = 2, y = -1$

12) விடை

-54 எத்தனையாவது உறுப்பு எனக் காணுதல்

கொடுக்கப்பட்ட கூட்டுத்தொடர் வரிசை: $16, 11, 6, 1, \dots$

முதல் உறுப்பு, $a = 16$.

பொது வித்தியாசம், $d = 11 - 16 = -5$.

n-வது உறுப்பு $T_n = -54$ என்க.

சூத்திரம்: $T_n = a + (n-1)d$.

$-54 = 16 + (n-1)(-5)$

$-54 - 16 = (n-1)(-5)$

$-70 = (n-1)(-5)$

$n-1 = \frac{-70}{-5} = 14$

$n = 14 + 1 = 15$

-54 என்பது 15-வது உறுப்பு ஆகும்.

13) விடை

முடிவுறா தொடரின் கூடுதல் காணுதல்

கொடுக்கப்பட்ட தொடர்: $9+3+1+\dots$ இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை.

முதல் உறுப்பு, $a = 9$.

பொது விகிதம், $r = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

இங்கு $|r| = |\frac{1}{3}| < 1$ என்பதால், முடிவுறா தொடரின் கூடுதல் காணலாம்.

சூத்திரம்: $S_\infty = \frac{a}{1-r}$.

$S_\infty = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = 9 \times \frac{3}{2} = \frac{27}{2}$.

கூடுதல் = $\frac{27}{2}$ அல்லது 13.5.

14) விடை

சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:

$x+y = 5$ ---(1)

$x-y = 1$ ---(2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) ஐக் கூட்டவும்:

$(x+y) + (x-y) = 5 + 1$

$2x = 6 \implies x = 3$.

$x=3$ என்பதை சமன்பாடு (1)-ல் பிரதியிட:

$3 + y = 5 \implies y = 5 - 3 \implies y = 2$.

தீர்வு: $x = 3, y = 2$

பகுதி - இ விரிவான விடை

15) விடை

$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ என்பதை சரிபார்த்தல்

முதலில் கணங்களை பட்டியலிடுவோம்:

• $A = \{x \in W \mid x < 2\} = \{0, 1\}$ (W - முழு எண்கள்)
• $B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\} = \{2, 3, 4\}$ (N - இயல் எண்கள்)
• $C = \{3, 5\}$

இடது கை பக்கம் (LHS): $A \times (B \cup C)$
$B \cup C = \{2, 3, 4\} \cup \{3, 5\} = \{2, 3, 4, 5\}$
$A \times (B \cup C) = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4, 5\}$
$A \times (B \cup C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$ ---(1)

வலது கை பக்கம் (RHS): $(A \times B) \cup (A \times C)$
$A \times B = \{0, 1\} \times \{2, 3, 4\} = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}$
$A \times C = \{0, 1\} \times \{3, 5\} = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}$
$(A \times B) \cup (A \times C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\} \cup \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}$
$(A \times B) \cup (A \times C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$ ---(2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS.

எனவே, $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ சரிபார்க்கப்பட்டது.

16) விடை

$f \omicron (g \omicron h) = (f \omicron g) \omicron h$ என்பதை சரிபார்த்தல்

கொடுக்கப்பட்டவை: $f(x) = 2x+3$, $g(x) = 1-2x$, $h(x) = 3x$.

இடது கை பக்கம் (LHS): $f \omicron (g \omicron h)$
முதலில் $g \omicron h(x)$ காண்போம்:
$g \omicron h(x) = g(h(x)) = g(3x) = 1 - 2(3x) = 1 - 6x$.
இப்போது $f \omicron (g \omicron h)(x)$ காண்போம்:
$f(g \omicron h(x)) = f(1 - 6x) = 2(1 - 6x) + 3 = 2 - 12x + 3 = 5 - 12x$. ---(1)

வலது கை பக்கம் (RHS): $(f \omicron g) \omicron h$
முதலில் $f \omicron g(x)$ காண்போம்:
$f \omicron g(x) = f(g(x)) = f(1-2x) = 2(1-2x) + 3 = 2 - 4x + 3 = 5 - 4x$.
இப்போது $(f \omicron g) \omicron h(x)$ காண்போம்:
$(f \omicron g)(h(x)) = (f \omicron g)(3x) = 5 - 4(3x) = 5 - 12x$. ---(2)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (2) லிருந்து, LHS = RHS.

எனவே, $f \omicron (g \omicron h) = (f \omicron g) \omicron h$ சரிபார்க்கப்பட்டது.

17) விடை

கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் மூன்று உறுப்புகளைக் காணுதல்

கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் உள்ள மூன்று உறுப்புகளை $a-d, a, a+d$ என்க.

உறுப்புகளின் கூடுதல்:
$(a-d) + a + (a+d) = 27$
$3a = 27 \implies a = 9$.

உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலன்:
$(a-d) \times a \times (a+d) = 288$
$(9-d) \times 9 \times (9+d) = 288$
$(9-d)(9+d) = \frac{288}{9} = 32$
$9^2 - d^2 = 32 \implies 81 - d^2 = 32$
$d^2 = 81 - 32 = 49 \implies d = \pm\sqrt{49} = \pm 7$.

நிலை 1: $d=7$ எனில்,
உறுப்புகள்: $(9-7), 9, (9+7) \implies 2, 9, 16$.

நிலை 2: $d=-7$ எனில்,
உறுப்புகள்: $(9-(-7)), 9, (9-7) \implies 16, 9, 2$.

தேவையான மூன்று உறுப்புகள் 2, 9, 16.

