9th Standard Maths | கணிதம் - First Mid Term Exam 2025 - Question Papers, Answer Keys Official Original QP (TM) | Tiruppur District

9 ஆம் வகுப்பு கணிதம் - முதல் இடைப்பருவத் தேர்வு 2024 | தீர்வுகள்

முதல் இடைப்பருவத் தேர்வு – 2024

9 ஆம் வகுப்பு - கணிதம் | வினாத்தாள் மற்றும் முழுமையான தீர்வுகள்

வினாத்தாள்

காலம்: 1.30 மணி | மதிப்பெண்கள்: 50

பகுதி - I (10x1=10)

அனைத்து வினாக்களுக்கும் விடையளி. சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக.

  1. கணம் P = {x | x ∈ Z, -1 < x < 1} என்பது
    a) ஒருறுப்புக் கணம் b) அடுக்குக் கணம் c) வெற்றுக்கணம் d) உட்கணம்
  2. U = {x | x ∈ N, x < 10} மற்றும் A = {x | x ∈ N, 2 ≤ x < 6} எனில் (A')' என்பது
    a) {1,6,7,8,9} b) {1,2,3,4} c) {2,3,4,5} d) { }
  3. கணம் A = {x,y,z} எனில் A இன் வெற்றுக் கணமில்லாத உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை
    a) 8 b) 5 c) 6 d) 7
  4. A ∪ B = A ∩ B எனில்
    a) A ≠ B b) A = B c) A ⊂ B d) B ⊂ A
  5. B - A என்பது B, எனில் A ∩ B என்பது
    a) A b) B c) U d) ϕ
  6. பின்வருவனவற்றுள் எது விகிதமுறா எண்?
    a) \( \sqrt{25} \) b) \( \sqrt{\frac{9}{4}} \) c) \( \frac{7}{11} \) d) π
  7. 2 மற்றும் 2.5 என்ற எண்களுக்கிடையே உள்ள ஒரு விகிதமுறா எண்
    a) \( \sqrt{11} \) b) \( \sqrt{5} \) c) \( \sqrt{2.5} \) d) \( \sqrt{8} \)
  8. \( \frac{1}{7} = 0.\overline{142857} \) எனில் \( \frac{5}{7} \)-ன் மதிப்பு என்ன?
    a) \( 0.\overline{142857} \) b) \( 0.\overline{714285} \) c) \( 0.\overline{571428} \) d) \( 0.714285 \)
  9. \( \sqrt{27} + \sqrt{12} = \) ?
    a) \( \sqrt{39} \) b) \( 5\sqrt{6} \) c) \( 5\sqrt{3} \) d) \( 3\sqrt{5} \)
  10. \( 4\sqrt{7} \times 2\sqrt{3} = \) ?
    a) \( 6\sqrt{10} \) b) \( 8\sqrt{21} \) c) \( 8\sqrt{10} \) d) \( 6\sqrt{21} \)

பகுதி - II (10x2=20)

எவையேனும் 10 வினாக்களுக்கு மட்டும் விடையளி.

  1. பின்வரும் சொற்களிலுள்ள எழுத்துக்களின் கணத்தைப் பட்டியல் முறையில் எழுதுக: a) INDIA b) MISSISSIPPI
  2. பின்வரும் கணங்களைப் பட்டியல் முறையில் எழுதுக:
    a) A = {20-க்கும் குறைவான இரட்டைப்படை இயல் எண்களின் கணம்}
    b) B = {x | x ∈ Z, -5 < x < 2}
  3. A = {1, 2, 3} எனில் A-ன் அடுக்குக் கணத்தை எழுதுக.
  4. n[P(A)] = 256 எனில் n(A)-ஐக் காண்க.
  5. A = {6,7,8,9} மற்றும் B = {8,10,12} எனில் AΔB காண்க.
  6. P = {1,2,5,7,9}, Q = {2,3,5,9,11}, R = {3,4,5,7,9} எனில் (P ∪ Q) ∩ R காண்க.
  7. n(A) = 25, n(B) = 40, n(A ∪ B) = 50 எனில் n(A ∩ B) காண்க.
  8. \( \frac{1}{4} \) மற்றும் \( \frac{1}{5} \) இவற்றிற்கிடையே எவையேனும் இரு விகிதமுறு எண்களைக் காண்க.
  9. \( \frac{22}{3} \)-ஐ தசம வடிவில் எழுதுக.
  10. மதிப்பு காண்க: \( (243)^\frac{2}{5} \).
  11. சுருக்குக: \( 3\sqrt{75} + 5\sqrt{48} - \sqrt{243} \).
  12. பகுதியை விகிதப்படுத்துக: \( \frac{7}{\sqrt{14}} \).
  13. அறிவியல் குறியீட்டில் எழுதுக: a) 9768854 b) 0.04567891
  14. \( 1.00005 \times 10^{-5} \) என்ற எண்ணை தசம வடிவில் எழுதுக.

