தென்காசி மாவட்டம்

முதல் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024

வகுப்பு: 10 பாடம்: கணிதம் காலம்: 1.30 மணி மதிப்பெண்கள்: 50

பகுதி - அ

7 x 1 = 7

சரியான விடையைத் தேர்ந்தெடுத்து எழுதுக:

1. $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ -லிருந்து B என்ற கணத்திற்கு 1024 உறவுகள் உள்ளது எனில் B-ல் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை
- a) 3
- b) 2
- c) 4
- d) 8
தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்டவை, $n(A) = 5$. $n(B) = m$ என்க. உறவுகளின் எண்ணிக்கை சூத்திரம்: $2^{n(A) \times n(B)} = 2^{5m}$. நமக்கு $2^{5m} = 1024 = 2^{10}$ எனத் தெரியும். அடுக்குகளை சமன்படுத்த, $5m = 10 \implies m = 2$.
2. $\{(a, 8), (6, b)\}$ ஆனது ஒரு சமனிச்சார்பு எனில், a மற்றும் b மதிப்புகளாவன முறையே
- a) (8, 6)
- b) (8, 8)
- c) (6, 8)
- d) (6, 6)
தீர்வு:

ஒரு சமனிச்சார்பில், $f(x)=x$. அதாவது உள்ளீடும் வெளியீடும் சமம். $(a, 8)$ எனில் $f(a)=8 \implies a=8$. $(6, b)$ எனில் $f(6)=b \implies b=6$. எனவே, மதிப்புகள் $(8, 6)$.
3. $f(x) = 2x^2$ மற்றும் $g(x) = \frac{1}{3x}$ எனில் $f \circ g$ ஆனது
- a) $\frac{3}{2x^2}$
- b) $\frac{2}{3x^2}$
- c) $\frac{2}{9x^2}$
- d) $\frac{1}{6x^2}$
தீர்வு:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{1}{3x}\right) = 2 \left(\frac{1}{3x}\right)^2 = 2 \left(\frac{1}{9x^2}\right) = \frac{2}{9x^2}$.
4. யூக்ளிடின் வகுத்தல் துணைத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த மிகை முழுவின் கனத்தையும் 9 -ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் மீதிகள்
- a) 0, 1, 8
- b) 1, 4, 8
- c) 0, 1, 3
- d) 1, 3, 5
தீர்வு:

ஒரு முழு எண் $3q, 3q+1,$ அல்லது $3q+2$ வடிவில் இருக்கும். நிலை 1: $(3q)^3 = 9(3q^3)$, மீதி 0. நிலை 2: $(3q+1)^3 = 9(\dots)+1$, மீதி 1. நிலை 3: $(3q+2)^3 = 9(\dots)+8$, மீதி 8. எனவே மீதிகள் 0, 1, 8.
5. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 6-வது உறுப்பின் 6 மடங்கும், 7வது உறுப்பின் 7 மடங்கும் சமம் எனில், அக்கூட்டுத்தொடர் வரிசையின் 13-வது உறுப்பு
- a) 0
- b) 6
- c) 7
- d) 13
தீர்வு:

$6 \times t_6 = 7 \times t_7 \implies 6(a+5d) = 7(a+6d) \implies 6a+30d = 7a+42d \implies -a = 12d \implies a+12d=0$. 13-வது உறுப்பு $t_{13} = a+12d$, எனவே $t_{13}=0$.
6. $(1^3+2^3+3^3+...+15^3) - (1+2+3+...+15)$-ன் மதிப்பு
- a) 14400
- b) 14200
- c) 14280
- d) 14520
தீர்வு:

கனங்களின் கூடுதல்: $(\frac{n(n+1)}{2})^2 = (\frac{15(16)}{2})^2 = 120^2 = 14400$. எண்களின் கூடுதல்: $\frac{n(n+1)}{2} = 120$. வித்தியாசம் = $14400 - 120 = 14280$.
7. $xy - 7 = 3$ என்பது
- a) நேரிய சமன்பாடு
- b) வட்டத்தின் சமன்பாடு
- c) முப்படிச் சமன்பாடு
- d) நேரியச் சமன்பாடு அல்ல
தீர்வு:

சமன்பாடு $xy=10$. இதில் $xy$ என்ற உறுப்பின் படி 2 (x-ன் படி 1, y-ன் படி 1, கூடுதல் 1+1=2). ஒரு நேரிய சமன்பாட்டின் படி 1 ஆக இருக்க வேண்டும். எனவே, இது நேரியச் சமன்பாடு அல்ல.

பகுதி - ஆ

5 x 2 = 10

எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். [வினா எண் 14-க்கு கண்டிப்பாக விடையளிக்கவும்.]

8. R என்ற உறவு $\{(x, y) \mid y = x+3, x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\}$ எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதன் மதிப்பகத்தையும், வீச்சகத்தையும் காண்க.

தீர்வு:

மதிப்பகம் என்பது உள்ளீட்டு மதிப்புகளான x-ன் கணம். மதிப்பகம் = $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.