18) விடை

AB-யின் நீளம் காணுதல்

வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, அவற்றின் சுற்றளவுகளின் விகிதமானது ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம்.

$\frac{\text{சுற்றளவு}(\triangle ABC)}{\text{சுற்றளவு}(\triangle PQR)} = \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP}$

கொடுக்கப்பட்டவை: சுற்றளவு(ABC) = 36 செ.மீ, சுற்றளவு(PQR) = 24 செ.மீ, PQ = 10 செ.மீ.

$\frac{36}{24} = \frac{AB}{10}$

$\frac{3}{2} = \frac{AB}{10}$

$AB = \frac{3 \times 10}{2} = 15$

AB-யின் நீளம் 15 செ.மீ.

19) விடை

$5+55+555+\dots$ தொடரின் n உறுப்புகளின் கூடுதல்

$S_n = 5+55+555+\dots+ n$ உறுப்புகள் வரை.

$S_n = 5(1+11+111+\dots)$

9 ஆல் பெருக்கி வகுக்க:

$S_n = \frac{5}{9}(9+99+999+\dots)$

$S_n = \frac{5}{9}((10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots)$

$S_n = \frac{5}{9}((10+10^2+10^3+\dots) - (1+1+1+\dots n \text{ முறை}))$

இதில் $(10+10^2+\dots)$ என்பது ஒரு பெருக்குத்தொடர். முதல் உறுப்பு $a=10$, பொது விகிதம் $r=10$.
கூடுதல் = $a\frac{r^n-1}{r-1} = 10\frac{10^n-1}{10-1} = \frac{10(10^n-1)}{9}$.

பிரதியிட:

$S_n = \frac{5}{9}\left[\frac{10(10^n-1)}{9} - n\right]$

$S_n = \frac{50}{81}(10^n-1) - \frac{5n}{9}$

20) விடை

மூன்று மாறிகளில் அமைந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்:

1. $3x-2y+z = 2$
2. $2x+3y-z = 5$
3. $x+y+z = 6$

சமன்பாடு (1) + (2):
$(3x-2y+z) + (2x+3y-z) = 2+5$
$5x+y=7$ --- (4)

சமன்பாடு (2) + (3):
$(2x+3y-z) + (x+y+z) = 5+6$
$3x+4y=11$ --- (5)

சமன்பாடு (4) -ஐ 4 ஆல் பெருக்க: $20x+4y=28$ --- (6)

சமன்பாடு (6) - (5):
$(20x+4y) - (3x+4y) = 28-11$
$17x = 17 \implies x=1$.

$x=1$ என சமன்பாடு (4)-ல் பிரதியிட:
$5(1)+y = 7 \implies y = 7-5 = 2$.

$x=1, y=2$ என சமன்பாடு (3)-ல் பிரதியிட:
$1+2+z = 6 \implies 3+z=6 \implies z=3$.

தீர்வு: $x=1, y=2, z=3$

21) விடை

கூடுதல் காண்க: $6^2+7^2+\dots+21^2$

சூத்திரம்: $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

$6^2+7^2+\dots+21^2 = (1^2+2^2+\dots+21^2) - (1^2+2^2+\dots+5^2)$

$\sum_{k=1}^{21} k^2 = \frac{21(21+1)(2 \times 21+1)}{6} = \frac{21 \times 22 \times 43}{6} = 7 \times 11 \times 43 = 3311$.

$\sum_{k=1}^{5} k^2 = \frac{5(5+1)(2 \times 5+1)}{6} = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = 55$.

தேவையான கூடுதல் = $3311 - 55 = 3256$.

கூடுதல் = 3256

பகுதி - ஈ வரைமுறை

22) விடை

வடிவொத்த முக்கோணம் வரைதல்

குறிப்பு: இது வரைமுறை என்பதால், செய்முறைப் படிகள் மட்டும் இங்கு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

a) அளவு காரணி $\frac{3}{5} < 1$

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு $\triangle PQR$ வரைக.
2. QR என்ற பக்கத்தில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
3. QX கதிரில், அளவு காரணியின் பின்னத்தில் பெரிய எண்ணான 5 சம அளவுள்ள விற்களை ($Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5$) வரைக.
4. $Q_5$ மற்றும் R-ஐ இணைக்க.
5. அளவு காரணியின் பின்னத்தில் சிறிய எண்ணான 3-க்குரிய புள்ளி $Q_3$-லிருந்து $Q_5R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QR-ஐ R' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
6. R' லிருந்து RP-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QP-ஐ P' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
7. $\triangle P'QR'$ என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.

b) அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$

1. ஏதேனும் ஓர் அளவைக் கொண்டு $\triangle ABC$ வரைக.
2. BC என்ற பக்கத்தில், குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு BX என்ற கதிரை வரைக.
3. BX கதிரில், அளவு காரணியின் பின்னத்தில் பெரிய எண்ணான 7 சம அளவுள்ள விற்களை ($B_1, B_2, \dots, B_7$) வரைக.
4. அளவு காரணியின் பின்னத்தில் சிறிய எண்ணான 3-க்குரிய புள்ளி $B_3$-ஐ C உடன் இணைக்க.
5. பெரிய எண்ணான 7-க்குரிய புள்ளி $B_7$-லிருந்து $B_3C$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட BC-ஐ C' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
6. C' லிருந்து CA-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட BA-ஐ A' என்ற புள்ளியில் சந்திக்கட்டும்.
7. $\triangle A'BC'$ என்பது தேவையான வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும்.