பகுதி - III (4x5=20)

எவையேனும் 4 வினாக்களுக்கு மட்டும் விடையளி.

  1. வென்படங்களைப் பயன்படுத்தி \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) என்பதைச் சரிபார்க்க.
  2. U = {a,b,c,d,e,f,g,h}, A = {b,d,f,h} மற்றும் B = {a,d,e,f} எனில் பின்வரும் கணங்களைக் காண்க.
    a) A' b) B' c) A' ∪ B' d) A' ∩ B' e) (A ∪ B)'
  3. A = {x | x ∈ Z, -2 < x ≤ 4}, B = {x | x ∈ W, x ≤ 5} மற்றும் C = {-4, -1, 0, 2, 3, 4} என்ற கணங்களுக்கு \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \) எனும் விதியை சரிபார்க்க.
  4. 6.4-ஐ 3 தசம இடத்திருத்தமாக எண்கோட்டில் குறிக்க (தொடர் உருப்பெருக்க முறை).
  5. ஏறுவரிசையில் எழுதுக: \( \sqrt{2}, \sqrt[4]{4}, \sqrt[3]{3} \).
  6. பகுதியை விகிதப்படுத்திச் சுருக்குக: \( \frac{5\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \).

தீர்வுகள்

பகுதி - I

1. கணம் P = {x | x ∈ Z, -1 < x < 1} என்பது

விளக்கம்: Z என்பது முழு எண்களின் கணம். -1 மற்றும் 1-க்கு இடையில் உள்ள ஒரே முழு எண் 0 ஆகும். எனவே, P = {0}. ஒரு கணத்தில் ஒரே ஒரு உறுப்பு மட்டும் இருந்தால், அது ஒருறுப்புக் கணம் எனப்படும்.

சரியான விடை: a) ஒருறுப்புக் கணம்

2. U = {x | x ∈ N, x < 10} மற்றும் A = {x | x ∈ N, 2 ≤ x < 6} எனில் (A')' என்பது

விளக்கம்:
U (அனைத்துக் கணம்) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A = {2, 3, 4, 5}
A' (A-ன் நிரப்பு கணம்) = U - A = {1, 6, 7, 8, 9}
(A')' (A'-ன் நிரப்பு கணம்) = U - A' = {2, 3, 4, 5} = A.
எனவே, (A')' = A.

சரியான விடை: c) {2,3,4,5}

3. கணம் A = {x,y,z} எனில் A இன் வெற்றுக் கணமில்லாத உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை

விளக்கம்:
கணம் A-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, n(A) = 3.
மொத்த உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = \( 2^{n(A)} = 2^3 = 8 \).
வெற்றுக் கணமில்லாத உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை = மொத்த உட்கணங்கள் - 1 (வெற்றுக் கணம்)
= \( 8 - 1 = 7 \).

சரியான விடை: d) 7

4. A ∪ B = A ∩ B எனில்

விளக்கம்: ஒரு கணத்தின் சேர்ப்பும் வெட்டும் சமமாக இருக்க வேண்டுமெனில், அவ்விரு கணங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும். அப்போதுதான் சேர்ப்பு கணமும், வெட்டு கணமும் அதே கணமாக இருக்கும்.

சரியான விடை: b) A = B

5. B - A என்பது B, எனில் A ∩ B என்பது

விளக்கம்: B - A = B என்றால், B-ல் உள்ள எந்த உறுப்பும் A-ல் இல்லை. இதன் பொருள், A மற்றும் B ஆகிய இரு கணங்களுக்கும் பொதுவான உறுப்புகள் எதுவும் இல்லை. எனவே, அவற்றின் வெட்டுக்கணம் வெற்றுக் கணமாகும்.