வீச்சகம் என்பது வெளியீட்டு மதிப்புகளான y=x+3-ன் கணம். வீச்சகம் = $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
9. $f(x) = x-6$ மற்றும் $g(x) = x^2$ எனில் $f \circ g$-ஐக் காண்க.

தீர்வு:

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2)$. f(x)-ன் விதியைப் பயன்படுத்த, $f(x^2) = (x^2) - 6 = x^2 - 6$.
10. $f(x) = 2x-x^2$ எனில் (i) $f(1)$ (ii) $f(2)$ ஐக் காண்க.

தீர்வு:

(i) $f(1) = 2(1) - (1)^2 = 2 - 1 = 1$.

(ii) $f(2) = 2(2) - (2)^2 = 4 - 4 = 0$.
11. 32 மற்றும் 60 ஆகியவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி d என்க. $d = 32x+60y$ எனில் x மற்றும் y என்ற முழுக்களைக் காண்க.

தீர்வு:

யூக்ளிடின் படிமுறை: $60 = 1 \times 32 + 28$; $32 = 1 \times 28 + 4$; $28 = 7 \times 4 + 0$. மீ.பொ.வ, $d=4$.

பின்னோக்கிச் செல்ல: $4 = 32 - 1 \times 28 = 32 - 1(60 - 1 \times 32) = 32 - 60 + 32 = 2 \times 32 - 1 \times 60$.

எனவே, $4 = 32(2) + 60(-1)$. ஒப்பிட, $x=2, y=-1$.
12. $16, 11, 6, 1, \dots$ என்ற கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் -54 என்பது எத்தனையாவது உறுப்பு எனக் காண்க.

தீர்வு:

இங்கே $a=16, d=11-16=-5$. $t_n = -54$ என்க.

$t_n = a + (n-1)d \implies -54 = 16 + (n-1)(-5) \implies -70 = -5(n-1) \implies 14 = n-1 \implies n=15$. -54 என்பது 15-வது உறுப்பு.
13. $9+3+1+\dots$ என்ற முடிவுறா தொடர்களின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

இது ஒரு பெருக்குத்தொடர் வரிசை (G.P). $a=9, r = 3/9 = 1/3$. $|r|<1$ என்பதால், $S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{9}{1 - 1/3} = \frac{9}{2/3} = \frac{27}{2}$.
14. [கட்டாய வினா] $x+y = 5$ மற்றும் $x-y = 1$ -ஐ தீர்க்க.

தீர்வு:

இரு சமன்பாடுகளையும் கூட்ட: $(x+y) + (x-y) = 5+1 \implies 2x = 6 \implies x=3$.

$x=3$ என முதல் சமன்பாட்டில் பிரதியிட: $3+y=5 \implies y=2$. தீர்வு: $x=3, y=2$.

பகுதி - இ

5 x 5 = 25

எவையேனும் 5 வினாக்களுக்கு விடையளிக்கவும். [வினா எண் 21-க்கு கண்டிப்பாக விடையளிக்கவும்.]

15. $A = \{x \in W \mid x < 2\}$, $B = \{x \in N \mid 1 < x \le 4\}$ மற்றும் $C = \{3, 5\}$ எனில் $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ என்பதை சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு:

கணங்கள்: $A = \{0, 1\}$, $B = \{2, 3, 4\}$, $C = \{3, 5\}$.

இடது புறம்: $B \cup C = \{2, 3, 4, 5\}$. $A \times (B \cup C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5)\}$.

வலது புறம்: $A \times B = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4)\}$. $A \times C = \{(0,3), (0,5), (1,3), (1,5)\}$.

$(A \times B) \cup (A \times C) = \{(0,2), (0,3), (0,4), (1,2), (1,3), (1,4), (0,5), (1,5)\}$. இடது புறம் = வலது புறம், சரிபார்க்கப்பட்டது.
16. $f(x) = 2x+3$, $g(x) = 1-2x$ மற்றும் $h(x) = 3x$ எனில் $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ என சரிபார்க்கவும்.

தீர்வு:

இடது புறம்: $(g \circ h)(x) = g(3x) = 1-6x$. $f(g \circ h)(x) = f(1-6x) = 2(1-6x)+3 = 5-12x$.

வலது புறம்: $(f \circ g)(x) = f(1-2x) = 2(1-2x)+3 = 5-4x$. $(f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(3x) = 5-4(3x) = 5-12x$. சரிபார்க்கப்பட்டது.
17. ஒரு கூட்டுத்தொடர் வரிசையில் அமைந்த அடுத்தடுத்த மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் 27 மற்றும் அதன் பெருக்கற்பலன் 288 எனில் அம்மூன்று உறுப்புகளைக் காண்க.

தீர்வு:

உறுப்புகள் $a-d, a, a+d$ என்க. கூடுதல்: $3a = 27 \implies a=9$.

பெருக்கற்பலன்: $(9-d)(9)(9+d)=288 \implies 81-d^2=32 \implies d^2=49 \implies d=\pm 7$.

d=7 எனில், உறுப்புகள் 2, 9, 16. d=-7 எனில், உறுப்புகள் 16, 9, 2. எனவே உறுப்புகள் 2, 9, 16.
18. வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ABC மற்றும் PQR-ன் சுற்றளவுகள் முறையே 36 செ.மீ மற்றும் 24 செ.மீ ஆகும். PQ = 10 செ.மீ எனில் AB-ஐக் காண்க.