சரியான விடை: d) ϕ

6. பின்வருவனவற்றுள் எது விகிதமுறா எண்?

விளக்கம்:
a) \( \sqrt{25} = 5 \) (விகிதமுறு எண்)
b) \( \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \) (விகிதமுறு எண்)
c) \( \frac{7}{11} \) (விகிதமுறு எண்)
d) π (பை) என்பது ஒரு விகிதமுறா எண், அதன் தசம மதிப்பு முடிவில்லாமல் மற்றும் சுழற்சியற்றதாக தொடரும்.

சரியான விடை: d) π

7. 2 மற்றும் 2.5 என்ற எண்களுக்கிடையே உள்ள ஒரு விகிதமுறா எண்

விளக்கம்:
கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் வர்க்கங்களைக் காண்போம்: \( 2^2 = 4 \) மற்றும் \( 2.5^2 = 6.25 \).
நாம் தேடும் விகிதமுறா எண்ணின் வர்க்கம் 4 மற்றும் 6.25-க்கு இடையில் இருக்க வேண்டும்.
a) \( (\sqrt{11})^2 = 11 \) (வெளியே உள்ளது)
b) \( (\sqrt{5})^2 = 5 \) (4-க்கும் 6.25-க்கும் இடையில் உள்ளது)
c) \( (\sqrt{2.5})^2 = 2.5 \) (வெளியே உள்ளது)
d) \( (\sqrt{8})^2 = 8 \) (வெளியே உள்ளது)
எனவே, \( \sqrt{5} \approx 2.236 \) என்பது 2 மற்றும் 2.5-க்கு இடையில் உள்ளது.

சரியான விடை: b) \( \sqrt{5} \)

8. \( \frac{1}{7} = 0.\overline{142857} \) எனில் \( \frac{5}{7} \)-ன் மதிப்பு என்ன?

விளக்கம்: $$ \frac{5}{7} = 5 \times \frac{1}{7} $$ $$ = 5 \times 0.\overline{142857} $$ $$ = 0.\overline{714285} $$

சரியான விடை: b) \( 0.\overline{714285} \)

9. \( \sqrt{27} + \sqrt{12} = \) ?

விளக்கம்: $$ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} $$ $$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} $$ $$ \sqrt{27} + \sqrt{12} = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (3+2)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} $$

சரியான விடை: c) \( 5\sqrt{3} \)

10. \( 4\sqrt{7} \times 2\sqrt{3} = \) ?

விளக்கம்: $$ (4\sqrt{7}) \times (2\sqrt{3}) = (4 \times 2) \times (\sqrt{7} \times \sqrt{3}) $$ $$ = 8 \times \sqrt{7 \times 3} = 8\sqrt{21} $$

சரியான விடை: b) \( 8\sqrt{21} \)

பகுதி - II

11. பின்வரும் சொற்களிலுள்ள எழுத்துக்களின் கணத்தைப் பட்டியல் முறையில் எழுதுக: a) INDIA b) MISSISSIPPI

விளக்கம்: கணத்தில் உறுப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் வராது.

a) INDIA → {I, N, D, A}
b) MISSISSIPPI → {M, I, S, P}

12. பின்வரும் கணங்களைப் பட்டியல் முறையில் எழுதுக:

a) A = {20-க்கும் குறைவான இரட்டைப்படை இயல் எண்களின் கணம்}
விடை: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
b) B = {x | x ∈ Z, -5 < x < 2}
விடை: B = {-4, -3, -2, -1, 0, 1}

13. A = {1, 2, 3} எனில் A-ன் அடுக்குக் கணத்தை எழுதுக.

விளக்கம்: அடுக்கு கணம் என்பது ஒரு கணத்தின் அனைத்து உட்கணங்களின் தொகுப்பாகும்.

P(A) = { ϕ, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }

14. n[P(A)] = 256 எனில் n(A)-ஐக் காண்க.

விளக்கம்:
அடுக்கு கணத்தின் ஆதி எண் சூத்திரம்: \( n[P(A)] = 2^{n(A)} \).
\( 2^{n(A)} = 256 \)
256-ஐ 2-ன் அடுக்காக எழுத: \( 256 = 2^8 \).
\( 2^{n(A)} = 2^8 \)
அடிமானங்கள் சமம் என்பதால், அடுக்குகளும் சமம்.

n(A) = 8

15. A = {6,7,8,9} மற்றும் B = {8,10,12} எனில் AΔB காண்க.

விளக்கம்: சமச்சீர் வேறுபாடு \( A\Delta B = (A-B) \cup (B-A) \).

A - B = {6, 7, 8, 9} - {8, 10, 12} = {6, 7, 9}
B - A = {8, 10, 12} - {6, 7, 8, 9} = {10, 12}
\( A\Delta B = \{6, 7, 9\} \cup \{10, 12\} \)
AΔB = {6, 7, 9, 10, 12}

16. P = {1,2,5,7,9}, Q = {2,3,5,9,11}, R = {3,4,5,7,9} எனில் (P ∪ Q) ∩ R காண்க.

விளக்கம்:

P ∪ Q = {1,2,5,7,9} ∪ {2,3,5,9,11} = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11}
(P ∪ Q) ∩ R = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11} ∩ {3,4,5,7,9}
(P ∪ Q) ∩ R = {3, 5, 7, 9}

17. n(A) = 25, n(B) = 40, n(A ∪ B) = 50 எனில் n(A ∩ B) காண்க.

விளக்கம்: கணங்களின் ஆதிஎண் சூத்திரம்:

\( n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \)
\( 50 = 25 + 40 - n(A \cap B) \)
\( 50 = 65 - n(A \cap B) \)
\( n(A \cap B) = 65 - 50 \)
n(A ∩ B) = 15

18. \( \frac{1}{4} \) மற்றும் \( \frac{1}{5} \) இவற்றிற்கிடையே எவையேனும் இரு விகிதமுறு எண்களைக் காண்க.

விளக்கம்:
முதலில் எண்களை பொதுப் பகுதியுடன் எழுதுவோம். \( \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \) மற்றும் \( \frac{1}{5} = \frac{4}{20} \).
இடைப்பட்ட எண்களைக் காண, பகுதியை மற்றும் தொகுதியை 10-ஆல் பெருக்குவோம்:
\( \frac{50}{200} \) மற்றும் \( \frac{40}{200} \).
இவற்றுக்கு இடையில் பல எண்கள் உள்ளன.

இரு விகிதமுறு எண்கள்: \( \frac{41}{200}, \frac{42}{200} \) (அல்லது \( \frac{21}{100} \))

19. \( \frac{22}{3} \)-ஐ தசம வடிவில் எழுதுக.

விளக்கம்: 22-ஐ 3-ஆல் வகுக்க.

22 ÷ 3 = 7.333...

இது ஒரு முடிவுறா சுழல் தசம எண்.

\( \frac{22}{3} = 7.\overline{3} \)

20. மதிப்பு காண்க: \( (243)^\frac{2}{5} \).

விளக்கம்:
243-ஐ அதன் காரணியாகப் பிரிப்போம்: \( 243 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^5 \).
$$ (243)^\frac{2}{5} = (3^5)^\frac{2}{5} $$ $$ = 3^{(5 \times \frac{2}{5})} = 3^2 $$

9

21. சுருக்குக: \( 3\sqrt{75} + 5\sqrt{48} - \sqrt{243} \).

விளக்கம்:

\( 3\sqrt{75} = 3\sqrt{25 \times 3} = 3 \times 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \)
\( 5\sqrt{48} = 5\sqrt{16 \times 3} = 5 \times 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \)
\( \sqrt{243} = \sqrt{81 \times 3} = 9\sqrt{3} \)
\( 15\sqrt{3} + 20\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = (15 + 20 - 9)\sqrt{3} \)
\( 26\sqrt{3} \)

22. பகுதியை விகிதப்படுத்துக: \( \frac{7}{\sqrt{14}} \).