தீர்வு:

வடிவொத்த முக்கோணங்களில், சுற்றளவுகளின் விகிதம் ஒத்த பக்கங்களின் விகிதத்திற்கு சமம். $\frac{\text{சுற்றளவு(ABC)}}{\text{சுற்றளவு(PQR)}} = \frac{AB}{PQ}$.

$\frac{36}{24} = \frac{AB}{10} \implies \frac{3}{2} = \frac{AB}{10} \implies AB = \frac{3 \times 10}{2} = 15$. எனவே, AB = 15 செ.மீ.
19. $5+55+555+\dots$ என்ற தொடர்வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூடுதல் காண்க.

தீர்வு:

$S_n = 5(1+11+\dots) = \frac{5}{9}(9+99+\dots) = \frac{5}{9}((10-1)+(10^2-1)+\dots)$.

$S_n = \frac{5}{9}[(10+10^2+\dots+10^n) - n]$.

$S_n = \frac{5}{9}\left[ \frac{10(10^n-1)}{9} - n \right]$.
20. தீர்க்க: $3x-2y+z = 2$, $2x+3y-z = 5$, $x+y+z = 6$.

தீர்வு:

(1)+(2): $5x+y=7 \implies y=7-5x$. (2)+(3): $3x+4y=11$.

y-ஐ பிரதியிட: $3x+4(7-5x)=11 \implies 3x+28-20x=11 \implies -17x=-17 \implies x=1$.

$y=7-5(1)=2$. (3)-ல் இருந்து, $1+2+z=6 \implies z=3$. தீர்வு: $(1, 2, 3)$.
21. [கட்டாய வினா] கூடுதல் காண்க: $6^2+7^2+8^2+\dots+21^2$.

தீர்வு:

கூடுதல் = $(1^2+\dots+21^2) - (1^2+\dots+5^2)$. சூத்திரம்: $\sum n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

$\sum_{1}^{21} k^2 = \frac{21(22)(43)}{6} = 3311$.

$\sum_{1}^{5} k^2 = \frac{5(6)(11)}{6} = 55$. கூடுதல் = $3311 - 55 = 3256$.

பகுதி - ஈ

1 x 8 = 8

பின்வரும் வினாவிற்கு விடையளிக்கவும்:

22.
a) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் PQR-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{3}{5}$ என அமையுமாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{3}{5} < 1$)

(அல்லது)

b) கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ABC-க்கு ஒத்த பக்கங்களின் விகிதம் $\frac{7}{3}$ என்றவாறு ஒரு வடிவொத்த முக்கோணம் வரைக. (அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$)
தீர்வு (வரைமுறை படிகள்):
a) அளவு காரணி $\frac{3}{5} < 1$ வரைமுறை
1. ஏதேனும் ஒரு முக்கோணம் PQR வரைக.
2. Q-லிருந்து QR உடன் ஒரு குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு QX என்ற கதிரை வரைக.
3. QX-ல் 5 (பெரிய எண்) சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக. $Q_1, \dots, Q_5$ எனப் பெயரிடுக.
4. கடைசிப் புள்ளி $Q_5$-ஐ R உடன் இணைக்க.
5. $Q_3$-லிருந்து (தொகுதி எண்) $Q_5R$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QR-ஐ R' இல் சந்திக்கும்.
6. R'-லிருந்து RP-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது QP-ஐ P' இல் சந்திக்கும்.
7. $\triangle P'QR'$ என்பது தேவையான சிறிய முக்கோணம்.
b) அளவு காரணி $\frac{7}{3} > 1$ வரைமுறை
1. ஏதேனும் ஒரு முக்கோணம் ABC வரைக.
2. BA மற்றும் BC பக்கங்களை நீட்டி வரைக.
3. B-யிலிருந்து BC உடன் ஒரு குறுங்கோணத்தை ஏற்படுத்துமாறு BX என்ற கதிரை வரைக.
4. BX-ல் 7 (பெரிய எண்) சம அளவுள்ள விற்களை வெட்டுக. $B_1, \dots, B_7$ எனப் பெயரிடுக.
5. $B_3$-ஐ (பகுதி எண்) C உடன் இணைக்க.
6. $B_7$-லிருந்து (தொகுதி எண்) $B_3C$-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட BC-ஐ C' இல் சந்திக்கும்.
7. C'-லிருந்து CA-க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைக. அது நீட்டப்பட்ட BA-ஐ A' இல் சந்திக்கும்.
8. $\triangle A'BC'$ என்பது தேவையான பெரிய முக்கோணம்.

முதல் இடைப் பருவ பொதுத் தேர்வு - 2024 வகுப்பு 10 பாடம்: கணிதம் Standard 10 Maths - Mid Term Test 2024 Maths Important Questions Samacheer Kalvi

பகுதி - அ

பகுதி - ஆ

பகுதி - இ

பகுதி - ஈ