விளக்கம்: பகுதியை விகிதப்படுத்த, தொகுதி மற்றும் பகுதியை \( \sqrt{14} \) ஆல் பெருக்க வேண்டும்.

$$ \frac{7}{\sqrt{14}} \times \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{14} $$ $$ = \frac{\sqrt{14}}{2} $$
\( \frac{\sqrt{14}}{2} \)

23. அறிவியல் குறியீட்டில் எழுதுக: a) 9768854 b) 0.04567891

விளக்கம்: அறிவியல் குறியீடு \( a \times 10^n \) என்ற வடிவில் இருக்கும், இங்கு 1 ≤ a < 10.

a) 9768854 → தசம புள்ளியை 6 இடங்கள் இடதுபுறம் நகர்த்த வேண்டும்.
விடை: \( 9.768854 \times 10^6 \)
b) 0.04567891 → தசம புள்ளியை 2 இடங்கள் வலதுபுறம் நகர்த்த வேண்டும்.
விடை: \( 4.567891 \times 10^{-2} \)

24. \( 1.00005 \times 10^{-5} \) என்ற எண்ணை தசம வடிவில் எழுதுக.

விளக்கம்: \( 10^{-5} \) இருப்பதால், தசம புள்ளியை 5 இடங்கள் இடதுபுறமாக நகர்த்த வேண்டும்.

1.00005 → 0.100005 → 0.0100005 → 0.00100005 → 0.000100005 → 0.0000100005
0.0000100005

பகுதி - III

25. வென்படங்களைப் பயன்படுத்தி \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) என்பதைச் சரிபார்க்க.

சரிபார்த்தல்:

இடது கை பக்கம் (LHS): \( A \cap (B \cup C) \)

  1. படி 1: B ∪ C - B மற்றும் C வட்டங்கள் முழுவதையும் நிழலிடவும்.
  2. படி 2: A ∩ (B ∪ C) - படி 1-ல் நிழலிட்ட பகுதிக்கும், A வட்டத்திற்கும் பொதுவான பகுதியை நிழலிடவும்.

வலது கை பக்கம் (RHS): \( (A \cap B) \cup (A \cap C) \)

  1. படி 1: A ∩ B - A மற்றும் B வட்டங்கள் சந்திக்கும் பகுதியை நிழலிடவும்.
  2. படி 2: A ∩ C - A மற்றும் C வட்டங்கள் சந்திக்கும் பகுதியை நிழலிடவும்.
  3. படி 3: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) - படி 1 மற்றும் படி 2-ல் நிழலிட்ட பகுதிகளைச் சேர்த்து நிழலிடவும்.
LHS மற்றும் RHS-ன் இறுதி வென்படங்கள் ஒரே மாதிரியாக இருப்பதை காணலாம். எனவே, பங்கீட்டுப் பண்பு சரிபார்க்கப்பட்டது.

26. U = {a,b,c,d,e,f,g,h}, A = {b,d,f,h} மற்றும் B = {a,d,e,f} எனில் பின்வரும் கணங்களைக் காண்க.

தீர்வுகள்:

a) A' (A-ன் நிரப்பு) = U - A = {a,b,c,d,e,f,g,h} - {b,d,f,h} = {a, c, e, g}
b) B' (B-ன் நிரப்பு) = U - B = {a,b,c,d,e,f,g,h} - {a,d,e,f} = {b, c, g, h}
c) A' ∪ B' = {a, c, e, g} ∪ {b, c, g, h} = {a, b, c, e, g, h}
d) A' ∩ B' = {a, c, e, g} ∩ {b, c, g, h} = {c, g}
e) (A ∪ B)'
முதலில், A ∪ B = {b,d,f,h} ∪ {a,d,e,f} = {a, b, d, e, f, h}
(A ∪ B)' = U - (A ∪ B) = {a,b,c,d,e,f,g,h} - {a,b,d,e,f,h} = {c, g}
(குறிப்பு: டி மார்கன் விதிப்படி, (A ∪ B)' = A' ∩ B')

27. A = {x | x ∈ Z, -2 < x ≤ 4}, B = {x | x ∈ W, x ≤ 5} மற்றும் C = {-4, -1, 0, 2, 3, 4} என்ற கணங்களுக்கு \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \) எனும் விதியை சரிபார்க்க.

முதலில், கணங்களைப் பட்டியல் முறையில் எழுதுவோம்:

  • A = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}
  • B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
  • C = {-4, -1, 0, 2, 3, 4}

LHS = A ∪ (B ∩ C)

B ∩ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {-4, -1, 0, 2, 3, 4} = {0, 2, 3, 4}
A ∪ (B ∩ C) = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} ∪ {0, 2, 3, 4} = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}

RHS = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∪ B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
A ∪ C = {-1, 0, 1, 2, 3, 4} ∪ {-4, -1, 0, 2, 3, 4} = {-4, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} ∩ {-4, -1, 0, 1, 2, 3, 4} = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}
LHS = RHS. எனவே, பங்கீட்டு விதி சரிபார்க்கப்பட்டது.

28. 6.4-ஐ 3 தசம இடத்திருத்தமாக எண்கோட்டில் குறிக்க (தொடர் உருப்பெருக்க முறை).

விளக்கம்: தொடர் உருப்பெருக்க முறையில் 6.400-ஐ எண்கோட்டில் குறிப்போம்.

  1. படி 1: 6.4 என்பது 6 மற்றும் 7-க்கு இடையில் அமைந்துள்ளது. எண்கோட்டில் இந்த இடைவெளியை ಗುರುತಿಸಿ.
  2. படி 2: 6 மற்றும் 7-க்கு இடைப்பட்ட பகுதியை 10 சம பாகங்களாகப் பிரிப்போம் (6.1, 6.2, ... 6.9). 6.4-ஐ இந்த பிரிவில் ಗುರುತಿಸಿ. 6.4 என்பது 6.4 மற்றும் 6.5-க்கு இடையில் உள்ளது (6.40 ஆகக் கருதலாம்).
  3. படி 3: 6.4 மற்றும் 6.5-க்கு இடைப்பட்ட பகுதியை மீண்டும் 10 சம பாகங்களாகப் பிரிப்போம் (6.41, 6.42, ... 6.49). நாம் குறிக்க வேண்டிய எண் 6.400. எனவே அது 6.40 மற்றும் 6.41-க்கு இடையில் உள்ளது.
  4. படி 4: 6.40 மற்றும் 6.41-க்கு இடைப்பட்ட பகுதியை 10 சம பாகங்களாகப் பிரிப்போம் (6.401, 6.402, ... 6.409). இதில் 6.400 என்பது முதல் புள்ளியாகும்.
இவ்வாறு, தொடர் உருப்பெருக்கம் மூலம் 6.400-ஐ எண்கோட்டில் துல்லியமாகக் குறிக்கலாம்.

29. ஏறுவரிசையில் எழுதுக: \( \sqrt{2}, \sqrt[4]{4}, \sqrt[3]{3} \).

விளக்கம்: மூலங்களின் அடுக்குகளை (2, 4, 3) சமப்படுத்த வேண்டும். மீ.சி.ம(2, 4, 3) = 12.

$$ \sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{6/12} = (2^6)^{1/12} = \sqrt[12]{64} $$
$$ \sqrt[4]{4} = 4^{1/4} = 4^{3/12} = (4^3)^{1/12} = \sqrt[12]{64} $$
$$ \sqrt[3]{3} = 3^{1/3} = 3^{4/12} = (3^4)^{1/12} = \sqrt[12]{81} $$

இப்போது ஒப்பிடுவோம்: \( \sqrt[12]{64} \), \( \sqrt[12]{64} \), \( \sqrt[12]{81} \).
\( \sqrt[12]{64} = \sqrt[12]{64} < \sqrt[12]{81} \)

ஏறுவரிசை: \( \sqrt{2} = \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3} \)

30. பகுதியை விகிதப்படுத்திச் சுருக்குக: \( \frac{5\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \).

விளக்கம்: பகுதியின் இணையெண்ணான \( (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \) ஆல் தொகுதி மற்றும் பகுதியை பெருக்க வேண்டும்.

$$ \frac{5\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} $$
தொகுதி: \( (5\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)
\( = 5\sqrt{3}(\sqrt{3}) - 5\sqrt{3}(\sqrt{2}) + \sqrt{2}(\sqrt{3}) - \sqrt{2}(\sqrt{2}) \)
\( = 5(3) - 5\sqrt{6} + \sqrt{6} - 2 \)
\( = 15 - 4\sqrt{6} - 2 = 13 - 4\sqrt{6} \)
பகுதி: \( (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \)
\( = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 \)
\( = 3 - 2 = 1 \)
$$ \frac{13 - 4\sqrt{6}}{1} $$
\( 13 - 4\sqrt{6} \)